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| -rw-r--r-- | buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc | 1 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 1 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/punktgruppen/main.tex | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 15 |
4 files changed, 14 insertions, 5 deletions
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc index 06be362..c7a7d64 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc +++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc @@ -8,5 +8,6 @@ dependencies-punktgruppen = \ papers/punktgruppen/main.tex \ papers/punktgruppen/intro.tex \ papers/punktgruppen/symmetry.tex \ + papers/punktgruppen/crystals.tex \ papers/punktgruppen/references.bib diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex new file mode 100644 index 0000000..b104901 --- /dev/null +++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex @@ -0,0 +1 @@ +\section{Kristalle} diff --git a/buch/papers/punktgruppen/main.tex b/buch/papers/punktgruppen/main.tex index d7690fd..cbd2af6 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/main.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/main.tex @@ -10,6 +10,8 @@ \input{papers/punktgruppen/intro} \input{papers/punktgruppen/symmetry} +\input{papers/punktgruppen/crystals} +\nocite{punktgruppen:pinter-algebra} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index 58950da..c0418aa 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -101,15 +101,20 @@ die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\). Die Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet. Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer -Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet -werden\cite{punktgruppen:pinter-algebra}. Die Reflexionssymmetriegruppe ist -nicht so interessant, da sie nur +Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden. Die +Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe \[ D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle - . + = \left\{ + \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1} + \right\}. \] +Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden +Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die +letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren. + Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut? @@ -119,7 +124,7 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein. bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass - \(H\) eine Darstellung von \(G\) ist\cite{punktgruppen:pinter-algebra}. + \(H\) eine Darstellung von \(G\) ist. \end{definition} \begin{beispiel} Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine |