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diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex index d1a38ca..3bdba9a 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex @@ -205,7 +205,7 @@ G=\begin{pmatrix} \end{pmatrix} \] gibt die Gewinne an, die bei einem Übergang anfallen. -Die Matrixelemente $g_{ij}b_{ij}$ des elementweisen Produktes +Die Matrixelemente $g_{ij}b_{ij}$ des Hadamard-Produktes $G\odot B$ von $G$ mit $B$ enthält in den Spalten die Gewinnerwartungen für die einzelnen Übergänge aus einem Zustand. @@ -218,7 +218,7 @@ E(Y|K\equiv j) für einen Übergang aus dem Zustand $j$. Man kann dies auch als einen Zeilenvektor schreiben, der durch Multiplikation der Matrix $G\odot B$ mit dem Zeilenvektor -$\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}$ +$U^t=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}$ entsteht: \[ \begin{pmatrix} @@ -227,7 +227,7 @@ E(Y|K\equiv 1)& E(Y|K\equiv 2) \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} +U^t G\odot B. \] Die Gewinnerwartung ist dann das Produkt @@ -237,7 +237,7 @@ E(Y) \sum_{i=0}^2 E(Y|K\equiv i) p_i = -\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} +U^t (G\odot B)p. \] Tatsächlich ist @@ -250,7 +250,7 @@ G\odot B -\frac9{10} & \frac34 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad -\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot B +U^t G\odot B = \begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix}. \] @@ -260,10 +260,10 @@ Dies stimmt mit den Erwartungswerten in Die gesamte Geinnerwartung ist dann \begin{equation} (G\odot B) -\begin{pmatrix}\frac13&\frac13&\frac13\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\frac13\\\frac13\\\frac13\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}\frac13&\frac13&\frac13\end{pmatrix} +\frac13U = \frac13\biggl(-\frac{8}{10}+\frac12+\frac12\biggr) = @@ -433,6 +433,27 @@ berechnen können. Gewinn und Verlust sind also gleich wahrscheinlich, das Spiel $B$ ist also ebenfalls fair. +Auch diese Gewinnwahrscheinlichkeit kann etwas formeller mit dem +Hadamard-Produkt berechnet werden: +\[ +U^t (G\odot B) p += +\begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix} +\frac{1}{13} +\begin{pmatrix} +5\\2\\6 +\end{pmatrix} += +-\frac{8}{10}\cdot\frac{5}{13} ++\frac{1}{2} \cdot\frac{2}{13} ++\frac{1}{2} \cdot\frac{6}{13} += +\frac{1}{26}(-8 + 2+ 6) += +0, +\] +wie erwartet. + \subsubsection{Das modifizierte Spiel $B$} \begin{figure} \centering @@ -545,18 +566,18 @@ E(Y|K\equiv 1)& E(Y|K\equiv 2) \end{pmatrix} &= -\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot \tilde{B} +U^t (G\odot \tilde{B}) \\ &= -\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot B +U^t (G\odot B) + \varepsilon -\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot F +U^t (G\odot F) \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{8}{10}&\frac12&\frac12 \end{pmatrix} + -\varepsilon\begin{pmatrix}2&2&2\end{pmatrix} +2\varepsilon U^t \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{8}{10}+2\varepsilon&\frac12+2\varepsilon&\frac12+2\varepsilon \end{pmatrix}. @@ -566,20 +587,22 @@ erhält man die Gewinnerwartung \begin{align*} E(Y) &= -\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot \tilde{B} +U^t(G\odot \tilde{B}) \begin{pmatrix} -\frac13& -\frac13& +\frac13\\ +\frac13\\ \frac13 \end{pmatrix} \\ &= -\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot B -\begin{pmatrix} \frac13& \frac13& \frac13 \end{pmatrix} +U^t +(G\odot B) +\frac13 U + \varepsilon -\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot F -\begin{pmatrix} \frac13& \frac13& \frac13 \end{pmatrix} +U^t +(G\odot F) +\frac13 U \\ &= \frac1{15} @@ -696,37 +719,169 @@ Dazu braucht man das Hadamard-Produkt \[ G\odot \tilde{B} = +G=\begin{pmatrix} + 0&-1& 1\\ + 1& 0&-1\\ +-1& 1& 0 +\end{pmatrix} +\odot +\begin{pmatrix} +0 &\frac14+\varepsilon & \frac34-\varepsilon \\ +\frac{1}{10}-\varepsilon & 0 & \frac14+\varepsilon \\ +\frac{9}{10}+\varepsilon &\frac34-\varepsilon & 0 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + 0 &-\frac14-\varepsilon & \frac34-\varepsilon \\ + \frac{1}{10}-\varepsilon & 0 &-\frac14-\varepsilon \\ +-\frac{9}{10}-\varepsilon & \frac34-\varepsilon & 0 +\end{pmatrix} \] -Wie früher ist +Wie früher ist der erwartete Gewinn \begin{align*} E(Y) &= -e^t (G\odot \tilde{B}) p +U^t (G\odot \tilde{B}) p_{\varepsilon} \\ &= \begin{pmatrix} +-\frac{3}{10}-2\varepsilon & \frac12-2\varepsilon & \frac12-2\varepsilon \end{pmatrix} -p -= +p_{\varepsilon} +\\ +% 3 2 +% 480 epsilon - 48 epsilon + 294 epsilon +%(%o50) - ---------------------------------------- +% 2 +% 240 epsilon - 16 epsilon + 169 +&= +- +\varepsilon\cdot +\frac{ +294-48\varepsilon+480\varepsilon^2 +}{ +169-16\varepsilon+240\varepsilon^2 +} += +-\frac{294}{169}\varepsilon + O(\varepsilon^2). \end{align*} +Insbesondere ist also die Gewinnerwartung negativ für nicht zu grosse +$\varepsilon>0$. +Das Spiel ist also ein Verlustspiel. % % Die Kombination % \subsection{Kombination der Spiele \label{buch:subsection:kombination}} +Jetzt werden die beiden Spiele $A$ und $B$ zu einem neuen +Spiel kombiniert. +Für das Spiel $A$ haben wir bis jetzt keine Übergansmatrix aufgestellt, +da das Kapital darin keine Rolle spielt. +Um die beiden Spiele kombinieren zu können brauchen wir aber die Übergansmatrix +für die drei Zustände $K\equiv 0,1,2$. +Sie ist +\[ +A=\begin{pmatrix} +0&\frac12&\frac12\\ +\frac12&0&\frac12\\ +\frac12&\frac12&0 +\end{pmatrix}. +\] -% -% Gewinn-Erwartung -% -\subsection{Gewinnerwartung -\label{buch:subsection:gewinnerwartung}} +\subsubsection{Das Spiel $C$} +In jeder Durchführung des Spiels wird mit einem Münzwurf entschieden, +ob Spiel $A$ oder Spiel $B$ gespielt werden soll. +Mit je Wahrscheinlichkeit $\frac12$ werden also die Übergansmatrizen +$A$ oder $B$ verwendet: +\[ +P(K\equiv i|K\equiv j) += +A\cdot P(\text{Münzwurf Kopf}) ++ +B\cdot P(\text{Münzwurf Kopf}) += +\frac12(A+B) += +\begin{pmatrix} +0 & \frac{3}{8} & \frac{5}{8} \\ +\frac{3}{10} & 0 & \frac{3}{8} \\ +\frac{7}{10} & \frac{5}{8} & 0 +\end{pmatrix} +\] +Die Gewinnerwartung in einem Einzelspiel ist +\begin{align*} +E(Y) +&= +U^t +(G\odot C) +\frac13U +\\ +&= +U^t +\begin{pmatrix} + 0 &-\frac{3}{8} & \frac{5}{8} \\ + \frac{3}{10} & 0 &-\frac{3}{8} \\ +-\frac{7}{10} & \frac{5}{8} & 0 +\end{pmatrix} +\frac13U +\\ +&= +\begin{pmatrix} +-\frac{2}{5} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} +\end{pmatrix} +\frac13U += +\frac13\biggl(-\frac{2}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\biggr) += +-\frac{1}{30} +\end{align*} +Das Einzelspiel ist also ein Verlustspiel. -% -% Gleichgewichtszustand -% -\subsection{Gleichgewichtszustand -\label{buch:subsection:gleichgewichtszustand}} +\subsubsection{Das iterierte Spiel $C$} +Für das iterierte Spiel muss man wieder den Eigenvektor von $C$ zum +Eigenwert $1$ finden, die Rechnung mit dem Gauss-Algorithmus liefert +\[ +p= +\frac{1}{709} +\begin{pmatrix} +245\\180\\84 +\end{pmatrix}. +\] +Damit kann man jetzt die Gewinnwahrscheinlichkeit im iterierten Spiel +berechnen, es ist +\begin{align*} +E(Y) +&= +U^t +(G\odot C) p +\\ +&= +\begin{pmatrix} +-\frac{2}{5} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} +\end{pmatrix} +\frac{1}{709} +\begin{pmatrix} +245\\180\\84 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\frac{ +-2\cdot 49 + 45 + 71 +}{709} += +\frac{18}{709}, +\end{align*} +Das iteriert Spiel $B$ ist also ein Gewinnspiel! +Obwohl die Spiele $A$ und $B$ für sich alleine in der iterierten Form +keine Gewinnspiele sind, ist das kombinierte Spiel, wo man zufällig +die beiden Spiel verbindet immer ein Gewinnspiel. + +Man kann statt des Spiels $B$ auch das modifizierte Spiel $\tilde{B}$ +verwenden, welches für kleine $\varepsilon>0$ ein Verlustspiel ist. +Die Analyse lässt sich in der gleichen Weise durchführen und liefert +wieder, dass für nicht zu grosses $\varepsilon$ das kombinierte Spiel +ein Gewinnspiel ist. diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima index 16be152..6ba2ee6 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima @@ -1,46 +1,103 @@ -Btilde: matrix( - [ -1 , 1/4 + epsilon, 3/4 - epsilon ], - [ 1/10 - epsilon, -1 , 1/4 + epsilon ], - [ 9/10 + epsilon, 3/4 - epsilon, -1 ] +B: matrix( + [ 0 , 1/4, 3/4 ], + [ 1/10, 0 , 1/4 ], + [ 9/10, 3/4, 0 ] ); +F: matrix( + [ 0, -1, 1 ], + [ 1, 0, -1 ], + [ -1, 1, 0 ] +); +G: matrix( + [ 0, -1, 1 ], + [ 1, 0, -1 ], + [ -1, 1, 0 ] +); +U: matrix([1], [1], [1]); +p: (1/3) * U; + +ratsimp(expand((B * G) . p)); +ratsimp(expand(transpose(U) . (B * G) . p)); + +/* find the eigenvector */ +/* find the eigenvector */ +B0: B - identfor(B); -r: expand(Btilde[1] / Btilde[1,1]); -Btilde[1]: r; -Btilde[2]: Btilde[2] - Btilde[2,1] * r; -Btilde[3]: Btilde[3] - Btilde[3,1] * r; +r: expand(B0[1] / B0[1,1]); +B0[1]: r; +B0[2]: B0[2] - B0[2,1] * r; +B0[3]: B0[3] - B0[3,1] * r; -Btilde: expand(Btilde); +B0: expand(B0); -r: Btilde[2] / Btilde[2,2]; -Btilde[2]: r; -Btilde[3]: Btilde[3] - Btilde[3,2] * r; +r: B0[2] / B0[2,2]; +B0[2]: r; +B0[3]: B0[3] - B0[3,2] * r; -Btilde: ratsimp(expand(Btilde)); +B0: ratsimp(expand(B0)); -Btilde[1]: Btilde[1] - Btilde[1,2] * Btilde[2]; +B0[1]: B0[1] - B0[1,2] * B0[2]; -Btilde: ratsimp(expand(Btilde)); +B0: ratsimp(expand(B0)); l: 78 + 12 * epsilon + 80 * epsilon^2; -D: ratsimp(expand(l*Btilde)); +D: ratsimp(expand(l*B0)); n: ratsimp(expand(l -D[1,3] -D[2,3])); p: (1/n) * matrix( -[ -Btilde[1,3]*l ], -[ -Btilde[2,3]*l ], +[ -B0[1,3]*l ], +[ -B0[2,3]*l ], [ l ] ); p: ratsimp(expand(p)); -taylor(p, epsilon, 0, 3); +/* compute the expected gain */ +G*B; +ratsimp(expand(transpose(U). (G*B) . p)); -G: matrix( - [ 0, 1, -1 ], - [ -1, 0, 1 ], - [ 1, -1, 0 ] +/* modified game */ +Btilde: B - epsilon * F; +ratsimp(expand((Btilde * G) . p)); +gain: ratsimp(expand(transpose(U) . (Btilde * G) . p)); + +/* find the eigenvector */ +B0: Btilde - identfor(Btilde); + +r: expand(B0[1] / B0[1,1]); +B0[1]: r; +B0[2]: B0[2] - B0[2,1] * r; +B0[3]: B0[3] - B0[3,1] * r; + +B0: expand(B0); + +r: B0[2] / B0[2,2]; +B0[2]: r; +B0[3]: B0[3] - B0[3,2] * r; + +B0: ratsimp(expand(B0)); + +B0[1]: B0[1] - B0[1,2] * B0[2]; + +B0: ratsimp(expand(B0)); + +l: 78 + 12 * epsilon + 80 * epsilon^2; + +D: ratsimp(expand(l*B0)); +n: ratsimp(expand(l -D[1,3] -D[2,3])); + +pepsilon: (1/n) * matrix( +[ -B0[1,3]*l ], +[ -B0[2,3]*l ], +[ l ] ); +pepsilon: ratsimp(expand(pepsilon)); + +/* taylor series expansion of the eigenvector */ +taylor(pepsilon, epsilon, 0, 3); -e: matrix([1,1,1]); +/* expectation */ -ratsimp(expand(e. (G*Btilde) . p)); +G*Btilde; +gainepsilon: ratsimp(expand(transpose(U). (G*Btilde) . pepsilon)); +taylor(gainepsilon, epsilon, 0, 5); |