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diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex index 8945ba8..c2b3b8c 100644 --- a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex +++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex @@ -5,57 +5,82 @@ % \section{Quaternionen} \rhead{Quaternionen} -Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den 3 dimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine dreh-streckende Eigenschaft. + +Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den dreidimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine dreh-streckende Eigenschaft. Sie finden beispielsweise in der Computergraphik und in der Robotik Anwendung. Die Quaternionen werden so definiert. \begin{align} - q = w + xi + yj + zk; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace q \in \mathbb{H} + q = w + xi + yj + zk \quad w,x,y,z \in \mathbb{R}\enspace q \in \mathbb{H} \end{align} Eine Drehstreckung wird dabei mit dieser Formel erreicht. \begin{align} \label{QuatRot} \begin{split} &v'' = qvq^{-1};\quad q,v,q^{-1} \in \mathbb{H}\\ - &Re(q) = Re(q^{-1});\enspace Im(q) = -Im(q^-1) + &\operatorname{Re}(q) = \operatorname{Re}(q^{-1})\quad \operatorname{Im}(q) = -\operatorname{Im}(q^{-1}) \end{split} \end{align} -Die Quaternionen besitzen im Gegensatz zu dem komplexen Zahlen 3 imaginäre Einheiten $i,j,k$. Wieso 3? Weil es in der dritten Dimension 3 Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Nun haben wir ein kleines Problem. Wie sollen wir die Quaternionen darstellen? Wir bräuchten 4 Achsen für die 3 Imaginären Einheiten und die eine reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht. +Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in der dritten Dimension 3 Drehachsen gibt, anstatt nur eine. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In der vierten Dimension würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind). + +Leider haben wir nun bei der Darstellung der Quaternionen ein kleines Problem. Wir bräuchten insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v \in \mathbb{H}$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht. + +\subsection{Geometrische Algebra} +Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Quaternionen können, wie schon im 2 dimensionalen Fall durch die gerade Grade $G_3^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $G_3(\mathbb{R})$ befinden haben wir drei Basisvektoren $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ und können somit drei Bivektoren bilden $\mathbf{e}_{12}, \mathbf{e}_{23}, \mathbf{e}_{31}$. +\begin{definition} + Multivektoren mit Drehstreckenden Eigenschaften in $G_3(\mathbb{R})$ (gleichbedeutend zu Quaternionen) + \begin{align} + \mathbf{q} = w + x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}}; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace \mathbf{q} \in \mathbb{G}_3^+ + \end{align} +\end{definition} -\subsection{geometrischen Algebra} -Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Quaternionen können, wie schon im 2 dimensionalen Fall durch die gerade Grade $\mathbb{G}_3^+ \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $\mathbb{G}_3$ befinden haben wir 3 Basisvektoren $e_1, e_2, e_3$ und können somit 3 Bivektoren bilden $e_{12}, e_{23}, e_{31}$. -\begin{align} - \mathbf{q} = w + x\mathbf{e_{12}} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}}; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace q \in \mathbb{G}_3^+ -\end{align} Die Probleme werden dadurch gelöst, da wir die Bivektoren im Raum nicht durch einzelne Achsen darstellen müssen, sondern sie als eine orientiere Fläche darstellen können. Anstatt die Vektoren in Quaternionen umzurechnen, können wir jetzt die Vektoren separat im gleichen Raum darstellen. \\BILD VEKTOR, QUATERNION IN G3\\ Wie schon im 2 dimensionalen Fall beschreibt ein Bivektor, um wie viel der um 90 grad gedrehte orginale Vektor gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse. \\BILD?\\ -In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternion, welche den Betrag $|q|=1$ haben. Sie rotieren die Objekte bzw. Vektoren lediglich. -\begin{align} - \mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(x\mathbf{e_{12}} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}}) -\end{align} -wobei definiert ist, dass $x^2+y^2+z^2=1$. Somit beträgt der Betrag immer 1. +In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternionen, welche den Betrag $|q|=1$ haben. Sie rotieren die Objekte bzw. Vektoren lediglich. +\begin{definition} + Einheitsquaternionen + \begin{align} + \mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e}_{23} + z\mathbf{e}_{31}) + \end{align} +\end{definition} +Dabei ist definiert, dass $x^2+y^2+z^2=1$. Somit beträgt der Betrag von immer $\mathbf{q}$ immer 1. \begin{align} - |q| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(x^2+y^2+z^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1 + |\mathbf{q}| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(x^2+y^2+z^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1 \end{align} -Man verwendet um einen Vektor zu drehen wieder die gleiche Formel, wie auch schon im 2 dimensionalen Fall. -\begin{align} \label{QuatRot} +Um einen Vektor zu drehen, verwendet man wieder die gleiche Formel, wie auch schon im zweidimensionalen Fall. +\begin{align} \label{QuatRotGA} \begin{split} - &v'' = qvq^{-1}\\ - &Re(q) = Re(q^{-1});\enspace Im(q) = -Im(q^-1) + &\mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1}\\ + &\operatorname{Re}(\mathbf{q}) = \operatorname{Re}(\mathbf{q}^{-1});\enspace \operatorname{Im}(\mathbf{q}) = -\operatorname{Im}(\mathbf{q}^-1) \end{split} \end{align} Es ist wichtig bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $q$ und $q^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann - -\subsection{Gimbal-Lock und Interpolation} - +\\BEISPIEL DREHUNG 90 grad um zwei Achsen\\ +\\BILD addition Bivektoren zu Beipsiel?\\ +\subsection{Interpolation} +In der Computergrafik wird Interpolation verwendet, um eine flüssige Drehbewegung zu erreichen. Dabei wird die gewünschte Drehbewegungen des Objektes in kleinere aufgeteilt. Man kann dabei mit zwei verschiedenen Systemen arbeiten. +\begin{itemize} + \item Mit den Eulerschen Winkeln, welche für die Meisten zwar intuitiver sind, aber dafür Nachteile haben, worauf ich in diesem Abschnitt eingehen werde. Dabei kann eine ganze Drehbewegung $\mathbf{v}'' = R\mathbf{v}$ durch die Drehmatrix $R$ dargestellt werden. + \begin{align} + \begin{split} + &R = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_x(\alpha)\\ + &R = + \begin{pmatrix} + \cos(\gamma) & -\sin(\gamma) & 0\\ \sin(\gamma) & \cos(\gamma) & 0 \\ 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + \cos(\beta) & 0 & \sin(\beta)\\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\beta) & 0 & \cos(\beta) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) + \end{pmatrix} + \end{split} + \end{align} + Wichtig dabei zu sehen ist, dass die Drehbewegungen durch die einzelnen Matrizen nacheinander ausgeführt werden. Das bedeutet, wenn man die Reihenfolge vertauscht, bekommt man eine völlig andere Drehung. Man kann die Auswirkungen der Reihenfolge gut bei einem Gimbal (REF zu BILD) sehen. Die Matrix ganz links ist die, welche als letztes Angewendet wird. Somit bildet sie die Drehung des äusseren Rings, welche auch die zwei inneren Ringe und das Objekt mitdreht. Die Matrix ganz rechts hingegen bildet nur die Drehung des inneren Rings, welche nur das Objekt selber dreht. Man kann dabei erkennen, dass vorgehen dabei sehr intuitiv ist, aber es kompliziert sein kann eine gewünschte Drehbewegung auszuführen, da sich beim Drehen der äusseren Achse, sich auch die Inneren drehen. Das bedeutet, wenn man sich eine Drehbewegung um die anfängliche x Achse mit $R_x(\alpha_2)$ wünscht, und vorher eine beliebige Drehung $R = R_z(\gamma_1) R_y(\beta_1) R_x(\alpha_1)$ ausgeführt hat, bekommt man nicht das richtige Ergebnis, da die anfängliche x-Achse durch die Drehmatrizen $R_z(\gamma_1)$ und $R_y(\beta_1)$ zu einer neuen, lokalen x-Achse wurde. + \item Andererseits mit den Quaternionen, welche die besondere Eigenschaft haben, dass eine Drehung immer um die globale Achsen ausgeführt wird, egal in welcher Rotationsposition sich das Objekt befindet. +\end{itemize} +Für Spielentwickler ist es darum meist sinnvoller Quaternionen für Drehbewegungen anzuwenden, als sich mit komplizierten Berechnungen mit Eulerschen Winkeln herumzuschlagen. +\subsection{Gimbal-Lock} +Ein weiterer Nachteil der Eulerschen Winkel ist das Gimbal-Lock. Es entsteht dann, wenn der äussere Ring Deckungsgleich über denn Inneren gedreht wird. Dabei verliert das Gimbal eine Drehrichtung, da der äussere und Innere Ring nun die gleiche Drehrichtung besitzen. Dies kann beispielsweise Probleme bei Spielen bei der Berechnung der Interpolation führen. Man hat das bei älteren Spielen dann gesehen, wenn plötzlich Gliedmassen bei den Spielermodellen in unnatürlichen Richtungen gesprungen sind. \subsection{Fazit} -andere Darstellungsweise. Besser für Verständnis => komplexe Zahlen erscheinen ähnlicher zu Quaternionen? Eine Sprache für alle Geometrische Probleme - - -\begin{tikzpicture} - \draw[thin,gray!40] (-3,-3) grid (3,3); - \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$x$}; - \draw[<->] (0,-3)--(0,3) node[above]{$y$}; - \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(1,1) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{u}$}; - \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(-1,-1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{-u}$}; -\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file +andere Darstellungsweise. Besser für Verständnis => komplexe Zahlen erscheinen ähnlicher zu Quaternionen? Eine Sprache für alle Geometrische Probleme
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex index d4942e0..1c6d590 100644 --- a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex +++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex @@ -3,31 +3,47 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Reflektion/ Spiegelung} -\rhead{Reflektion/ Spiegelung} -Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflektion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \\HIER BILD -\subsection{linearen Algebra} -Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Reflektion wie folgt beschreiben kann. -\begin{align} \label{RefLinAlg} - \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}} +\section{Reflexion/ Spiegelung} +\rhead{Reflexion/ Spiegelung} + +Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflexion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \\HIER BILD +\subsection{Linearen Algebra} +Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung wie folgt beschreiben kann. +\begin{definition} + Spiegelungsgleichung in der linearen Algebra + \begin{equation} \label{RefLinAlg} + \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}} + \end{equation} +\end{definition} + +$\mathbf{u}$ repräsentiert die Spiegelachse und $\mathbf{v_{\perp u}}$ senkrecht auf dieser Achse steht und den orthogonalen Anteil von $\mathbf{v}$ zu $\mathbf{u}$ bildet. Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann die Abbildung des Vektors auf den gespiegelten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des zu der Spiegelachse orthonormalen Vektors $\mathbf{\hat{n}}$ besteht. +\begin{align} + \mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}\quad \land \quad |\mathbf{\hat{n}}| = 1 \end{align} -Dabei stellt $\mathbf{u}$ die Spiegelachse dar. -Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Reflektionen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann die Abbildung des Vektors auf den Reflektierten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des zu der Spiegelachse orthonormalen Vektors $\mathbf{\hat{n}}$ besteht. -\\MATRIZEN O(2) und O(3) zeigen\\ -Diese Matrizen gehören der Matrizengruppe $O(n)$ an.... -\subsection{geometrischen Algebra} -Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel (\ref{RefLinAlg}) eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen einfach erweitert werden kann. -\begin{align} - \mathbf{v'} = \mathbf{uvu^{-1}} -\end{align} -wobei die Inverse eines Vektors so definiert ist, dass multipliziert mit sich selbst das neutrale Element 1 ergibt. -\begin{align} - u^{-1} = \dfrac{u}{|u|^2} \Rightarrow uu^{-1} = 1 +\begin{align} \label{Spiegelmatrizen} + Spiegelmatrizen... \end{align} +Diese Matrizen Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S\in \text{O}(n)$ an. Diese haben die Eigenschaft $S^t S = E$, was bedeutet, dass zweimal eine Spiegelung an der selben Achse keinen Effekt hat. +\subsection{Geometrische Algebra} +Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen einfach erweitert werden kann. +\begin{definition} + Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra + \begin{align}\label{RefGA} + \mathbf{v}' = \mathbf{uvu}^{-1} + \end{align} +\end{definition} + +Die Inverse eines Vektors ist dabei so definiert, dass multipliziert mit sich dem Vektor selbst das neutrale Element 1 ergibt. +\begin{definition} + Inverse eines Vektors + \begin{align} + \mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} \Rightarrow \mathbf{uu}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1 + \end{align} +\end{definition} + verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird somit die Formel reduziert zu einer beidseitigen Multiplikation von $\mathbf{\hat{u}}$. \begin{align} \mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}} \end{align} -Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. -Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. +Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, wie bei der Definition \eqref{Spiegelmatrizen} ersichtlich, durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. \\BEISPIEL?
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex index c2928bf..3ef5fbf 100644 --- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex +++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex @@ -5,96 +5,120 @@ % \section{Rotation} \rhead{Rotation} -Eine Rotation kann man aus zwei, aufeinanderfolgende Reflektionen bilden. Das war für mich zuerst eine verwirrende Aussage, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Reflektion schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Reflektion, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Reflektion invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt in 3D vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zwei mal invertiert wurde. + +Eine Rotation kann man aus zwei, aufeinanderfolgende Spiegelung bilden. Das war für mich zuerst eine verwirrende Aussage, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt im Dreidimensionalen vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde. \\BILD -\subsection{linearen Algebra} -In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $SO(n)$ beschrieben. Die SO(2) werden beispielsweise auf diese Weise gebildet. +\subsection{Linearen Algebra} +In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. Die $\text{SO}(2)$ werden beispielsweise auf diese Weise gebildet. \begin{align} D = \begin{pmatrix} - cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ - -sin(\alpha) & cos(\alpha) + \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ + -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{align} +Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Diese Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace det(D)=1$. Dadurch dass die $det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge raus. $det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet. +\\BILD Mengen Spezieller Matrizen von Herrn Müller Präsentation -\subsection{geometrischen Algebra} -Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Reflektionen gebildet werden kann, können wir die Rotation einfach herleiten. +\subsection{Geometrische Algebra} +Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Rotation mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten. \begin{align} \label{rotGA} - v'' = wv'w^{-1} = w(uvu^{-1})w^{-1} -\end{align} -Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese versuchen wir jetzt noch zu verbessern. Dazu leiten wir zuerst die bekannte Polarform her. (Anmerkung: Hier wird eine Rotation auf der $\mathbf{e_{12}}$ Ebene hergeleitet. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e_{ij}}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden) -\begin{align} - \mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_2\right] + \mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} \end{align} -Dabei können wir ausnützen, dass $e_1^2 = 1$ ist. Was nichts ändert wenn wir es einfügen. Zudem klammern wir dann $e_1$ aus. +Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese Formel versuchen wir jetzt noch durch Umstrukturierung zu verbessern. +\subsubsection{Polarform und Exponentialform} +Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform her. (Anmerkung: Hier wird eine Rotation auf der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene hergeleitet. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden). Dafür verwenden wir die Polarform des Vektors. \begin{align} - \mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_1e_1e_2\right] + \mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right) \end{align} -\begin{align} \label{e1ausklammern} - \mathbf{w} = |w|e_1\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) e_{12}\right] +Dabei können wir ausnützen, dass $\mathbf{e}_1^2 = 1$ ist. Was nichts ändert wenn wir es einfügen. Zudem klammern wir dann $\mathbf{e}_1$ aus. +\begin{align}\label{e1ausklammern} + \mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right) \end{align} -Durch die Reihenentwicklung ist es uns jetzt möglich den Term in eckigen Klammern mit der e-Funktion zu schreiben. \begin{align} - \mathbf{w} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right) \end{align} -Man kann es so interpretieren, dass der Einheitsvektor $e_1$ um die Länge w gestreckt und um $theta_w$ gedreht wird. -Nun werden wir den Effekt von zwei aneinandergereihten Vektoren $(wu)$ betrachten. +Durch die Reihenentwicklung der $\sin$ und $\cos$ Funktionen \begin{align} - \mathbf{wu} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}}||u||\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}} + \sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\ + cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots \end{align} -Um die beiden $\mathbf{e_1}$ zu kürzen, können wir die Reihenfolge des exponential Terms mit $\mathbf{e_1}$ wechseln, indem man bei der Gleichung (\ref{e1ausklammern}), anstatt mit $\mathbf{e_1e_1e_2}$ mit $\mathbf{e_2e_1e_1}$ erweitert. -\begin{align} - \mathbf{w} = |w|\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e_2e_1}\right]\mathbf{e_1} -\end{align} -Da $\mathbf{e_2e_1 = -e_{12}}$ können wir einfach den Winkel negieren. -Jetzt können wir wieder $e_1e_1 = 1$ kürzen. Die Längen können als Skalare beliebig verschoben werden und die exponential Terme zusammengefasst werden. +ist es uns leicht möglich die $\sin$ und $\cos$ Terme in die Exponentialfunktion umzuwandeln. Dabei verwenden wir zusätzlich noch unsere Erkenntnis, dass $\mathbf{e}_{12}^2=-1, \enspace\mathbf{e}_{12}^3=-\mathbf{e}_{12}, ...$ \begin{align} - \mathbf{wu} = |w||u|e^{-\theta_w \mathbf{e_{12}}}\mathbf{e_1}\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}} + \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots\\ + \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5-\cdots\\ \end{align} +Aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion folgt nun \begin{align} - \mathbf{wu} = |w||u|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e_{12}}} + &e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{n}}{n!}}={\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{0}}{0!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{1}}{1!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{2}}{2!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{3}}{3!}}+\cdots\\ + &\Rightarrow \mathbf{w} = |w|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = |w|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right) \end{align} -der Term $\mathbf{u^{-1}w^{-1}}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden. +Man kann es so interpretieren, dass der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht wird. +\subsubsection{Vektormultiplikation} +Nun werden wir den Effekt von zwei aneinandergereihten Vektoren $\mathbf{wu}$ betrachten. \begin{align} - \mathbf{u^{-1}w^{-1}} = \dfrac{1}{|w||u|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|u|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}} \end{align} -Dabei definieren wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$. Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung (\ref{rotGA}) ein. -\begin{align} - \mathbf{v''} = |w||u|e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v \dfrac{1}{|w||u|}e^{\theta \mathbf{e_{12}}} +Um die beiden $\mathbf{e}_1$ zu kürzen, können wir die Reihenfolge des Exponentialterms mit $\mathbf{e}_1$ wechseln, indem man bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern}, anstatt mit $\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ mit $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1$ erweitert. +\begin{align} + \mathbf{w} = |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1 \end{align} -HIER DEFINITION/IST WICHTIGE FORMEL +Da $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1 = -\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ können wir einfach den Winkel negieren und $e_1e_1 = 1$ kürzen. Die Längen können als Skalare beliebig verschoben werden und die Exponentialterme zusammengefasst werden. \begin{align} - \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v e^{\theta \mathbf{e_{12}}} -\end{align} -Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. -\begin{align} \label{RotAufPerpPar} - \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}} \end{align} \begin{align} - \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}} \end{align} -Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so vertauscht werden kann. Der Winkel wird dabei beim parallelen Term negiert. +der Term $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden. \begin{align} - \mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e_{12}}} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}} \end{align} +Dabei definieren wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$. +\subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung} +Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein. \begin{align} - \mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} + \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{v''} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} +\end{align} +\begin{satz} + Vereinfachte Drehungsgleichung in Exponentialschreibweise + \begin{align} + \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + \end{align} +\end{satz} + +Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. +\begin{align} \label{RotAufPerpPar} + \mathbf{v}'' = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \end{align} -Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. -\\BEISPIEL \begin{align} - \begin{split} - &\mathbf{v} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2}; \quad \mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e_3}\\ &\mathbf{wu} = 1e^{(-\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = 1[\cos(-\pi/2)\mathbf{e_1}+\sin(-\pi/2)\mathbf{e_2}] = -\mathbf{e_2}; \\ &\mathbf{u^{-1}w^{-1}} = 1e^{(\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = \mathbf{e_2} - \end{split} + \mathbf{v}'' = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \end{align} +Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so vertauscht werden kann. Der Winkel wird dabei beim parallelen Term negiert. \begin{align} - \begin{split} - \mathbf{v''} = &\mathbf{(wu)v(u^{-1}w^{-1})} \\ - &-\mathbf{e_2} (1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}) \mathbf{e_2} \\ - & -1\mathbf{e_2e_1e_2} - 2\mathbf{e_2e_2e_2} - 3\mathbf{e_2e_3e_2} \\ - & 1\mathbf{e_2e_2e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_2e_2e_3} \\ - & 1\mathbf{e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3} - \end{split} + \mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \end{align} +\begin{align} + \mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} + \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e}_{12}} +\end{align} +Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. +\begin{beispiel} + \begin{align} + \begin{split} + \mathbf{v} &= 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 \quad \mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3\\ + \mathbf{wu} &= 1e^{(-\pi/2) \mathbf{e}_{12}} = 1[\cos(-\pi/2)\mathbf{e}_1+\sin(-\pi/2)\mathbf{e}_2] = -\mathbf{e}_2 \\ + \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= 1e^{(\pi/2) \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{e}_2 + \end{split} + \end{align} + \begin{align} + \begin{split} + \mathbf{v}'' = &(\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) \\ + &-\mathbf{e}_2 (1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3) \mathbf{e}_2 \\ + & -1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 - 2\mathbf{e}_2\mathbf{e}_2\mathbf{e}_2 - 3\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3\mathbf{e}_2 \\ + & 1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1 - 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_2\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 \\ + & 1\mathbf{e}_1 - 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3 + \end{split} + \end{align} +\end{beispiel} Man sieht, dass sich der Vektor $\mathbf{v_\parallel}$ sich um $2\cdot90^\circ$ gedreht hat und der Vektor $\mathbf{v_\perp}$ unverändert blieb.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex index 4dbab2c..120828b 100644 --- a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex +++ b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex @@ -3,26 +3,25 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{komplexe Zahlen} -\rhead{komplexe Zahlen} -Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nachdem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist Komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbb{G}_2^+ \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grade 0) und einem Bivektor (Grade 2) dargestellt werden. Als Abkürzung nehme ich die Bezeichnung $g_n \in \mathbb{G}_2^+$. +\section{Komplexe Zahlen} +\rhead{Komplexe Zahlen} + +Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nachdem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grad 0) und einem Bivektor (Grad 2) dargestellt werden. Als Abkürzung nehme ich die Bezeichnung $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R})$. \begin{align} - a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 e_{12} = g_n;\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R} + a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R} \end{align} oder in Polarform. \begin{align} - |r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta e_{12}} = g_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R} + |r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R} \end{align} -Man beachte, dass wenn wir, wie bei den komplexen Zahlen, Elemente von $\mathbb{G}_2^+$ miteinander Multiplizieren, ist es nicht, wie im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{rotGA})beschrieben, eine Multiplikation von zwei $g_n$ mit einem Vektor. Im 2 dimensionalen bewirken beide Multiplikationen grundsätzlich das Gleiche (eine Drehstreckung), aber die Multiplikation von mehreren $g_n$ ist kommutativ, wie wir es von den komplexen zahlen kennen. +Man beachte, dass wenn wir, wie bei den komplexen Zahlen, Elemente von $G_2^+(\mathbb{R})$ miteinander Multiplizieren, ist es nicht, wie im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{rotGA})beschrieben, eine Multiplikation von zwei $g_n$ mit einem Vektor. Im zweidimensionalen bewirken beide Multiplikationen grundsätzlich das Gleiche (eine Drehstreckung), aber die Multiplikation von mehreren $g_n$ ist kommutativ, wie wir es von den komplexen Zahlen kennen. \begin{align} - \begin{split} - &(a + b \mathbf{e_{12}})(c + d \mathbf{e_{12}}) = (c + d \mathbf{e_{12}})(a + b \mathbf{e_{12}})\\ - &(a + b \mathbf{e_{12}})(x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2})(c + d \mathbf{e_{12}}) \not= (a + b \mathbf{e_{12}})(c + d \mathbf{e_{12}})(x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2}) - \end{split} + \mathbf{g}_1\mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_2\mathbf{g}_1 \quad&\Leftrightarrow\quad (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12}) = (f + g \mathbf{e}_{12})(a + b \mathbf{e}_{12})\\ + \mathbf{g}_1\mathbf{v}\mathbf{g}_2\not= \mathbf{g}_2\mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad&\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(f + g \mathbf{e}_{12}) \not= (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2) \end{align} Um später die Auswirkung der Quaternionen besser zu verstehen, möchte ich kurz darauf eingehen, was ein $g_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat. -Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=c+dj$ multipliziert wird, dann kann man diese so aufteilen. +Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=f+gj$ multipliziert wird, dann kann man diese so aufteilen. \begin{align} - c = (a + bj)(c + dj) = c\cdot(a+bj) + dj\cdot(a+bj) + c = c_1\cdot c_2 = (a + bj)(d + ej) = f\cdot(a+bj) + gj\cdot(a+bj) \end{align} -Wobei $c\cdot(a+bj)$ die jetzige komplexe Zahl $c_1$ um den Faktor $c$ steckt und $dj\cdot(a+bj)$ die um 90° im gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_1$ um den Faktor $d$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben, dann den um $c_2$ drehgestreckten Vektor $c_1$. Die wirklichen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen. +Dabei ist $f\cdot(a+bj)$ die jetzige komplexe Zahl $c_1$ um den Faktor $f$ steckt und $gj\cdot(a+bj)$ die um 90° im Gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_2$ um den Faktor $g$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben, dann den um $c_2$ dreh-gestreckten Vektor $c_1$. Die wirklichen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen.
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