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diff --git a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex index 8433572..f673aa4 100644 --- a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex +++ b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex @@ -136,14 +136,14 @@ definiert, kann man neue Objekte mit zum Teil bekannten, zum Teil aber auch ungewohnten algebraischen Eigenschaften bekommen. Die Matrizen der Form \[ -A_a +aI = \begin{pmatrix} a&0\\0&a \end{pmatrix}, \quad a\in\mathbb{Q} \] zum Beispiel erfüllen alle Regeln für das Rechnen mit rationalen Zahlen. -$\mathbb{Q}$ kann man also als Teilmenge des neuen Systems ansehen. +$\mathbb{Q}$ kann man also als Teilmenge des neuen ``Zahlensystems'' ansehen. Aber die Matrix \[ J @@ -158,7 +158,7 @@ J^2 = = \begin{pmatrix} -1&0\\0&-1\end{pmatrix} = --E = -A_1. +-I. \] Das neue Objekt $J$ ist ein explizit konstruiertes Objekt, welches genau die rechnerischen Eigenschaften der imaginären Einheit $i$ hat. @@ -169,11 +169,11 @@ Zum Beispiel erfüllt die Matrix \[ W=\begin{pmatrix} 0&2\\1&0 \end{pmatrix} \qquad\text{die Gleichung}\qquad -W^2 = \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix} = A_2, +W^2 = \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix} = 2I, \] die Menge der Matrizen \[ -\mathbb{Q}(\sqrt{2}) +\mathbb{Q}(\!\sqrt{2}) = \left\{\left. \begin{pmatrix} a&2b\\ b&a\end{pmatrix} @@ -182,7 +182,7 @@ a,b\in\mathbb{Q} \right\} \] verhält sich daher genau so wie die Menge der rationalen Zahlen, denen -man ein ``imaginäres'' neues Objekt $\sqrt{2}$ hinzugefügt hat. +man ein ``imaginäres'' neues Objekt $\!\sqrt{2}$ hinzugefügt hat. Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich ein algebraisches Systeme mit fast beliebigen Eigenschaften konstruieren lässt. diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile index 664dff5..2c94e8a 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile @@ -3,7 +3,7 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: ideale.pdf gausszahlen.pdf strukturen.pdf +all: ideale.pdf gausszahlen.pdf strukturen.pdf rref.pdf ideale.pdf: ideale.tex pdflatex ideale.tex @@ -13,3 +13,6 @@ gausszahlen.pdf: gausszahlen.tex strukturen.pdf: strukturen.tex pdflatex strukturen.tex + +rref.pdf: rref.tex + pdflatex rref.tex diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.pdf b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..56fbfee --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.pdf diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.tex new file mode 100644 index 0000000..9b2bf50 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.tex @@ -0,0 +1,253 @@ +% +% rref.tex -- Visualisierung des Gauss-Algorithmus +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{0.21} +\def\r{0.4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\pivot#1#2{ + \fill[color=red!20] ({#1-0.5},{-#2+0.5}) circle[radius=\r]; + \draw[color=red] ({#1-0.5},{-#2+0.5}) circle[radius=\r]; +} + +\def\spalteoben#1#2#3{ + \fill[color=blue!20] ({(#1)-0.5+\r},{-(#3)}) + -- ({(#1)-0.5+\r},{-(#2)+0.5}) arc (0:180:\r) + -- ({(#1)-0.5-\r},{-(#3)}) -- cycle; + \draw[color=blue] ({(#1)-0.5+\r},{-(#3)}) + -- ({(#1)-0.5+\r},{-(#2)+0.5}) arc (0:180:\r) + -- ({(#1)-0.5-\r},{-(#3)}); +} + +\def\spalteunten#1#2#3{ + \fill[color=blue!20] ({(#1)-0.5-\r},{-(#2)+1}) + -- ({(#1)-0.5-\r},{-(#3)+0.5}) arc (-180:0:\r) + -- ({(#1)-0.5+\r},{-(#2)+1}); + \draw[color=blue] ({(#1)-0.5-\r},{-(#2)+1}) + -- ({(#1)-0.5-\r},{-(#3)+0.5}) arc (-180:0:\r) + -- ({(#1)-0.5+\r},{-(#2)+1}); +} + +\def\fuellung{ + \fill[color=gray!50] (0,0) rectangle (8,-6); +} +\def\rahmen{ + \draw (0,0) rectangle (8,-6); + \draw (7,0) -- (7,-6); +} + +\def\eins#1#2{ + \fill[color=gray] ({#1-1},{-#2}) rectangle ({#1},{-#2+1}); +} + +\def\null#1#2#3{ + \fill[color=white] ({#1-1-0.01},{-#3-0.01}) + rectangle ({#1+0.01},{-#2+1+0.01}); +} + +\fill[color=darkgreen!20] (-1.0,-10.81) rectangle (67.0,5); +\fill[color=orange!20] (-1.0,-27) rectangle (67.0,-11.94); + +\node at (33,2) [above] {Vorwärtsreduktion}; +\node at (33,-24) [below] {Rückwärtseinsetzen}; + +\draw[->] (9,-3.375)--(11,-3.375); +\draw[->] (21,-3.375)--(23,-3.375); +\draw[->] (33,-3.375)--(35,-3.375); +\draw[->] (45,-3.375)--(47,-3.375); + +\draw[->] (57,-3.375) .. controls (62,-3.375) .. (62,-7.5); +\draw[->] (62,-15.375) .. controls (62,-19.375) .. (57,-19.375); + +\draw[<-] (9,-19.375)--(11,-19.375); +\draw[<-] (21,-19.375)--(23,-19.375); +\draw[<-] (33,-19.375)--(35,-19.375); +\draw[<-] (45,-19.375)--(47,-19.375); + +\begin{scope}[xshift=-0.5cm,scale=1.125] +\fuellung +\pivot{1}{1} +\spalteoben{1}{2}{6} +\rahmen +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=11.5cm,scale=1.125] +\fuellung +\eins{1}{1} +\null{1}{2}{6} +\pivot{2}{2} +\spalteoben{2}{3}{6} +\rahmen +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=23.54cm,scale=1.125] +\fuellung +\eins{1}{1} +\null{1}{2}{6} +\eins{2}{2} +\null{2}{3}{6} +\pivot{3}{3} +\spalteoben{3}{4}{6} +\rahmen +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=35.5cm,scale=1.125] +\fuellung +\eins{1}{1} +\null{1}{2}{6} +\eins{2}{2} +\null{2}{3}{6} +\eins{3}{3} +\null{3}{4}{6} +\null{4}{4}{6} +\pivot{5}{4} +\spalteoben{5}{5}{6} +\rahmen +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=47.5cm,scale=1.125] +\fuellung +\eins{1}{1} +\null{1}{2}{6} +\eins{2}{2} +\null{2}{3}{6} +\eins{3}{3} +\null{3}{4}{6} +\eins{5}{4} +\null{5}{5}{6} +\null{6}{5}{6} +\pivot{7}{5} +\spalteoben{7}{6}{6} +\rahmen +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=57.5cm,yshift=-8cm,scale=1.125] +\fuellung +\eins{1}{1} +\null{1}{2}{6} +\eins{2}{2} +\null{2}{3}{6} +\eins{3}{3} +\null{3}{4}{6} +\null{4}{4}{6} +\eins{5}{4} +\null{5}{5}{6} +\null{6}{5}{6} +\eins{7}{5} +\null{7}{6}{6} +\rahmen +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=47.5cm,yshift=-16cm,scale=1.125] +\fuellung +\eins{1}{1} +\null{1}{2}{6} +\eins{2}{2} +\null{2}{3}{6} +\eins{3}{3} +\null{3}{4}{6} +\null{4}{4}{6} +\eins{5}{4} +\null{5}{5}{6} +\null{6}{5}{6} +\eins{7}{5} +\null{7}{6}{6} +\spalteunten{7}{1}{4} +\rahmen +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=35.5cm,yshift=-16cm,scale=1.125] +\fuellung +\eins{1}{1} +\null{1}{2}{6} +\eins{2}{2} +\null{2}{3}{6} +\eins{3}{3} +\null{3}{4}{6} +\null{4}{4}{6} +\eins{5}{4} +\null{5}{5}{6} +\null{6}{5}{6} +\eins{7}{5} +\null{7}{6}{6} +\null{7}{1}{4} +\spalteunten{5}{1}{3} +\rahmen +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=23.5cm,yshift=-16cm,scale=1.125] +\fuellung +\eins{1}{1} +\null{1}{2}{6} +\eins{2}{2} +\null{2}{3}{6} +\eins{3}{3} +\null{3}{4}{6} +\null{4}{4}{6} +\eins{5}{4} +\null{5}{5}{6} +\null{6}{5}{6} +\eins{7}{5} +\null{7}{6}{6} +\null{7}{1}{4} +\null{5}{1}{3} +\spalteunten{3}{1}{2} +\rahmen +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=11.5cm,yshift=-16cm,scale=1.125] +\fuellung +\eins{1}{1} +\null{1}{2}{6} +\eins{2}{2} +\null{2}{3}{6} +\eins{3}{3} +\null{3}{4}{6} +\null{4}{4}{6} +\eins{5}{4} +\null{5}{5}{6} +\null{6}{5}{6} +\eins{7}{5} +\null{7}{6}{6} +\null{7}{1}{4} +\null{5}{1}{3} +\null{3}{1}{2} +\spalteunten{2}{1}{1} +\rahmen +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=-0.5cm,yshift=-16cm,scale=1.125] +\fuellung +\eins{1}{1} +\null{1}{2}{6} +\eins{2}{2} +\null{2}{3}{6} +\eins{3}{3} +\null{3}{4}{6} +\null{4}{4}{6} +\eins{5}{4} +\null{5}{5}{6} +\null{6}{5}{6} +\eins{7}{5} +\null{7}{6}{6} +\null{7}{1}{4} +\null{5}{1}{3} +\null{3}{1}{2} +\null{2}{1}{1} +\rahmen +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index e868463..1311ded 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -450,10 +450,10 @@ besagt also, dass das Element $c_{ij}$ entsteht als das Produkt der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$. \subsubsection{Einheitsmatrix} -Welche $m\times m$-Matrix $E\in M_{m}(\Bbbk)$ hat die Eigenschaft, dass -$EA=A$ für jede beliebige Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$. -Wir bezeichnen die Koeffizienten von $E$ mit $\delta_{ij}$. -Die Bedingung $EA=A$ bedeutet +Welche $m\times m$-Matrix $I\in M_{m}(\Bbbk)$ hat die Eigenschaft, dass +$IA=A$ für jede beliebige Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$. +Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{ij}$. +Die Bedingung $IA=A$ bedeutet \[ a_{ij} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj}, \] @@ -473,15 +473,15 @@ Die Zahlen $\delta_{ij}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder {\em Kronecker-Delta}. \index{Kronecker-$\delta$}% \index{Kronecker-Symbol}% -Die Matrix $E$ hat die Einträge $\delta_{ij}$ und heisst die +Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{ij}$ und heisst die {\em Einheitsmatrix} \index{Einheitsmatrix}% \[ -E +I = \begin{pmatrix} 1 &0 &\dots &0 \\ -0 &1 &\dots &0 \\ +0 &1 &\dots &0 \\[-2pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 &0 &\dots &1 \end{pmatrix}. @@ -504,13 +504,14 @@ Mit Hilfe der Vektorform eines linearen Gleichungssystems wurde gezeigt, dass die Lösung genau dann eindeutig ist, wenn die Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix linear unabhängig sind. Dies bedeutet, dass das Gleichungssystem -\[ +\begin{equation} \begin{linsys}{3} a_{11}x_1 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& 0 \\ \vdots & & \ddots& & \vdots & & \vdots \\ a_{m1}x_1 &+& \dots &+& a_{mn}x_n &=& 0 \end{linsys} -\] +\label{buch:grundlagen:eqn:homogenessystem} +\end{equation} eine nichttriviale Lösung haben muss. Das Gleichungssystem $Ax=b$ ist also genau dann eindeutig lösbar, wenn das homogene Gleichungssystem $Ax=0$ nur die Nulllösung hat. @@ -531,7 +532,235 @@ eindeutig, wenn das zugehörige homogene Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung hat. \subsubsection{Gauss-Algorithmus} - +Der Gauss-Algorithmus oder genauer Gausssche Eliminations-Algorithmus +löst ein lineare Gleichungssystem der +Form~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}. +Die Koeffizienten werden dazu in das Tableau +\[ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +a_{11}&\dots &a_{1n}&b_1 \\[-2pt] +\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +a_{m1}&\dots &a_{mn}&b_m \\ +\hline +\end{tabular} +\] +geschrieben. +Die vertikale Linie erinnert an die Position des Gleichheitszeichens. +Es beinhaltet alle Informationen zur Durchführung des Algorithmus. +Der Algorithmus is so gestaltet, dass er nicht mehr Speicher als +das Tableau benötigt, alle Schritte operieren direkt auf den Daten +des Tableaus. + +In jedem Schritt des Algorithmus wird zunächst eine Zeile $i$ und +Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{ij}$ heisst das Pivotelement. +\index{Pivotelement}% +Die {\em Pivotdivision} +\[ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1 \\[-2pt] +\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{ij}}&\dots &a_{in}&b_i \\[-2pt] +\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m \\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1 \\[-2pt] +\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{ij}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{ij}}}\\[-2pt] +\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m \\ +\hline +\end{tabular} +\] +stellt sicher, dass das Pivot-Element zu $1$ wird. +\index{Pivotdivision} +Dies ist gleichbedeutend mit der Auflösung der Gleichung $i$ noch der +Variablen $x_j$. +Mit der {\em Zeilensubtraktion} auf Zeile $k\ne i$ können die Einträge in der +Spalte $j$ zu Null gemacht werden. +Dazu wird das $a_{kj}$-fache der Zeile $i$ von Zeile $k$ subtrahiert: +\[ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +a_{i1}&\dots &{\color{red}1}&\dots &a_{in}&b_i \\[-2pt] +\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +a_{k1}&\dots &a_{kj}&\dots &a_{kn}&b_m \\[-2pt] +\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +a_{i1}&\dots &{\color{red}1}&\dots &a_{in}&b_i \\[-2pt] +\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +{\color{blue}a_{k1}-a_{kj}a_{i1}}&\dots &{\color{blue}0}&\dots &{\color{blue}a_{kn}-a_{kj}a_{in}}&{\color{blue}b_m-a_{kj}b_{n}}\\[-2pt] +\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +\hline +\end{tabular} +\] +Typischerweise werden nach jeder Pivotdivision mehrer Zeilensubtraktionen +durchgeführt um alle anderen Elemente der Pivotspalte ausser dem +Pivotelement zu $0$ zu machen. +Beide Operationen können in einem Durchgang durchgeführt werden. + +Die beiden Operationen Pivotdivision und Zeilensubtraktion werden jetzt +kombiniert um im linken Teil des Tableaus möglichst viele Nullen und +Einsen zu erzeugen. +Im Idealfall wird ein Tableau der Form +\[ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 0&\dots & 0&u_1 \\ + 0& 1&\dots & 0&u_2 \\[-2pt] +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ + 0& 0&\dots & 1&u_m \\ +\hline +\end{tabular} +\] +erreicht, was natürlich nur $m=n$ möglich ist. +Interpretiert man die Zeilen dieses Tableaus wieder als Gleichungen, +dann liefert die Zeile $i$ den Wert $x_i=u_i$ für die Variable $i$. +Die Lösung kann also in der Spalte rechts abgelesen werden. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.pdf} +\caption{Zweckmässiger Ablauf der Berechnung des Gauss-Algorithmus. +Falls in einer Spalte kein weiteres von $0$ verschiedenes Pivotelement +zur Verfügung steht, wird die Zeile übersprungen. +Weisse Felder enthalten $0$, dunkelgraue $1$. +Die roten Kreise bezeichnen Pivot-Elemente, die blauen Felder +die mit einer Zeilensubtraktion zu $0$ gemacht werden sollen. +\label{buch:grundlagen:fig:gaussalgorithmus}} +\end{figure} +Die effizienteste Strategie für die Verwendung der beiden Operationen +ist in Abbildung~\ref{buch:grundlagen:fig:gaussalgorithmus} dargestellt. +In der Phase der {\em Vorwärtsreduktion} werden Pivotelemente von links +nach rechts möglichst auf der Diagonale gewählt und mit Zeilensubtraktionen +die darunterliegenden Spalten freigeräumt. +\index{Vorwärtsreduktion}% +Während des Rückwärtseinsetzens werden die gleichen Pivotelemente von +rechts nach links genutzt, um mit Zeilensubtraktionen auch die +Spalten über den Pivotelemnten frei zu räumen. +\index{Rückwärtseinsetzen}% +Wenn in einer Spalte kein von $0$ verschiedenes Element als Pivotelement +zur Verfügung steht, wird diese Spalte übersprungen. +Die so erzeuge Tableau-Form heisst auch die {\em reduzierte Zeilenstufenform} +({\em reduced row echelon form}, RREF). +\index{reduzierte Zeilenstufenform}% +\index{reduced row echelon form}% + +Da der Ablauf des Gauss-Algorithmus vollständig von den Koeffizienten der +Matrix $A$ bestimmt ist, kann er gleichzeitig für mehrere Spalten auf der +rechten Seite oder ganz ohne rechte Seite durchgeführt werden. + +\subsubsection{Lösungsmenge} +\index{Lösungsmenge}% +Die Spalten, in denen im Laufe des Gauss-Algorithmus kein Pivotelement +gefunden werden kann, gehören zu Variablen, nach denen sich das +Gleichungssystem nicht auflösen lässt. +Diese Variablen sind daher nicht bestimmt, sie können beliebig gewählt +werden. +Alle anderen Variablen sind durch diese frei wählbaren Variablen +bestimmt. + +Für ein Gleichungssystem $Ax=b$ mit Schlusstableau +\index{Schlusstableau}% +\begin{equation} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline + x_1& x_2&\dots &x_{j_i-1}&{\color{darkgreen}x_{j_1}}&x_{j_1+1}&\dots &x_{j_2-1}&{\color{darkgreen}x_{j_2}}&\dots&{\color{darkgreen}x_{j_k}}& \\ +\hline + 1& 0&\dots & 0&c_{1j_1} & 0&\dots & 0&c_{1j_2} &\dots &c_{1j_k} &d_1 \\ + 0& 1&\dots & 0&c_{2j_1} & 0&\dots & 0&c_{2j_2} &\dots &c_{1j_k} &d_2 \\[-2pt] +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots &\vdots &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots &\ddots&\vdots &\vdots \\ + 0& 0&\dots & 1&c_{i_1,j_1}& 0&\dots & 0&c_{i_1,j_2} &\dots &c_{i_1j_k} &d_{i_1} \\ + 0& 0&\dots & 0& 0& 1&\dots & 0&c_{i_1+1,j_2}&\dots &c_{i_1+1,j_k}&d_{i_1+1}\\[-2pt] +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots &\vdots &\vdots&\vdots&\vdots&\vdots &\ddots&\vdots &\vdots \\ + 0& 0&\dots & 0& 0& 0&\dots & 1&c_{i_2,j_2} &\dots &c_{i_2j_k} &d_{i_2} \\ + 0& 0&\dots & 0& 0& 0&\dots & 0& 0&\dots &c_{i_2+1,j_k}&d_{i_2+1}\\[-2pt] +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots &\vdots &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots &\ddots&\vdots &\vdots \\ + 0& 0&\dots & 0& 0& 0&\dots & 0& 0&\dots &c_{mj_k} &d_{m} \\ +\hline +\end{tabular} +\end{equation} +mit den $k$ frei wählbaren Variablen +$x_{j_1}, x_{j_2},\dots, x_{j_k}$ kann die Lösungsmenge als +\[ +\mathbb{L} += +\left\{ +\left. +\begin{pmatrix} +d_1\\ +d_2\\ +\vdots\\ +d_{i_1}\\ +d_{i_1+1}\\ +\vdots\\ +d_{i_2}\\ +d_{i_2+1}\\ +\vdots\\ +d_{m} +\end{pmatrix} ++ +{\color{darkgreen}x_{j_1}} +\begin{pmatrix} +-c_{1j_1}\\ +-c_{2j_1}\\ +\vdots\\ +-c_{i_1,j_1}\\ +1\\ +\vdots\\ +0\\ +0\\ +\vdots\\ +0\\ +\end{pmatrix} ++ +{\color{darkgreen}x_{j_1}} +\begin{pmatrix} +-c_{1j_2}\\ +-c_{2j_2}\\ +\vdots\\ +-c_{j_1,j_2}\\ +-c_{j_1+1,j_2}\\ +\vdots\\ +-c_{i_2,j_2}\\ +1\\ +\vdots\\ +0\\ +\end{pmatrix} ++ +\dots ++ +{\color{darkgreen}x_{j_k}} +\begin{pmatrix} +-c_{1j_k}\\ +-c_{2j_k}\\ +\vdots\\ +-c_{j_1,j_k}\\ +-c_{j_1+1,j_k}\\ +\vdots\\ +-c_{i_2,j_k}\\ +-c_{i_2+1,j_k}\\ +\vdots\\ +-c_{m,j_k}\\ +\end{pmatrix} +\; +\right| +{\color{darkgreen}x_{i_1}},{\color{darkgreen}x_{i_2}},\dots,{\color{darkgreen}x_{i_k}}\in\Bbbk +\right\} +\] +geschrieben werden. +Insbesondere ist die Lösungsmenge $k$-dimensional. \subsubsection{Inverse Matrix} Zu jeder quadratischen Matrix $A\in M_n(\Bbbk)$ kann man versuchen, die @@ -541,7 +770,7 @@ Ac_1 = e_1,\quad Ac_2 = e_2, \dots, Ac_n = e_n \] mit den Standardbasisvektoren $e_i$ als rechten Seiten zu lösen, wobei die $c_i$ Vektoren in $\Bbbk^n$ sind. -Diese Vektoren kann man mit Hilfe des Gaussalgorithmus finden: +Diese Vektoren kann man mit Hilfe des Gauss-Algorithmus finden: \[ \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} \hline @@ -590,14 +819,14 @@ die zu $A$ {\em inverse Matrix}. \index{inverse Matrix} Sie wird auch $C=A^{-1}$ geschrieben. -Die Definition der inversen Matrix stellt sicher, dass $AA^{-1}=E$ gilt, -daraus folgt aber noch nicht, dass auch $A^{-1}A=E$ ist. +Die Definition der inversen Matrix stellt sicher, dass $AA^{-1}=I$ gilt, +daraus folgt aber noch nicht, dass auch $A^{-1}A=I$ ist. Diese Eigenschaft kann man jedoch wie folgt erhalten. -Sei $C$ die inverse Matrix von $A$, also $AC=E$. -Sei weiter $D$ die inverse Matrix von $C$, also $CD=E$. -Dann ist zunächst $A=AE=A(CD)=(AC)D=ED=D$ und weiter -$CA=CD=E$. -Mit der Bezeichnung $C=A^{-1}$ erhalten wir also auch $A^{-1}A=E$. +Sei $C$ die inverse Matrix von $A$, also $AC=I$. +Sei weiter $D$ die inverse Matrix von $C$, also $CD=I$. +Dann ist zunächst $A=AE=A(CD)=(AC)D=ID=D$ und weiter +$CA=CD=I$. +Mit der Bezeichnung $C=A^{-1}$ erhalten wir also auch $A^{-1}A=I$. Die Eigenschaften der Matrizenmultiplikation stellen sicher, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Struktur bilden, @@ -605,7 +834,7 @@ die man Gruppe nennt, die in Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} genauer untersucht wird. In diesem Zusammenhang wird dann auf Seite~\pageref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln} -die Eigenschaft $A^{-1}A=E$ ganz allgemein gezeigt. +die Eigenschaft $A^{-1}A=I$ ganz allgemein gezeigt. \subsubsection{Determinante} @@ -874,5 +1103,32 @@ Das Bild der Matrix $A$ ist der Unterraum \] von $\Bbbk^m$, aufgespannt von den Spaltenvektoren $a_i$ von $A$. +\subsubsection{Rang und Defekt} +Die Dimensionen von Bild und Kern sind wichtige Kennzahlen einer Matrix. +\begin{definition} +Sei $A$ eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$. +Der {\em Rang} der Matrix $A$ ist die Dimension des Bildraumes von $A$: +$\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{im} A$. +\index{Rang einer Matrix}% +Der {\em Defekt} der Matrix $A$ ist die Dimension des Kernes von $A$: +$\operatorname{def}A=\dim\ker A$. +\index{Defekt einer Matrix}% +\end{definition} + +Da der Kern mit Hilfe des Gauss-Algorithmus bestimmt werden kann, +können Rang und Defekt aus dem Schlusstableau +eines homogenen Gleichungssystems mit $A$ als Koeffizientenmatrix +abgelesen werden. + +\begin{satz} +Ist $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ eine $m\times n$-Matrix, +dann gilt +\[ +\operatorname{rank}A += +n-\operatorname{def}A. +\] +\end{satz} + \subsubsection{Quotient} TODO |