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diff --git a/vorlesungen/09_mseliegruppen/slides.tex b/vorlesungen/09_mseliegruppen/slides.tex index 1ae259f..0fb6adc 100644 --- a/vorlesungen/09_mseliegruppen/slides.tex +++ b/vorlesungen/09_mseliegruppen/slides.tex @@ -16,13 +16,19 @@ \folie{7/semi.tex} % Zusammenhangskomponenten +\folie{7/zusammenhang.tex} -% XXX Hopf-Faserung für SO(2) -> SU(2) -> SO(3) +% XXX Hopf-Faserung für SO(2) -> SU(2)=S^3 -> S^2 +\folie{7/quaternionen.tex} +\folie{7/qdreh.tex} +\folie{7/ueberlagerung.tex} +\folie{7/hopf.tex} % curled up dimensions in String theory \section{Haar-Mass} +\folie{7/haar.tex} % Definition Haar-Mass % Mittelung % diff --git a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc index 3e99415..7512612 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc @@ -19,5 +19,10 @@ chapter5 = \ ../slides/7/kommutator.tex \ ../slides/7/dg.tex \ ../slides/7/zusammenhang.tex \ + ../slides/7/quaternionen.tex \ + ../slides/7/qdreh.tex \ + ../slides/7/ueberlagerung.tex \ + ../slides/7/hopf.tex \ + ../slides/7/haar.tex \ ../slides/7/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex index 7f9f72a..1c78ccc 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex @@ -18,3 +18,8 @@ \folie{7/kommutator.tex} \folie{7/dg.tex} \folie{7/zusammenhang.tex} +\folie{7/quaternionen.tex} +\folie{7/qdreh.tex} +\folie{7/ueberlagerung.tex} +\folie{7/hopf.tex} +\folie{7/haar.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/7/haar.tex b/vorlesungen/slides/7/haar.tex new file mode 100644 index 0000000..454dd69 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/haar.tex @@ -0,0 +1,84 @@ +% +% haar.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Haar-Mass} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Invariantes Mass} +Auf jeder lokalkompakten Gruppe $G$ gibt es ein \only<2->{invariantes }% +Integral +\begin{align*} +\uncover<2->{\text{rechts:}}&& +\int_G f(g)\,d\mu(g) +&\uncover<2->{= +\int_G f(gh)\,d\mu(g)} +\\ +\uncover<3->{ +\text{links:}&& +\int_G f(g)\,d\mu(g) +&= +\int_G f(hg)\,d\mu(g)} +\end{align*} + +\end{block} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Modulus-Funktion} +$\mu$ linksinvariant, dann ist die Rechtsverschiebung ebenfalls +linksinvariant +\[ +\int_G f(gh) \, d\mu(g) +\uncover<8->{ += +\int_G f(g) \Delta(h)\, d\mu(g) +} +\] +\uncover<9->{$\Delta(h)$ heisst Modulus-Funktion} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Beispiel: $G=\mathbb{R}$} +\[ +\int_Gf(g)\,d\mu(g) += +\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Beispiel: $\operatorname{SO}(2)$} +\[ +\int_{\operatorname{SO}(2)} +f(g)\,d\mu(g) += +\frac{1}{2\pi} +\int_{0}^{2\pi} f(D_{\alpha})\,d\alpha +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Beispiel: $G$ endlich} +\[ +\int_G f(g)\,d\mu(g) = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}f(g) +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<10->{% +\begin{block}{Unimodular} +$\Delta(h)=1$ heisst rechtsinvariant = linksinvariant +\\ +\uncover<11->{% +$G$ kompakt $\Rightarrow$ unimodular +} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/7/hopf.tex b/vorlesungen/slides/7/hopf.tex new file mode 100644 index 0000000..a90737f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/hopf.tex @@ -0,0 +1,69 @@ +% +% hopf.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Orbit-Räume} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Aktion von $\operatorname{SO}(3)$ auf $S^2$} +\begin{align*} +S^2 &= \{x\in\mathbb{R}^3\;|\; |x|=1\} +\\ +\operatorname{SO}(3) \times S^2 &\to S^2: (g, x) \mapsto gx +\end{align*} +\uncover<2->{% +Allgemein: Aktion von $G$ auf $X$ +\begin{align*} +\text{links:}&& +G\times X \to X &: (g,x) \mapsto gx +\\ +\text{rechts:}&& +X\times G \to X &: (x,g) \mapsto xg +\end{align*}} +\end{block} +\vspace{-10pt} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Stabilisator} +Zu $x\in X$ gibt es eine Untergruppe +\begin{align*} +G_x = \{g\in G\;|\; gx=x\}, +\end{align*} +der {\em Stabilisator} von $x$. + +\uncover<4->{% +Der Stabilisator von $v\in S^2$ ist die Gruppe der Drehungen um +die Achse $v$} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Quotient} +$G$ operiert von rechts auf $X$ +\[ +X/G = \{ xG \;|\; x\in X\} +\] +heisst Quotient +\end{block}} +\uncover<6->{ +\begin{block}{$\operatorname{SO}(3)/\operatorname{SO}(2)$} +Wähle $\operatorname{SO}(2)$ als Drehungen um die $z$-Achse: +\[ +\operatorname{SO}(3) \to S^2 +: +g \mapsto \text{letzte Spalte von $g$} +\] +\uncover<7->{Daher +\[ +S^2 \cong \operatorname{SO}(3) / \operatorname{SO}(2) +\]} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/7/qdreh.tex b/vorlesungen/slides/7/qdreh.tex new file mode 100644 index 0000000..8ed512a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/qdreh.tex @@ -0,0 +1,110 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Drehungen mit Quaternionen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Drehung?} +Abbildung von $\vec{x}$ mit $\operatorname{Re}\vec{x}=0$: +\[ +\varrho_{q} +\colon +\vec{x}\mapsto q\vec{x}q^{-1} = q\vec{x}\overline{q} +\] +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Achse} +\begin{align*} +\varrho_q(q) +&= +qq\overline{q} +\uncover<3->{= +q(qq^{-1})} +\uncover<4->{= +q} +\end{align*} +\end{block}} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Norm} +\begin{align*} +|\varrho_q(\vec{x})|^2 +&= +q\vec{x}\overline{q}\overline{(q\vec{x}\overline{q})} +\uncover<5->{= +q\vec{x}\overline{q}\overline{\overline{q}}\overline{\vec{x}}\overline{q} +} +\\ +&\uncover<6->{= +q\vec{x}(\overline{q}q)\overline{\vec{x}}\overline{q}} +\uncover<7->{= +q(\vec{x}\overline{\vec{x}})\overline{q}} +\uncover<8->{= +q\overline{q}|\vec{x}|^2} +\\ +&\uncover<9->{= +|\vec{x}|^2} +\end{align*} +\uncover<10->{% +$\Rightarrow$ $\varrho_q\in\operatorname{O}(3)$} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Drehung!} +$\vec{a},\vec{b},\vec{n}$ bilden ein on.~Rechtssystem +\begin{align*} +\uncover<12->{ +qa +&= +c\vec{a}+s\vec{n}\times \vec{a}} +\uncover<13->{= +c\vec{a} + s\vec{b}} +\\ +\uncover<14->{ +q\vec{a}\overline{q} +&= +(c\vec{a}+s\vec{b}) c +-(c\vec{a}+s\vec{b})\times s\vec{n}} +\\ +&\uncover<15->{= +c^2 \vec{a}+ sc\vec{b} ++sc\vec{b} - s^2 \vec{a}} +\\ +&\uncover<16->{= +\vec{a} \cos\alpha +\vec{b} \sin\alpha } +\end{align*} +\vspace{-5pt} +\uncover<17->{wegen +%\vspace{-5pt} +\[ +\begin{aligned} +\cos\alpha &= \cos^2\frac{\alpha}2 - \sin^2\frac{\alpha}2 &&=c^2-s^2 +\\ +\sin\alpha &= 2\cos\frac{\alpha}2\sin\frac{\alpha}2&&=2cs +\end{aligned}\]} +\end{block}} +\vspace{-18pt} +\uncover<18->{% +\begin{block}{Matrix} +\[ +D += +\tiny +\begin{pmatrix} +1-2(q_2^2+q_3^2)&-2q_0q_3+2q_1q_2&-2q_0q_2+2q_1q_3\\ + 2q_0q_3+2q_1q_2&1-2(q_1^2+q_3^2)&-2q_0q_1+2q_2q_3\\ +-2q_0q_2+2q_1q_3& 2q_0q_1+2q_2q_3&1-2(q_1^2+q_2^2) +\end{pmatrix} +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/7/quaternionen.tex b/vorlesungen/slides/7/quaternionen.tex new file mode 100644 index 0000000..f526366 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/quaternionen.tex @@ -0,0 +1,74 @@ +% +% quaternionen.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Quaternionen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Quaternionen} +$4$-dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum +\[ +\mathbb{H} += +\langle 1,i,j,k\rangle_{\mathbb{R}} +\] +mit Rechenregeln +\[ +i^2=j^2=k^2=ijk=-1 +\] +$x=x_0+x_1i+x_2j+x_3k\in\mathbb{H}$ +\begin{itemize} +\item<2-> Realteil: $\operatorname{Re}x=x_0$ +\item<3-> Vektorteil: $\operatorname{Im}x=x_1i+x_2j+x_3k$ +\item<4-> Konjugation: $\overline{x}=\operatorname{Re}x-\operatorname{Im}x$ +\item<5-> Norm: $|x|^2 = x\overline{x} = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2$ +\item<6-> Inverse: $x^{1}= \overline{x}/x\overline{x}$ +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.50\textwidth} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Skalarprodukt und Vektorprodukt} +\begin{align*} +pq +&= +\operatorname{Re}p \operatorname{Re}q +- +\operatorname{Im}p\cdot \operatorname{Im}q +\\ +&\phantom{=} ++ +\operatorname{Re}p\operatorname{Im}q ++ +\operatorname{Im}p\operatorname{Re}q ++ +\operatorname{Im}p\times\operatorname{Im}q +\end{align*} +\end{block}} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Einheitsquaternionen} +$q\in \mathbb{H}$, $|q|=1, q^{-1}=\overline{q}$ +\end{block}} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Polardarstellung} +\[ +q = \cos\frac{\alpha}2 + \vec{n} \sin\frac{\alpha}2 +\] +\vspace{-8pt} +\begin{itemize} +\item<10-> +Drehmatrix: 9 Parameter, 6 Bedingungen +\item<11-> +Quaternionen: 4 Parameter, 1 Bedingung +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/7/ueberlagerung.tex b/vorlesungen/slides/7/ueberlagerung.tex new file mode 100644 index 0000000..426641a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/ueberlagerung.tex @@ -0,0 +1,98 @@ +% +% ueberlagerung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{$S^3$, $\operatorname{SU}(2)$ und $\operatorname{SO}(3)$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.38\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Überlagerung} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\coordinate (A) at (0,0); +\coordinate (B) at (2,0); +\coordinate (C) at (2,-2); +\coordinate (D) at (0,-2); + +\uncover<7->{ +\node at (A) {$\{\pm 1\}\mathstrut$}; +} +\uncover<6->{ +\node at (B) {$S^3\mathstrut$}; +\node at ($(B)+(0.1,0)$) [right] {$=\operatorname{SU}(2)\mathstrut$}; +} +\uncover<7->{ +\node at (C) {$\operatorname{SO}(3)\mathstrut$}; +\node at (D) {$\{I\}\mathstrut$}; +} + +\uncover<7->{ +\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.5cm] (A) -- (B); +\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (A) -- (D); +\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm] (B) -- (C); +\draw[->,shorten >= 0.6cm,shorten <= 0.3cm] (D) -- (C); +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\begin{itemize} +\item<7-> +$\pm q\in S^3$ $\Rightarrow$ $\varrho_{q}=\varrho_{-q}$ +\item<8-> +In der Nähe von $I$ sehen die Gruppen +$\operatorname{SO}(3)$ +und +$\operatorname{SU}(2)$ +``gleich'' aus +\item<9-> +$\operatorname{SU}(2)$ ist geometrisch ``einfacher'' +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.58\textwidth} +\begin{block}{Pauli-Matrizen} +Quaternionen als $2\times 2$-Matrizen schreiben +\begin{align*} +1&=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\sigma_0, +& +i&=\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}=-i\sigma_1 +\\ +j&=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=-i\sigma_2, +& +k&=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}=-i\sigma_3 +\end{align*} +\uncover<2->{% +erfüllen $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$.} +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{$S^3 = \operatorname{SU}(2)$} +\[ +a+bi+cj+dk += +\begin{pmatrix} +a+id&-c+bi\\ +c+ib&a-id +\end{pmatrix} += +A +\] +\begin{align*} +\uncover<4->{ +\det A &= a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 +} +\\ +\uncover<5->{ +A^* &= a - ib - jc - kd +} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 0c13de0..17c8a28 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,5 +3,9 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % - -\folie{7/zusammenhang.tex} +\folie{7/mannigfaltigkeit.tex} +\folie{7/haar.tex} +\folie{7/quaternionen.tex} +\folie{7/qdreh.tex} +\folie{7/ueberlagerung.tex} +\folie{7/hopf.tex} |