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diff --git a/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc index 3a55274..ca6da41 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/3/Makefile.inc @@ -22,5 +22,6 @@ chapter3 = \ ../slides/3/drehfaktorisierung.tex \ ../slides/3/operatoren.tex \ ../slides/3/adjunktion.tex \ + ../slides/3/adjalgebra.tex \ ../slides/3/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/3/adjalgebra.tex b/vorlesungen/slides/3/adjalgebra.tex new file mode 100644 index 0000000..e65b621 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/3/adjalgebra.tex @@ -0,0 +1,43 @@ +% +% adjalgebra.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Adjunktion einer Nullstelle, abstrakt} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +Sei $m(X)=m_0+m_1X+\dots + X^n\in \Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynom. + +\uncover<2->{% +\begin{block}{Existenz} +Es gibt ein ``Objekt'' $\alpha$ mit +\( +m(\alpha) = 0 +\) +\end{block}} + +\uncover<3->{% +\begin{block}{Körpererweiterung} +Der kleinste Körper, der $\Bbbk$ und $\alpha$ enthält ist +\[ +\Bbbk(\alpha) += +\left +\{ p(\alpha) +\;\left|\; +\begin{minipage}{8cm}\raggedright +$p\in\Bbbk[X]$ ein Polynom vom Grad +$\deg p<\deg m$ +\end{minipage} +\right. +\right\} +\] +\uncover<4->{Das Polynom $m$ definiert, wie mit $\alpha$ gerechnet werden +muss: +\[ +\alpha^n = -m_0-m_1\alpha-m_2\alpha^2 - \dots - m_{n-1}\alpha^{n-1} +\]} +\end{block}} + +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex b/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex index 3b55ab0..a974a76 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/adjunktion.tex @@ -8,9 +8,12 @@ \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} Sei $m(X)=m_0+m_1X+\dots + X^n\in \Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynom. +\uncover<2->{% \[ X^n = -m_{n-1}X^{n-1} - \dots - m_1X - m_0 \] +}% +\uncover<3->{% Nullstelle $W$ als Operator betrachten: \[ W = \begin{pmatrix} @@ -21,10 +24,12 @@ W = \begin{pmatrix} \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \vdots\\ 0& 0& 0&\dots & 1&-m_{n-1} \end{pmatrix} -\] +\]} +\uncover<4->{% Man kann nachrechnen, dass immer $m(W)=0$. +} \medskip -$\Rightarrow \Bbbk(W) = \{p(W)\;|\;p\in\Bbbk[X], \deg p<\deg m\}$ -ist ein Körper, in dem $m(X)$ faktorisiert werden kann $m(X) = (X-W)q(X)$. +\uncover<5->{$\Rightarrow \Bbbk(W) = \{p(W)\;|\;p\in\Bbbk[X], \deg p<\deg m\}$ +ist ein Körper, in dem $m(X)$ faktorisiert werden kann $m(X) = (X-W)q(X)$.} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/chapter.tex b/vorlesungen/slides/3/chapter.tex index e63002c..2663bec 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/chapter.tex @@ -20,3 +20,4 @@ \folie{3/drehfaktorisierung.tex} \folie{3/operatoren.tex} \folie{3/adjunktion.tex} +\folie{3/adjalgebra.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex b/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex index b44ca35..569f6e5 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/drehfaktorisierung.tex @@ -9,7 +9,8 @@ \frametitle{Faktorisierung von $X^2+X+1$} \vspace{-3pt} $X^2+X+1$ kann faktorisiert werden, wenn man $i\sqrt{3}$ -hinzufügt +hinzufügt: +\uncover<2->{% \[ \biggl(X+\frac12+\frac{i\sqrt{3}}2\biggr) \biggl(X+\frac12-\frac{i\sqrt{3}}2\biggr) @@ -17,54 +18,58 @@ hinzufügt X^2+X+\frac14 + \frac34 -= -X^2+X+1 -\] +\uncover<3->{= +X^2+X+1} +\]} \vspace{-10pt} +\uncover<4->{% \begin{block}{Was ist $i\sqrt{3}$?} Matrix mit Minimalpolynom $X^2+3$: \[ W=\begin{pmatrix}0&-3\\1&0\end{pmatrix} +\uncover<5->{% \qquad\Rightarrow\qquad -W^2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} = -3I +W^2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} = -3I} +\uncover<6->{% \qquad\Rightarrow\qquad -W^2+3I=0 +W^2+3I=0} \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-10pt} +\uncover<7->{% \begin{block}{Faktorisierung von $X^2+X+1$} \vspace{-10pt} \begin{align*} -B_\pm +\uncover<8->{B_\pm &= --\frac12I\pm\frac12W +-\frac12I\pm\frac12W} & -&\Rightarrow +&\uncover<10->{\Rightarrow & -(X+B_+)(X+B-) -&= +(X+B_+)(X+B-)} +&\uncover<11->{= (X+\frac12I+\frac12W) -(X+\frac12I-\frac12W) +(X+\frac12I-\frac12W)} \\ -&= +&\uncover<9->{= \smash{ {\textstyle\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac32\\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}} -} +}} & & & -&= -X^2+X + \frac14I - \frac14W^2 +&\uncover<12->{= +X^2+X + \frac14I - \frac14W^2} \\ & & &%\Rightarrow & -&= -X^2+X + \frac14I + \frac34I -= -X^2+X+I +&\uncover<13->{= +X^2+X + \frac14I + \frac34I} +\uncover<14->{= +X^2+X+I} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex b/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex index bed0628..9e5eb65 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/drehmatrix.tex @@ -5,19 +5,23 @@ % \begin{frame}[t] \frametitle{Analyse einer Drehung um $120^\circ$} -$D$ eine Drehung um $120^\circ$ +$D$ eine Drehung des $\mathbb{R}^3$ um $120^\circ$ \begin{enumerate} -\item +\item<2-> Drehwinkel = $120^\circ\quad\Rightarrow\quad D^3 = I$ -\item +\uncover<3->{ +$\quad\Rightarrow\quad \chi_D(X)=X^3-1$ +} +\item<4-> $m_D(X)=X^3-1$ -\item +\item<5-> $m_D$ ist nicht irreduzibel, weil $m_D(1)=0$: $ m_D(X) = (X-1)(X^2+X+1) $ -\item -Welche Matrix hat $X^2+X+1$ als Minimalpolynom +\item<6-> +Welche Matrix hat $X^2+X+1$ als Minimalpolynom? +\uncover<7->{% \[ \arraycolsep=1.4pt W @@ -43,20 +47,20 @@ W^2+W+I 1&0\\0&1 \end{array}\biggr) =0 -\] -\item In einer geeigneten Basis hat $D$ die Form +\]} +\item<8-> In einer geeigneten Basis hat $D$ die Form \[ D=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&-\frac12 & -\frac{\sqrt{3}}2 \\ 0&\frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12 \end{pmatrix} -= +\uncover<9->{= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos 120^\circ & -\sin 120^\circ\\ 0&\sin 120^\circ & \cos 120^\circ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}} \] \end{enumerate} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex b/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex index 936100d..7f54abb 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/einsetzen.tex @@ -9,41 +9,45 @@ \[ \begin{array}{rcrcrcrcrcrcr} p(X)&=&a_nX^n&+&a_{n-1}X^{n-1}&+&\dots&+&a_2X^2&+&a_1X&+&a_0\phantom{I}\\ -\bigg\downarrow\hspace*{4pt} & & -\bigg\downarrow\hspace*{4pt} & & -\bigg\downarrow\hspace*{10pt} & & & & -\bigg\downarrow\hspace*{4pt} & & -\bigg\downarrow\hspace*{2pt} & & -\bigg\downarrow\hspace*{0pt} \\ -p(A)&=&a_nA^n&+&a_{n-1}A^{n-1}&+&\dots&+&a_2A^2&+&a_1A&+&a_0 I +\uncover<2->{\bigg\downarrow\hspace*{4pt}} & & +\uncover<3->{\bigg\downarrow\hspace*{4pt}} & & +\uncover<4->{\bigg\downarrow\hspace*{10pt}} & & & & +\uncover<5->{\bigg\downarrow\hspace*{4pt}} & & +\uncover<6->{\bigg\downarrow\hspace*{2pt}} & & +\uncover<7->{\bigg\downarrow\hspace*{0pt}} \\ +\uncover<2->{p(A)}&\uncover<3->{=&a_nA^n}&\uncover<4->{+&a_{n-1}A^{n-1}}&\uncover<5->{+&\dots&+&a_2A^2}&\uncover<6->{+&a_1A}&\uncover<7->{+&a_0 I} \end{array} \] \vspace{-10pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% \begin{block}{Nilpotente Matrizen} $p(X) = (X-a)^n$ \[ -p(A) = 0 +\uncover<9->{p(A) = 0} +\uncover<10->{ \quad\Rightarrow\quad -\text{$A$ ist nilpotent} +\text{$A-aI$ ist nilpotent}} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<11->{% \begin{block}{Eigenwerte} $p(X) = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)$,\\ $A$ eine $2\times 2$-Matrix \[ -p(A)=0\quad\Rightarrow\quad +\uncover<12->{p(A)=0} +\uncover<13->{\quad\Rightarrow\quad \left\{ \begin{aligned} &\text{$A-\lambda_1I$ ist singulär}\\ &\text{$A-\lambda_2I$ ist singulär} \end{aligned} -\right. +\right.} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} diff --git a/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex b/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex index cbf7004..b4ea1d5 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/faktorisierung.tex @@ -11,32 +11,37 @@ Eine Zahl $p\in\mathbb{Z}$, $p>1$ heisst Primzahl, wenn sie nicht als Produkt $p=ab$ mit $a,b\in\mathbb{Z},a>1, b>1$ geschrieben werden kann. \begin{align*} -p&=7 +\uncover<2->{p&=7} \\ -2021 &= 43 \cdot 47 +\uncover<3->{2021 &= 43 \cdot 47} \\ -4095667&=2021\cdot 2027 +\uncover<4->{2048 &= 2^{11}} \\ -p&=43, 47, 1291, 2017, 2027 +\uncover<5->{4095667&=2021\cdot 2027} +\\ +\uncover<6->{p&=43, 47, 1291, 2017, 2027} \end{align*} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<7->{% \begin{block}{Irreduzible Polynome in $\mathbb{Q}[X]$} Ein Polynome $p\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg p>0$ wenn es nicht als Produkt $p=ab$ mit $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg a>0$, $\deg b>0$ geschrieben werden kann. \begin{align*} -p&=X-9 +\uncover<8->{p&=X-9} \\ -X^2-1&= (X+1)(X-1) +\uncover<9->{X^2-1&= (X+1)(X-1)} \\ -X^2-2&\text{\; irreduzibel} +\uncover<10->{X^2-2&\text{\; irreduzibel}} \\ -X^2-2&=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2}) +\uncover<11->{X^2-2&=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})} \end{align*} +\uncover<12->{% aber: $X\pm\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}[X]$ -\end{block} +} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex b/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex index 0e5a95b..eb44cf3 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/faktorzerlegung.tex @@ -17,6 +17,7 @@ z = p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdot\dots\cdot p_k^{n_k} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{in $\mathbb{Q}[X]$} Jedes Polynom $p\in\mathbb{Q}[X]$ kann eindeutig faktorisiert werden in irreduzible, normierte Polynome @@ -32,27 +33,30 @@ p_2^{n_2} \cdot p_k^{n_k} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} -\begin{block}{Polynomfaktorisierung hängt von den Koeffizienten ab} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Polynomfaktorisierung hängt vom Koeffizientenring ab} Ist $X^2-2$ irreduzibel? \vspace{-5pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{in $\mathbb{Q}[X]$} \[ X^2-2\quad\text{ist irreduzibel} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% \begin{block}{in $\mathbb{R}[X]$} \[ X^2-2 = (X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2}) \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} -\end{block} +\end{block}} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex index 3d7e1a4..d33ddc0 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/maximalergrad.tex @@ -13,55 +13,60 @@ Der Ring $M_{n}(\Bbbk)$ ist ein $n^2$-dimensionaler Vektorraum mit Basis {\tiny \begin{align*} -&\begin{pmatrix} +&\uncover<2->{\begin{pmatrix} 1&0&\dots&0\\ 0&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}} & -&\begin{pmatrix} +&\uncover<3->{\begin{pmatrix} 0&1&\dots&0\\ 0&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}} & -&\dots +&\uncover<4->{\dots} & -&\begin{pmatrix} +&\uncover<5->{\begin{pmatrix} 0&0&\dots&1\\ 0&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}} \\ -&\begin{pmatrix} +&\uncover<6->{\begin{pmatrix} 0&0&\dots&0\\ 1&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}} & -&\begin{pmatrix} +&\uncover<7->{\begin{pmatrix} 0&0&\dots&0\\ 0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}} & -&\dots +&\uncover<8->{\dots} & -&\begin{pmatrix} +&\uncover<9->{\begin{pmatrix} 0&0&\dots&0\\ 0&0&\dots&1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}} \end{align*}} \end{block} \vspace{-10pt} +\uncover<10->{% \begin{block}{Potenzen von $A$} Die $n^2+1$ Matrizen $I,A,A^2,\dots,A^{n^2-1},A^{n^2}$ müssen linear abhängig sein: \[ +\uncover<11->{ a_0I+a_1A+a_2A^2+\dots+a_{n^2-1}A^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2} = 0 +} \] -d.~h.~$p(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+\dots +a_{n^2-1}X^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2}\in\Bbbk[X]$ ist ein Polynom mit $p(A)=0$. -\end{block} +\uncover<12->{d.~h.~$p(X) = a_0+a_1X+a_2X^2+\dots +a_{n^2-1}X^{n^2-1}+a_{n^2}A^{n^2}\in\Bbbk[X]$ ist ein Polynom mit $p(A)=0$.} +\end{block}} +\uncover<13->{% $\Rightarrow$ $A$ über die Eigenschaften (Faktorisierung) von $p$ studieren +} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex index 03909de..f94cf8d 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/minimalbeispiel.tex @@ -12,12 +12,13 @@ \[ I ={\tiny\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}},\quad A ={\tiny\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}},\quad -A^2={\tiny\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}},\quad -A^3={\tiny\begin{pmatrix} 19 & 10 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}},\quad -A^4={\tiny\begin{pmatrix} 47 & 18 \\ -9 & 2 \end{pmatrix}} +\uncover<2->{A^2={\tiny\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}} +\uncover<3->{,\quad A^3={\tiny\begin{pmatrix} 19 & 10 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}}} +\uncover<4->{,\quad A^4={\tiny\begin{pmatrix} 47 & 18 \\ -9 & 2 \end{pmatrix}}} \] \end{block} \vspace{-5pt} +\uncover<5->{% \begin{block}{linear abhängig} Bereits die ersten $3$ sind linear abhängig: \[ @@ -29,6 +30,7 @@ Bereits die ersten $3$ sind linear abhängig: = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] -$p(X) = X^2 - X - 4 \in \mathbb{Q}[X]$ hat die Eigenschaft $p(A)=0$ -\end{block} +\uncover<6->{$p(X) = X^2 - X - 4 \in \mathbb{Q}[X]$ hat die Eigenschaft +$p(A)=0$} +\end{block}} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex b/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex index 60d15f0..2b36a65 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/minimalpolynom.tex @@ -10,18 +10,21 @@ Zu jeder $n\times n$-Matrix $A$ gibt es ein Polynom $m_A(X)\in\Bbbk[X]$ minimalen Grades $\deg m_A\le n^2$ derart, dass $m_A(A)=0$. \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Strategie} Das Minimalpolynom ist eine ``Invariante'' der Matrix $A$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<3->{% \begin{block}{Satz von Cayley-Hamilton} Für jede $n\times n$-Matrix $A\in M_n(\Bbbk)$ gilt $\chi_A(A)=0$ +\uncover<4->{% \[ \Downarrow \] Das Minimalpolynom $m_A\in \Bbbk[X]$ ist ein Teiler -des charakteristischen Polynoms $\chi_A\in \Bbbk[X]$ +des charakteristischen Polynoms $\chi_A\in \Bbbk[X]$} \\ -$\Rightarrow $ -Faktorzerlegung on $\chi_A(X)$ ermitteln! -\end{block} +\uncover<5->{$\Rightarrow $ +Faktorzerlegung on $\chi_A(X)$ ermitteln!} +\end{block}} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex b/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex index 161c330..d646353 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/operatoren.tex @@ -9,40 +9,43 @@ \begin{column}{0.38\textwidth} \begin{block}{Polynome} $a(X)=a_0+a_1X+\dots+a_nX^n$ +\uncover<2->{% \[ a(X) = \begin{pmatrix} a_0\\a_1\\a_2\\a_3\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} -\] +\]} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.58\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Multiplikation mit $X$} \strut \[ \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix} -\mapsto +\uncover<4->{\overset{\cdot X}{\mapsto} \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0\\\vdots\\0 -\end{pmatrix} -\mapsto +\end{pmatrix}} +\uncover<5->{\overset{\cdot X}{\mapsto} \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0\\\vdots\\0 -\end{pmatrix} -\mapsto +\end{pmatrix}} +\uncover<6->{\overset{\cdot X}{\mapsto} \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1\\\vdots\\0 -\end{pmatrix} -\mapsto\dots\mapsto +\end{pmatrix}} +\uncover<7->{\overset{\cdot X}{\mapsto}\dots} +\uncover<8->{\overset{\cdot X}{\mapsto} \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0\\\vdots\\1 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex b/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex index 25e4fa6..a5ea9b9 100644 --- a/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex +++ b/vorlesungen/slides/3/teilbarkeit.tex @@ -9,29 +9,32 @@ \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Teilen in $\mathbb{Z}$} -Zu zwei Zahlen $a,b\in \mathbb{Z}$, $a>b$ gibt es -immer genau ein Paar $q,r\in\mathbb{Z}$ derart, dass +Zu zwei Zahlen $a,b\in \mathbb{Z}$, \only<3->{{\color<3-4>{red}$a>b$}, }gibt es +immer \only<3->{{\color<3-4>{red}genau}} ein Paar $q,r\in\mathbb{Z}$ derart, dass \begin{align*} a&=bq+r \\ -r&< b +\uncover<3->{{\color<3-4>{red}r}&{\color<3-4>{red}< b}} \end{align*} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Teilen in $\mathbb{Q}[X]$} -Zu zwei Polynomen $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg a > \deg b$ +Zu zwei Polynomen $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, \only<4->{{\color<4>{red}$\deg a > \deg b$},} gibt es -immer genau ein Paar $q,r\in\mathbb{Q}[X]$ derart, dass +immer \only<4->{{\color<4>{red}bis auf eine Einheit genau }}% +ein Paar $q,r\in\mathbb{Q}[X]$ derart, dass \begin{align*} a&=bq+r \\ -\deg r&< \deg b +\uncover<4->{{\color<4>{red}\deg r}&{\color<4>{red}< \deg b}} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} -\begin{block}{Allgmein: euklidischer Ring} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Allgemein: euklidischer Ring} Nullteilerfreier Ring $R$ mit einer Funktion $d\colon R\setminus{0}\to\mathbb{N}$ mit \begin{itemize} @@ -40,5 +43,5 @@ $d\colon R\setminus{0}\to\mathbb{N}$ mit $x=qy +r$ mit $d(y)>d(r)$ \end{itemize} Euklidische Ringe haben ähnliche Eigenschaften wie Polynomringe -\end{block} +\end{block}} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 3c0348f..01c4ed9 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -21,6 +21,7 @@ \folie{3/drehfaktorisierung.tex} \folie{3/operatoren.tex} \folie{3/adjunktion.tex} +\folie{3/adjalgebra.tex} % XXX \folie{3/adjunktioni.tex} % XXX \folie{3/adjunktionsqrt2.tex} % XXX \folie{3/adjunktionphi.tex} |