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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex index 922afd9..a124442 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex @@ -24,26 +24,28 @@ Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem \[ \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c} \] -erreicht werden sofern \(\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}\) sind. -Sind die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. +erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind. +Sind die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben, +ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. \subsection{Translationssymmetrie} Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren. -Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. -Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter \( G \) ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation +Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, +da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. +Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation \[ - \vec{Q}(G) = G + \vec{a}, -\] -wobei der Vektor \(\vec{a}\) ein Grundvektor sein muss. -Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) erlaubt sind oder kurz, um \(\vec{r}\). -Verschiebungen um \(\vec{r}\) bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. + Q_i(G) = G + \vec{a}_i +\] wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss. +Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, +können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination +der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. +Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, +solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien} Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet. - Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, können nur Rotationssymmetrische Kristalle bestimmter Rotationswinkel erzeugt werden. - - % Suggestion from Muller: - % dass nur ganz bestimmt Drehwinkel \"uberhaupt m\"oglich sind. + Was nicht direkt ersichtlich ist, ist dass auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, + sind nur rotationssymmetrische Kristalle ganz bestimmter Rotationswinkel möglich. \begin{figure} \centering @@ -54,8 +56,8 @@ Verschiebungen um \(\vec{r}\) bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir \label{fig:punktgruppen:rot-geometry} \end{figure} - \subsubsection{Translationssymmetrie \(\vec{Q}\) in Kombination mit Rotationssymmetrie \(C_\alpha\)} % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen - In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge. + \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$} % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen + In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge. \begin{itemize} \item \(A\) ist unser erster Gitterpunkt. @@ -107,12 +109,21 @@ ein. \end{figure} \subsection{Kristallklassen} -Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind\footnote{Alle 17 möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt}. -Mit weiteren ähnlichen \"Uberlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten punktsymmetrisch sein können. -Diese 32 möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet. -Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nach dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich mit der Klassifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat. +Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind. +Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum +nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische +\footnote{Werden translationssymmetrien auch mit gezählt beschreibt man die 230 Raumgruppen} +Symmetriegruppen bilden können. +Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet. +Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nach dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, +welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat. Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet. -Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelte Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. +Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. + + +\subsubsection{Schönflies Notation} +TODO + %% vim:spell spelllang=de showbreak=.. breakindent linebreak: diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still.pdf Binary files differdeleted file mode 100644 index 02aa67c..0000000 --- a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still.pdf +++ /dev/null diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal.pdf Binary files differdeleted file mode 100644 index 0514fb6..0000000 --- a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal.pdf +++ /dev/null diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical.pdf Binary files differdeleted file mode 100644 index 486eab4..0000000 --- a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical.pdf +++ /dev/null diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-still.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-still.pdf Binary files differdeleted file mode 100644 index c306143..0000000 --- a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-still.pdf +++ /dev/null diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf Binary files differindex 002c0f8..13f7330 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf +++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf Binary files differindex 37a8ccf..6565be5 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf +++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..63da7a9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms.pdf diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf Binary files differindex 19142ad..ca6192b 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf +++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf Binary files differindex 03fb004..c9369b2 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf +++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf Binary files differindex 4684af7..0b3ba54 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf +++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf diff --git a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex index 2e15442..d2e4644 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex @@ -1,13 +1,26 @@ \section{Einleitung} Es gibt viele Möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren. -Auch wen man nur die mathematischen Betrachtungsweisen berücksichtigt, hat man noch viel zu viele Optionen, sich mit Kristallen zu beschäftigen. +Auch wen man nur die mathematischen Betrachtungsweisen berücksichtigt, +hat man noch viel zu viele Optionen sich mit Kristallen zu beschäftigen. In diesem Kapitel wird daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt. -Zu Beginn werden wir zeigen was eine Symmetrie ausmacht und dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen. -Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet, um die Grundeigenschaften eines Kristalls zu beschreiben. -Mit etwas kniffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen was in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht. -Die Einschränkungen sind durchaus willkommen, dank ihnen halten sich die möglichen Kristallgitter in Grenzen und lassen sich kategorisieren. -Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblick nützlich, sondern man kann aus ihnen auch auf physikalische Eigenschaften schliessen. Als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität. -Die Piezoelektrizität ist vielleicht noch nicht jedem bekannt, sie versteckt sich aber in diversen Alltagsgegenständen zum Beispiel sorgen sie in den meisten Feuerzeugen für die Zündung. -Ein Funken Interesse ist hoffentlich geweckt um sich mit dem scheinbar trivialen Thema der Symmetrie auseinander zu setzten. +Zu Beginn werden wir zeigen was eine Symmetrie ausmacht und +dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen. +Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet, +um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu beschreiben. +Mit etwas kniffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen, +was in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht. +Die Einschränkungen sind durchaus willkommen, +dank ihnen halten sich die möglichen Kristallgitter in Grenzen +und lassen sich kategorisieren.%umformulieren +Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblick nützlich, +sondern kann man aus ihnen auch auf Physikalische Eigenschaften schliessen. +Als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität. +Die Piezoelektrizität ist vielleicht noch nicht jedem bekannt, +sie versteckt sich aber in diversen Altagsgegenständen +zum Beispiel sorgen sie in den meisten Feuerzeugen für die Zündung. +Ein Funken Interesse ist hoffentlich geweckt +um sich mit dem scheinbar trivialen Thema der Symmetrie auseinander zu setzten. + + %% vim:linebreak breakindent showbreak=.. spell spelllang=de: |