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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index ac2b85d..10b5a7e 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -837,7 +837,178 @@ Seite~\pageref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln} die Eigenschaft $A^{-1}A=I$ ganz allgemein gezeigt. \subsubsection{Determinante} -XXX TODO +Ein Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen und $n$ Unbekannten ist genau +dann lösbar, wenn sich der Gauss-Algorithmus bis zum Ende durchführen lässt. +Das ist gleichbedeutend damit, dass keines der Pivot-Elemente verschwindet. +Das Produkt der Pivot-Elemente ist also eine aus der Koeffizientenmatrix +$A$ berechnete Kennzahl, die zu entscheiden erlaubt, ob ein Gleichungssystem +lösbar ist. + +\begin{definition} +\label{buch:linear:determinate:def} +Das Produkt der Pivot-Elemente bei der Durchführung des Gauss-Algorithmus +für eine Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix $A$ +heisst die Determinante $\det(A)$ der Matrix $A$. +\end{definition} + +Aus den Regeln für die Durchführung des Gauss-Algorithmus kann man die +folgenden Regeln für die Determinante ableiten. +Wir stellen die Eigenschaften hier nur zusammen, detaillierte Herleitungen +kann man in jedem Kurs zur linearen Algebra finden, zum Beispiel im +Kapitel~2 des Skripts \cite{buch:linalg}. +\begin{enumerate} +\item +\label{buch:linear:determinante:einheitsmatrix} +Die Determinante der Einheitsmatrix ist $\det(I)=1$. +\item +Sind zwei Zeilen einer Matrix gleich, dann tritt beim Gauss-Algorithmus +eine Nullzweile auf, die Matrix kann also nicht regulär sein und die +Determinante ist $0$. +\item +\label{buch:linear:determinante:vorzeichen} +Vertauscht man zwei Zeilen einer Matrix, dann kehrt das Vorzeichen der +Determinante. +\item +Addiert man ein Vielfaches einer Zeile der Matrix zu einer anderen Zeile, +dann ändert der Wert der Determinante nicht. +\item +Wird eine Zeile der Matrix mit einer Zahl $\lambda$ multipliziert, dann +wird auch der Wert der Determinanten mit $\lambda$ multipliziert. +\item +\label{buch:linear:determinante:asymetrisch} +Die Determinante ist eine lineare Funktion der Zeilen von $A$. +Zusammen mit der Eigeschaft~\ref{buch:linear:determinante:vorzeichen} +folgt, dass die Determinante eine antisymmetrische lineare Funktion +der Zeilen ist. +\item +Die Determinante ist durch die Eigenschaften +\ref{buch:linear:determinante:einheitsmatrix} +und +\ref{buch:linear:determinante:asymetrisch} +eindeutig bestimmt. +\item +Der Entwicklungssatz von Laplace. +\index{Entwicklungssatz Laplace}% +Die Determinante der $n\times n$-Matrix $A$ kann mit der Formel +\begin{equation} +\det(A) += +\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(A_{ij}) +\end{equation} +wobei die $(n-1)\times(n-1)$-Matrix $A_{ij}$ die Matrix $A$ ist, aus der +man Zeile $i$ und Spalte $j$ entfernt hat. +$A_{ij}$ heisst ein {\em Minor} der Matrix $A$. +\index{Minor einer Matrix}% +\end{enumerate} + +Die bekannte Formel $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$ +ist ein Spezialfall des Entwicklungssatzes von Laplace. +Auch für $3\times 3$-Matrizen ist eine übersichtliche Form möglich, +die als die Sarrus-Formel bekannt ist. +\index{Sarrus-Formel}% + +\begin{satz}[Sarrus] +\label{buch:linear:determinate:sarrus} +Die Determinante einer $3\times 3$-Matrix ist +\[ +\left|\begin{matrix} +a&b&c\\ +d&e&f\\ +g&h&i +\end{matrix}\right| += +aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh. +\] +\end{satz} + +\subsubsection{Die Regel von Cramer} +Die Determinanten ermöglicht auch, eine Formel für die Lösung eines +Gleichungssystems zu geben. +Dies ist bekannt als die {\em Regel von Cramer}. + +\begin{satz} +\label{buch:linear:determinante:cramer} +Die Lösung $x_k$ eines $n\times n$-Gleichungssystem $Ax=b$ mit +Koeffizientenmatrix $A$ und rechter Seite $b$ hat die Lösungen +\begin{equation} +x_k += +\frac{ +\left|\begin{matrix} +a_{11}&a_{12}&\dots &b_1 &\dots &a_{1n}\\ +a_{21}&a_{22}&\dots &b_2 &\dots &a_{2n}\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\dots &b_n &\dots &a_{nn} +\end{matrix}\right| +}{ +\det(A), +} +\end{equation} +wobei im Zähler die Spalte $k$ der Matrix $A$ durch den Vektor $b$ +der rechten Seiten ersetzt worden ist. +\end{satz} + +Die Cramersche Formel ist besonders nützlich, wenn die Abhängigkeit +einer Lösungsvariablen von den Einträgen der Koeffizientenmatrix +untersucht werden soll. +Für die Details der Herleitung sei wieder auf \cite{buch:linalg} +verwiesen. + +\subsubsection{Die inverse Matrix mit Hilfe der Determinanten} +Die inverse Matrix löst ein quadratisches Gleichungssystem $Ax=b$ mit +Hilfe der Formel $x=A^{-1}b$. +Man kann daher auch erwarten, dass sich die inverse Matrix dank +der Cramerschen Regel mit Hilfe von Determinanten ausdrücken lässt. +Tatsächlich gilt der folgende Satz. + +\begin{satz} +\label{buch:linalg:inverse:adjunkte} +Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch +\index{Formel für die inverse Matrix}% +\index{inverse Matrix, Formel für}% +\begin{equation} +(A^{-1})_{ij} += +\frac{1}{\det(A)} +\begin{pmatrix} +\det(A_{11}) & -\det(A_{21}) & \dots & (-1)^{i+1}\det(A_{i1}) & \dots + & (-1)^{1+n} \det(A_{n1}) \\ +-\det(A_{12}) & \det(A_{22}) & \dots & (-1)^{i+2}\det(A_{i2}) & \dots + & (-1)^{2+n} \det(A_{n2}) \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +(-1)^{1+j}\det(A_{1j}) & (-1)^{2+j}\det(A_{2j}) & \dots + & (-1)^{i+j} \det(A_{ji}) + & \dots & (-1)^{j+n} \det(A_{nj}) \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +(-1)^{1+n}\det(A_{1n}) & (-1)^{2+n}\det(A_{2n}) & \dots + & (-1)^{i+n}\det(A_{in}) + & \dots & \det(A_{nn}) +\end{pmatrix} +\label{buch:linalg:inverse:formel} +\end{equation} +Die Transponierte der Matrix auf der rechten Seite (ohne den Vorfaktor +$1/\det(A)$ +heisst die {\em Adjunkte} $\operatorname{adj}A$ von $A$. +\index{Adjunkte}% +\end{satz} + +Der Satz~\ref{buch:linalg:inverse:adjoint} liefert eine algebraische +Formel für die Elemente der inversen Matrix. +Für kleine Matrizen wie im nachfolgenden Beispiel ist die +Formel~\eqref{buch:linalg:inverse:formel} oft einfachter anzuwenden. +Besonders einfach wird die Formel für eine $2\times 2$-Matrix, +wo man +\[ +\begin{pmatrix} +a&b\\c&d +\end{pmatrix}^{-1} += +\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} +d&-b\\ +-c&a +\end{pmatrix} +\] +erhält. \begin{beispiel} Die Inverse der Matrix @@ -852,21 +1023,22 @@ a&a&1 ist mit Hilfe von Determinanten besonders einfach zu invertieren. Die Determinante von $A$ ist nach der Sarrus-Formel \[ -\det A +\operatorname{adj}A = 1 + 2a^3 - 3a^2. \] -Die adjungiert Matrix ist +Die Adjunkte ist \begin{align*} -A^{-1} +(\operatorname{adj}A)^t &= -\frac{1}{\det{A}} -\begin{pmatrix} -\det A_{11} & \det A_{21} & \det A_{31} \\ -\det A_{12} & \det A_{22} & \det A_{32} \\ -\det A_{13} & \det A_{23} & \det A_{33} -\end{pmatrix} -\\ +%\frac{1}{\det{A}} +\begin{pmatrix*}[r] + \det A_{11} & -\det A_{21} & \det A_{31} \\ +-\det A_{12} & \det A_{22} & -\det A_{32} \\ + \det A_{13} & -\det A_{23} & \det A_{33} +\end{pmatrix*} +\intertext{und damit ist die inverse Matrix} +A^{-1} &= \frac{1}{2a^3-3a^2+1} \renewcommand\arraystretch{1.1} @@ -896,7 +1068,7 @@ A^{-1} 1-a^2 & a^2-a & a^2-a\\ a^2-a & 1-a^2 & a^2-a\\ a^2-a & a^2-a & 1-a^2 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \end{align*} Mit $1-a^2=(1+a)(1-a)$ und $a^2-a=a(a-1)$ kann man dies noch etwas vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammern. diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex index d951221..408bfeb 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex @@ -197,7 +197,7 @@ mit Gleichheit genau dann, wenn $x=ty$ ist für ein $t\ge 0$. &= (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2 \\ -\|x\|_2 + \|y\|_2 +\|x + y\|_2 &\le \|x\|_2 + \|y\|_2, \end{align*} Gleichheit tritt genau dann ein, wenn diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib index a5d0201..59a8376 100644 --- a/buch/chapters/references.bib +++ b/buch/chapters/references.bib @@ -20,6 +20,12 @@ keywords = "World Wide Web, Search engines, Information retrieval, PageRank, Goo abstract = "In this paper, we present Google, a prototype of a large-scale search engine which makes heavy use of the structure present in hypertext. Google is designed to crawl and index the Web efficiently and produce much more satisfying search results than existing systems. The prototype with a full text and hyperlink database of at least 24 million pages is available at http://google.stanford.edu/ To engineer a search engine is a challenging task. Search engines index tens to hundreds of millions of Web pages involving a comparable number of distinct terms. They answer tens of millions of queries every day. Despite the importance of large-scale search engines on the Web, very little academic research has been done on them. Furthermore, due to rapid advance in technology and Web proliferation, creating a Web search engine today is very different from three years ago. This paper provides an in-depth description of our large-scale Web search engine — the first such detailed public description we know of to date. Apart from the problems of scaling traditional search techniques to data of this magnitude, there are new technical challenges involved with using the additional information present in hypertext to produce better search results. This paper addresses this question of how to build a practical large-scale system which can exploit the additional information present in hypertext. Also we look at the problem of how to effectively deal with uncontrolled hypertext collections where anyone can publish anything they want." } +@book{buch:linalg, + title = {Lineare Algebra}, + author = {Andreas M"uller}, + url = {https://github.com/AndreasFMueller/LinAlg.git}, + year = {2010} +} @book{buch:mathsem-wavelets, title = {Mathematisches Seminar Wavelets}, |