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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex index 95665f7..2913ca5 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex @@ -13,3 +13,10 @@ \input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex} +\section*{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{4001} +\uebungsaufgabe{4002} +\end{uebungsaufgaben} + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex new file mode 100644 index 0000000..2fab61a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +Verwenden Sie die Matrixdarstellung komplexer Zahlen, um $i^i$ zu +berechnen. + +\begin{hinweis} +Verwenden Sie die eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen. +\end{hinweis} + +\begin{loesung} +Wir berechnen $J^J$ mit Hilfe des Logarithmus als +$J^J = \exp(J\log J)$. +Zunächst erinnern wir an die Eulersche Formel +\[ +\exp tJ += +\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k J^k}{k!} += +\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot E ++ +\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i+1}(-1)^i}{(2i+1)!}\cdot J += +\cos t\cdot E ++ +\sin t\cdot J. +\] +Daraus liest man ab, dass +\[ +\log \begin{pmatrix} +\cos t&-\sin t\\ +\sin t& \cos t +\end{pmatrix} += +tJ +\] +gilt. +Für die Matrix $J$ heisst das +\begin{equation} +J = \begin{pmatrix} +0&-1\\1&0 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\cos\frac{\pi}2&-\sin\frac{\pi}2\\ +\sin\frac{\pi}2& \cos\frac{\pi}2 +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +\log J = \frac{\pi}2 J. +\label{4001:logvalue} +\end{equation} +Als nächstes müssen wir $J\log J$ berechnen. +Aus \eqref{4001:logvalue} folgt +\[ +J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot E. +\] +Darauf ist die Exponentialreihe auszuwerten, also +\[ +J^J += +\exp (J\log J) += +\exp(-\frac{\pi}2 E) += +\exp +\begin{pmatrix} +-\frac{\pi}2&0\\ +0&-\frac{\pi}2 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +e^{-\frac{\pi}2}&0\\ +0&e^{-\frac{\pi}2} +\end{pmatrix} += +e^{-\frac{\pi}2} E. +\] +Als komplexe Zahlen ausgedrückt folgt also $i^i = e^{-\frac{\pi}2}$. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex new file mode 100644 index 0000000..6c0223e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex @@ -0,0 +1,23 @@ +Seien $z$ und $w$ komplexe Zahlen derart, dass $z=e^w$, d.~h.~$w$ ist +ein Wert des Logarithmus von $z$. +Zeigen Sie, dass die Zahlen $w+2\pi ik$ für $k\in\mathbb Z$ ebenfalls +Logarithmen von $z$ sind. +Dies zeigt, dass eine komlexe Zahl unendlich viele verschiedene +Logarithmen haben kann, die Logarithmusfunktion ist im Komplexen +nicht eindeutig. + +\begin{loesung} +Aus der Eulerschen Formel folgt +\begin{align*} +e^{w+2\pi ik} +&= +e^w\cdot e^{2\pi ik} += +e^w (\underbrace{\cos 2\pi k}_{\displaystyle=1} + i \underbrace{\sin 2\pi k}_{\displaystyle = 0}) += +e^w += +z. +\qedhere +\end{align*} +\end{loesung} diff --git a/cover/Makefile b/cover/Makefile index 76ae56f..6f682dc 100644 --- a/cover/Makefile +++ b/cover/Makefile @@ -3,9 +3,12 @@ # # (c) 2018 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil # -all: buchcover.png front.pdf back.pdf +all: matrix.pdf buchcover.png front.pdf back.pdf -buchcover.pdf: buchcover.tex +matrix.pdf: matrix.tex + pdflatex matrix.tex + +buchcover.pdf: buchcover.tex matrix.pdf pdflatex buchcover.tex buchcover.png: buchcover.pdf Makefile diff --git a/cover/buchcover.tex b/cover/buchcover.tex index 1fdf2dc..f7da81b 100644 --- a/cover/buchcover.tex +++ b/cover/buchcover.tex @@ -42,11 +42,12 @@ \hsize=13.6cm \begin{scope} -%\clip (0,0) rectangle({\bogenbreite},{\bogenhoehe}); -\clip (0,3) rectangle ({\bogenbreite},14.2); +\clip (0,0) rectangle({\bogenbreite},{\bogenhoehe}); +%\clip (0,0) rectangle ({\bogenbreite},20.2); %\node at (18.7,8.9) [scale=5.0]{\includegraphics{nozzle-hell.jpg}}; %\node at (18.7,8.9) [scale=5.0]{\includegraphics{nozzle-hell3.jpg}}; %\node at (18.7,8.9) [scale=5.0]{\includegraphics{nozzle.jpg}}; +\node at ({\bogenbreite/2},13.0) {\includegraphics[width=42cm]{matrix.pdf}}; \end{scope} \node at ({\einschlag+2*\gelenk+\ruecken+1.5*\breite},24.3) @@ -89,24 +90,25 @@ {\hbox to\hsize{\hfill% \sf \fontsize{13}{5}\selectfont Naoki Pross, % E - Pascal Andreas Schmid, % B - Thierry Schwaller%, % E + Michael Schmid, % MSE + Pascal Andreas Schmid%, % B }}; \node at ({\einschlag+2*\gelenk+\ruecken+1.5*\breite},16.45) [color=white,scale=1] {\hbox to\hsize{\hfill% \sf \fontsize{13}{5}\selectfont + Thierry Schwaller, % E Michael Steiner, % E Tim Tönz, % E - Fabio Viecelli, % B - Lukas Zogg%, % B + Fabio Viecelli%, % B }}; \node at ({\einschlag+2*\gelenk+\ruecken+1.5*\breite},15.8) [color=white,scale=1] {\hbox to\hsize{\hfill% \sf \fontsize{13}{5}\selectfont + Lukas Zogg%, % B % }}; diff --git a/cover/matrix.pdf b/cover/matrix.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..385e283 --- /dev/null +++ b/cover/matrix.pdf diff --git a/cover/matrix.tex b/cover/matrix.tex new file mode 100644 index 0000000..338435b --- /dev/null +++ b/cover/matrix.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +% +% matrix.tex -- Hintergrund für Bucheinband +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\w{30} +\def\h{10} +\def\l{7} +\def\s{0.155} +\def\vs{0.245} + +\fill[color=blue] (0,{-0.3*\h}) rectangle (\w,{2*\h}); + +\def\verticalline#1{ + \pgfmathparse{int(random(0,\h/\vs))*\vs} + \xdef\initialheight{\pgfmathresult} + \foreach \y in {0,\vs,...,\l}{ + \pgfmathparse{100*(1-(sqrt(\y/\l)))} + \xdef\farbe{\pgfmathresult} + \pgfmathparse{int(random(0,9))} + \xdef\zeichen{\pgfmathresult} + \node[color=white!\farbe!blue,opacity={(1-\y/\l)}] + %\node[color=white!\farbe!blue] + at (#1,{\initialheight+\y}) {\tt\zeichen}; + } +} + +\begin{scope} +\clip (0,{-0.3*\h}) rectangle (\w,{2*\h}); + +\foreach \x in {0,\s,...,\w}{ + \verticalline{\x} +} + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + |