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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index 3863191..acad943 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -35,9 +35,20 @@ $n'\in \mathbb{N}$. \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben, $n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$. \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren -Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?... +Nachfolger, dann ist $\mathbb{N}\subset X$. \end{enumerate} +\subsubsection{Vollständige Induktion} +Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion. +Um eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n$ +mit vollständiger Induktion zu beweisen, bezeichnet man mit +$X$ die Menge aller Zahlen, für die $P(n)$ wahr ist. +Die Induktionsverankerung beweist, dass $P(0)$ wahr ist, dass also $0\in X$. +Der Induktionsschritt beweist, dass mit einer Zahl $n\in X$ auch der +Nachfolger $n'\in X$ ist. +Nach dem letzten Axiom ist $\mathbb{N}\subset X$, oder anders ausgedrückt, +die Aussage $P(n)$ ist wahr für jede natürliche Zahl. + \subsubsection{Addition} Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung die vertrautere Addition konstruieren. |