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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex index 56ef096..962dae4 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex @@ -11,7 +11,8 @@ Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen. Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen. -Wir wollen von diesen grundlegenden Bausteinen ausgehen. +Wir wollen von den bekannten Zahlmengen als grundlegenden +Bausteinen ausgehen. Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen mit Hilfe von Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die komplexen Zahlen machen werden. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index fab2dcb..7e0ec8c 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -31,6 +31,7 @@ Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert: Die Darstellung ganzer Zahlen als Paare von natürlichen Zahlen findet man auch in der Buchhaltung, wo man statt eines Vorzeichen {\em Soll} und {\em Haben} verwendet. +\index{Soll und Haben}% Dabei kommt es nur auf die Differenz der beiden Positionen an. Fügt man beiden Positionen den gleichen Betrag hinzu, ändert sich nichts. @@ -44,8 +45,8 @@ Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$. Die Paare $(u,u)$ müssen daher alle mit $0$ identifiziert werden. Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit ``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen, -allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz -noch gar nicht definiert ist. +allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja der Begriff +der Differenz noch gar nicht definiert ist. Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn \begin{equation} (a,b) \sim (c,d) @@ -66,8 +67,9 @@ Zahlen mit der Eigenschaft a+b' = a'+b. \] Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$. - +\index{Aquivalenzklasse@Äquivalenzklasse} Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen +\index{ganze Zahlen}% Äquivalenzklassen. Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der @@ -79,12 +81,16 @@ stellt das Paar $(b,a)$ eine ganze Zahl dar mit der Eigenschaft \begin{equation} z+(b,a) = -(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0. +(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0 \label{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} \end{equation} +dar. Die von $(b,a)$ dargestellte ganze Zahl wird mit $-z$ bezeichnet, die Rechnung~\eqref{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} lässt sich damit abgekürzt als $z+(-z)=0$ schreiben. +$-z$ heisst der $z$ {\em entgegengesetzte Wert} oder die +\index{entgegengesetzte Zahl}% +{\em entgegengesetzte Zahl} zu $z$. \subsubsection{Lösung von Gleichungen} Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen @@ -102,21 +108,27 @@ $a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt. \subsubsection{Ring} \index{Ring}% -Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten Ring, +Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten {\em Ring}, +\index{Ring}% eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und Multiplikation definiert sind. -Weitere Beispiel werden später vorgestellt, +Weitere Beispiele von Ringen werden später vorgestellt, +darunter der Ring der Polynome $\mathbb{Z}[X]$ in Kapitel~\ref{buch:chapter:polynome} +\index{Polynomring}% +\index{ZX@$\mathbb{Z}[X]$} und der Ring der $n\times n$-Matrizen in +\index{Matrizenring}% Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen}. In einem Ring wird nicht verlangt, dass die Multiplikation kommutativ -ist, Matrizenringe sind nicht kommutativ. -$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring ebenso sind die Polynomringe +ist, Matrizenringe zum Beispiel sind meistens nicht kommutativ, selbst +wenn die Matrixelemente Elemente eines kommutativen Rings sind. +$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring, ebenso sind die Polynomringe kommutativ. Die Theorie der nicht kommutativen Ringe ist sehr viel reichhaltiger und leider auch komplizierter als die kommutative Theorie. -\index{Ring!kommutativer}% +\index{Ring!kommutativ}% diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 4ccea89..17f6e16 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -6,7 +6,8 @@ \section{Komplexe Zahlen \label{buch:section:komplexe-zahlen}} \rhead{Komplexe Zahlen} -In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen. +In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen, +die in $\mathbb{Q}$ nicht lösbar waren. Andere, z.~B.~die Gleichung \begin{equation} x^2+1=0, @@ -15,6 +16,7 @@ x^2+1=0, haben weiterhin keine Lösung. Der Grund dafür ist das Bestreben bei der Konstruktion der reellen Zahlen, die Ordnungsrelation zu erhalten. +\index{Ordnungsrelation}% Diese ermöglicht, Näherungsintervall und Intervallschachtelungen zu definieren. @@ -37,16 +39,18 @@ Die erste Komponente soll die bekannten reellen Zahlen darstellen, deren Quadrat positiv ist. Die zweite Komponente soll für die Zahlen verwendet werden, deren Quadrat negativ ist. -Die Zahl, deren Quadrat $-1$ sein soll, bezeichnen wir auch mit dem +Die Zahl, deren Quadrat $-1$ sein soll, bezeichnen wir mit dem Paar $(0,1)$ und schreiben dafür auch $i=(0,1)$ mit $i^2=-1$. +Das Paar $i=(0,1)$ heisst auch die {\em imaginäre Einheit}. +\index{imaginäre Einheit}% Die Rechenregeln sollen weiterhin erhalten bleiben, sie müssen daher wie folgt definiert werden: \begin{equation} \begin{aligned} -(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) & (a+bi) + (c+di) &= (a+c) + (b+d)i +(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) &&& (a+bi) + (c+di) &= (a+c) + (b+d)i \\ -(a,b) \cdot (c,d) & (ad-bd, ad+bc) & (a+bi)\cdot(c+di) &= ac-bd + (ad+bc)i. +(a,b) \cdot (c,d) &= (ad-bd, ad+bc) &&& (a+bi)\cdot(c+di) &= ac-bd + (ad+bc)i. \end{aligned} \label{buch:zahlen:cregeln} \end{equation} @@ -65,8 +69,10 @@ Die Menge $\mathbb{C}$ verhält sich daher wie eine zweidimensionaler reeller Vektorraum. \subsubsection{Real- und Imaginärteil} -Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$ -und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$. +Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der {\em Realteil} $a=\Re z$ +\index{Realteil}% +und $b$ heisst der {\em Imaginärteil} $\Im z$. +\index{Imaginärteil}% Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$, sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend auch die reelle und die imaginäre Achse heissen. @@ -86,13 +92,43 @@ a \Re z. \] Zusätzlich kehrt das Vorzeichen der einen Komponente. -Wir kommen auf diese Eigenschaft zurück, wenn wir später in Abschnitt~XXX +Wir kommen auf diese Eigenschaft zurück, wenn wir später in +Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:ringe} komplexe Zahlen als Matrizen beschreiben. +\subsubsection{Gausssche Zahlenebene} +Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$ +zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum. +Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der +sogenannten {\em Gaussschen Ebene} betrachten (Abbildung~\ref{buch:zahlen:cfig}). +\index{Gaussche Zahlenebene}% +Die Addition von komplexen Zahlen ist in diesem Bild die vektorielle +Addition, die Multiplikation mit reellen Zahlen werden wir weiter unten +genauer untersuchen müssen. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf} +\caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der +Gaussschen Zahlenebene +\label{buch:zahlen:cfig}} +\end{figure}% + +Die Zahlenebene führt auf eine weitere mögliche Parametrisierung einer +komplexen Zahl. +Ein Punkt $z$ der Ebene kann in Polarkoordinaten auch durch den {\em Betrag} +\index{Betrag}% +\index{Polarkoordinaten}% +und den Winkel zwischen der reellen Achse und dem Radiusvektor zum Punkt, +dem sogenannten {\em Argument}, +charakterisiert werden. + \subsubsection{Komplexe Konjugation} Der komplexen Zahl $u=a+bi$ ordnen wir die sogenannte {\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$. Mit Hilfe der komplexen Konjugation kann man den Real- und Imaginärteil +\index{komplexe Konjugation}% +\index{Konjugation, komplexe}% algebraisch ausdrücken: \[ \Re z @@ -124,7 +160,8 @@ Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$. In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung. Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der Zahlenebene verschieden von $0$ ist. -Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als +Wir definieren daher den {\em Betrag} einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als +\index{Betrag} \[ |z|^2 = @@ -158,7 +195,7 @@ Produkt der komplexen Zahlen sein. Wie berechnet man den Quotienten $\frac{z}{w}$ für zwei beliebige komplexe Zahlen $z=a+bi$ und $w=c+di$ mit $w\ne 0$? -Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten des Nenners: +Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex Konjugierten des Nenners: \begin{align*} \frac{z}{w} &= @@ -169,7 +206,7 @@ Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten des Nenners: Da der Nenner $|w|^2>0$ eine reelle Zahl ist, ist die Division einfach, es ist die Multiplikation mit der reellen Zahl $1/|w|^2$. -Wir können den Quotienten auch in Komponenten ausdrücken: +Wir können den Quotienten auch durch Real- und Imaginärteil ausdrücken: \begin{align*} \frac{z}{w} &= @@ -180,38 +217,20 @@ Wir können den Quotienten auch in Komponenten ausdrücken: \frac{ac-bd +(ad+bc)i}{c^2+d^2}. \end{align*} -\subsubsection{Gausssche Zahlenebene} -Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$ -zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum. -Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der -sogenannten Gaussschen Ebene betrachten. -Die Addition von komplexen Zahlen ist in diesem Bild die vektorielle -Addition, die Multiplikation mit reellen Zahlen werden wir weiter unten -genauer untersuchen müssen. - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf} -\caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der -Gaussschen Zahlenebene -\label{buch:zahlen:cfig}} -\end{figure} -Die Zahlenebene führt auf eine weitere Parametrisierung einer -komplexen Zahl. -Ein Punkt $z$ der Ebene kann in Polarkoordinaten auch durch den Betrag -und den Winkel zwischen der reellen Achse und dem Radiusvektor zum Punkt -beschrieben werden. - \subsubsection{Geometrische Interpretation der Rechenoperationen} -Die Addition kompelxer Zahlen wurde bereits als Vektoraddition -in der Gausschen Zahlenebene. +Die Addition komplexer Zahlen wurde bereits als Vektoraddition +in der Gausschen Zahlenebene interpretiert. Die Multiplikation ist etwas komplizierter, wir berechnen Betrag und Argument von $zw$ separat. Für den Betrag erhalten wir \begin{align*} |zw|^2 &= +zw\overline{(zw)} += +zw\overline{z}\overline{w} += z\overline{z}w\overline{w} = |z|^2|w|^2 @@ -252,6 +271,7 @@ und $c\ne 0$, was uns ermöglicht, den Bruch durch $ac$ zu kürzen: \bigr). \end{align*} Im letzten Schritt haben wir die Additionsformel für den Tangens verwendet. +\index{Additionstheorem für Tangens}% Daraus liest man ab, dass das Argument eines Produkts die Summe der Argumente ist. Die Multiplikation mit einer festen komplexen Zahl führt also mit der ganzen @@ -263,17 +283,18 @@ wenn wir die komplexen Zahlen als Matrizen beschreiben wollen. Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ sind als Erweiterung von $\mathbb{R}$ so konstruiert worden, dass die Gleichung $x^2+1=0$ eine Lösung hat. Etwas überraschend ist dagegen, dass in dieser Erweiterung jetzt jede -beliebige algebraische Gleichung lösbar geworden. +beliebige algebraische Gleichung lösbar geworden ist. Dies ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. \begin{satz}[Fundamentalsatz der Algebra] +\label{buch:zahlen:satz:fundamentalsatz} \index{Fundamentalsatz der Algebra}% Jede algebraische Gleichung der Form \[ p(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0=0,\qquad a_k\in\mathbb{C} \] mit komplexen Koeffizienten hat $n$ möglicherweise mit Vielfachheit -gezähle Nullstellen $\alpha_1,\dots,\alpha_m$, d.~h.~das Polynom $p(x)$ +gezählte Nullstellen $\alpha_1,\dots,\alpha_m$, d.~h.~das Polynom $p(x)$ lässt sich in Linearfaktoren \[ p(x) @@ -281,12 +302,12 @@ p(x) (x-\alpha_1)^{k_1}(x-\alpha_2)^{k_2}\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_m)^{k_m} \] zerlegen, wobei $k_1+k_2+\dots+k_m=n$. -Die Zahlen $k_j$ heisst die {\em Vielfachheit} der Nullstelle $\alpha_j$. +Die Zahl $k_j$ heisst die {\em Vielfachheit} der Nullstelle $\alpha_j$. \end{satz} Der Fundamentalsatz der Algebra wurde erstmals von Carl Friedrich Gauss \index{Gauss, Carl Friedrich}% -bewiesen. +vollständig bewiesen. Seither sind viele alternative Beweise mit Methoden aus den verschiedensten Gebieten der Mathematik gegeben worden. Etwas salopp könnten man sagen, dass der Fundamentalsatz ausdrückt, dass @@ -304,10 +325,11 @@ Da Drehungen um verschiedene Achsen nicht vertauschen, kann eine solche Erweiterung nicht mehr kommutativ sein. William Rowan Hamilton propagierte ab 1843 eine Erweiterung von $\mathbb{C}$ +\index{Hamilton, William Rowan}% mit zwei zusätzlichen Einheiten $j$ und $k$ mit den nichtkommutativen Relationen \begin{equation} -i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. +i^2 = j^2 = k^2 = i\!jk = -1. \label{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln} \end{equation} Er nannte die Menge aller Linearkombinationen @@ -319,6 +341,9 @@ die {\em Quaternionen}, die Einheiten $i$, $j$ und $k$ heissen auch Einheitsquaternionen. \index{Einheitsquaternionen}% Konjugation, Betrag und Division können ganz ähnlich wie bei den +\index{Konjugation von Quaternionen}% +\index{Betrag einer Quaternion}% +\index{Division durch eine Quaternion}% komplexen Zahlen definiert werden und machen $\mathbb{H}$ zu einer sogenannten {\em Divisionsalgebra}. \index{Divisionsalgebra}% @@ -331,24 +356,24 @@ Aus den Regeln für die Quadrate der Einheiten in $i^{-1}=-i$, $j^{-1}=-j$ und $k^{-1}=-k$. Die letzte Bedingung liefert daraus \[ -ijk=-1 +i\!jk=-1 \qquad\Rightarrow\qquad \left\{ \quad \begin{aligned} -ij +i\!j &= -ijkk^{-1}=-1k^{-1}=k +i\!jkk^{-1}=-1k^{-1}=k \\ -i^2jk&=-i=-jk +i^2\!jk&=-i=-jk \\ -j^2k&=-ji=k \end{aligned} \right. \] Aus den Relationen~\eqref{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln} -folgt also insbesondere auch, dass $ij=-ji$. -Ebenso kann abgeleitet werden, dass $jk=-kj$ und $ik=-ki$. +folgt also insbesondere auch, dass $i\!j=-ji$. +Ebenso kann abgeleitet werden, dass $jk=-k\!j$ und $ik=-ki$. Man sagt, die Einheiten sind {\em antikommutativ}. \index{antikommutativ}% @@ -358,9 +383,15 @@ Komponenten $a_0,\dots,a_3$ vollständig beschrieben ist. Eine Transformationsmatrix des dreidimensionalen Raumes enthält dagegen neun Koeffizienten, die vergleichsweise komplizierte Abhängigkeiten erfüllen müssen. +Kapitel~\ref{chapter:clifford} behandelt nicht nur die Beschreibung +von Drehungen des dreidimensionalen Raumes sondern eine weitreichende +Verallgemeinerung dieser Idee, die sogenannte {\em geometrische Algebra}. +\index{geometrische Algebra}% Quaternionen haben auch in weiteren Gebieten interessante Anwendungen, zum Beispiel in der Quantenmechanik, wo antikommutierende Operatoren +\index{Quantenmechanik}% bei der Beschreibung von Fermionen eine zentrale Rolle spielen. +\index{Fermion}% Aus rein algebraischer Sicht kann man die Frage stellen, ob es eventuell auch noch grössere Divisionsalgebren gibt, die $\mathbb{H}$ erweitern. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index f378aaf..8c51346 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \rhead{Natürliche Zahlen} Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen. \index{natürliche Zahlen}% -\index{$\mathbb{N}$}% +\index{N@$\mathbb{N}$}% Sie abstrahieren das Konzept der Anzahl der Elemente einer endlichen Menge. Da die leere Menge keine Elemente hat, muss die Menge der natürlichen @@ -24,22 +24,25 @@ Wir schreiben \] \subsubsection{Peano-Axiome} -Man kann den Zählprozess durch die folgenden Axiome von Peano beschreiben: +\index{Peano}% +Man kann den Zählprozess durch die folgenden Axiome von Peano genauer fassen: \index{Peano-Axiome}% \begin{enumerate} -\item $0\in\mathbb N$. +\item $0$ ist eine natürliche Zahl: $0\in\mathbb N$. \item Jede Zahl $n\in \mathbb{N}$ hat einen {\em Nachfolger} $n'\in \mathbb{N}$. \index{Nachfolger}% \item $0$ ist nicht Nachfolger einer Zahl. \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben, -$n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$. +$n'=m'$, dann sind sie gleich: $n=m$. \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren Nachfolger, dann ist $\mathbb{N}\subset X$. \end{enumerate} \subsubsection{Vollständige Induktion} -Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion. +Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der {\em vollständigen Induktion}. +\index{vollständige Induktion}% +\index{Induktion, vollständige}% Um eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n$ mit vollständiger Induktion zu beweisen, bezeichnet man mit $X$ die Menge aller Zahlen, für die $P(n)$ wahr ist. @@ -77,11 +80,13 @@ Nach diesen Regeln ist (((5)')')'. \] Dies ist genau die Art und Weise, wie kleine Kinder Rechnen lernen. -Sie Zählen von $5$ ausgehend um $3$ weiter. +Sie zählen von $5$ ausgehend um $3$ weiter, manchmal unter Zuhilfenahme +ihrer Finger. Der dritte Nachfolger von $5$ heisst üblicherweise $8$. Die algebraische Struktur, die hier konstruiert worden ist, heisst -eine Halbgruppe. +ein {\em Monoid}. +\index{Monoid}% Allerdings kann man darin zum Beispiel nur selten Gleichungen lösen, zum Beispiel hat $3+x=1$ keine Lösung. Die Addition ist nicht immer umkehrbar. @@ -142,9 +147,9 @@ a+(b+c) \qquad\text{und}\qquad (a\cdot b)\cdot c = -a\cdot (b\cdot c) +a\cdot (b\cdot c), \] -dies ist das Assoziativgesetz. +dies ist das {\em Assoziativgesetz}. Es gestattet auch eine solche Summe oder ein solches Produkt einfach als $a+b+c$ bzw.~$a\cdot b\cdot c$ zu schreiben, da es ja keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge man die Teilprodukte berechnet. @@ -152,10 +157,11 @@ spielt, in welcher Reihenfolge man die Teilprodukte berechnet. Die Konstruktion der Multiplikation als iterierte Addition mit Hilfe der Rekursionsformel \eqref{buch:zahlen:multiplikation-rekursion} hat auch zur Folge, dass die {\em Distributivgesetze} +\index{Distributivgesetz}% \[ a\cdot(b+c) = ab+ac \qquad\text{und}\qquad -(a+b)c = ac+bc +(a+b)\cdot c = ac+bc \] gelten. Bei einem nicht-kommutativen Produkt ist es hierbei notwendig, @@ -175,7 +181,7 @@ Sie gelten immer für Matrizen. Die Lösbarkeit von Gleichungen der Form $ax=b$ mit $a,b\in\mathbb{N}$ gibt Anlass zum sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit. \index{Teilbarkeit}% -Die Zahl $b$ heisst teilbar durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine +Die Zahl $b$ heisst {\em teilbar} durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine Lösung in $\mathbb{N}$ hat. \index{teilbar}% Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ und durch sich selbst teilbar, @@ -236,11 +242,29 @@ n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\} \\ &\phantom{n}\vdots \end{align*} +Die Menge $n+1$ besteht also aus den $n+1$ Zahlen von $0$ bis $n$. + +Für spätere Verwendung in Kapitel~\ref{buch:chapter:permutationen} +definieren wir hier auch noch eine weiter Art von Standardteilmengen +von $\mathbb{N}$. + +\begin{definition} +\label{buch:zahlen:def:[n]} +Die Menge $[n]\subset \mathbb{N}$ ist definiert durch +\[ +[n] = \begin{cases} +\{1,2,\dots,n\}&\qquad \text{für $n>0$}\\ +\emptyset&\qquad\text{für $n=0$} +\end{cases} +\] +\end{definition} + +Jede der Mengen $[n]$ hat genau $n$ Elemente: $|[n]|=n$. \subsubsection{Natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen} Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die natürlichen Zahlen aus der leeren Menge schrittweise sozusagen ``von unten'' aufgebaut. -Wir können aber auch eine Sicht ``von oben'' einnehmen. +Wir können aber auch eine Sichtweise ``von oben'' einnehmen. Dazu definieren wir, was eine endliche Menge ist und was es heisst, dass endliche Mengen gleiche Mächtigkeit haben. @@ -258,6 +282,7 @@ Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert. Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$. +\index{Aquivalenzklasse@Äquivalenzklasse}% Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex index 9d2f59e..440cc73 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex @@ -14,8 +14,8 @@ die negativen Zahlen kennenlernen. Wir können hierbei denselben Trick anwenden, wie schon beim Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen. -Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente nennen wir \emph{Zähler} und -\emph{Nenner}, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$. +Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente wir \emph{Zähler} und +\emph{Nenner} nennen, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$. Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten \[ (a, b) + (c, d) @@ -27,8 +27,8 @@ Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten (ac, bd) . \] -Die ganzen Zahlen lassen sich als in dieser Darstellung als -$z \mapsto (z, 1)$ einbetten. +Die ganzen Zahlen $z\in\mathbb{Z}$ lassen sich in dieser Darstellung als +$z \mapsto (z, 1)$ in diese Menge von Paaren einbetten. Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung aber nicht eindeutig. @@ -67,6 +67,7 @@ Rationale Zahlen sind genau die Äquivalenzklassen dieser Paare $(a, b)$ von ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$. Da diese Schreibweise recht unhandlich ist, wird normalerweise die Notation als Bruch $\frac{a}{b}$ verwendet. +\index{Bruch}% Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten \[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} @@ -120,6 +121,7 @@ Kürzen und Erweitern ineinander übergeführt werden können. Die Menge der Äquivalenzklassen von Brüchen ist die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen. +\index{Q@$\mathbb{Q}$}% In $\mathbb{Q}$ sind Addition, Subtraktion und Multiplikation mit den gewohnten Rechenregeln, die bereits in $\mathbb{Z}$ gegolten haben, uneingeschränkt möglich. @@ -127,7 +129,7 @@ uneingeschränkt möglich. \subsubsection{Kehrwert} Zu jedem Bruch $\frac{a}{b}$ lässt sich der Bruch $\frac{b}{a}$, der sogenannte {\em Kehrwert} -\index{Kehrwert} +\index{Kehrwert}% konstruieren. Er hat die Eigenschaft, dass \[ @@ -139,7 +141,7 @@ Er hat die Eigenschaft, dass \] gilt. Der Kehrwert ist also das multiplikative Inverse, jede von $0$ verschiedene -rationale Zahl hat eine Inverse. +rationale Zahl hat eine solche Inverse. \subsubsection{Lösung von linearen Gleichungen} Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung lösen. @@ -165,13 +167,24 @@ und Division möglich sind mit der einzigen Einschränkung, dass nicht durch $0$ dividiert werden kann. Körper sind die natürliche Bühne für die lineare Algebra, da sich lineare Gleichungssysteme ausschliesslich mit den Grundoperation lösen lassen. +Eine formelle Definition eines Körpers werden wir in +Abschnitt~\ref{buch:subsection:koerper} geben. Wir werden im Folgenden für verschiedene Anwendungszwecke weitere Körper konstruieren, zum Beispiel die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die rationalen Zahlen $\mathbb{C}$. Wann immer die Wahl des Körpers keine Rolle spielt, werden wir den Körper mit $\Bbbk$ bezeichnen. -\index{$\Bbbk$}% +\index{k@$\Bbbk$}% +Ein Körper $\Bbbk$ zeichnet sich dadurch aus, dass alle ELemente ausser $0$ +invertierbar sind. +Diese wichtige Teilmenge wird mit $\Bbbk^* = \Bbbk \setminus\{0\}$ mit +bezeichnet. +\label{buch:zahlen:def:bbbk*} +In dieser Relation sind beliebige Multiplikationen ausführbar, das Element +$1\in\Bbbk^*$ ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation. +Die Menge $\Bbbk^*$ trägt die Struktur einer Gruppe, siehe dazu auch +den Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen}. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex index d5a193f..06eb7aa 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex @@ -10,6 +10,15 @@ In den rationalen Zahlen lassen sich algebraische Gleichungen höheren Grades immer noch nicht lösen. Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den Pythagoräern aufgefallen. +\index{Pythagoräer} +Ziel dieses Abschnitts ist, den Körper $\mathbb{Q}$ zu einem +Körper $\mathbb{R}$ zu erweitern, in dem die Gleichung +gelöst werden kann, ohne dabei Ordnungsrelation zu zerstören, die +die hilfreiche und anschauliche Vorstellung der Zahlengeraden +liefert. +\index{Zahlengerade}% + +\subsubsection{Intervallschachtelung} Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind. Wir können zwar keinen Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber @@ -29,16 +38,47 @@ Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen worden.}. Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und die intervalllänge konvergiert gegen 0. Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl, +\index{Intervallschachtelung}% aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt. +\subsubsection{Reelle Zahlen als Folgengrenzwerte} +Mit einer Intervallschachtelung lässt sich $\sqrt{2}$ zwar festlegen, +noch einfacher wäre aber eine Folge von rationalen Zahlen $a_n\in\mathbb{Q}$ +derart, die $\sqrt{2}$ beliebig genau approximiert. +In der Analysis definiert man zu diesem Zweck, dass $a$ der Grenzwert +einer Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ +ein $N$ gibt derart, dass $|a_n-a|<\varepsilon$ für $n>N$ ist. +Das Problem dieser wohlbekannten Definition für die Konstruktion +reeller Zahle ist, dass im Falle der Folge +\[ +(a_n)_{n\in\mathbb{N}}= +(1, +\frac75, +\frac{41}{29}, +\frac{239}{169},\dots) \to a=\sqrt{2} +\] +das Objekt $a$ noch gar nicht existiert. +Es gibt keine rationale Zahl, die als Grenzwert dieser Folge dienen +könnte. + +Folgen, die gegen Werte in $\mathbb{Q}$ konvergieren sind dagegen +nicht in der Lage, neue Zahlen zu approximieren. +Wir müssen also auszudrücken versuchen, dass eine Folge konvergiert, +ohne den zugehörigen Grenzwert zu kennen. + +\subsubsection{Cauchy-Folgen} Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge -aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ betrachten. +aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $a_n\in\mathbb{Q}$, +betrachten. +\index{Cauchy-Folge}% Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$ eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$ für $n,m>N(\varepsilon)$. Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar. + +\subsubsection{Relle Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen} Nicht jede Cauchy-Folge hat eine rationale Zahl als Grenzwert. Da wir für solche Folgen noch keine Zahlen als Grenzwerte haben, nehmen wir die Folge als eine mögliche Darstellung der Zahl. @@ -61,13 +101,14 @@ b_n&\colon&& \] beide Folgen, die die Zahl $\sqrt{2}$ approximieren. Im Allgemeinen tritt dieser Fall ein, wenn $|a_n-b_n|$ eine -Folge mit Grenzwert $0$ oder Nullfolge ist. +Folge mit Grenzwert $0$ oder {\em Nullfolge} ist. +\index{Nullfolge}% Eine reelle Zahl ist also die Menge aller rationalen Cauchy-Folgen, deren Differenzen Nullfolgen sind. Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man also ansehen -als bestehend aus Mengen von Folgen, die alle den gleichen Grenzwert -haben. +als bestehend aus Äquivalenzklassen von Folgen, die alle den gleichen +Grenzwert haben. Die Rechenregeln der Analysis \[ \lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) |