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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index 9848469..cb37d05 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -182,7 +182,7 @@ begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist. Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$. -\subsubsection{Homomorphismen} +\subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen} Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus, dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren. Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung, @@ -313,14 +313,14 @@ auf einem geeigneten Vektorraum. \begin{definition} \label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung} Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus -$G\to\operatorname{GL}_(\mathbb{R})$. +$G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. \index{Darstellung} \end{definition} \begin{beispiel} Die Gruppen $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ oder $\operatorname{SO}(n)$ -sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}$. +sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die {\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$. diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index 2fcf199..ac2b85d 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -839,6 +839,83 @@ die Eigenschaft $A^{-1}A=I$ ganz allgemein gezeigt. \subsubsection{Determinante} XXX TODO +\begin{beispiel} +Die Inverse der Matrix +\begin{equation} +A=\begin{pmatrix} +1&a&a\\ +a&1&a\\ +a&a&1 +\end{pmatrix} +\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1} +\end{equation} +ist mit Hilfe von Determinanten besonders einfach zu invertieren. +Die Determinante von $A$ ist nach der Sarrus-Formel +\[ +\det A += +1 + 2a^3 - 3a^2. +\] +Die adjungiert Matrix ist +\begin{align*} +A^{-1} +&= +\frac{1}{\det{A}} +\begin{pmatrix} +\det A_{11} & \det A_{21} & \det A_{31} \\ +\det A_{12} & \det A_{22} & \det A_{32} \\ +\det A_{13} & \det A_{23} & \det A_{33} +\end{pmatrix} +\\ +&= +\frac{1}{2a^3-3a^2+1} +\renewcommand\arraystretch{1.1} +\begin{pmatrix*}[r] +\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +\left|\begin{matrix}a&a\\1&a\end{matrix}\right| +\\ +-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right| +\\ +\left|\begin{matrix}a&1\\a&a\end{matrix}\right| +& +-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right| +& +\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right| +\end{pmatrix*} +\\ +&= +\frac{1}{2a^3-3a^2+1} +\begin{pmatrix} +1-a^2 & a^2-a & a^2-a\\ +a^2-a & 1-a^2 & a^2-a\\ +a^2-a & a^2-a & 1-a^2 +\end{pmatrix} +\end{align*} +Mit $1-a^2=(1+a)(1-a)$ und $a^2-a=a(a-1)$ kann man dies noch etwas +vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammern. +Man erhält so die Form +\begin{equation} +A^{-1} += +\frac{1-a}{2a^3-3a^2+1} +\begin{pmatrix} +1+a & -a & -a \\ + -a & 1+a & -a \\ + -a & -a & 1+a +\end{pmatrix}. +\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn2} +\end{equation} +für die Inverse einer Matrix der Form +\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1}. +\end{beispiel} + % % Lineare Abbildungen % @@ -1133,3 +1210,8 @@ n-\operatorname{def}A. \subsubsection{Quotient} TODO: $\operatorname{im} A \simeq \Bbbk^m/\ker A$ + + + + + |