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path: root/buch/chapters/20-polynome
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-rw-r--r--buch/chapters/20-polynome/chapter.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex18
-rw-r--r--buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex13
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diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
index 5920991..ae3903b 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
@@ -109,11 +109,11 @@ a_{n}b_{m}X^{n+m}
(a_1b_0+a_0b_1)X
+
a_0b_0
+\label{buch:eqn:polynome:faltung}
\\
&=
\sum_{i + j = k}a_ib_j X^k.
\notag
-\label{buch:eqn:polynome:faltung}
\end{align}
Dies ist aber nur möglich, wenn die Koeffizienten selbst miteinander
multipliziert werden können, wenn also die Koeffizienten mindestens
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
index b58c0dd..152589a 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
@@ -23,8 +23,8 @@ Zahl zu multiplizieren.
Die Struktur, die wir hier beschrieben haben, hängt davon ab, was wir uns
unter einer ``Zahl'' vorstellen.
-Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können mit $R$ und
-nennen sie die Menge der Skalare.
+Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können, mit $R$ und
+nennen sie die Menge der {\em Skalare}.
\index{Skalar}%
Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$
in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu
@@ -73,7 +73,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der
\index{Polynom!normiert}%
\index{normiertes Polynom}%
\index{Polynom!monisch}%
-\index{normiertes Polynom}
+\index{normiertes Polynom}%
höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynoms $1$ ist,
also $a_n=1$.
\index{Leitkoeffizient}%
@@ -201,8 +201,8 @@ sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies
beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}.
Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der
Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht ``weiter oben'' als bei
-$n+m$ liegen, dies beweist
-beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
+$n+m$ liegen, dies
+beweist~\eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
In einem Ring mit Nullteilern
(Siehe Definition~\ref{buch:grundlagen:def:nullteiler})
könnte es passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
@@ -245,9 +245,9 @@ Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus
\eqref{buch:eqn:polynome:gradsummeexakt}, dass
\[
\begin{aligned}
-\lambda&\ne 0 &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p
+\lambda&\ne 0 &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p,
\\
-\lambda&=0 &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0
+\lambda&=0 &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0.
\end{aligned}
\]
Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn die ``Zahl'' $\deg 0$ die Eigenschaft besitzt, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt,
@@ -405,7 +405,7 @@ In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division $a:b$ für die Polynome
\begin{equation}
\begin{aligned}
a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\
-b(X) &= 2X^2+X+1,
+b(X) &= 2X^2+X+1
\end{aligned}
\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe2}
\end{equation}
@@ -500,7 +500,7 @@ Wir erwarten daher die entsprechenden Eigenschaften auch in einem
Polynomring.
Allerdings ist eine Faktorzerlegung nicht ganz eindeutig.
Wenn das Polynom $f\in\mathbb{Z}[X]$ die Faktorisierung
-$f=g\cdot h$ mit $g,h\mathbb{Z}[X]$ hat, dann
+$f=g\cdot h$ mit $g,h\in\mathbb{Z}[X]$ hat, dann
ist $rg\cdot r^{-1}h$ ebenfalls eine Faktorisierung für jedes $r =\pm1$.
Dasselbe gilt in $\mathbb{Q}$ für jedes $r\in \mathbb{Q}^*$.
Faktorisierung ist also nur eindeutig bis auf Elemente der
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
index 535b896..9f0dee2 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
@@ -29,7 +29,7 @@ R^{n+1}.
\]
Diese Darstellung eines Polynoms gibt auch die Addition von Polynomen
und die Multiplikation von Polynomen mit Skalaren aus $R$ korrekt wieder.
-Die Abbildung von Vektoren auf Polynome
+Die Abbildung
\[
\varphi
\colon R^{n+1} \to R[X]
@@ -38,6 +38,7 @@ Die Abbildung von Vektoren auf Polynome
\mapsto
a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0
\]
+von Vektoren auf Polynome
erfüllt also
\[
\varphi( \lambda a) = \lambda \varphi(a)
@@ -62,7 +63,7 @@ um Multiplikation mit Skalaren geht, ist also diese vektorielle Darstellung
mit Hilfe von $\varphi$ eine zweckmässige Darstellung.
In zwei Bereichen ist die Beschreibung von Polynomen mit Vektoren allerdings
-ungenügend: einerseits können Polynome können beliebig hohen Grad haben,
+ungenügend: einerseits können Polynome beliebig hohen Grad haben,
während Vektoren in $R^{n+1}$ höchstens $n+1$ Komponenten haben können.
Andererseits geht bei der vektoriellen Beschreibung die multiplikative
Struktur vollständig verloren.
@@ -159,12 +160,12 @@ Multiplikationsoperator
betrachten.
Diese Operatoren setzen sich zusammen zu einem Operator
\[
-{X\cdot} \colon R^\infty \to \infty,
+{X\cdot} : R^\infty \to \infty,
\]
der die Multiplikation mit $X$ beschreibt.
Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation
-in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben.
+von $p(X)$ mit Polynomen in $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben.
Die Potenz $X^k$ wirkt durch $k$-fache Iteration des Operators
$X\cdot$.
Das Polynom $p(X)$ wirkt als Linearkombination der Operatoren $(X\cdot)^k$,
@@ -174,7 +175,7 @@ in das Polynom erhalten kann:
p(X\cdot)
=
a_n(X\cdot)^n + a_{n-1}(X\cdot)^{n+1} + \dots + a_1(X\cdot) + a_0
-\colon
+:
R^\infty \to R^\infty
:
q(X)
@@ -235,7 +236,7 @@ die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra
wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise
abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem
geeigneten Vektorraum.
-Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche''
+Im vorliegenden Fall sind das zwar ``unendliche''
Matrizen, in zukünftigen Beispielen werden wir das
selbe Prinzip jedoch in Aktion sehen in Situationen,
wo eine Operation auf einem endlichen Vektorraum