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path: root/buch/chapters/30-endlichekoerper
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Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex366
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex6
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdfbin19246 -> 19417 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex19
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdfbin26050 -> 27894 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex58
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima29
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex30
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex123
-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex2
11 files changed, 574 insertions, 61 deletions
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index db326f8..0bf3016 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -431,6 +431,7 @@ zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers von $76415$ und $23205$
zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$
Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle:
\begin{center}
+\label{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
\hline
@@ -518,6 +519,7 @@ Insbesondere ist der euklidische Algorithmus genauso wie die
Matrixschreibweise auch für Polynome durchführbar.
\begin{beispiel}
+\label{buch:endlichekoerper:eqn:polynomggt}
Wir berechnen als Beispiel den grössten gemeinsamen Teiler
der Polynome
\[
@@ -614,4 +616,368 @@ Aus den letzten zwei Zeilen folgt
$ua-vb = ab/g - ab/g = 0$, wie erwartet.
\end{beispiel}
+%
+% Das kleinste gemeinsame Vielfache
+%
+\subsection{Das kleinste gemeinsame Vielfache
+\label{buch:subsection:daskgv}}
+Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen $a$ und $b$ ist
+\[
+\operatorname{kgV}(a,b)
+=
+\frac{ab}{\operatorname{ggT}(a,b)}.
+\]
+Wir suchen nach einen Algorithmus, mit dem man das kleinste gemeinsame
+Vielfache effizient berechnen kann.
+
+Die Zahlen $a$ und $b$ sind beide Vielfache des grössten gemeinsamen
+Teilers $g=\operatorname{ggT}(a,b)$, es gibt also Zahlen $u$ und $v$ derart,
+dass $a=ug$ und $b=vg$.
+Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $u$ und $v$ ist, dann ist $tg$ ein
+grösserer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$.
+Dies kann nicht sein, also müssen $u$ und $v$ teilerfremd sein.
+Das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist dann $ugv=av=ub$.
+Die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist also gleichbedeutend
+mit der Bestimmung der Zahlen $u$ und $v$.
+
+Die definierende Eigenschaften von $u$ und $v$ kann man in Matrixform als
+\begin{equation}
+\begin{pmatrix}
+a\\b
+\end{pmatrix}
+=
+\underbrace{
+\begin{pmatrix}
+u&?\\
+v&?
+\end{pmatrix}}_{\displaystyle =K}
+\begin{pmatrix}
+\operatorname{ggT}(a,b)\\ 0
+\end{pmatrix}
+\label{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix}
+\end{equation}
+geschrieben werden, wobei wir die Matrixelemente $?$ nicht kennen.
+Diese Elemente müssen wir auch nicht kennen, um $u$ und $v$ zu bestimmen.
+
+Bei der Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers wurde der Vektor auf
+der rechten Seite von~\eqref{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix} bereits
+gefunden.
+Die Matrizen $Q(q_i)$, die die einzelne Schritte des euklidischen
+Algorithmus beschreiben, ergeben ihn als
+\[
+\begin{pmatrix}
+\operatorname{ggT}(a,b)\\0
+\end{pmatrix}
+=
+Q(q_n)Q(q_{n-1}) \dots Q(q_1)Q(q_0)
+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.
+\]
+Indem wir die Matrizen $Q(q_n)$ bis $Q(q_0)$ auf die linke Seite der
+Gleichung schaffen, erhalten wir
+\[
+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}
+=
+Q(q_0)^{-1}
+Q(q_1)^{-1}
+\dots
+Q(q_{n-1})^{-1}
+Q(q_n)^{-1}
+\begin{pmatrix}\operatorname{ggT}(a,b)\\0\end{pmatrix}.
+\]
+Eine mögliche Lösung für die Matrix $K$ in
+\eqref{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix}
+ist der die Matrix
+\[
+K
+=
+Q(q_0)^{-1}
+Q(q_1)^{-1}
+\dots
+Q(q_{n-1})^{-1}
+Q(q_n).
+\]
+Insbesondere ist die Matrix $K$ die Inverse der früher gefundenen
+Matrix $Q$.
+
+Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht sehr
+effizient.
+Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen
+$Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel
+für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben.
+
+Schreiben wir die gesuchte Matrix
+\[
+K_k
+=
+Q(q_0)^{-1}\dots Q(q_{k-1})^{-1}
+=
+\begin{pmatrix}
+e_k & e_{k-1}\\
+f_k & f_{k-1}
+\end{pmatrix},
+\]
+dann kann man $K_k$ durch die Rekursion
+\begin{equation}
+K_{k+1}
+=
+K_{k} Q(q_k)^{-1}
+=
+K_k K(q_k)
+\qquad\text{mit}\qquad
+K_0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
+\label{buch:endlichekoerper:eqn:kgvrekursion}
+\end{equation}
+berechnen.
+Die Inverse von $Q(q)$ ist
+\[
+K(q)
+=
+Q(q)^{-1}
+=
+\frac{1}{\det Q(q)}
+\begin{pmatrix}
+q&1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\quad\text{denn}\quad
+K(q)Q(q)
+=
+\begin{pmatrix}
+q&1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&1\\
+1&-q
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+1&0\\
+0&1
+\end{pmatrix}.
+\]
+Da die zweite Spalte von $K(q)$ die erste Spalte einer Einheitsmatrix
+ist, wird die zweite Spalte des Produktes $AK(q)$ immer die erste Spalte
+von $A$ sein.
+In $K_{k+1}$ ist daher nur die erste Spalte neu, die zweite Spalte ist
+die erste Spalte von $K_k$.
+
+Aus der Rekursionsformel \eqref{buch:endlichekoerper:eqn:kgvrekursion}
+für die Matrizen $K_k$ kann man jetzt eine Rekursionsbeziehung
+für die Folgen $e_k$ und $f_k$ ablesen, es gilt
+\begin{align*}
+e_{k+1} &= q_ke_k + e_{k-1} \\
+f_{k+1} &= q_kf_k + f_{k-1}
+\end{align*}
+für $k=0,1,\dots ,n$.
+Damit können $e_k$ und $f_k$ gleichzeitig mit den Zahlen $c_k$ und $d_k$
+in einer Tabelle berechnen.
+
+\begin{beispiel}
+Wir erweitern das Beispiel von
+Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
+um die beiden Spalten zur Berechnung von $e_k$ und $f_k$:
+\begin{center}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+k& a_k& b_k& q_k& r_k& c_k& d_k& e_k& f_k\\
+\hline
+ & & & & & 1& 0& 0& 1\\
+0& 76415& 23205& 3& 6800& 0& 1& 1& 0\\
+1& 23205& 6800& 3& 2805& 1& -3& 3& 1\\
+2& 6800& 2805& 2& 1190& -3& 10& 10& 3\\
+3& 2805& 1190& 2& 425& 7& -23& 23& 7\\
+4& 1190& 425& 2& 340& -17& 56& 56& 17\\
+5& 425& 340& 1& 85& 41& -135& 135& 41\\
+6& 340& 85& 4& 0& -58& 191& 191& 58\\
+7& 85& 0& & & 273& -899& 899& 273\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Der grösste gemeinsame Teiler ist $\operatorname{ggT}(a,b)=85$.
+Aus der letzten Zeile der Tabelle kann man jetzt die Zahlen $u=e_7=899$
+und $v=f_7=273$ ablesen, und tatsächlich ist
+\[
+a=76415 = 899\cdot 85
+\qquad\text{und}\qquad
+b=23205 = 273 \cdot 85.
+\]
+Daraus kann man dann auch das kleinste gemeinsame Vielfache ablesen, es ist
+\[
+\operatorname{kgV}(a,b)
+=
+\operatorname{kgV}(76415,23205)
+=
+\left\{
+\begin{aligned}
+ub
+&=
+899\cdot 23205\\
+va
+&=
+273\cdot 76415
+\end{aligned}
+\right\}
+=
+20861295.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Der erweiterte Algorithmus kann auch dazu verwendet werden,
+das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Polynome zu berechnen.
+Dies wird zum Beispiel bei der Decodierung des Reed-Solomon-Codes in
+Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} verwendet.
+
+\subsubsection{Polynome
+\label{buch:endlichekoerper:eqn:polynomkgv}}
+Im Beispiel auf Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:eqn:polynomggt}
+wird der grösste gemeinsame Teiler der Polynome
+\[
+a
+=
+X^4 - 2X^3 -7 X^2 + 8X + 12,
+\qquad
+b = X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6
+\]
+berechnet.
+Dies kann jetzt erweitert werden für die Berechnung des kleinsten
+gemeinsamen Vielfachen.
+
+\begin{beispiel}
+Die Berechnungstabelle nur für die Spalten $e_k$ und $f_k$ ergibt
+\begin{center}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+k& q_k& e_k& f_k\\
+\hline
+ & & 0& 1\\
+0& 1& 1& 0\\
+1&-\frac13X-\frac13& 1& 1\\
+2& \frac34X+\frac34& -\frac13X+\frac23& -\frac13X-\frac13\\
+ & &-\frac14X^2+\frac14X+\frac32&-\frac14X^2-\frac12X+\frac34\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Daraus kann man ablesen, dass
+\[
+u
+=
+-\frac14X^2+\frac14X+\frac32
+\qquad\text{und}\qquad
+v
+=
+-\frac14X^2-\frac12X+\frac34.
+\]
+Daraus ergibt sich das kleinste gemeinsame Vielfache auf zwei verschiedene Weisen:
+\[
+\operatorname{ggT}(a,b)
+=
+\left\{
+\begin{aligned}
+\textstyle
+(-\frac14X^2+\frac14X+\frac32)&\cdot(X^4 - 2X^3 -7 X^2 + 8X + 12)
+\\
+\textstyle
+(-\frac14X^2-\frac12X+\frac34)&\cdot(X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6)
+\end{aligned}
+\right\}
+=
+-\frac14X^6+\frac72X^4-\frac{49}4X^2+9.
+\]
+Die beiden Berechnungsmöglichkeiten stimmen wie erwartet überein.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Anwendung: Decodierung des Reed-Solomon-Codes}
+Der Reed-Solomon-Code verwendet Polynome zur Codierung der Daten,
+dies wird in Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} im Detail beschrieben.
+Bei der Decodierung muss der Faktor $u$ für zwei gegebene Polynome
+$n(X)$ und $r(X)$ bestimmt werden.
+Allerdings ist das Polynom $r(X)$ nicht vollständig bekannt, nur die
+ersten paar Koeffizienten sind gegeben.
+Dafür weiss man zusätzlich, wieviele Schritte genau der Euklidische
+Algorithmus braucht.
+Daraus lässt sich genügend Information gewinnen, um die Faktoren $u$
+und $v$ zu bestimmen.
+Das Video \url{https://youtu.be/uOLW43OIZJ0} von Edmund Weitz
+erklärt die Theorie hinter dieser Teilaufgabe anhand von Beispielen.
+
+\begin{beispiel}
+Wir berechnen also die Faktoren $u$ und $v$ für die beiden Polynome
+\begin{align*}
+n(X)
+&=
+X^{12}+12
+\\
+r(X)
+&=
+7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + w(X)
+\end{align*}
+in $\mathbb{F}_{13}[X]$, wobei $w(X)$ ein unbekanntes Polynom vom Grad $5$ ist.
+Man weiss zusätzlich noch, dass der euklidische Algorithmus genau drei
+Schritte braucht, es gibt also genau drei Quotienten, die in die
+Berechnung der Zahlen $e_k$ und $f_k$ einfliessen.
+
+Im ersten Schritt des euklidischen Algorithmus ist der Quotient
+$n(X) / r(X)$ zu bestimmen, der Grad $1$ haben muss.
+\begin{align*}
+a_0=n(X) &= X^{12}+12
+\\
+b_0=r(X) &= 7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + \dots
+\\
+q_0 &= 2X+10
+\\
+r_0 = a_0-b_0\cdot q_0 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
+\\
+a_1 &= 7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + \dots
+\\
+b_1 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
+\\
+q_1 &= 2X+2
+\\
+r_1 = a_1 - b_1q_1 &= 5X^9 + 10 X^8 + \dots
+\\
+a_2 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
+\\
+b_2 &= 5X^9 + 10 X^8 + \dots
+\\
+q_2 &= 2X+10
+\end{align*}
+Aus den Polynomen $q_k$ können jetzt die Faktoren $u$ und $v$
+bestimmt werden:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+\hline
+k& q_k& e_k& f_k\\
+\hline
+ & & 0& 1\\
+0& 2X+10& 1& 0\\
+1& 2X+2 & 2X+10& 1\\
+2& 2X+10& 4X^2+11X+8& 2X+2\\
+ & & 8X^3+10X^2+11X+12& 4X^2+11X+8\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Die Faktorisierung des Polynoms
+\[
+u
+=
+8X^3+10X^2+11X+12
+\]
+kann bestimmt werden, indem man alle Zahlen $1,2,\dots,12\in\mathbb{F}_{13}$
+einsetzt.
+Man findet so die Nullstellen $3$, $4$ und $8$, also muss das Polynom
+$u$ faktorisiert werden können als
+\[
+u=
+8(X-3)(X-4)(X-8)
+=
+8X^3 - 120X^2+544X-768
+=
+8X^3 +10X^2+11X+12.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
index fbacba6..2f8117e 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
@@ -27,7 +27,7 @@ Primzahlpotenz $p^n$ von Elementen haben und die die Basis wichtiger
kryptographischer Algorithmen sind.
%
-% Arithmetik module $o$
+% Arithmetik modulo $o$
%
\subsection{Arithmetik modulo $p$
\label{buch:subsection:arithmetik-modulo-p}}
@@ -413,7 +413,7 @@ Elemente.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf}
-\caption{Binomialkoeffizienten module $2$ im Pascal-Dreieck.
+\caption{Binomialkoeffizienten modulo $2$ im Pascal-Dreieck.
Auf den rot hinterlegten Zeilen, die zu Exponenten der Form $2^k$ gehören,
sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $2$ teilbar.
\label{buch:endliche-koerper:fig:binomial2}}
@@ -423,7 +423,7 @@ sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $2$ teilbar.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf}
-\caption{Binomialkoeffizienten module $5$ im Pascal-Dreieck.
+\caption{Binomialkoeffizienten modulo $5$ im Pascal-Dreieck.
Die von $0$ verschiedenen Reste werden durch Farben dargestellt:
$1=\text{schwarz}$,
$2=\text{\color{farbe2}rot}$,
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf
index 92be742..0a07c92 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex
index 77ccb57..1856844 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex
@@ -279,6 +279,25 @@
\dreieck{32}{0}
\dreieck{32}{32}
+\dreieck{33}{0}
+\dreieck{33}{1}
+\dreieck{33}{32}
+\dreieck{33}{33}
+
+\dreieck{34}{0}
+\dreieck{34}{2}
+\dreieck{34}{32}
+\dreieck{34}{34}
+
+\dreieck{35}{0}
+\dreieck{35}{1}
+\dreieck{35}{2}
+\dreieck{35}{3}
+\dreieck{35}{32}
+\dreieck{35}{33}
+\dreieck{35}{34}
+\dreieck{35}{35}
+
\def\etikett#1#2#3{
\node at ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)}) {$#3$};
}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf
index 1b2a813..a4bdf51 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex
index 750b7e0..815e611 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex
@@ -358,6 +358,64 @@
\dreieck{32}{31}{2}
\dreieck{32}{32}{1}
+\dreieck{33}{0}{1}
+\dreieck{33}{1}{3}
+\dreieck{33}{2}{3}
+\dreieck{33}{3}{1}
+\dreieck{33}{5}{1}
+\dreieck{33}{6}{3}
+\dreieck{33}{7}{3}
+\dreieck{33}{8}{1}
+\dreieck{33}{25}{1}
+\dreieck{33}{26}{3}
+\dreieck{33}{27}{3}
+\dreieck{33}{28}{1}
+\dreieck{33}{30}{1}
+\dreieck{33}{31}{3}
+\dreieck{33}{32}{3}
+\dreieck{33}{33}{1}
+
+\dreieck{34}{0}{1}
+\dreieck{34}{1}{4}
+\dreieck{34}{2}{1}
+\dreieck{34}{3}{4}
+\dreieck{34}{4}{1}
+\dreieck{34}{5}{1}
+\dreieck{34}{6}{4}
+\dreieck{34}{7}{1}
+\dreieck{34}{8}{4}
+\dreieck{34}{9}{1}
+\dreieck{34}{25}{1}
+\dreieck{34}{26}{4}
+\dreieck{34}{27}{1}
+\dreieck{34}{28}{4}
+\dreieck{34}{29}{1}
+\dreieck{34}{30}{1}
+\dreieck{34}{31}{4}
+\dreieck{34}{32}{1}
+\dreieck{34}{33}{4}
+\dreieck{34}{34}{1}
+
+\dreieck{35}{0}{1}
+\dreieck{35}{5}{2}
+\dreieck{35}{10}{1}
+\dreieck{35}{25}{1}
+\dreieck{35}{30}{2}
+\dreieck{35}{35}{1}
+
+\dreieck{36}{0}{1}
+\dreieck{36}{1}{1}
+\dreieck{36}{5}{2}
+\dreieck{36}{6}{2}
+\dreieck{36}{10}{1}
+\dreieck{36}{11}{1}
+\dreieck{36}{25}{1}
+\dreieck{36}{26}{1}
+\dreieck{36}{30}{2}
+\dreieck{36}{31}{2}
+\dreieck{36}{35}{1}
+\dreieck{36}{36}{1}
+
\def\etikett#1#2#3{
\node at ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)}) {$#3$};
}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima
new file mode 100644
index 0000000..9116023
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima
@@ -0,0 +1,29 @@
+n: X^12 + 12;
+r: 7*X^11 + 4*X^10 + X^9 + 12*X^8 + 2*X^7 + 12*X^6;
+
+q0: 2*X+10;
+q1: 2*X+2;
+q2: 2*X+10;
+
+a0: n;
+b0: r;
+r0: expand(a0 - q0 * b0);
+
+a1: b0;
+b1: r0;
+r1: expand(a1 - q1 * b1);
+
+a2: b1;
+b2: r1;
+r2: expand(a2 - q2 * b2);
+
+K: matrix([1,0],[0,1]);
+
+K: expand(K . matrix([q0,1],[1,0]));
+K: expand(K . matrix([q1,1],[1,0]));
+K: expand(K . matrix([q2,1],[1,0]));
+
+u: 8*X^3+10*X^2+11*X+12;
+v: 4*X^2+11*X+8;
+
+factor(u), modulus:13;
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
index 8a83256..5dea881 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
@@ -46,7 +46,7 @@ Q(2)Q(1)Q(3)Q(4)
\begin{pmatrix} 4&-17\\ -11&47 \end{pmatrix}.
\end{align*}
Daraus kann man ablesen, dass $s=4$ und $t=-17$, tatsächlich ist
-$4\cdot 47-47\cdot 11=188-187=1$.
+$4\cdot 47-17\cdot 11=188-187=1$.
Wir schliessen daraus, dass $-17=30\in\mathbb{F}_{47}$ die multiplikative
Inverse von $b=11$ ist.
Die Rechnung $11\cdot 30 = 330 = 7\cdot 47 + 1$ zeigt, dass dies
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
index 046ac94..deb15dc 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
@@ -65,19 +65,19 @@ Die Gauss-Tableaux sind
\begin{align*}
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
- 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
- 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
- 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\
- 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
+ 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+ 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
+ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
+ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
\hline
\end{tabular}
&\to
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
- 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
- 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
+ 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+ 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
- 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
+ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
\hline
\end{tabular}
%\\
@@ -85,8 +85,8 @@ Die Gauss-Tableaux sind
\to
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
- 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
- 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
+ 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+ 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
\hline
@@ -95,8 +95,8 @@ Die Gauss-Tableaux sind
\to
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
- 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
- 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
+ 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
\hline
@@ -106,8 +106,8 @@ Die Gauss-Tableaux sind
\to
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
- 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
- 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
+ 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
\hline
@@ -118,7 +118,7 @@ Die Gauss-Tableaux sind
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
- 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
+ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
\hline
@@ -128,7 +128,7 @@ In der ersten Zeile stehen die Schritt der Vorwärtsreduktion, in der
zweiten die Schritte des Rückwärtseinsetzens.
Als Lösung liest man ab
\[
-x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1 \end{pmatrix},
+x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1 \end{pmatrix},
\]
die Korrektheit kann man leicht durch Einsetzen überprüfen.
\item
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
index 28f4d2c..65c18a2 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
@@ -1,10 +1,12 @@
-Das Polynom $m(X)=X^2+X+1$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel.
+% !TeX spellcheck = de_CH
+Das Polynom $m(X)=X^2+2X+2$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel.
Dies bedeutet, dass der Ring der Polynome $\mathbb{F}_3[X] / (m(X))$
-ein Körper ist, man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$,
-wobei man sich $\alpha$ als eine Nullstelle von $m(X)$
+ein Körper ist.
+Man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$,
+wobei man sich $\alpha$ als Nullstelle von $m(X)$
oder als die Matrix
\[
-\alpha = \begin{pmatrix} 0&2\\1&2\end{pmatrix}
+\alpha = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix}
\]
vorstellen kann.
\begin{teilaufgaben}
@@ -70,17 +72,30 @@ Die Additions- und Multiplikationstabelle von $\mathbb{F}_3$ ist
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item
-Wegen $m(\alpha)=\alpha^2+\alpha+1=0$ folgt $\alpha+1+\alpha^{-1}=0$
-oder $\alpha^{-1} = -\alpha - 1 = 2+2\alpha$.
+Aus $m(\alpha)=\alpha^2+2\alpha+2=0$ folgt
+\begin{align*}
+ \alpha + 2 + 2\alpha^{-1}
+ &=
+ 0
+ \\
+ 2\alpha^{-1}
+ &=
+ 2\alpha + 1
+ \\
+ \alpha^{-1}
+ &=
+ \alpha + 2
+ .
+\end{align*}
Als Matrix kann man
\[
\alpha^{-1}
=
-2\alpha + 2
+\alpha + 2
=
\begin{pmatrix}
-0&4\\
-2&4
+0&1\\
+1&1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
@@ -88,10 +103,10 @@ Als Matrix kann man
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2&4\\2&2
+2&1\\1&3
\end{pmatrix}
\equiv
-\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}
\mod 3
\]
schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt
@@ -99,17 +114,17 @@ schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt
\alpha\alpha^{-1}
=
\begin{pmatrix}
-0&2\\
-1&2
+0&1\\
+1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2&1\\
-2&0
+1&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-4&0\\
-6&1
+1&0\\
+3&1
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
@@ -125,9 +140,11 @@ Im ersten Schritt ist es
\[
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
- \llap{$($}X^2&+&X&+&1\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X = q_1\\
-\llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& & & & & & & & \\ \cline{1-3}
- & &0&+&1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& & & & & \\
+ \llap{$($}X^2&+&2X&+&2\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X + 1 = q_1\\
+ \llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& & & & & & & & \\ \cline{1-3}
+ & &X&+&2 & & & & & & \\
+ & & \llap{$-($}X&+&1\rlap{$)$} & & & & & & \\ \cline{3-5}
+ & & & &1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& & & & &\\
\end{array}
\]
Die nächste Division ist $(X+1) : 1$, die als Quotient $q_2=X+1$ und den
@@ -152,53 +169,77 @@ Q(q_1)
0&1\\1&2X+2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-0&1\\{\color{red}1}&{\color{red}2X}
+0&1\\1&2X+2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-{\color{red}1}&{\color{red}2X}\\
-2X&X^2+X+1
+1&2X+2\\
+2X+2&X^2+X+2
\end{pmatrix}.
\end{align*}
-Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X$ und man kann nachrechnen,
+Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X+2$ und man kann nachrechnen,
dass
\begin{align*}
s\cdot m(X) + t\cdot (X+1)
&=
-X^2+X+1 + 2X\cdot (X+1)
-=
-X^2+X+1 + 2X^2 + 2X
+X^2+2X+2 + (2X+2)\cdot (X+1)
\\
-&= 3X^2+3X+1\equiv 1 \mod 3.
+&=
+X^2+2X+2 + 2X^2 + 4X + 2
+\\
+&= 3X^2+6X+1\\
+&\equiv 1 \mod 3.
\end{align*}
Natürlich kann man $s$ und $t$ auch mit der erweiterten Tabelle
finden:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
\hline
-k& a_k&b_k& q_k&r_k& c_k& d_k\\
+k& a_k&b_k & q_k&r_k& c_k& d_k\\
\hline
- & & & & & 1& 0\\
-0&X^2+X+1&X+1& X & 1& 0& 1\\
-1& X+1& 1& X+1& 0&{\color{red} 1}&{\color{red} 2X}\\
-2& 1& 0& & 0&2X+2& 2X^2+2X\\
+ & & & & & 1& 0\\
+0&X^2+2X+2&X+1& X+1& 1& 0& 1\\
+1& X+1& 1& X+1& 0& 1& 2X+2\\
+2& 1& 0& & 0&2X+2&X^2+2X+2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
-In allen Fällen ist also $(1+X)^{-1} = 2X$.
+In allen Fällen ist also $(X+1)^{-1} = 2X+2$.
\item
-Wegen $m(\alpha)=0$ ist $\alpha^2=-\alpha-1=2\alpha+2$ und damit
+Wegen $m(\alpha)=\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ ist
+$\alpha^2=-2\alpha-2=\alpha+1$ und damit
\begin{align*}
\alpha^3
&=
-\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (2\alpha +2) =
-2\alpha^2 + 2\alpha
-=
-2(\underbrace{\alpha^2 + \alpha + 1}_{\displaystyle=0} + 2)
-=
-2\cdot 2
+\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (\alpha +1) =
+\alpha^2 + \alpha
=
-1.
+2\alpha+1
+.
+\end{align*}
+Die restlichen Potenzen von $\alpha$ sind
+\begin{align*}
+ \alpha^4
+ &=
+ \alpha (2\alpha+1)
+ = 2\alpha^2 + \alpha
+ = 2\alpha + 2 + \alpha = 2
+ \\
+ \alpha^5
+ &=
+ 2\alpha
+ \\
+ \alpha^6
+ &=
+ 2\alpha^2
+ =
+ 2\alpha + 2
+ \\
+ \alpha^7
+ &=
+ 2\alpha^2 + 2\alpha
+ =
+ \alpha + 2
\qedhere
\end{align*}
\end{teilaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
index 02429dc..600336c 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -731,7 +731,7 @@ dass
sf+tm=1.
\]
Reduzieren wir modulo $m$, wird daraus $af=1$ in $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]$.
-Das Polynom $a$, reduziert module $m$, ist also die multiplikative
+Das Polynom $a$, reduziert modulo $m$, ist also die multiplikative
Inverse von $f$.
Bei der praktischen Durchführung des euklidischen Algorithmus ist der