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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima index 4770926..bc8e967 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima @@ -11,56 +11,41 @@ factor(m); modulus:false; M: matrix( - [ 0, 0, 0, -3 ], - [ 1, 0, 0, -2 ], - [ 0, 1, 0, -2 ], - [ 0, 0, 1, -1 ] + [ 0, 0, -3 ], + [ 1, 0, -2 ], + [ 0, 1, -2 ] ); M: mod(M, 7); M0: identfor(M); M1: M; M2: M.M1; -M3: M.M2; a0: 1; a1: 2; -a2: 9; -a3: 1; +a2: 2; -a: a0 + a1*X + a2*X^2 + a3*X^3; +a: a0 + a1*X + a2*X^2; -A: a0*M0 + a1*M1 + a2*M2 + a3*M3; +A: a0*M0 + a1*M1 + a2*M2; A: mod(A, 7); T: matrix( - [ A[1,1], A[1,2], A[1,3], A[1,4], 1, 0, 0, 0 ], - [ A[2,1], A[2,2], A[2,3], A[2,4], 0, 1, 0, 0 ], - [ A[3,1], A[3,2], A[3,3], A[3,4], 0, 0, 1, 0 ], - [ A[4,1], A[4,2], A[4,3], A[4,4], 0, 0, 0, 1 ] + [ A[1,1], A[1,2], A[1,3], 1, 0, 0 ], + [ A[2,1], A[2,2], A[2,3], 0, 1, 0 ], + [ A[3,1], A[3,2], A[3,3], 0, 0, 1 ] ); t: inv_mod(T[1,1], 7); T[1]: mod(t * T[1], 7); T[2]: mod(T[2] - T[2,1]*T[1], 7); T[3]: mod(T[3] - T[3,1]*T[1], 7); -T[4]: mod(T[4] - T[4,1]*T[1], 7); t: inv_mod(T[2,2], 7); T[2]: mod(t * T[2], 7); T[3]: mod(T[3] - T[3,2] * T[2], 7); -T[4]: mod(T[4] - T[4,2] * T[2], 7); t: inv_mod(T[3,3], 7); T[3]: mod(t * T[3], 7); -T[4]: mod(T[4] - T[4,3] * T[3], 7); - -t: inv_mod(T[4,4], 7); -T[4]: mod(t * T[4], 7); -T; - -T[3]: mod(T[3] - T[3,4] * T[4], 7); -T[2]: mod(T[2] - T[2,4] * T[4], 7); -T[1]: mod(T[1] - T[1,4] * T[4], 7); T[2]: mod(T[2] - T[2,3] * T[3], 7); T[1]: mod(T[1] - T[1,3] * T[3], 7); @@ -70,10 +55,9 @@ T[1]: mod(T[1] - T[1,2] * T[2], 7); T; C: matrix( - [ T[1,5], T[1,6], T[1,7], T[1,8] ], - [ T[2,5], T[2,6], T[2,7], T[2,8] ], - [ T[3,5], T[3,6], T[3,7], T[3,8] ], - [ T[4,5], T[4,6], T[4,7], T[4,8] ] + [ T[1,4], T[1,5], T[1,6] ], + [ T[2,4], T[2,5], T[2,6] ], + [ T[3,4], T[3,5], T[3,6] ] ); mod(A.C, 7); @@ -81,17 +65,14 @@ mod(A.C, 7); b0: C[1,1]; b1: C[2,1]; b2: C[3,1]; -b3: C[4,1]; -Cc: mod(b0*M0 + b1*M1 + b2*M2 + b3*M3, 7); +Cc: mod(b0*M0 + b1*M1 + b2*M2, 7); C - Cc; -b: b0 + b1*X + b2*X^2 + b3*X^3; +b: b0 + b1*X + b2*X^2; p: expand(a*b); -p: expand(p - 5 * m * X^3); -p: expand(p - 40 * m * X^2); -p: expand(p + 35 * m * X); -p: expand(p + 9 * m); +pp: 3*X^4 + X^3 + 3*X^2 + 6*X; + +divide(pp, m, X); -mod(28 * M0 + 125*M1 - 18*M2,7); diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex index 2fb8d96..c9fb6d1 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex @@ -371,20 +371,19 @@ das Inverse von $a(\alpha)$ sein. \begin{beispiel} Wir betrachten das Polynom \[ -m(X) = X^3 + 2X^2 + 2X + 3 \in \mathbb{F}_{7} +m(X) = X^3 + 2X^2 + 2X + 3 \in \mathbb{F}_{7}[X], \] es irreduzibel. Sei $\alpha$ eine Nullstelle von $m$, wir suchen das inverse Element zu \[ -a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2+\alpha^3\in\mathbb{F}_{7}(\alpha). +a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2\in\mathbb{F}_{7}(\alpha). \] Die Matrix $a(M_\alpha)$ bekommt die Form \[ A=\begin{pmatrix} - 1& 4& 4& 3\\ - 2& 6& 2& 6\\ - 2& 0& 4& 4\\ - 1& 1& 6& 5 + 1& 1& 6\\ + 2& 4& 5\\ + 2& 5& 1 \end{pmatrix}. \] Die Inverse kann man bestimmen, indem man den @@ -392,17 +391,39 @@ Gauss-Algorithmus in $\mathbb{F}_{17}$ durchführt. Man bekommt \[ B=\begin{pmatrix} - 1& 6& 0& 2\\ - 0& 5& 6& 6\\ - 5& 4& 5& 5\\ - 5& 0& 4& 1 + 0& 6& 5\\ + 6& 4& 0\\ + 5& 3& 5 \end{pmatrix}. \] Daraus können wir jetzt das inverse Element \[ -b(\alpha) = 1 + 5\alpha^2 + 5\alpha^3 +b(\alpha) = 6\alpha+5\alpha^2 \] ablesen. +Das Produkt $b(X)\cdot a(X)$ ist +\begin{align*} +(1+2X+2X^2)(6X+5X^2) +&= +10X^4 + 22X^3 + 17X^2 + 6X +\\ +&= +3X^4+X^3+3X^2+6X +\intertext{ +Diese Polynom muss jetzt mit dem Minimalpolynom $m(X)$ reduziert +werden, wir subtrahieren dazu $3Xm(X)$ und erhalten} +&= +-5X^3-3X^2-3X +\\ +&= +2X^3+4X^2+4X +\intertext{Die vollständige Reduktion wird erreicht, indem wir nochmals +$2m(X)$ subtrahieren:} +&= +-6 \equiv 1\mod 7, +\end{align*} +das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also das Inverse Element von +$a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2$ in $\mathbb{F}_7(\alpha)$. \end{beispiel} \subsubsection{Rechnen in $\Bbbk(\alpha)$} |