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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex index 055a4f9..fbacba6 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex @@ -3,6 +3,7 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % +% !TeX spellcheck = de_CH \section{Galois-Körper \label{buch:section:galoiskoerper}} \rhead{Galois-Körper} @@ -257,11 +258,11 @@ alle diese möglichen Auftrennungen zu verschiedenen Perlenketten führen. Zwei Trennstellen, die $k$-Perlen auseinander liegen, führen nur dann zur gleichen Perlenkette, wenn die geschlossenen Ketten durch Drehung -um $k$ Perlen ineinander umgehen. +um $k$ Perlen ineinander übergehen. Dies bedeutet aber auch, dass sich das Farbmuster alle $k$-Perlen wiederholen muss. Folglich ist $k$ ein Teiler von $p$. -$p$ Verschiedene Perlenketten entstehen also immer genau dann, wenn $p$ +$p$ verschiedene Perlenketten entstehen also immer genau dann, wenn $p$ eine Primzahl ist. Wir schliessen daraus, dass $a^p-a$ durch $p$ teilbar ist, genau dann, @@ -485,7 +486,7 @@ Wir wissen aus Satz \ref{buch:endliche-koerper:satz:binom}, dass Wir müssen zeigen, dass $(a+b)^{p^k}=a^{p^k}+b^{p^k}$ gilt. Wir verwenden vollständige Induktion, \eqref{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p} ist die Induktionsverankerung. -Wir nehmen jetzt im Sinne der Induktionsannahme, dass +Wir nehmen jetzt im Sinne der Induktionsannahme an, dass \eqref{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p^k} für ein bestimmtes $k$ gilt. Dann ist \[ @@ -517,7 +518,7 @@ In $\mathbb{F}_p$ gilt \[ \binom{p^k}{m}=0 \] -für beliebige $k>0$ und $0<m<p$. +für beliebige $k>0$ und $0<m<p^k$. \end{satz} \subsubsection{Frobenius-Automorphismus} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex index 3be5d60..5dc3fc2 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex @@ -3,6 +3,7 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % +% !TeX spellcheck = de_CH \section{Wurzeln \label{buch:section:wurzeln}} \rhead{Wurzeln} @@ -68,7 +69,7 @@ Koeffizienten in $\Bbbk$ ist, dessen Nullstelle $\alpha$ hinzugefügt werden sollen. Das Ziel ist natürlich, dass diese Erweiterung vollständig beschrieben werden kann durch das Polynom, ganz ohne Bezug zum Beispiel auf einen -numerischen Wert der Nullstelle, der ohnehin nur in $\mathbb(C)$ sinnvoll +numerischen Wert der Nullstelle, der ohnehin nur in $\mathbb{C}$ sinnvoll wäre. Nehmen wir jetzt an, dass sich das Polynom $f$ faktorisieren lässt. @@ -80,7 +81,7 @@ verschwinden, also $g(\alpha)=0$ oder $h(\alpha)=0$. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass $g(\alpha)=0$. Die Operation des Hinzufügens der Nullstelle $\alpha$ von $f$ -muss also genauso gut mit $g$ ausgeführt werden. +muss also genauso gut mit $g$ ausgeführt werden können. Indem wir diese Überlegung auf $g$ anwenden können wir schliessen, dass es ein Polynom $m\in\Bbbk[X]$ kleinstmöglichen Grades geben muss, welches $\alpha$ als Nullstelle hat. @@ -105,7 +106,7 @@ positiven zu unterscheiden. Das Polynom kann in $\mathbb{Q}$ nicht faktorisiert werden, denn die einzig denkbare Faktorisierung ist $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, die Faktoren sind aber keine Polynome in $\mathbb{Q}[X]$. -Also ist ein irreduzibles Polynom über $X^2-2$. +Also ist $f(X) = X^2 - 2$ ein irreduzibles Polynom über $\mathbb Q$. Man kann das Polynom aber auch als Polynom in $\mathbb{F}_{23}[X]$ betrachten. @@ -201,7 +202,7 @@ a_0 + a_1\alpha + a_2\alpha^2 + \dots a_k\alpha^k gebildet werden. Aus der Bedingung $m(\alpha)=0$ folgt aber, dass \begin{equation} -\alpha^n = -a_{n-1}\alpha^{n-1} -\dots - a_2\alpha^2 - a_1\alpha-a_0. +\alpha^n = -m_{n-1}\alpha^{n-1} -\dots - m_2\alpha^2 - m_1\alpha - m_0. \label{buch:endlichekoerper:eqn:reduktion} \end{equation} Alle Potenzen mit Exponenten $\ge n$ in @@ -214,9 +215,9 @@ Als Menge ist daher \Bbbk(\alpha) = \{ -a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+\dots+a_{n-1}\alpha^{n-1}\;|\; a_i\in\Bbbk\}. -\} +a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+\dots+a_{n-1}\alpha^{n-1}\;|\; a_i\in\Bbbk\} \] +ausreichend. Die Addition von solchen Ausdrücken und die Multiplikation mit Skalaren aus $\Bbbk$ machen $\Bbbk(\alpha)\cong \Bbbk^n$ zu einem Vektorraum, die Operationen können auf den Koeffizienten komponentenweise ausgeführt @@ -227,8 +228,8 @@ Die schwierige Operation ist die Multiplikation mit $\alpha$. Dazu stellen wir zusammen, wie die Multiplikation mit $\alpha$ auf den Basisvektoren von $\Bbbk(\alpha)$ wirkt: \[ -\alpha\cdot\colon -\Bbbk^n\to\Bbbk +\alpha\colon +\Bbbk^n\to\Bbbk^n : \left\{ \begin{aligned} @@ -249,12 +250,12 @@ M_{\alpha} 0 & & & & &-m_0 \\ 1 & 0 & & & &-m_1 \\ & 1 & 0 & & &-m_2 \\ - & & 1 &\ddots& &-m_3 \\ - & & &\ddots& 0 &\vdots \\ - & & & & 1 &-m_{n-2}\\ - & & & & &-m_{n-1} -\end{pmatrix} + & & 1 &\ddots& &\vdots \\ + & & &\ddots& 0 &-m_{n-2}\\ + & & & & 1 &-m_{n-1} +\end{pmatrix}. \] +%TODO: Was ist hier die Aussage? Aufgrund der Konstruktion die Lineare Abbildung $m(M_\alpha)$, die man erhält, wenn man die Matrix $M_\alpha$ in das Polynom $m$ einsetzt, jeden Vektor @@ -336,7 +337,7 @@ Körpers $\Bbbk(\alpha)$ in der Matrizenalgebra $M_n(\Bbbk)$. \subsubsection{Inverse} Im Moment wissen wir noch nicht, wie wir $\alpha^{-1}$ berechnen sollten. -Wir können aber auch die Matrizendarstellung verwenden können. +Wir können aber auch die Matrizendarstellung verwenden. Für Matrizen wissen wir selbstverständlich, wie Matrizen invertiert werden können. Tatsächlich kann man die Matrix $M_\alpha$ direkt invertieren: @@ -365,20 +366,19 @@ wie man durch Ausmultiplizieren überprüfen kann: -1 & 0 & 0 & & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0 & & & & &-m_0 \\ -1 & 0 & & & &-m_1 \\ - & 1 & 0 & & &-m_2 \\ - & & 1 &\ddots& &-m_3 \\ - & & &\ddots& 0 &\vdots \\ - & & & & 1 &-m_{n-2}\\ - & & & & &-m_{n-1} + 0 & & & & &-m_0 \\ + 1 & 0 & & & &-m_1 \\ + & 1 & 0 & & &-m_2 \\ + & & 1 &\ddots& &\vdots \\ + & & &\ddots& 0 &-m_{n-2}\\ + & & & & 1 &-m_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0&\dots&0&0\\ 0&1&0&\dots&0&0\\ 0&0&1&\dots&0&0\\ -\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&1&0\\ 0&0&0&\dots&0&1 \end{pmatrix} @@ -400,7 +400,7 @@ Aus den Einträgen der ersten Spalte kann man jetzt die Koeffizienten \[ b_0=(B)_{11}, b_1=(B)_{21}, -b_2=(B)_{11},\dots, +b_2=(B)_{31},\dots, b_{n-1}=(B)_{n,1} \] ablesen und daraus das Element @@ -433,7 +433,7 @@ Die Inverse kann man bestimmen, indem man den Gauss-Algorithmus in $\mathbb{F}_{7}$ durchführt. Die Arithmetik in $\mathbb{F}_{7}$ ist etwas ungewohnt, insbesondere die Pivot-Division ist etwas mühsam, daher sind in -Abbildung~\label{buch:endlichekoerper:fig:additionmultiplikation} +Abbildung~\ref{buch:endlichekoerper:fig:additionmultiplikation} die Additions- und Multiplikationstabellen zusammengestellt. \begin{figure} \begin{center} @@ -679,7 +679,7 @@ Sei der Grad von $f$ mindestens so gross wie der von $m$, also $l=\deg f\ge \deg m=n$. Indem man mit $\alpha^{l-n}$ multipliziert, erhält man die Relation \[ -\alpha^l + m_{n-1}\alpha^{l-1} + m_{n-2}\alpha^{l-2}+\dots +a_1\alpha^{l-n+1} + a_0\alpha^{-l-n} = 0. +\alpha^l + m_{n-1}\alpha^{l-1} + m_{n-2}\alpha^{l-2}+\dots +a_1\alpha^{l-n+1} + a_0\alpha^{l-n} = 0. \] Ist $f_l$ der führende Koeffizient des Polynoms $f$, dann ist @@ -714,7 +714,7 @@ gefunden haben. Diese Form des Reduktionsalgorithmus ist besonders leicht durchzuführen in einem Körper $\mathbb{F}_2$, da dort die Addition und die Subtraktion -der Koeffizienten dasselbe ist. +der Koeffizienten übereinstimmen. Die Multiplikation mit $X$ ist nichts anders als ein Shift der Koeffizienten. |