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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc index b15f476..5f30ab5 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc @@ -12,4 +12,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex \ chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex \ chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex \ + chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex \ + chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex \ + chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex \ chapters/40-eigenwerte/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex index e769b38..24ea57d 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex @@ -34,8 +34,8 @@ Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben. \input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex} -\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex} +%\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex} \section*{Übungsaufgaben} \rhead{Übungsaufgaben} @@ -44,5 +44,8 @@ Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben. \uebungsaufgabe{4001} \uebungsaufgabe{4002} \uebungsaufgabe{4003} +\uebungsaufgabe{4004} +\uebungsaufgabe{4005} +\uebungsaufgabe{4006} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex index d984452..69618a9 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -16,6 +16,36 @@ gestreckt werden. Gelingt es, eine Basis aus solchen sogenanten {\em Eigenvektoren} zu finden, dann kann man die Matrix $A$ durch Basiswechsel in diese Form bringen. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf} +\caption{Iterierte Kerne und Bilder einer $3\times 3$-Matrix mit Rang~2. +Die abnehmend geschachtelten iterierten Bilder +$\mathcal{J}^1(A) \subset \mathcal{J}^2(A)$ +sind links dargestellt, die zunehmen geschachtelten iterierten Kerne +$\mathcal{K}^1(A) \subset \mathcal{K}^2(A)$ rechts. +\label{buch:eigenwerte:img:kernbild}} +\end{figure} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf} +\caption{Iterierte Kerne und Bilder einer $3\times 3$-Matrix mit Rang~2. +Da $\dim\mathcal{J}^2(A)=1$ und $\dim\mathcal{J}^1(A)=2$ ist, muss es +einen Vektor in $\mathcal{J}^1(A)$ geben, der von $A$ auf $0$ abgebildet +wird, der also auch im Kern $\mathcal{K}^1(A)$ liegt. +Daher ist $\mathcal{K}^1(A)$ die Schnittgerade von $\mathcal{J}^1(A)$ und +$\mathcal{K}^2(A)$. +Man kann auch gut erkennen, dass +$\mathbb{R}^3 += +\mathcal{K}^1(A)\oplus \mathcal{J}^1(A) += +\mathcal{K}^2(A) \oplus \mathcal{J}^2(A)$ +ist. +\label{buch:eigenwerte:img:kombiniert}} +\end{figure} + % % Kern und Bild von Matrixpotenzen % @@ -183,6 +213,24 @@ Somit können sich $\mathcal{K}^i(A)$ und $\mathcal{J}^i(A)$ für $i>n$ nicht mehr ändern. \end{proof} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf} +\caption{Entwicklung der Dimension von $\dim\mathcal{K}^k(A)$ (grün) +und $\dim\mathcal{J}^k(A)$ (orange) in Abhängigkeit vom Exponenten $k$. +Für $k\ge l$ ändern sich die Dimensionen nicht mehr, $A$ eingeschränkt +auf $\mathcal{J}^l(A)=\mathcal{J}(A)$ ist injektiv. +\label{buch:eigenwerte:fig:dimjk}} +\end{figure} + +Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:dimjk} zeigt die Abhängigkeit der +Dimensionen $\dim\mathcal{K}^k(A)$ und $\dim\mathcal{J}^k(A)$ von $k$. +Die Dimension $\dim\mathcal{J}^k(A)$ nimmt ab bis zu $k=l$, danach ändert +sie sich nicht mehr und die Einschränkung von $A$ auf $\mathcal{J}^l(A)$ +ist injektiv. +Die Dimension $\dim\mathcal{K}^k(A)$ nimmt zu bis zu $k=l$, danach +ändert sie sich nicht mehr. + \begin{definition} \label{buch:eigenwerte:def:KundJ} Die gemäss Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:ketten} identischen Unterräume @@ -198,6 +246,7 @@ $\mathcal{J}^i(A)$ für $i\ge k$ werden mit bezeichnet. \end{definition} + % % Inveriante Unterräume % @@ -369,6 +418,7 @@ Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$. Insbesondere ist $A^n=0$, die Matrix $A$ ist nilpotent. \end{beispiel} + Man kann die Konstruktion der Unterräume $\mathcal{K}^i(A)$ weiter dazu verwenden, eine Basis zu finden, in der eine nilpotente Matrix eine besonders einfach Form erhält. @@ -457,6 +507,178 @@ Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent} kann man in $\mathcal{K}(A)$ eine Basis so wählen, dass die Matrix die Blockform \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} erhält. + + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf} +\caption{Entwicklung der Dimensionen von Kern und Bild von $A^k$ in +Abhängigkeit von $k$ +\label{buch:eigenwte:fig:jknilp}} +\end{figure} + +\begin{beispiel} +In der Abbildung~\ref{buch:eigenwte:fig:jknilp} sind die Dimensionen +von Kern und Bild der Matrix +\[ +\setcounter{MaxMatrixCols}{12} +A=\begin{pmatrix} +0& & & & & & & & & & & \\ + &0& & & & & & & & & & \\ + & &0& & & & & & & & & \\ + & & &0& & & & & & & & \\ + & & & &0&1& & & & & & \\ + & & & & &0& & & & & & \\ + & & & & & &0&1& & & & \\ + & & & & & & &0&1& & & \\ + & & & & & & & &0&1& & \\ + & & & & & & & & &0&1& \\ + & & & & & & & & & &0& +\end{pmatrix} +\] +dargestellt. +Die Matrix $A^k$ ist in den kleinen Quadraten am unteren Rand der Matrix +symbolisch dargestellt. +Grüne Spalten bestehen aus lauter Nullen, die zugehörigen +Standardbasisvektoren werden von diesem $A^k$ auf $0$ abgebildet. +Die orangen Felder enthalten Einsen, die entsprechenden Standardbasisvektoren +bilden daher eine Basis des Bildes von $A^k$. +\end{beispiel} + +% +% Basis für die Jordan-Normalform einer nilpotenten Matrix +% +\subsection{Basis für die Normalform einer nilpotenten Matrix bestimmen +\label{buch:subsection:normalform-einer-nilpotenten-matrix}} +Die Zerlegung in die invarianten Unterräume $\mathcal{J}^k(f)$ und +$\mathcal{K}^k(f)$ ermöglichen, eine Basis zu finden, in der die +Matrix von $f$ die Blockform \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} +hat. +In diesem Abschnitt soll die Konstruktion einer solchen Basis +etwas ausführlicher beschrieben werden. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf} +\caption{Konstruktion der Basis für die Jordansche Normalform einer +nilpotenten Matrix. +Die Vektoren werden in der Reihenfolge von rechts nach links in die +Matrix gefüllt. +\label{buch:eigenwerte:fig:normalform}} +\end{figure} + +Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:normalform} illustriert den Prozess +an einer nilpotenten Matrix $A$ mit $A^3=0$ +Die vertikalen Rechtecke im linken Teil der Abbildung symbolisieren +die Unterräume $\mathcal{K}^k(A)$. +Es ist bekannt, dass $\mathcal{K}^k(A) \subset \mathcal{K}^{k+1}(A)$ ist, +die Einbettung wird in der Abbildung durch graue Rechtecke dargestellt. +Es sei wieder $l$ der Exponent, für den $\mathcal{K}^l(A)=\Bbbk^n$ wird. +Da $\mathcal{K}^{l-1}(A)\ne \mathcal{K}^l(A)$ ist, muss es einen +komplementären Unterraum geben, in dem eine Basis gewählt wird. +Jeder der Vektoren $b_1,\dots,b_s$ dieser Basis gibt Anlass zu einem +Block der Form $N_l$, der auf dem Unterraum +$\langle b_i,Ab_i,\dots,A^{l-1}b_i\rangle$ operiert. +In der Abbildung ist $b_i$ durch einen roten Punkt symbolisiert und +die Bilder $Ab_i,\dots,A^{l-1}b_i$ werden durch blaue Pfeile untereinander +verbunden. + +Der Raum $\mathcal{K}^{l-1}(A)$ enthält dann $\mathcal{K}^{l-2}(A)$ und +die Vektoren $Ab_1,\dots,Ab_s$. +Es ist aber möglich, dass diese Vektoren nicht den ganzen Raum +$\mathcal{K}^{l-1}(A)$ erzeugen. +In diesem Fall lassen sich die Vektoren mit Hilfe weiterer Vektoren +$b_{s+1},\dots,b_{s+r}$ zu einer Basisi von $\mathcal{K}^{l-1}(A)$ +ergänzen. +Wie vorhin gibt jeder der Vektoren $b_{s+i}$ Anlass zu einem Block +der Form $N_{l-1}$, der auf dem Unterraum +$\langle b_{s+i},Ab_{s+i}\dots,A^{l-2}b_{s+i}\rangle$ +operiert. + +Durch Wiederholung dieses Prozesses können schrittweise Basisvektoren +$b_i$ erzeugt werden. +Die Matrix der Abbildung $f$ in der Basis $\{b_i,Ab_i,\dots,A^kb_i\}$ +ist ein Block der Form $N_k$. +Für $0\le k\le l-1$ sind die Vektoren $A^kb_i$, +solange sie von $0$ verschieden sind, +alle nach Konstruktion linear unabhängig, sie bilden eine Basis +von $\mathcal{K}^l(A)=\mathbb{R}^n$. + +\begin{beispiel} +Die Basis für die Zerlegung der Matrix +\[ +A += +\begin{pmatrix*}[r] + 3& 1&-2\\ +-21&-7&14\\ + -6&-2& 4 +\end{pmatrix*} +\] +in Blockform soll nach der oben beschriebenen Methode ermittelt werden. +Zunächst kann man nachrechnen, dass $A^2=0$ ist. +Der Kern von $A$ ist der Lösungsraum der Gleichung $Ax=0$, da alle Zeilen +Vielfache der ersten Zeile sind, recht es zu verlangen, dass die +Komponenten $x_i$ der Lösung die Gleichung +\[ +3x_1+x_2-2x_3=0 +\] +erfüllen. +Jetzt muss ein Vektor $b_1$ ausserhalb von $\mathbb{L}$ gefunden werden, +der erste Standardbasisvektor $e_1$ kann dazu verwendet werden. +Es ist auch klar, dass $Ae_1\ne 0$ ist. +Wir verwenden daher die beiden Vektoren +\[ +b_3=e_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +,\qquad +b_2=Ab_3=\begin{pmatrix*}[r] 3\\-21\\-6 \end{pmatrix*}, +\] +in dieser Basis hat $A$ die Matrix $N_2$. +Jetzt muss noch ein Basisvektor $b_1$ gefunden werden, +der in $\ker A=\mathbb{L}$ liegt und so, dass $b_1$ und $b_2$ +linear unabhängig sind. +Die zweite Bedingung kann leicht dadurch sichergestellt werden, +dass man die erste Komponente von $b_1$ als $0$ wählt. +Eine mögliche Lösung ist dann +\[ +b_1=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} +\] +Die Matrix +\[ +B=\begin{pmatrix*}[r] + 0& 1& 3\\ + 2& 0& -21\\ + 1& 0& -6 +\end{pmatrix*} +\qquad\text{mit Inverser} +\qquad +B^{-1}=\begin{pmatrix*}[r] +0&-\frac23& \frac73\\ +0&-\frac19& \frac29\\ +1& \frac13&-\frac23 +\end{pmatrix*} +\] +transformiert die Matrix $A$ auf den Block $N_3$: +\[ +B^{-1}AB += +B^{-1}\begin{pmatrix*}[r] +0&0& 3\\ +0&0&-21\\ +0&0& -6 +\end{pmatrix*} += +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&1\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +N_3. +\qedhere +\] +\end{beispiel} + % % Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors % diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile index db00dac..54b36d5 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile @@ -3,7 +3,9 @@ # # (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rappersil # -all: sp.pdf nilpotent.pdf +all: sp.pdf nilpotent.pdf kernbild.pdf kombiniert.pdf \ + wurzelapprox.pdf wurzel.pdf dimjk.pdf jknilp.pdf \ + normalform.pdf minmax.pdf sp.pdf: sp.tex sppaths.tex pdflatex sp.tex @@ -14,3 +16,29 @@ sppaths.tex: spbeispiel.m nilpotent.pdf: nilpotent.tex pdflatex nilpotent.tex +kernbild.pdf: kernbild.tex bild2.jpg kern2.jpg + pdflatex kernbild.tex + +kombiniert.pdf: kombiniert.tex kombiniert.jpg + pdflatex kombiniert.tex + +wurzelapprox.pdf: wurzelapprox.tex wa.tex + pdflatex wurzelapprox.tex + +wa.tex: wa.m + octave wa.m + +wurzel.pdf: wurzel.tex + pdflatex wurzel.tex + +dimjk.pdf: dimjk.tex + pdflatex dimjk.tex + +jknilp.pdf: jknilp.tex + pdflatex jknilp.tex + +normalform.pdf: normalform.tex + pdflatex normalform.tex + +minmax.pdf: minmax.tex + pdflatex minmax.tex diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild1.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild1.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..879fae8 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild1.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild2.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild2.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2597c95 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/bild2.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..fcfe4da --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.tex new file mode 100644 index 0000000..28e0f9f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.tex @@ -0,0 +1,78 @@ +% +% dimjk.tex -- dimensionen von K^l und J^l +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1.2} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\pfad{ + ({0*\sx},{6-6}) -- + ({1*\sx},{6-4.5}) -- + ({2*\sx},{6-3.5}) -- + ({3*\sx},{6-2.9}) -- + ({4*\sx},{6-2.6}) -- + ({5*\sx},{6-2.4}) -- + ({8*\sx},{6-2.4}) +} +\def\sx{1.2} + +\fill[color=orange!20] \pfad -- ({6*\sx},6) -- (0,6) -- cycle; +\fill[color=darkgreen!20] \pfad -- ({6*\sx},0) -- cycle; + +\fill[color=orange!40] ({5*\sx},6) rectangle ({8*\sx},{6-2.4}); +\fill[color=darkgreen!40] ({5*\sx},0) rectangle ({8*\sx},{6-2.4}); + +\draw[color=darkgreen,line width=2pt] ({3*\sx},{6-6}) -- ({3*\sx},{6-2.9}); +\node[color=darkgreen] at ({3*\sx},{6-4.45}) [rotate=90,above] {$\dim\mathcal{K}^k(A)$}; +\draw[color=orange,line width=2pt] ({3*\sx},{6-0}) -- ({3*\sx},{6-2.9}); +\node[color=orange] at ({3*\sx},{6-1.45}) [rotate=90,above] {$\dim\mathcal{J}^k(A)$}; + +\node[color=orange] at ({6.5*\sx},{6-1.2}) {bijektiv}; +\node[color=darkgreen] at ({6.5*\sx},{6-4.2}) {konstant}; + +\fill ({0*\sx},{6-6}) circle[radius=0.08]; +\fill ({1*\sx},{6-4.5}) circle[radius=0.08]; +\fill ({2*\sx},{6-3.5}) circle[radius=0.08]; +\fill ({3*\sx},{6-2.9}) circle[radius=0.08]; +\fill ({4*\sx},{6-2.6}) circle[radius=0.08]; +\fill ({5*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08]; +\fill ({6*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08]; +\fill ({7*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08]; +\fill ({8*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08]; + +\draw \pfad; + +\draw[->] (-0.5,0) -- ({8*\sx+0.5},0) coordinate[label={$k$}]; +\draw[->] (-0.5,6) -- ({8*\sx+0.5},6); + +\foreach \x in {0,...,8}{ + \draw ({\x*\sx},-0.05) -- ({\x*\sx},0.05); +} +\foreach \x in {0,...,3}{ + \node at ({\x*\sx},-0.05) [below] {$\x$}; +} +\node at ({4*\sx},-0.05) [below] {$\dots\mathstrut$}; +\node at ({5*\sx},-0.05) [below] {$l$}; +\node at ({6*\sx},-0.05) [below] {$l+1$}; +\node at ({7*\sx},-0.05) [below] {$l+2$}; +\node at ({8*\sx},-0.05) [below] {$l+3$}; + +\node[color=orange] at ({1.2*\sx},5.6) + {$\mathcal{J}^k(A)\supset\mathcal{J}^{k+1}(A)$}; +\node[color=darkgreen] at ({1.2*\sx},0.4) + {$\mathcal{K}^k(A)\subset\mathcal{K}^{k+1}(A)$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/drei.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/drei.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..35f9034 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/drei.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9293263 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.tex new file mode 100644 index 0000000..e8e8e14 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.tex @@ -0,0 +1,181 @@ +% +% jknilp.tex -- Dimensionen von K^l und J^l für nilpotente Matrizen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\s{0.15} +\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})} + +\def\vektor#1{ + \fill[color=darkgreen!30] \punkt{#1}{0} rectangle \punkt{(#1+1)}{12}; +} +\def\feld#1#2{ + \fill[color=orange!60] ({#1*\s},{(12-#2)*\s}) rectangle + ({(#1+1)*\s},{(11-#2)*\s}); +} + +\def\quadrat#1{ + \draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{12}{12}; + + \draw \punkt{0}{11} -- \punkt{2}{11} -- \punkt{2}{9} -- \punkt{4}{9} + -- \punkt{4}{6} -- \punkt{12}{6}; + + \draw \punkt{1}{12} -- \punkt{1}{10} -- \punkt{3}{10} + -- \punkt{3}{8} -- \punkt{6}{8} -- \punkt{6}{0}; + \node at ({6*\s},0) [below] {#1\strut}; +} + +\begin{scope}[xshift=-0.9cm,yshift=-3cm] +\foreach \n in {0,...,11}{ + \feld{\n}{\n} +} +\quadrat{$A^0=I$} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=1.1cm,yshift=-3cm] +\vektor{0} +\vektor{1} +\vektor{2} +\vektor{3} +\vektor{4} +\vektor{6} +\feld{5}{4} +\feld{7}{6} +\feld{8}{7} +\feld{9}{8} +\feld{10}{9} +\feld{11}{10} +\quadrat{$A$} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3.1cm,yshift=-3cm] +\vektor{0} +\vektor{1} +\vektor{2} +\vektor{3} +\vektor{4} +\vektor{5} +\vektor{6} +\vektor{7} +\feld{8}{6} +\feld{9}{7} +\feld{10}{8} +\feld{11}{9} +\quadrat{$A^2$} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=5.1cm,yshift=-3cm] +\vektor{0} +\vektor{1} +\vektor{2} +\vektor{3} +\vektor{4} +\vektor{5} +\vektor{6} +\vektor{7} +\vektor{8} +\feld{9}{6} +\feld{10}{7} +\feld{11}{8} +\quadrat{$A^3$} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=7.1cm,yshift=-3cm] +\vektor{0} +\vektor{1} +\vektor{2} +\vektor{3} +\vektor{4} +\vektor{5} +\vektor{6} +\vektor{7} +\vektor{8} +\vektor{9} +\feld{10}{6} +\feld{11}{7} +\quadrat{$A^4$} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=9.1cm,yshift=-3cm] +\vektor{0} +\vektor{1} +\vektor{2} +\vektor{3} +\vektor{4} +\vektor{5} +\vektor{6} +\vektor{7} +\vektor{8} +\vektor{9} +\vektor{10} +\feld{11}{6} +\quadrat{$A^5$} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=11.1cm,yshift=-3cm] +\vektor{0} +\vektor{1} +\vektor{2} +\vektor{3} +\vektor{4} +\vektor{5} +\vektor{6} +\vektor{7} +\vektor{8} +\vektor{9} +\vektor{10} +\vektor{11} +\quadrat{$A^6$} +\end{scope} + +\def\pfad{ + (0,0) -- (2,3) -- (4,4) -- (6,4.5) -- (8,5) -- (10,5.5) -- (12,6) +} + + +\fill[color=orange!20] \pfad -- (-1,6) -- (-1,0) -- cycle; +\fill[color=darkgreen!20] \pfad -- (13,6) -- (13,0) -- cycle; +\draw[line width=1.3pt] \pfad; + +\fill (0,0) circle[radius=0.08]; +\fill (2,3) circle[radius=0.08]; +\fill (4,4) circle[radius=0.08]; +\fill (6,4.5) circle[radius=0.08]; +\fill (8,5) circle[radius=0.08]; +\fill (10,5.5) circle[radius=0.08]; +\fill (12,6) circle[radius=0.08]; + +\foreach \y in {0.5,1,...,5.5}{ + \draw[line width=0.3pt] (-1.1,\y) -- (13.0,\y); +} +\foreach \y in {0,2,4,...,12}{ + \node at (-1.1,{\y*0.5}) [left] {$\y$}; +} +\foreach \x in {0,...,6}{ + \draw ({2*\x},0) -- ({2*\x},-1.2); + \node at ({2*\x},-0.6) [above,rotate=90] {$k=\x$}; +} + +\draw[->] (-1.1,0) -- (13.4,0) coordinate[label={$k$}]; +\draw[->] (-1.1,6) -- (13.4,6); +\draw[->] (-1.0,0) -- (-1.0,6.5); + +\node[color=darkgreen] at (8,1.95) [above] {$\dim \mathcal{K}^k(A)$}; +\node[color=orange] at (2,4.95) [above] {$\dim \mathcal{J}^k(A)$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern1.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern1.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5c99664 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern1.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern2.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern2.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..87d18ac --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kern2.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2a321b2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.tex new file mode 100644 index 0000000..4eced84 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.tex @@ -0,0 +1,40 @@ +% +% kernbild.tex -- Kern und Bild einer Matrix +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.4,0} +\definecolor{turqoise}{rgb}{0,0.3,0.6} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\begin{scope}[xshift=-3.5cm] +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.8cm]{bild2.jpg}}; + +\fill[color=white,opacity=0.8] (-3,-2.75) rectangle (-2,-2.3); +\node[color=orange] at (-2.5,-2.5) {$\mathcal{J}^1(A)$}; +\node at (3.3,0) {$x_1$}; +\node at (0.3,3.2) {$x_3$}; +\node[color=purple] at (2.3,0.6) [rotate=8] {$\mathcal{J}^2(A)$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3.5cm] +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.8cm]{kern2.jpg}}; +\node[color=darkgreen] at (1.8,2.2) [rotate=58] {$\mathcal{K}^1(A)$}; +\fill[color=white,opacity=0.8] (-1.5,0.8) rectangle (-0.5,1.2); +\node[color=turqoise] at (-1,1) {$\mathcal{K}^2(A)$}; +\node at (3.3,0) {$x_1$}; +\node at (0.3,3.2) {$x_3$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild1.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild1.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..87e874e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild1.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild2.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild2.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1160b31 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kernbild2.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.jpg b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..bebc36f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.jpg diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..91cee0b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.tex new file mode 100644 index 0000000..d850c64 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% kombiniert.tex -- Iterierte Kerne und Bilder +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.4,0} +\definecolor{turqoise}{rgb}{0,0.3,0.6} +\def\skala{1} +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{7} +\def\hoehe{7} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\node at (0,0) {\includegraphics[width=13.8cm]{kombiniert.jpg}}; + +\node at (6.6,-0.1) {$x_1$}; +\node at (0.3,6.7) {$x_3$}; + +\node[color=purple] at (4.8,1) [rotate=8] {$\mathcal{J}^2(A)$}; +\node[color=darkgreen] at (3.5,4.6) [rotate=58] {$\mathcal{K}^1(A)$}; + +\fill[color=white,opacity=0.8] (-2.3,3.8) rectangle (-1.3,4.2); +\node[color=turqoise] at (-1.8,4) {$\mathcal{K}^2(A)$}; + +\fill[color=white,opacity=0.8] (2.5,-5.75) rectangle (3.5,-5.3); +\node[color=orange] at (3,-5.5) {$\mathcal{J}^1(A)$}; + +%\node at G +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..46ed28a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex new file mode 100644 index 0000000..f661d5b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex @@ -0,0 +1,134 @@ +% +% minmax.tex -- minimum und maximum +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} + +\def\mittellinie{ + plot[domain=0:6.2832,samples=400] + ({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))}) +} + +\begin{scope} + \fill[color=darkgreen!20] + plot[domain=0:6.2832,samples=360] + ({\x},{sin(180*\x/3.1415)}) + -- + plot[domain=6.2832:0,samples=360] + ({\x},{cos(180*\x/3.1415)}) + -- cycle; + \foreach \x in {0.5,1,...,6}{ + \draw[color=darkgreen] + ({\x},{sin(180*\x/3.1415)}) + -- + ({\x},{cos(180*\x/3.1415)}); + } + + \node[color=darkgreen] at (2,-0.8) [left] {$|f(x)-g(x)|$}; + \draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.8) -- (2.5,-0.7); + + \draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:6.29,samples=360] + ({\x},{sin(180*\x/3.1415)}); + \draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0:6.29,samples=360] + ({\x},{cos(180*\x/3.1415)}); + \draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie; + \node[color=purple!50] at (6.2832,0.5) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))$}; + + \draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={below:$x$}]; + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}]; + + + \xdef\x{2} + \node[color=blue] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right] {$f(x)$}; + \pgfmathparse{2.5*3.14159-\x} + \xdef\x{\pgfmathresult} + \node[color=red] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [above left] {$g(x)$}; + +\end{scope} + +\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415-1},-1.3) -- ({3.1415-2.3},-3); +\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415+1},-1.3) -- ({3.1415+2.3},-3); + +\node at ({3.1415-1.75},-2.15) [left] {$\frac12(f(x)+g(x))+\frac12|f(x)-g(x)|$}; +\node at ({3.1415+1.75},-2.15) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))-\frac12|f(x)-g(x)|$}; + +\def\s{(-0.1)} + +\begin{scope}[xshift=-3.4cm,yshift=-4.6cm] + \fill[color=darkgreen!20] + \mittellinie + -- + plot[domain=6.2832:0,samples=400] + ({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))}) + -- cycle; + \foreach \x in {0.5,1,...,6}{ + \draw[color=darkgreen] + ({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))}) + -- + ({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))}); + } + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] + plot[domain=6.2832:0,samples=400] + ({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))}); + + \node[color=darkgreen] at (2,-0.3) [left] {$|f(x)-g(x)|$}; + \draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.3) -- (2.5,0.2); + + \draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie; + \pgfmathparse{0.75*3.1415+\s} + \xdef\x{\pgfmathresult} + \node[color=darkgreen] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right] + {$\max(f(x),g(x))$}; + \node[color=purple!50] at ({1.25*3.1415},-0.7) [below] + {$\frac12(f(x)+g(x))$}; + \draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}]; +\end{scope} + + +\begin{scope}[xshift=+3.4cm,yshift=-4.6cm] + \fill[color=darkgreen!20] + \mittellinie + -- + plot[domain=6.2832:0,samples=400] + ({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))}) + -- cycle; + \foreach \x in {0.5,1,...,6}{ + \draw[color=darkgreen] + ({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))}) + -- + ({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))}); + } + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] + plot[domain=6.2832:0,samples=400] + ({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))}); + + \node[color=darkgreen] at (3,0.3) [right] {$|f(x)-g(x)|$}; + \draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (3,0.3) -- (2.5,-0.4); + + \draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie; + \pgfmathparse{0.75*3.1415-\s} + \xdef\x{\pgfmathresult} + \node[color=darkgreen] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [below left] + {$\min(f(x),g(x))$}; + \node[color=purple!50] at ({0.25*3.1415},0.7) [above right] + {$\frac12(f(x)+g(x))$}; + \draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}]; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c5bdb61 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.tex new file mode 100644 index 0000000..f3cb532 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.tex @@ -0,0 +1,214 @@ +% +% normalform.tex -- Normalform einer Matrix ermitteln +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\b{0.025} + +\def\s{2.5} +\def\t{0.7} +\def\T{0.5} + +\fill[color=darkgreen!20] + ({-3*\s-0.5*\t},{8*\t}) + -- + ({-3*\s+0.5*\t},{8*\t}) + -- + ({-2*\s-0.5*\t},{7*\t}) + -- + ({-2*\s+0.5*\t},{7*\t}) + -- + ({-1*\s-0.5*\t},{4*\t}) + -- + ({-1*\s+0.5*\t},{4*\t}) + -- + ({-0.5*\t},0) + -- + ({-3*\s-0.5*\t},{0*\t}) + -- cycle; + + +\fill[color=white,rounded corners=3pt] + ({-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({0.5*\t+\b},{\b+0.15}); +\draw[rounded corners=3pt] + ({-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({0.5*\t+\b},{\b+0.15}); +\node at (0,0) [below] {$\mathcal{K}^0(A)$}; + +\fill[color=white,rounded corners=3pt] + ({-1*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t+\b},{4*\t+\b}); +\draw[rounded corners=3pt] + ({-1*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t+\b},{4*\t+\b}); +\fill[color=blue!20,rounded corners=2pt] + ({-1*\s-0.5*\t+\b},{1*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{3*\t-\b}); +\draw[color=blue!40,rounded corners=2pt] + ({-1*\s-0.5*\t+\b},{1*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{3*\t-\b}); +\fill[color=blue!20,rounded corners=2pt] + ({-1*\s-0.5*\t+\b},{3*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b}); +\draw[color=blue!40,rounded corners=2pt] + ({-1*\s-0.5*\t+\b},{3*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b}); +\fill[color=red!20,rounded corners=2pt] + ({-1*\s-0.5*\t+\b},{\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{1*\t-\b}); +\draw[color=red,rounded corners=2pt] + ({-1*\s-0.5*\t+\b},{\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{1*\t-\b}); +\fill[color=red] ({-1*\s},{0.5*\t}) circle[radius=0.1]; +\fill[color=red,opacity=0.5] ({-1*\s},{1.5*\t}) circle[radius=0.1]; +\fill[color=red,opacity=0.5] ({-1*\s},{2.5*\t}) circle[radius=0.1]; +\fill[color=red,opacity=0.5] ({-1*\s},{3.5*\t}) circle[radius=0.1]; +\node at ({-1*\s},0) [below] {$\mathcal{K}^1(A)$}; + +\fill[color=white,rounded corners=3pt] + ({-2*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t+\b},{7*\t+\b}); +\draw[rounded corners=3pt] + ({-2*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t+\b},{7*\t+\b}); +\fill[color=gray!20,rounded corners=2pt] + ({-2*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b}); +\draw[color=gray,rounded corners=2pt] + ({-2*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b}); +\node[color=black!70] at ({-2*\s},{2*\t}) [rotate=90] {$\mathcal{K}^1(A)$}; +\fill[color=red!20,rounded corners=2pt] + ({-2*\s-0.5*\t+\b},{4*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{6*\t-\b}); +\draw[color=red,rounded corners=2pt] + ({-2*\s-0.5*\t+\b},{4*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{6*\t-\b}); +\fill[color=blue!20,rounded corners=2pt] + ({-2*\s-0.5*\t+\b},{6*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b}); +\draw[color=blue!40,rounded corners=2pt] + ({-2*\s-0.5*\t+\b},{6*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b}); +\fill[color=red] ({-2*\s},{4.5*\t}) circle[radius=0.1]; +\fill[color=red] ({-2*\s},{5.5*\t}) circle[radius=0.1]; +\fill[color=red,opacity=0.5] ({-2*\s},{6.5*\t}) circle[radius=0.1]; +\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm] + ({-2*\s},{6.5*\t}) -- ({-1*\s},{3.5*\t}); +\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm] + ({-2*\s},{5.5*\t}) -- ({-1*\s},{2.5*\t}); +\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm] + ({-2*\s},{4.5*\t}) -- ({-1*\s},{1.5*\t}); +\node at ({-2*\s},0) [below] {$\mathcal{K}^2(A)$}; + +\fill[color=white,rounded corners=3pt] + ({-3*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t+\b},{8*\t+\b}); +\draw[rounded corners=3pt] + ({-3*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t+\b},{8*\t+\b}); +\fill[color=gray!20,rounded corners=2pt] + ({-3*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b}); +\draw[color=gray,rounded corners=2pt] + ({-3*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b}); +\node[color=black!70] at ({-3*\s},{3.5*\t}) [rotate=90] {$\mathcal{K}^2(A)$}; +\fill[color=red!20,rounded corners=2pt] + ({-3*\s-0.5*\t+\b},{7*\t+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{8*\t-\b}); +\draw[color=red,rounded corners=2pt] + ({-3*\s-0.5*\t+\b},{7*\t+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{8*\t-\b}); +\fill[color=red] ({-3*\s},{7.5*\t}) circle[radius=0.1]; +\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm] + ({-3*\s},{7.5*\t}) -- ({-2*\s},{6.5*\t}); +\node at ({-3*\s},0) [below] {$\mathcal{K}^3(A)$}; + +\def\xo{1} +\def\yo{-1} + +\def\punkt#1#2{ + ({\xo+(#1)*\T},{\yo-(#2)*\T}) +} + +\fill[color=red!20] \punkt{0}{0} rectangle \punkt{1}{8}; +\fill[color=red!20] \punkt{2}{0} rectangle \punkt{3}{8}; +\fill[color=red!20] \punkt{4}{0} rectangle \punkt{5}{8}; +\fill[color=red!20] \punkt{7}{0} rectangle \punkt{8}{8}; + +\fill[color=blue!20] \punkt{2}{1} rectangle \punkt{3}{2}; +\fill[color=blue!20] \punkt{4}{3} rectangle \punkt{5}{4}; +\fill[color=blue!20] \punkt{6}{5} rectangle \punkt{7}{6}; +\fill[color=blue!20] \punkt{7}{6} rectangle \punkt{8}{7}; + +\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{8}; + +\draw[color=gray] \punkt{0}{1} -- \punkt{3}{1} -- \punkt{3}{5} -- \punkt{8}{5}; +\draw[color=gray] \punkt{1}{0} -- \punkt{1}{3} -- \punkt{5}{3} -- \punkt{5}{8}; + +\draw[->,color=red] + ({-3*\s+0.5*\t+\b},{7.5*\t}) + -- + ({0*\s+0.5*\t},{7.5*\t}) + to[out=0,in=90] + ({\xo+7.5*\T},{\yo}); + +\draw[->,color=blue] + ({-2*\s+0.5*\t+\b},{6.5*\t}) + -- + ({0*\s+0.5*\t},{6.5*\t}) + to[out=0,in=90] + ({\xo+6.5*\T},{\yo}); + +\draw[->,color=blue] + ({-1*\s+0.5*\t+\b},{3.5*\t}) + -- + ({0*\s+0.5*\t},{3.5*\t}) + to[out=0,in=90] + ({\xo+5.5*\T},{\yo}); + +\draw[->,color=red] + ({-2*\s+0.5*\t+\b},{5.5*\t}) + -- + ({0*\s+0.5*\t},{5.5*\t}) + to[out=0,in=90] + ({\xo+4.5*\T},{\yo}); + +\draw[->,color=red] + ({-2*\s+0.5*\t+\b},{4.5*\t}) + -- + ({0*\s+0.5*\t},{4.5*\t}) + to[out=0,in=90] + ({\xo+2.5*\T},{\yo}); + +\draw[->,color=blue] + ({-1*\s+0.5*\t+\b},{2.5*\t}) + -- + ({0*\s+0.5*\t},{2.5*\t}) + to[out=0,in=90] + ({\xo+3.5*\T},{\yo}); + +\draw[->,color=red] + ({-1*\s+0.5*\t+\b},{0.5*\t}) + -- + ({0*\s+0.5*\t},{0.5*\t}) + to[out=0,in=90] + ({\xo+0.5*\T},{\yo}); + +\draw[->,color=blue] + ({-1*\s+0.5*\t+\b},{1.5*\t}) + -- + ({0*\s+0.5*\t},{1.5*\t}) + to[out=0,in=90] + ({\xo+1.5*\T},{\yo}); + +\node at \punkt{0.5}{0.5} {$0$}; +\node at \punkt{1.5}{1.5} {$0$}; +\node at \punkt{2.5}{2.5} {$0$}; +\node at \punkt{3.5}{3.5} {$0$}; +\node at \punkt{4.5}{4.5} {$0$}; +\node at \punkt{5.5}{5.5} {$0$}; +\node at \punkt{6.5}{6.5} {$0$}; +\node at \punkt{7.5}{7.5} {$0$}; + +\node[color=blue] at \punkt{2.5}{1.5} {$1$}; +\node[color=blue] at \punkt{4.5}{3.5} {$1$}; +\node[color=blue] at \punkt{6.5}{5.5} {$1$}; +\node[color=blue] at \punkt{7.5}{6.5} {$1$}; + +\node at \punkt{-0.5}{4} [left] {$A=$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf Binary files differindex d4de984..b93b890 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/sp.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wa.m b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wa.m new file mode 100644 index 0000000..3d6d2c3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wa.m @@ -0,0 +1,80 @@ +# +# wa.m -- Wurzelapproximation +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global u; +global N; +global t; +global s; + +N = 100; +n = 10; +s = 1; + +u = zeros(N + 2, n); +t = (0:N+1)' / N; +t = t.^2; + +for i = (2:n) + u(:,i) = u(:,i-1) + 0.5 * (t-u(:,i-1).^2); +end + +u + +global f; +f = fopen("wa.tex", "w"); +fprintf(f, "%%\n"); +fprintf(f, "%% Approximation der Wurzelfunktion\n"); +fprintf(f, "%%\n"); + +function pfad(i, name) + global f; + global u; + global t; + global N; + fprintf(f, "\\def\\pfad%s{\n", name); + fprintf(f, "(%.4f,%.4f)\n", t(1,1), u(1,i)); + for j = (2:N+1) + fprintf(f, "--(%.4f,%.4f)\n", t(j,1), u(j,i)); + end + fprintf(f, "}\n"); +end + +pfad( 1, "a") +pfad( 2, "b") +pfad( 3, "c") +pfad( 4, "d") +pfad( 5, "e") +pfad( 6, "f") +pfad( 7, "g") +pfad( 8, "h") +pfad( 9, "i") +pfad(10, "j") + +function fehler(i, name) + global f; + global u; + global t; + global N; + global s; + fprintf(f, "\\def\\fehler%s{\n", name); + fprintf(f, "(%.4f,%.4f)\n", t(1,1), s*(sqrt(t(1,1))-u(1,i))); + for j = (2:N+2) + fprintf(f, "--(%.4f,%.4f)\n", t(j,1), s*(sqrt(t(j,1))-u(j,i))); + end + fprintf(f, "}\n"); +end + +fehler( 1, "a") +fehler( 2, "b") +fehler( 3, "c") +fehler( 4, "d") +fehler( 5, "e") +fehler( 6, "f") +fehler( 7, "g") +fehler( 8, "h") +fehler( 9, "i") +fehler(10, "j") + +fclose(f); diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..751cf33 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.tex new file mode 100644 index 0000000..ca2825a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.tex @@ -0,0 +1,94 @@ +% +% wurzel.tex -- Wurzel +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{10} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\a{0.8} +\def\U{0} + +\fill[color=blue!20] (0,\a) rectangle (1.00,1.03); +\draw[line width=0.4pt] (0,1) -- (1,1) -- (1,0); + +\draw[->] (0,{-0.01}) -- (0,{1.06}) coordinate[label={right:$y$}]; + +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle (1,1); +\draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:1.01,samples=100] + ({\x},{\x*\x}); +\end{scope} + +%\draw[color=purple,line width=0.5pt] (0.48,-0.01) -- (1,1); +%\fill[color=purple] (1,1) circle[radius=0.008]; + +\node[color=blue] at (0,{\a}) [left] {$a$}; + +\def\schritt#1#2{ + \xdef\u{\U} + \pgfmathparse{0.5*(\a-\u*\u)} + \xdef\d{\pgfmathresult} + \pgfmathparse{\u+\d} + \xdef\U{\pgfmathresult} + + \fill[color=purple!10] (\u,{\u*\u}) -- (\U,\a) -- (\u,\a) -- cycle; + + \node[color=darkgreen] at (\u,0) [below] {$u_#1$}; + \draw[color=darkgreen,line width=0.1pt] (\u,0)--(\u,\a); + + \fill[color=darkgreen] (\u,{\u*\u}) circle[radius=0.006]; + + \draw[<->,color=darkgreen] (\u,{\u*\u}) -- (\u,\a); + + \draw[color=purple,shorten <= 0.6mm] + (\u,{\u*\u}) -- (\U,\a); +} +\def\marke#1#2{ + \node[color=orange] at ({0.5*(\u+\U)},\a) [#2] {$\frac12(a-u_#1^2)$}; + \draw[<->,color=orange,shorten >= 0mm,shorten <= 0mm] + (\u,\a) -- (\U,\a); +} + +\def\hoehe#1{ + \node[color=darkgreen] at ({\u+0.01},{\a-\d-0.01}) + [above,rotate=90] {$a-u_#1^2$}; +} + +\schritt{0}{1} +\hoehe{0} +\marke{0}{above} + +\schritt{1}{2} +\hoehe{1} +\marke{1}{above} +\node[color=darkgreen] at (\u,{\u*\u-0.02}) [above left] {$u_1^2$}; + +\schritt{2}{3} +\hoehe{2} +%\marke{2}{right,rotate=90} +\marke{2}{above} +\node[color=darkgreen] at (\u,{\u*\u-0.02}) [above left] {$u_2^2$}; + +\schritt{3}{4} + +\draw[color=blue] ({sqrt(\a)},-0.01) -- ({sqrt(\a)},\a); +\node[color=blue] at ({sqrt(\a)-0.02},0) [below right] {$\sqrt{a}$}; + +\draw[->] (-0.01,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$u$}]; +\node at (1,0) [below] {$1$}; +\node at (0,1) [left] {$1$}; +\draw (1,-0.01) -- (1,0.01); + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..01fa714 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.tex new file mode 100644 index 0000000..676c7e9 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.tex @@ -0,0 +1,107 @@ +% +% wurzelapprox.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{5.7} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\input{wa.tex} + +\begin{scope}[xshift=-0.63cm] + +\draw[->] (-0.01,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$t$}]; + +\begin{scope} + \clip (0,0) rectangle (1,1.01); + \draw[color=blue,line width=1.6pt] \pfada; + \draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadb; + \draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadc; + \draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadd; + \draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfade; + \draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadf; + \draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadg; + \draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadh; + \draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadi; + \draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadj; + + \draw[color=red,line width=1.6pt] + plot[domain=0:1.01,samples=100] ({\x*\x},{\x}); +\end{scope} + +\node[color=red] at (0.5,0.707) [above,rotate={atan(0.5)}] {$\sqrt{t}$}; + +\draw[->] (0,-0.01) -- (0,1.05) coordinate[label={right:$u_n(t)$}]; + +\foreach \x in {2,4,...,8}{ + \draw ({0.1*\x},-0.01) -- ({0.1*\x},0.01); + \node at ({0.1*\x},-0.01) [below] {0.\x\strut}; + \draw (-0.01,{0.1*\x}) -- (0.01,{0.1*\x}); + \node at (-0.01,{0.1*\x}) [left] {0.\x\strut}; +} +\draw (1,-0.01) -- (1,0.01); +\node at (1,-0.01) [below] {1.0\strut}; +\node at (0,-0.01) [below] {0\strut}; + +\draw (-0.01,1) -- (0.01,1); +\node at (-0.01,1) [left] {1.0\strut}; + +\node[color=blue] at (1.01,0) [above left] {$u_0(t)$}; +\node[color=blue] at (1,0.51) [below left,rotate={atan(0.5)}] {$u_1(t)$}; +\node[color=blue] at (1,{0.86+0.03}) [below left,rotate={atan(0.86)}] {$u_2(t)$}; +\node[color=blue] at (1,1.00) [below left,rotate={atan(0.5)}] {$u_3(t)$}; + +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=0.63cm] + +\begin{scope} + \clip (0,0) rectangle (1,1.01); + \draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlera; + \draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerb; + \draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerc; + \draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerd; + \draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlere; + \draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerf; + \draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerg; + \draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerh; + \draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehleri; + \draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerj; +\end{scope} + +\draw[->] (0,-0.01) -- (0,1.05) coordinate[label={right:${\color{red}\sqrt{t}}-{\color{blue}u_n(t)}$}]; +\draw[->] (-0.01,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$t$}]; + +\foreach \x in {2,4,...,9}{ + \draw ({0.1*\x},-0.01) -- ({0.1*\x},0.01); + \node at ({0.1*\x},-0.01) [below] {0.\x\strut}; + \draw (-0.01,{0.1*\x}) -- (0.01,{0.1*\x}); + \node at (-0.01,{0.1*\x}) [left] {0.\x\strut}; +} +\draw (1,-0.01) -- (1,0.01); +\node at (1,-0.01) [below] {1.0\strut}; +\node at (0,-0.01) [below] {0\strut}; + +\draw (-0.01,1) -- (0.01,1); +\node at (-0.01,1) [left] {1.0\strut}; + +\node[color=darkgreen] at (1,1) [below left,rotate={atan(0.5)}] {$n=0$}; +\node[color=darkgreen] at (1,0.5) [above left] {$n=1$}; +\node[color=darkgreen] at (1,0.13) [above left,rotate=-13] {$n=2$}; +\node[color=darkgreen] at (1,0.00) [above left,rotate=-9] {$n=3$}; + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index c21c403..9169f65 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -330,9 +330,259 @@ Es ist das Polynom geringsten Grades über $\Bbbk'$, welches $m(A)=0$ erfüllt. \subsection{Reelle Normalform \label{buch:subsection:reelle-normalform}} +Wenn eine reelle Matrix $A$ komplexe Eigenwerte hat, ist die Jordansche +Normalform zwar möglich, aber die zugehörigen Basisvektoren werden ebenfalls +komplexe Komponenten haben. +Für eine rein reelle Rechnung ist dies nachteilig, da der Speicheraufwand +dadurch verdoppelt und der Rechenaufwand für Multiplikationen vervierfacht +wird. -\subsection{Obere Hessenberg-Form -\label{buch:subsection:obere-hessenberg-form}} +Die nicht reellen Eigenwerte von $A$ treten in konjugiert komplexen Paaren +$\lambda_i$ und $\overline{\lambda}_i$ auf. +Wir betrachten im Folgenden nur ein einziges Paar $\lambda=a+ib$ und +$\overline{\lambda}=a-ib$ von konjugiert komplexen Eigenwerten mit +nur je einem einzigen $n\times n$-Jordan-Block $J$ und $\overline{J}$. +Ist $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ die Basis für den Jordan-Block $J$, +dann kann man die Vektoren +$\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{b}_1,\dots,\overline{b}_n\}$ als Basis für +$\overline{J}$ verwenden. +Die vereinigte Basis +$\mathcal{C} = \mathcal{B}\cup\overline{\mathcal{B}} += \{b_1,\dots,b_n,\overline{b}_1,\dots,\overline{b}_n\}$ +erzeugen einen $2n$-dimensionalen Vektorraum, +der direkte Summe der beiden von $\mathcal{B}$ und $\overline{\mathcal{B}}$ +erzeugen Vektorräume $V=\langle\mathcal{B}\rangle$ und +$\overline{V}=\langle\overline{\mathcal{B}}\rangle$ ist. +Es ist also +\[ +U=\langle \mathcal{C}\rangle += +V\oplus \overline{V}. +\] +Wir bezeichnen die lineare Abbildung mit den Jordan-Blöcken +$J$ und $\overline{J}$ wieder mit $A$. + +Auf dem Vektorraum $U$ hat die lineare Abbildung in der Basis +$\mathcal{C}$ die Matrix +\[ +A= +\begin{pmatrix} +J&0\\ +0&\overline{J} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\lambda& 1 & & & &&&&&\\ + &\lambda& 1 & & &&&&&\\ + & &\lambda&\ddots& &&&&&\\ + & & &\ddots& 1 &&&&&\\ + & & & &\lambda&&&&&\\ +&&&& &\overline{\lambda}&1&& & \\ +&&&& &&\overline{\lambda}&1& & \\ +&&&& &&&\overline{\lambda} &\dots& \\ +&&&& &&& &\dots&1\\ +&&&& &&& &&\overline{\lambda}\\ +\end{pmatrix}. +\] + +Die Jordan-Normalform bedeutet, dass +\[ +\begin{aligned} +Ab_1&=\lambda b_1 & + A\overline{b}_1 &= \overline{\lambda} \overline{b}_1 \\ +Ab_2&=\lambda b_2 + b_1 & + A\overline{b}_2 &= \overline{\lambda} \overline{b}_2 +\overline{b_1}\\ +Ab_3&=\lambda b_3 + b_2 & + A\overline{b}_3 &= \overline{\lambda} \overline{b}_3 +\overline{b_2}\\ + &\;\vdots & + &\;\vdots \\ +Ab_n&=\lambda b_n + b_{n-1} & + A\overline{b}_n &= \overline{\lambda} \overline{b}_n +\overline{b_{n-1}} +\end{aligned} +\] +Für die Linearkombinationen +\begin{equation} +\begin{aligned} +c_i &= \frac{b_i+\overline{b}_i}{\sqrt{2}}, +& +d_i &= \frac{b_i-\overline{b}_i}{i\sqrt{2}} +\end{aligned} +\label{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalformumrechnung} +\end{equation} +folgt dann für $k>1$ +\begin{align*} +Ac_k +&= +\frac{Ab_k+A\overline{b}_k}{2} +& +Ad_k +&= +\frac{Ab_k-A\overline{b}_k}{2i} +\\ +&= +\frac1{\sqrt{2}}(\lambda b_k + b_{k-1} ++ \overline{\lambda}\overline{b}_k + \overline{b}_{k-1}) +& +&= +\frac1{i\sqrt{2}}(\lambda b_k + b_{k-1} +- \overline{\lambda}\overline{b}_k - \overline{b}_{k-1}) +\\ +&= +\frac1{\sqrt{2}}(\alpha b_k + i\beta b_k + \alpha \overline{b}_k -i\beta \overline{b}_k) ++ +c_{k-1} +& +&= +\frac1{i\sqrt{2}}( +\alpha b_k + i\beta b_k - \alpha \overline{b}_k +i\beta \overline{b}_k) ++ +d_{k-1} +\\ +&= +\alpha +\frac{b_k+\overline{b}_k}{\sqrt{2}} ++ +i \beta \frac{b_k-\overline{b}_k}{\sqrt{2}} ++ +c_{k-1} +& +&= +\alpha +\frac{b_k-\overline{b}_k}{i\sqrt{2}} ++ +i \beta \frac{b_k+\overline{b}_k}{i\sqrt{2}} ++ +d_{k-1} +\\ +&= \alpha c_k -\beta d_k ++ +c_{k-1} +& +&= \alpha d_k + \beta c_k ++ +d_{k-1}. +\end{align*} +Für $k=1$ fallen die Terme $c_{k-1}$ und $d_{k-1}$ weg. +In der Basis $\mathcal{D}=\{c_1,d_1,\dots,c_n,d_n\}$ hat die Matrix +also die {\em reelle Normalform} +\begin{equation} +\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{#1\mathstrut}} +\def\semp#1{\multicolumn{1}{c|}{#1\mathstrut}} +A_{\text{reell}} += +\left( +\begin{array}{cccccccccccc} +\cline{1-4} +\temp{\alpha}& \beta&\temp{ 1}& 0&\temp{} & & & & & &&\\ +\temp{-\beta}&\alpha&\temp{ 0}& 1&\temp{} & & & & & &&\\ +\cline{1-6} + & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{ 1}& 0&\temp{} & & & &&\\ + & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{ 0}& 1&\temp{} & & & &&\\ +\cline{3-6} + & & & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{} & & & &&\\ + & & & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{} & & & &&\\ +\cline{5-8} + & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &&\\ + & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &&\\ +\cline{7-12} + & & & & & & & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{ 1}&\semp{ 0}\\ + & & & & & & & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{ 0}&\semp{ 1}\\ +\cline{9-12} + & & & & & & & & & &\temp{\alpha}&\semp{ \beta}\\ + & & & & & & & & & &\temp{-\beta}&\semp{\alpha}\\ +\cline{11-12} +\end{array}\right). +\label{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalform} +\end{equation} + +Wir bestimmen noch die Transformationsmatrix, die $A$ in die reelle +Normalform bringt. +Dazu beachten wir, dass die Vektoren $c_k$ und $d_k$ in der Basis +$\mathcal{B}$ nur in den Komponenten $k$ und $n+k$ von $0$ verschiedene +Koordinaten haben, nämlich +\[ +c_k += +\frac1{\sqrt{2}} +\left( +\begin{array}{c} +\vdots\\ 1 \\ \vdots\\\hline \vdots\\ 1\\\vdots +\end{array}\right) +\qquad\text{und}\qquad +d_k += +\frac1{i\sqrt{2}} +\left(\begin{array}{c} +\vdots\\ 1 \\ \vdots\\\hline\vdots\\-1\\\vdots +\end{array}\right) += +\frac1{\sqrt{2}} +\left(\begin{array}{c} +\vdots\\-i \\ \vdots\\\hline \vdots\\ i\\\vdots +\end{array}\right) +\] +gemäss \eqref{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalformumrechnung}. +Die Umrechnung der Koordinaten von der Basis $\mathcal{B}$ in die Basis +$\mathcal{D}$ +wird daher durch die Matrix +\[ +S += +\frac{1}{\sqrt{2}} +\left(\begin{array}{cccccccccc} +1&-i& & & & & & & & \\ + & &1&-i& & & & & & \\ + & & & &1&-i& & & & \\ + & & & & & &\dots&\dots& & \\ + & & & & & & & &1&-i\\ +\hline +1& i& & & & & & & & \\ + & &1& i& & & & & & \\ + & & & &1& i& & & & \\ + & & & & & &\dots&\dots& & \\ + & & & & & & & &1& i\\ +\end{array}\right) +\] +vermittelt. +Der Nenner $\sqrt{2}$ wurde so gewählt, dass die +Zeilenvektoren der Matrix $S$ als komplexe Vektoren orthonormiert sind, +die Matrix $S$ ist daher unitär und hat die Inverse +\[ +S^{-1} += +S^* += +\frac{1}{\sqrt{2}} +\left(\begin{array}{ccccc|ccccc} + 1& & & & & 1& & & & \\ + i& & & & &-i& & & & \\ + & 1& & & & & 1& & & \\ + & i& & & & &-i& & & \\ + & & 1& & & & & 1& & \\ + & & i& & & & &-i& & \\ + & & &\dots& & & & &\dots& \\ + & & &\dots& & & & &\dots& \\ + & & & & 1& & & & & 1\\ + & & & & i& & & & &-i\\ +\end{array}\right). +\] +Insbesondere folgt jetzt +\[ +A += +S^{-1}A_{\text{reell}}S += +S^*A_{\text{reell}}S +\qquad\text{und}\qquad +A_{\text{reell}} += +SAS^{-1} += +SAS^*. +\] + +%\subsection{Obere Hessenberg-Form +%\label{buch:subsection:obere-hessenberg-form}} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex index bdc725f..a36dc33 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex @@ -3,9 +3,9 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi % -\section{Funktionen einer Matrix -\label{buch:section:funktionen-einer-matrix}} -\rhead{Funktionen einer Matrix} +\section{Analytische Funktionen einer Matrix +\label{buch:section:analytische-funktionen-einer-matrix}} +\rhead{Analytische Funktionen einer Matrix} Eine zentrale Motivation in der Entwicklung der Eigenwerttheorie war das Bestreben, Potenzen $A^k$ auch für grosse $k$ effizient zu berechnen. diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex index 4146505..466b99e 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex @@ -5,7 +5,798 @@ % \section{Spektraltheorie \label{buch:section:spektraltheorie}} -% Matrix-Exponentialfunktion -% Wurzel einer Matrix -% Beliebige Funktion f(A) für normale Matrizen +Aufgabe der Spektraltheorie ist, Bedingungen an eine Matrix $A$ und eine +Funktion $f(z)$ zu finden, unter denen es möglich ist, $f(A)$ auf +konsistente Art und Weise zu definieren. +Weiter müssen Methoden entwickelt werden, mit denen $f(A)$ berechnet +werden kann. +Für ein Polynom $p(z)$ ist $p(A)$ durch einsetzen definiert. +Für Funktionen, die sich nicht durch ein Polynom darstellen lassen, +muss eine Approximation der Funktion durch Polynome verwendet werden. +Sei also $p_n(z)$ eine Folge von Polynomen, die als Approximation der +Funktion $f(z)$ verwendet werden soll. +Das Ziel ist, $f(A)$ als den Grenzwert der Matrixfolge $p_n(A)$ +zu definieren. + +Zunächst ist nicht klar, wie eine solche Folge gewählt werden muss. +Es muss eine Teilmenge von $K\subset\mathbb{C}$ spezifiziert werden, +auf der die Funktionenfolge $p_n(z)$ konvergieren muss, +damit auch die Konvergenz der Matrizenfolge $p_n(A)$ garantiert ist. +Auch die Art der Konvergenz von $p_n(z)$ auf der Menge $K$ ist noch +unklar. +Da der Abstand zweier Matrizen $A$ und $B$ in der Operatornorm +mit der grössten Abweichung $\|(A-B)v\|$ für Einheitsvektoren $v$ +gemessen wird, ist es einigermassen plausibel, dass +die grösse Abweichung zwischen zwei Polynomen $|p(z) - q(z)|$ auf +der Menge $K$ kleine sein muss, wenn $\|p(A)-q(A)\|$ klein +sein soll. +Da die Differenz $p(z)-q(z)$ für beliebige Polynome, die sich nicht +nur um eine Konstante unterscheiden, mit $z$ über alle Grenzen wächst, +muss $K$ beschränkt sein. +Gesucht ist also eine kompakte Menge $K\subset\mathbb{C}$ und eine +Folge $p_n(z)$ von Polynomen, die auf $K$ gleichmässig gegen $f(z)$ +konvergieren. +Die Wahl von $K$ muss sicherstellen, dass für jede gleichmässig +konvergente Folge von Polynomen $p_n(z)$ auch die Matrizenfolge +$p_n(A)$ konvergiert. + +Es wird sich zeigen, dass die Menge $K$ das Spektrum von $A$ ist, +also eine endliche Teilmenge von $\mathbb{C}$. +Jede Funktion kann auf so einer Menge durch Polynome exakt wiedergegeben +werden. +Es gibt insbesondere Folgen von Polynomen, die eingeschränkt +auf das Spektrum gleich sind, also $p_n(z)=p_m(z)$ für alle $z\in K$, +die aber ausserhalb des Spektrums alle verschieden sind. +Als Beispiel kann die Matrix +\[ +N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +\] +herangezogen werden. +Ihr Spektrum ist $\operatorname{Sp}(N)=\{0\}\subset\mathbb{C}$. +Zwei Polynome stimmen genau dann auf $\operatorname{Sp}(N)$ überein, +wenn der konstante Koeffizient gleich ist. +Die Polynome $p(z)=z$ und $q(z)=z^2$ stimmen daher auf dem Spektrum +überein. +Für die Matrizen gilt aber $p(N)=N$ und $q(N)=N^2=0$, die Matrizen +stimmen also nicht überein. +Es braucht also zusätzliche Bedingungen an die Matrix $A$, die +sicherstellen, dass $p(A)=0$ ist, wann immer $p(z)=0$ für +$z\in\operatorname{Sp}(A)$ gilt. + +In diesem Abschnitt sollen diese Fragen untersucht werden. +In Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome} +wird gezeigt, wie sich Funktionen durch Polynome approximieren +lassen, woraus sich dann Approximationen von $f(A)$ für diagonalisierbare +Matrizen mit reellen Eigenwerten ergeben. + +Der Satz von Stone-Weierstrass, der in +Abschnitt~\ref{buch:subsetion:stone-weierstrass} dargestellt wird, +ist ein sehr allgemeines Approximationsresultat, welches nicht nur +zeigt, dass die Approximation unter sehr natürlichen Voraussetzungen +beliebig genau möglich ist, sondern uns im komplexen Fall auch +weitere Einsicht dafür geben kann, welche Voraussetzungen an eine +komplexe Matrix gestellt werden müssen, damit man damit rechnen kann, +dass die Approximation zu einer konsistenten Definition von $f(A)$ führt. + +% +% Approximation +% +\subsection{Approximation durch Polynome +\label{buch:subsection:approximation-durch-polynome}} +Die der Berechnung von $f(A)$ für eine beleibige stetige Funktion, +die sich nicht als Potenzreihe schreiben lässt, verwendet Approximationen +von Polynomen. +Die numerische Mathematik hat eine grosse Menge von solchen +Approximationsverfahren entwickelt, wovon zwei kurz (ohne Beweise) +vorgestellt werden sollen. + +\subsubsection{Das Legendre-Interpolationspolynom} +Zu vorgegebenen, verschiedenen Zahlen $z_i\in\mathbb{C}$, $0\le i\le n$, +die auch die {\em Stützstellen} genannt werden, +gibt es immer ein Polynom vom Grade $n$, welches in den $z_i$ vorgegebene +Werte $f(z_i)$ annimmt. +Ein solches Polynom lässt sich im Prinzip mit Hilfe eines linearen +Gleichungssystems finden, man kann aber auch direkt eine Lösung +konstruieren. +Dazu bildet man erst die Polynome +\begin{align*} +l(z) &= (z-z_0)(z-z_1)\dots (z-z_n) \qquad\text{und} +\\ +l_i(z) &= (z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n). +\end{align*} +Darin bedeutet der Hut, dass dieser Term weggelassen werden soll. +Für $z\ne z_i$ ist $l_i(z)=l(z)/(z-z_i)$. +Die Polynome +\[ +k_i(z) += +\frac{l_i(z)}{l_i(z_i)} += +\frac{(z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n)}{(z_i-z_0)\dots \widehat{(z_i-z_i)}\dots (z_i-z_n)} +\] +haben die Eigenschaft +$k_i(z_j)=\delta_{ij}$. +Damit lässt sich jetzt ein Polynom +\[ +p(z) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z)}{l_j(z_j)} +\] +vom Grad $n$ konstruieren, welches die Werte +\[ +p(z_i) += +\sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z_i)}{l_j(z_j)} += +\sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{ij} += +f_(z_i) +\] +annimmt. +Das Polynom $p(z)$ heisst das {\em Legendre-Interpolationspolynom}. + +Zwar lässt sich also für eine endliche Menge von komplexen Zahlen immer +ein Polynom finden, welches vorgeschriebene Wert in allen diesen Zahlen +annimmt, doch ist die Stabilität für grosse $n$ eher beschränkt. + + +\subsubsection{Gleichmassige Approximation mit Bernstein-Polynomen} +Das Legendre-Interpolationspolynom nimmt in den Stützstellen die +verlangten Werte an, aber ausserhalb der Stützstellen ist nicht +garantiert, dass man eine gute Approximation einer Funktion $f(z)$ +erhält. + +Für die Approximation auf einem reellen Interval $[a,b]$ hat +Sergei Natanowitsch Bernstein ein +Dazu werden zuerst die reellen Bernsteinpolynome vom Grad $n$ +durch +\begin{align*} +B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i(1-t)^{n-i}. +\end{align*} +definiert. +Als Approximationspolynom für die auf dem Interval +$[0,1]$ definierte, stetige Funktion $f(t)$ kann man dann +\[ +B_n(f)(t) += +\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) f\biggl(\frac{i}{n}\biggr) +\] +verwenden. +Die Polynome $B_n(f)(t)$ konvergieren gleichmässig auf $[0,1]$ +gegen die Funktion $f(t)$. +Über die Konvergenz ausserhalb des reellen Intervalls wird nichts +ausgesagt. +Die Approximation mit Bernstein-Polynomen ist daher nur sinnvoll, +wenn man weiss, dass die Eigenwerte der Matrix reell sind, was im +wesentlichen auf diagonalisierbare Matrizen führt. + +Für ein anderes Interval $[a,b]$ kann man ein Approximationspolynom +erhalten, indem man die affine Transformation +$s\mapsto (s-a)/(b-a)$ +von $[a,b]$ auf $[0,1]$ +verwendet. + +% +% Der Satz von Stone-Weierstrass +% +\subsection{Der Satz von Stone-Weierstrasss +\label{buch:subsetion:stone-weierstrass}} +Der Satz von Stone-Weierstrass behandelt im Gegensatz zu den in +Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome} +besprochenen Approximationsmethoden nicht nur Funktionen von +reellen Variablen durch Polynome. +Vielmehr kann das Definitionsgebiet irgend eine abgeschlossene +und beschränkte Teilmenge eines reellen oder komplexen Vektorraumes +sein und die Funktionen können Polynome aber auch viel allgemeinere +Funktionen verwendet werden, wie zum Beispiel die Funktionen +$x\mapsto \cos nx$ und $x\mapsto \sin nx$ definiert auf dem +Intervall $[0,2\pi]$. +In diesem Fall liefert der Satz von Stone-Weierstrass die Aussage, +dass sich jede stetige periodische Funktion gleichmässig durch +trigonometrische Polynome approximieren lässt. + +Die Aussage des Satz von Stone-Weierstrass über reelle Funktionen +lässt sich nicht auf komplexe Funktionen erweitern. +Von besonderem Interesse ist jedoch, dass der Beweis des Satz +zeigt, warum solche Aussagen für komplexe Funktionen nicht mehr +zutreffen. +Im Falle der Approximation von komplexen Funktionen $f(z)$ durch Polynome +zwecks Definition von $f(A)$ werden sich daraus Bedingungen an die +Matrix ableiten lassen, die eine konsistente Definition überhaupt +erst ermöglichen werden. + +\subsubsection{Punkte trennen} +Aus den konstanten Funktionen lassen sich durch algebraische +Operationen nur weitere konstante Funktionen erzeugen. +Die konstanten Funktionen sind also nur dann eine genügend +reichhaltige Menge, wenn die Menge $K$ nur einen einzigen Punkt +enthält. +Damit sich Funktionen approximieren lassen, die in zwei Punkten +verschiedene Werte haben, muss es auch unter den zur Approximation +zur Verfügung stehenden Funktionen solche haben, deren Werte sich +in diesen Punkten unterscheiden. +Diese Bedingung wird in der folgenden Definition formalisiert. + +\begin{definition} +Sei $K$ eine beliebige Menge und $A$ eine Menge von Funktionen +$K\to \mathbb{C}$. +Man sagt, $A$ {\em trennt die Punkte von $K$}, wenn es für jedes Paar +\index{Punkte trennen}% +von Punkten $x,y\in K$ eine Funktion $f\in A$ gibt derart, dass +$f(x)\ne f(y)$. +\end{definition} + +Man kann sich die Funktionen $f$, die gemäss dieser Definition die Punkte +von $K$ trennen, als eine Art Koordinaten der Punkte in $K$ vorstellen. +Die Punkte der Teilmenge $K\subset \mathbb{R}^n$ werden zum Beispiel +von den Koordinatenfunktionen $x\mapsto x_i$ getrennt. +Wir schreiben für die $i$-Koordinate daher auch als Funktion $x_i(x)=x_i$. +Zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ unterscheiden sich in mindestens +einer Koordinate. +Für diese Koordinate sind dann die Werte der zugehörigen +Koordinatenfunktion $x_i=x_i(x)\ne x_i(y)=y_i$ verschieden, die +Funktionen $x_1(x)$ bis $x_n(x)$ trennen also die Punkte. + +\begin{beispiel} +Wir betrachten einen Kreis in der Ebene, also die Menge +\[ +S^1 += +\{(x_1,x_2)\;|\; x_1^2 + x_2^2=1\} +\] +$S^1$ ist eine abgeschlossene und beschränkte Menge in $\mathbb{R}^2$. +Die Funktion $x\mapsto x_1$ trennt die Punkte nicht, denn zu jedem +Punkt $(x_1,x_2)\in S^2$ gibt es den an der ersten Achse +gespiegelten Punkt $\sigma(x)=(x_1,-x_2)$, dessen erste Koordinate +den gleichen Wert hat. +Ebenso trennt die Koordinatenfunktion $x\mapsto x_2$ die Punkte nicht. +Die Menge $A=\{ x_1(x), x_2(x)\}$ bestehend aus den beiden +Koordinatenfunktionen trennt dagegen die Punkte von $S^1$, da die Punkte +sich immer in mindestens einem Punkt unterscheiden. + +Man könnte auch versuchen, den Kreis in Polarkoordinaten zu beschreiben. +Die Funktion $\varphi(x)$, die jedem Punkt $x\in S^1$ den Polarwinkel +zuordnet, trennt sicher die Punkte des Kreises. +Zwei verschiedene Punkte auf dem Kreis haben verschieden Polarwinkel. +Die Menge $\{\varphi\}$ trennt also die Punkte von $S^1$. +Allerdings ist die Funktion nicht stetig, was zwar der Definition +nicht widerspricht aber ein Hindernis für spätere Anwendungen ist. +\end{beispiel} + + +\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für reelle Funktionen} +Die Beispiele von Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome} +haben bezeigt, dass sich reellwertige Funktionen einer reellen +Variable durch Polynome beliebig genau approximieren lassen. +Es wurde sogar eine Methode vorgestellt, die eine auf einem Intervall +gleichmässig konvergente Polynomefolge produziert. +Die Variable $x\in[a,b]$ trennt natürlich die Punkte, die Algebra der +Polynome in der Variablen $x$ enthält also sicher Funktionen, die in +verschiedenen Punkten des Intervalls auch verschiedene Werte annehmen. +Nicht ganz so selbstverständlich ist aber, dass sich daraus bereits +ergibt, dass jede beliebige Funktion sich als Polynome in $x$ +approximieren lässt. +Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes von Stone-Weierstrass. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf} +\caption{Konstruktion einer monoton wachsenden Approximationsfolge für +$\sqrt{a}$ +\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}} +\end{figure} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf} +\caption{Monoton wachsende Approximation der Funktion $t\mapsto\sqrt{t}$ mit +Polynomen $u_n(t)$ nach +\eqref{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation} +(links) und der Fehler der Approximation +(rechts). +\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation}} +\end{figure} + +\begin{satz}[Stone-Weierstrass] +\label{buch:satz:stone-weierstrass} +Enthält eine $\mathbb{R}$-Algebra $A$ von stetigen, rellen Funktionen +auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen und trennt sie +Punkte, d.~h.~für zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ gibt es +immer eine Funktion $f\in A$ mit $f(x)\ne f(y)$, dann ist jede stetige, +reelle Funktion auf $K$ gleichmässig approximierbar durch Funktionen +in $A$. +\end{satz} + +Für den Beweis des Satzes wird ein Hilfsresultat benötigt, welches wir +zunächst ableiten. +Es besagt, dass sich die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$ +auf dem Interval $[0,1]$ gleichmässig +von unten durch Polynome approximieren lässt, die in +Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation} dargestellt +sind. + +\begin{satz} +Die rekursiv definierte Folge von Polynomen +\begin{equation} +u_{n+1}(t) += +u_n(t) + \frac12(t-u_n(t)^2), +\qquad +u_0(t)=0 +\label{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation} +\end{equation} +ist monoton wachsend und approximiert die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$ +gleichmässig auf dem Intervall $[0,1]$. +\end{satz} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf} +\caption{Graphische Erklärung der +Identitäten~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:minmax} für +$\max(f(x),g(x))$ und $\min(f(x),g(x))$. +Die purpurrote Kurve stellt den Mittelwert von $f(x)$ und $g(x)$ dar, +die vertikalen grünen Linien haben die Länge der Differenz $|f(x)-g(x)|$. +Das Maximum erhält man, indem man den halben Betrag der Differenz zum +Mittelwert hinzuaddiert, das Minimum erhält man durch Subtraktion +der selben Grösse. +\label{buch:eigenwerte:fig:minmax}} +\end{figure} + +\begin{proof}[Beweis] +Wer konstruieren zunächst das in +Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren} +visualierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$ +die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann. +Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel. +Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$. +In jedem anderen Fall muss $u$ um einen Betrag $d$ vergrössert werden. +Natürlich muss immer noch $u+d<\sqrt{a}$ sein. +Man kann die maximal zulässige Korrektur $d$ geometrisch abschätzen, +wie dies in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren} +skizziert ist. +Die maximale Steigung des Graphen der Funktion $u\mapsto u^2$ ist $2$, +daher darf man $u$ maximal um die Hälfte der Differenz $a-u^2$ (grün) +vergrössern, also $d=\frac12(a-u^2)$. +Die Rekursionsformel +\[ +u_{n+1} = u_n + d = u_n + \frac12(a-u_n^2) +\] +mit dem Startwert $u_0=0$ liefert daher eine +Folge, die gegen $\sqrt{a}$ konvergiert. +\end{proof} + +\begin{proof}[Beweis des Satzes von Stone-Weierstrass] +Da $A$ eine Algebra ist, ist mit jeder Funktion $f\in A$ für jedes Polynome +$p\in\mathbb{R}[X]$ auch $p(f)$ eine Funktion in $A$. +\begin{enumerate} +\item Schritt: Für jede Funktion $f\in A$ lässt sich auch $|f|$ durch +Funktionen in $A$ beliebig genau durch eine monoton wachsende Folge +von Funktionen approximieren. + +Da $A$ eine Algebra ist, ist $f^2\in A$. +Sei ausserdem $m^2=\sup \{f(x)^2\;|\;x\in K\}$, so dass $f^2/m^2$ eine Funktion +mit Werten im Intervall $[0,1]$ ist. +Die Funktionen $f_n(x)=mu_n(f(x)^2/m^2)$ sind ebenfalls in $A$ und +approximieren gleichmässig $\sqrt{f(x)^2}=|f(x)|$. +\item Schritt: Für zwei Funktionen $f,g\in A$ gibt es eine monoton wachsende +Folge, die $\max(f,g)$ gleichmässig beliebig genau approximiert +und eine monoton fallende Folge, die $\min(f,g)$ gleichmässig beliebig +genau approximiert. + + +Diese Folgen können aus der Approximationsfolge für den Betrag einer +Funktion und den Identitäten +\begin{equation} +\begin{aligned} +\max(f,g) &= \frac12(f+g+|f-g|) \\ +\min(f,g) &= \frac12(f+g-|f-g|) +\end{aligned} +\label{buch:eigenwerte:eqn:minmax} +\end{equation} +gefunden werden, die in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:minmax} +graphisch erklärt werden. +\item Schritt: Zu zwei beliebigen Punkten $x,y\in K$ und Werten +$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es immer eine Funktion in $A$, +die in den Punkten $x,y$ die vorgegebenen Werte $\alpha$ bzw.~$\beta$ +annimmt. +Da $A$ die Punkte trennt, gibt es eine Funktion $f_0$ mit $f_0(x)\ne f_0(y)$. +Dann ist die Funktion +\[ +f(t) += +\beta + \frac{f_0(t)-f_0(y)}{f_0(x)-f_0(y)}(\alpha-\beta) +\] +wohldefiniert und nimmt die verlangten Werte an. +\item Schritt: Zu jeder stetigen Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$, jedem +Punkt $x\in K$ und jedem $\varepsilon>0$ gibt es eine Funktion $g\in A$ derart, +dass $g(x)=f(x)$ und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für alle $y\in K$. + +Zu jedem $z\in K$ gibt es eine Funktion in $A$ mit +$h_z(x)=f(x)$ und $h_z(z) \le f(z)+\frac12\varepsilon$. +Wegen der Stetigkeit von $h_z$ gibt es eine Umgebung $V_z$ von $z$, in der +immer noch gilt $h_z(y)\le f(y)+\varepsilon$ für $y\in V_z$. +Wegen der Kompaktheit von $K$ kann man endlich viele Punkte $z_i$ wählen +derart, dass die $V_{z_i}$ immer noch $K$ überdecken. +Dann erfüllt die Funktion +\( +g(z) = \inf h_{z_i} +\) +die Bedingungen $g(x) = f(x)$ und für $z\in V_{z_i}$ +\[ +g(z) = \inf_{j} h_{z_j}(z) \le h_{z_i}(z) \le f(z)+\varepsilon. +\] +Ausserdem ist $g(z)$ nach dem zweiten Schritt beliebig genau durch +Funktionen in $A$ approximierbar. +\item Schritt: Jede stetige Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$ kann +beliebig genau durch Funktionen in $A$ approximiert werden. +Sei $\varepsilon > 0$. + +Nach dem vierten Schritt gibt es für jedes $y\in K$ eine Funktion $g_y$ +derart, dass $g_y(y)=f(y)$ und $g_y(x) \le f(x) + \varepsilon$ für +$x\in K$. +Da $g_y$ stetig ist, gilt ausserdem $g_y(x) \ge f(x) -\varepsilon$ in +einer Umgebung $U_y$ von $y$. +Da $K$ kompakt ist, kann man endlich viele $y_i$ derart, dass die $U_{y_i}$ +immer noch ganz $K$ überdecken. +Die Funktion $g=\sup g_{y_i}$ erfüllt dann überall $g(x) \le f(x)+\varepsilon$, +weil jede der Funktionen $g_y$ diese Ungleichung erfüllt. +Ausserdem gilt für $x\in V_{x_j}$ +\[ +g(x) = \sup_i g_{x_i}(x) \ge g_{x_j}(x) \ge f(x)-\varepsilon. +\] +Somit ist +\[ +|f(x)-g(x)| \le \varepsilon. +\] +Damit ist $f(x)$ beliebig nahe an der Funktion $g(x)$, die sich +beliebig genau durch Funktionen aus $A$ approximieren lässt. +\qedhere +\end{enumerate} +\end{proof} + +Im ersten Schritt des Beweises ist ganz entscheidend, dass man die +Betragsfunktion konstruieren kann. +Daraus leiten sich dann alle folgenden Konstruktionen ab. + +\subsubsection{Anwendung auf symmetrische und hermitesche Matrizen} +Für symmetrische und hermitesche Matrizen $A$ ist bekannt, dass die +Eigenwerte reell sind, also das Spektrum $\operatorname{A}\subset\mathbb{R}$ +ist. +Für eine Funktion $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ lässt sich nach dem +Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} immer eine Folge $p_n$ von +approximierenden Polynomen in $x$ finden, die auf $\operatorname{Sp}(A)$ +gleichmässig konvergiert. +Die Matrix $f(A)$ kann dann definiert werden also der Grenzwert +\[ +f(A) = \lim_{n\to\infty} p_n(A). +\] +Da diese Matrizen auch diagonalisierbar sind, kann man eine Basis +aus Eigenvektoren verwenden. +Die Wirkung von $p_n(A)$ auf einem Eigenvektor $v$ zum Eigenwert $\lambda$ +ist +\[ +p_n(A)v += +(a_kA^k + a_{k-1}A^{k-1}+\dots +a_2A^2+a_1A+a_0I)v += +(a_k\lambda^k + a_{k-1}\lambda^{k-1}+\dots + a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0)v += +p_n(\lambda)v. +\] +Im Grenzwert wirkt $f(A)$ daher durch Multiplikation eines Eigenvektors +mit $f(\lambda)$, die Matrix $f(A)$ hat in der genannten Basis die +Diagonalform +\[ +A=\begin{pmatrix} +\lambda_1& & & \\ + &\lambda_2& & \\ + & &\ddots& \\ + & & &\lambda_n +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +f(A)=\begin{pmatrix} +f(\lambda_1)& & & \\ + &f(\lambda_2)& & \\ + & &\ddots& \\ + & & &f(\lambda_n) +\end{pmatrix}. +\] + +\begin{satz} +\label{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz} +Ist $A$ symmetrische oder selbstadjungiert Matrix und $f$ eine Funktion +auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$. +Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen +Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig +gegen $f$ konvergieren. +\end{satz} + +\subsubsection{Unmöglichkeit der Approximation von $z\mapsto \overline{z}$ +in $\mathbb{C}[z]$} +Der Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} von Stone-Weierstrass für +reelle Funktionen gilt nicht für komplexe Funktionen. +In diesem Abschnitt zeigen wir, dass sich die Funktion $z\mapsto\overline{z}$ +auf der Einheitskreisscheibe $K=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|\le 1\}$ nicht +gleichmässig durch Polynome $p(z)$ mit komplexen Koeffizienten approximieren +lässt. + +Wäre eine solche Approximation möglich, dann könnte man $\overline{z}$ +auch durch eine Potenzreihe +\[ +\overline{z} += +\sum_{k=0}^\infty a_kz^k +\] +darstellen. +Das Wegintegral beider Seiten über den Pfad $\gamma(t) = e^{it}$ +in der komplexen Ebene ist +\begin{align*} +\oint_\gamma z^k\,dz +&= +\int_0^{2\pi} e^{ikt} ie^{it}\,dt += +i\int_0^{2\pi} e^{it(k+1)}\,dt += +i\biggl[ \frac{1}{i(k+1)} e^{it(k+1)}\biggr]_0^{2\pi} += +0 +\\ +\oint_\gamma +\sum_{k=0}^\infty a_kz^k +\,dz +&= +\sum_{k=0}^\infty a_k \oint_\gamma z^k\,dz += +\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot 0 += +0 +\\ +\oint_\gamma \overline{z}\,dz +&= +\int_0^{2\pi} e^{it} ie^{it}\,dt += +i\int_0^{2\pi} \,dt = 2\pi i, +\end{align*} +dabei wurde $\overline{\gamma}(t)=e^{-it}$ verwendet. +Insbesondere widersprechen sich die beiden Integrale. +Die ursprüngliche Annahmen, $\overline{z}$ lasse sich durch Polynome +gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden. + +\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen} +Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt +also nicht gelten. +Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} +auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg +gefunden werden, den Betrag einer Funktion zu approximieren. + +Im reellen Fall geschah dies, indem zunächst eine Polynom-Approximation +für die Quadratwurzel konstruiert wurde, die dann auf das Quadrat einer +Funktion angewendet wurde. +Der Betrag einer komplexen Zahl $z$ ist aber nicht allein aus $z$ +berechenbar, man braucht in irgend einer Form Zugang zu Real- +und Imaginärteil. +Zum Beispiel kann man Real- und Imaginärteil als +$\Re z= \frac12(z+\overline{z})$ und $\Im z = \frac12(z-\overline{z})$ +bestimmen. +Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist als gleichbedeutend mit +der Kenntnis der komplex Konjugierten $\overline{z}$. +Der Betrag lässt sich daraus als $|z|^2 = z\overline{z}$ finden. +Beide Beispiele zeigen, dass man den im Beweis benötigten Betrag +nur dann bestimmen kann, wenn mit jeder Funktion aus $A$ auch die +komplex konjugierte Funktion zur Verfügung steht. + +\begin{satz}[Stone-Weierstrass] +Enthält eine $\mathbb{C}$-Algebra $A$ von stetigen, komplexwertigen +Funktionen auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen, +trennt sie Punkte und ist ausserdem mit jeder Funktion $f\in A$ auch +die komplex konjugiert Funktion $\overline{f}\in A$, +dann lässt sich jede stetige, komplexwertige Funktion +auf $K$ gleichmässig durch Funktionen aus $A$ approximieren. +\end{satz} + +Mit Hilfe der konjugiert komplexen Funktion lässt sich immer eine +Approximation für die Betragsfunktion finden, so dass sich der +Beweis des reellen Satzes von Stone-Weierstrass übertragen lässt. + +% +% Normale Matrizen +% +\subsection{Normale Matrizen +\label{buch:subsection:normale-matrizen}} +Aus dem Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Matrizen kann man +jetzt einen Spektralsätze für eine etwas grössere Klasse von Matrizen +ableiten, als im Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz} +möglich war. +Der Satz besagt, dass für eine beliebige Funktion $f$ auf dem Spektrum +$\operatorname{Sp}(A)$ eine Folge von auf $\operatorname{Sp}(A)$ +gleichmässig konvergenten, approximierenden Polynomen +$p_n(z,\overline{z})$ gefunden werden kann. +Doch wie soll jetzt aus dieser Polynomfolge ein Kandidat von $f(A)$ +gefunden werden? + +Zunächst stellt sich die Frage, was für die Variable $\overline{z}$ +eingesetzt werden soll. +$1\times 1$-Matrizen sind notwendigerweise diagonal, also muss +man in diesem Fall die Matrix $\overline{A}$ für die Variable +$\overline{z}$ eingesetzt werden. +Dies erklärt aber noch nicht, wie für $n\times n$-Matrizen +vorzugehen ist, wenn $n>1$ ist. + +Die Notwendigkeit, die Variable $\overline{z}$ hinzuzunehmen +ergab sich aus der Anforderung, dass der Betrag aus $|z|^2=z\overline{z}$ +konstruiert werden können muss. +Insbesondere muss beim Einsetzen eine Matrix entstehen, die nur +positive Eigenwerte hat. +Für eine beliebige komplexe $n\times n$-Matrix $A$ ist aber +$A\overline{A}$ nicht notwendigerweise positiv, wie das Beispiel +\[ +A += +\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix} +\qquad +\Rightarrow +\qquad +A\overline{A} += +\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +-1&0\\ + 0&-1 +\end{pmatrix} += +-I +\] +zeigt. +Eine positive Matrix entsteht dagegen immer, wenn man statt +$A$ die Adjungierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet. + +Die Substitution von $A$ für $z$ und $A^*$ für $\overline{z}$ +in einem Polynom $p(z,\overline{z})$ ist nicht unbedingt eindeutig. +Schon das Polynom $p(z,\overline{z})=z\overline{z}$ kann man auch +als $\overline{z}z$ schreiben. +Damit die Substition eindeutig wird, muss man also fordern, dass +$AA^* = A^*A$ ist. + +\begin{definition} +Eine Matrix $A\in M_n(\mathbb{C})$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$ gilt. +\end{definition} + +\subsubsection{Beispiele normaler Matrizen} + +\begin{enumerate} +\item +Hermitesche und Antihermitesche Matrizen sind normal, denn solche +Matrizen erfüllen $A^*=\pm A$ und damit +\( +AA^* = \pm A^2 = A^*A. +\) +\item +Symmetrische und antisymmetrische Matrizen sind normal, +denn aus $A=A^t$ folgt $A^*=\overline{A}^t$ und damit +\begin{align*} +AA^* &= A\overline{A}^t = +\\ +A^*A &= +\end{align*} +\item +Unitäre Matrizen $U$ sind normal, das $UU^*=I=U^*U$ gilt. +\item +Orthogonale Matrizen sind normal wegen $O(n) = U(n) \cap M_n(\mathbb{R})$. +\end{enumerate} + +Jede Matrix lässt sich durch Wahl einer geeigneten Basis in Jordansche +Normalform bringen. +Allerdings sind Jordan-Blöcke keine normalen Matrizen, wie der folgende +Satz zeigt. + +\begin{satz} +Eine Dreiecksmatrix ist genau dann normal, wenn sie diagonal ist. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Sei $A$ eine obere Dreiecksmatrix, das Argument für eine untere Dreiecksmatrix +funktioniert gleich. +Wir berechnen ein Diagonalelement für beide Produkte $AA^*$ und $A^*A$. +Dazu brauchen wir die Matrixelemente von $A$ und $A^*$. +Bezeichnen wir die Matrixelemente von $A$ mit $a_{ij}$, dann hat $A^*$ +die Matrixelemente $(A^*)_{ij}=\overline{a}_{ji}$. +Damit kann man die Diagonalelemente der Produkte als +\begin{align*} +(AA^*)_{ii} +&= +\sum_{j=1}^n a_{ij}\overline{a}_{ij} += +\sum_{j=i}^n |a_{ij}|^2 +\\ +(A^*A)_{ii} +&= +\sum_{j=1}^n \overline{a}_{ji}a_{ji} += +\sum_{j=1}^i |a_{ji}|^2 +\end{align*} +ausrechnen. +Der obere Ausdruck ist die quadrierte Länge der Zeile $i$ der Matrix $A$, +der untere ist die quadrierte Länge der Spalte $i$. +Da die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist, hat die erste Spalte höchstens +ein einziges von $0$ verschiedenes Element. +Daher kann auch die erste Zeile höchstens dieses eine Elemente haben. +Die Matrix hat daher Blockstruktur mit einem $1\times 1$-Block in der +linken obere Ecke und einem $n-1$-dimensionalen Block für den Rest. +Durch Wiederholen des Arguments für den $(n-1)\times (n-1)$-Block +kann man so schrittweise schliessen, dass die Matrix $A$ diagonal sein muss. +\end{proof} + + +\begin{satz} +Sind $A$ und $B$ normale Matrizen und $AB^*=B^*A$, dann sind auch $A+B$ +und $AB$ normal. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst folgt aus $AB^*=B^*A$ auch +$A^*B = (B^*A)^* = (AB^*)^* = BA^*$. +Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen: +\begin{align*} +(A+B)(A+B)^* +&= +AA^* + AB^* + BA^*+BB^* +\\ +(A+B)^*(A+B) +&= +A^*A + A^*B + B^*A + B^*B +\end{align*} +Die ersten und letzten Terme auf der rechten Seite stimmen überein, weil +$A$ und $B$ normal sind. +Die gemischten Terme stimmen überein wegen der Vertauschbarkeit von +$A$ und $B^*$. + +Für das Produkt rechnet man +\begin{align*} +(AB)(AB)^* +&= ABB^*A^* = AB^*BA^* += B^*AA^*B += +B^*A^*AB += +(AB)^*(AB), +\end{align*} +was zeigt, dass auch $AB$ normal ist. +\end{proof} + +\subsubsection{Äquivalente Bedingungen} +Es gibt eine grosse Zahl äquivalenter Eigenschaften für normale Matrizen. +Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent: +\begin{enumerate} +\item +Die Matrix $A$ ist mit einer unitären Matrix diagonalisierbar +\item +Es gibt eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von $A$ für $\mathbb{C}^n$ +\item +Für jeden Vektor $x\in\mathbb{C}^n$ gilt $\|Ax\|=\|A^*x\|$ +\item +Die Forbenius-Norm der Matrix $A$ kann mit den Eigenwerten $\lambda_i$ +von $A$ berechnet werden: +$\operatorname{Spur}(A^*A) = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2$ +\item +Der hermitesche Teil $\frac12(A+A^*)$ und der antihermitesche Teil +$\frac12(A-A^*)$ von $A$ vertauschen. +\item +$A^*$ ist ein Polynom vom Grad $n-1$ in $A$. +\item +Es gibt eine unitäre Matrix $U$ derart, dass $A^*=AU$ +\item +Es gibt eine Polarzerlegugn $A=UP$ mit einer unitären Matrix $U$ und +einer postiv semidefiniten Matrix $P$, die untereinander vertauschen. +\item +Es gibt eine Matrix $N$ mit verschiedenen Eigenwerten, mit denen $A$ +vertauscht. +\item +Wenn $A$ die (absteigend geordneten) singulärwerte $\sigma_i$ und +die absteigend geordneten Eigenwerte $\lambda_i$ hat, +dann it $\sigma_i=|\lambda_i|$. +\end{enumerate} + + + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex index 2fab61a..dd82067 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex @@ -2,7 +2,7 @@ Verwenden Sie die Matrixdarstellung komplexer Zahlen, um $i^i$ zu berechnen. \begin{hinweis} -Verwenden Sie die eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen. +Verwenden Sie die Eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen. \end{hinweis} \begin{loesung} @@ -14,11 +14,11 @@ Zunächst erinnern wir an die Eulersche Formel = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k J^k}{k!} = -\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot E +\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot I + \sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i+1}(-1)^i}{(2i+1)!}\cdot J = -\cos t\cdot E +\cos t\cdot I + \sin t\cdot J. \] @@ -49,7 +49,7 @@ J = \begin{pmatrix} Als nächstes müssen wir $J\log J$ berechnen. Aus \eqref{4001:logvalue} folgt \[ -J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot E. +J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot I. \] Darauf ist die Exponentialreihe auszuwerten, also \[ @@ -57,7 +57,7 @@ J^J = \exp (J\log J) = -\exp(-\frac{\pi}2 E) +\exp(-\frac{\pi}2 I) = \exp \begin{pmatrix} @@ -70,7 +70,7 @@ e^{-\frac{\pi}2}&0\\ 0&e^{-\frac{\pi}2} \end{pmatrix} = -e^{-\frac{\pi}2} E. +e^{-\frac{\pi}2} I. \] Als komplexe Zahlen ausgedrückt folgt also $i^i = e^{-\frac{\pi}2}$. \end{loesung} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex index 3cd9959..b749356 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex @@ -78,11 +78,11 @@ Ab_1 = 3b_1 \] ab. -Diesen Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-eE)$ +Diesen Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$ bestimmen. -Die vierte Potenz von $A-2E$ ist +Die vierte Potenz von $A-2I$ ist \begin{equation} -(A-2E)^4 +(A-2I)^4 = \begin{pmatrix} 0& 0& 0& 0\\ @@ -108,13 +108,13 @@ b_4 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix} \] -für den Kern $\mathcal{K}(A-2E)$ ablesen. -Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2E) -= \mathcal{J}(A-3E)$ sein. -Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2E$ +für den Kern $\mathcal{K}(A-2I)$ ablesen. +Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2I) += \mathcal{J}(A-3I)$ sein. +Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2I$ berechnen, sie ist \[ -(A-2E)^4 +(A-2I)^4 = \begin{pmatrix} 79& -26& 152& -152\\ @@ -124,7 +124,7 @@ berechnen, sie ist \end{pmatrix}. \] Die Spaltenvektoren lassen sich alle durch die Vektoren $b_2$, $b_3$ -und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2E)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$. +und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$. Indem die Vektoren $b_i$ als Spalten in eine Matrix $T$ schreibt, kann man jetzt berechnen, wie die Matrix der linearen Abbildung in dieser neuen @@ -154,16 +154,16 @@ A_1 \end{pmatrix} \] in der rechten unteren Ecke hat den dreifachen Eigenwert $2$, -und die Potenzen von $A_1-2E$ sind +und die Potenzen von $A_1-2I$ sind \[ -A_1-2E +A_1-2I \begin{pmatrix} -15 & 5& 29\\ -27 & 9& 51\\ -3 & 1& 6 \end{pmatrix} ,\qquad -(A_1-2E)^2 +(A_1-2I)^2 = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -6\\ @@ -171,10 +171,10 @@ A_1-2E 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} ,\qquad -(A_1-2E)^3=0. +(A_1-2I)^3=0. \] Für die Jordan-Normalform brauchen wir einen von $0$ verschiedenen -Vektor im Kern von $(A_1-2E)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den +Vektor im Kern von $(A_1-2I)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den Komponenten $1,3,1$. Man beachte aber, dass diese Komponenten jetzt in der neuen Basis $b_2,\dots,b_4$ zu verstehen sind, d.~h.~der Vektor, den wir suchen, ist @@ -185,7 +185,7 @@ b_1+ 3b_2+b_3 = \begin{pmatrix}1\\3\\1\\2\end{pmatrix}. \] -Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2E$: +Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2I$: \[ c_2 = diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex new file mode 100644 index 0000000..5940b46 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +Berechnen Sie $\sin At$ für die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +\omega& 1 \\ + 0 &\omega +\end{pmatrix}. +\] +Kontrollieren Sie Ihr Resultat, indem Sie den Fall $\omega = 0$ gesondert +ausrechnen. +\begin{hinweis} +Schreiben Sie $A=\omega I + N$ mit einer nilpotenten Matrix. +\end{hinweis} + +\begin{loesung} +Man muss $At$ in die Potenzreihe +\[ +\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \dots +\] +für die Sinus-Funktion einsetzen. +Mit der Schreibweise $A=\omega I + N$, wobei $N^2=0$ können die Potenzen etwas +leichter berechnet werden: +\begin{align*} +A^0 &= I +\\ +A^1 &= \omega I + N +\\ +A^2 &= \omega^2 I + 2\omega N +\\ +A^3 &= \omega^3 I + 3\omega^2 N +\\ +A^4 &= \omega^4 I + 4\omega^3 N +\\ +&\phantom{a}\vdots +\\ +A^k &= \omega^k I + k\omega^{k-1} N +\end{align*} +Damit kann man jetzt $\sin At$ berechnen: +\begin{align} +\sin At +&= +At - \frac{A^3t^3}{3!} + \frac{A^5t^5}{5!} - \frac{A^7t^7}{7!} +\dots +\notag +\\ +&= +\biggl( +\omega t - \frac{\omega^3t^3}{3!} + \frac{\omega^5t^5}{5!} - \frac{\omega^7t^7}{7!} ++\dots +\biggr)I ++ +\biggl( +t -\frac{3\omega^2t^3}{3!} + \frac{5\omega^4t^5}{5!} - \frac{7\omega^6t^7}{7!}+\dots +\biggr)N +\notag +\\ +&= +I\sin\omega t ++tN\biggl(1-\frac{\omega^2t^2}{2!} +\frac{\omega^4t^4}{4!} +- \frac{\omega^6t^6}{6!} ++\dots\biggr) +\notag +\\ +&=I\sin\omega t + tN\cos\omega t. +\label{4004:resultat} +\end{align} +Im Fall $\omega=0$ ist $A=N$ und $A^2=0$, so dass +\[ +\sin At = tN, +\] +dies stimmt mit \eqref{4004:resultat} für $\omega=0$ überein, da +$\cos\omega t = \cos 0=1$ in diesem Fall. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex new file mode 100644 index 0000000..ec76c34 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex @@ -0,0 +1,151 @@ +Rechnen Sie nach, dass die Matrix +\[ +A += +\begin{pmatrix} +2&1&0\\ +0&2&1\\ +1&0&2 +\end{pmatrix} +\] +normal ist. +\begin{teilaufgaben} +\item +Berechnen Sie die Eigenwerte, indem Sie das charakteristische Polynom +von $A$ und seine Nullstellen bestimmen. +\item +Das Polynom +\[ +p(z,\overline{z}) += +\frac{(3-\sqrt{3})z\overline{z}-9(1-\sqrt{3})}{6} +\] +hat die Eigenschaft, dass +\begin{align*} +p(\lambda,\lambda) &= |\lambda| +\end{align*} +für alle drei Eigenwerte von $A$. +Verwenden Sie dieses Polynom, um $B=|A|$ zu berechen. +\item +Überprüfen Sie Ihr Resultat, indem Sie mit einem Computeralgebra-Programm +die Eigenwerte von $B$ bestimmen. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +Die Matrix $A$ ist von der Form $2I+O$ mit $O\in\operatorname{SO}(3)$, +für solche Matrizen wurde gezeigt, dass sie normal sind. +Man kann aber auch direkt nachrechnen: +\begin{align*} +AA^t +&= +\begin{pmatrix} +2&1&0\\ +0&2&1\\ +1&0&2 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +2&0&1\\ +1&2&0\\ +0&1&2 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +5&2&2\\ +2&5&2\\ +2&2&5 +\end{pmatrix} +\\ +A^tA +&= +\begin{pmatrix} +2&0&1\\ +1&2&0\\ +0&1&2 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +2&1&0\\ +0&2&1\\ +1&0&2 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +5&2&2\\ +2&5&2\\ +2&2&5 +\end{pmatrix} +\end{align*} +Es gilt also $AA^t=A^tA$, die Matrix ist also normal. +\begin{teilaufgaben} +\item Das charakteristische Polynom ist +\begin{align} +\chi_A(\lambda) +&=\left| +\begin{matrix} +2-\lambda & 1 & 0 \\ + 0 & 2-\lambda & 1 \\ + 1 & 0 & 2-\lambda +\end{matrix} +\right| += +(2-\lambda)^3+1 +\label{4005:charpoly} +\\ +&=-\lambda^3 -6\lambda^2 + 12\lambda +9. +\notag +\end{align} +Mit einem Taschenrechner kann man die Nullstellen finden, +aber man kann das auch die Form \eqref{4005:charpoly} +des charakteristischen Polynoms direkt faktorisieren: +\begin{align*} +\chi_A(\lambda) +&= +(2-\lambda)^3+1 +\\ +&= +((2-\lambda)+1) +((2-\lambda)^2 -(2-\lambda)+1) +\\ +&= +(3-\lambda) +(\lambda^2-3\lambda +4-2+\lambda +1) +\\ +&= +(3-\lambda) +(\lambda^2-2\lambda +3) +\end{align*} +Daraus kann man bereits einen Eigenwert $\lambda=3$ ablesen, +die weiteren Eigenwerte sind die Nullstellen des zweiten Faktors, die +man mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen finden kann: +\begin{align*} +\lambda_{\pm} +&= +\frac{3\pm\sqrt{9-12}}{2} += +\frac{3}{2} \pm\frac{\sqrt{-3}}{2} += +\frac{3}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} +\end{align*} +\item +Wir müssen $z=A$ und $\overline{z}=A^t$ im Polynom $p(z,\overline{z})$ +substituieren und erhalten +\begin{align*} +B +&= +\frac{3-\sqrt{3}}6 \begin{pmatrix}5&2&2\\2&5&2\\2&2&5\end{pmatrix} ++\frac{\sqrt{3}-1}{2}I +\\ +&= +\begin{pmatrix} + 2.1547005& 0.42264973& 0.42264973 \\ + 0.4226497& 2.15470053& 0.42264973 \\ + 0.4226497& 0.42264973& 2.15470053 +\end{pmatrix} +\end{align*} +\item +Tatsächlich gibt die Berechnung der Eigenwerte +den einfachen Eigenwert $\mu_0=3=|\lambda_0|$ +und +den doppelten Eigenwert $\mu_{\pm} = \sqrt{3}=1.7320508=|\lambda_{\pm}|$. +\qedhere +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima new file mode 100644 index 0000000..9c97a2b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima @@ -0,0 +1,121 @@ +/* + * 4006.maxima + * + * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ + +A: matrix([ a+b*%i, 1, 0, 0 ], + [ 0, a+b*%i, 0, 0 ], + [ 0, 0, a-b*%i, 1 ], + [ 0, 0, 0, a-b*%i ]); + +expand(charpoly(A, x)); + +S: (1/sqrt(2)) * matrix([ 1, -%i, 0, 0 ], + [ 0, 0, 1, -%i ], + [ 1, %i, 0, 0 ], + [ 0, 0, 1, %i ]); + +B: expand(invert(S).A.S); + + +C: subst(2, a, B); +C: subst(3, b, C); +A: subst(2, a, A); +A: subst(3, b, A); + +U: matrix([ 1, 0, 1, 0 ], + [ 0, 1, 1, 2 ], + [ 0, 0, 1, 0 ], + [ 0, 0, 0, 1 ]); +V: matrix([ 1, 0, 0, 0 ], + [ 0, 1, 0, 0 ], + [ 0, 1, 1, 0 ], + [ 1, 0, 0, 1 ]); +T: U.V; +invert(T); + +D: T.C.invert(T); + +p: expand(charpoly(D, x)); + +factor(p); + +lambda: 2+3*%i; + +Dlambda: ratsimp(expand(D - lambda * identfor(D))); +rank(Dlambda); +/* D2: expand(Dlambda.Dlambda); */ +/* rank(D2); */ + +load(functs); + +/* +E: Dlambda; +E[1]: (rational(1/E[1,1]))*E[1]$ +E[2]: E[2] - E[2,1] * E[1]$ +E[3]: E[3] - E[3,1] * E[1]$ +E[4]: E[4] - E[4,1] * E[1]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[2]: (rational(1/E[2,2])) * E[2]$ +E[3]: E[3] - E[3,2] * E[2]$ +E[4]: E[4] - E[4,2] * E[2]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[3]: (rational(1/E[3,3])) * E[3]$ +E[4]: E[4] - E[4,3] * E[3]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[2]: E[2] - E[2,3] * E[3]$ +E[1]: E[1] - E[1,3] * E[3]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[1]: E[1] - E[1,2] * E[2]$ +E: ratsimp(E)$ + +E; +*/ + +b1: matrix([1+%i],[2+2*%i],[%i],[1]); +ratsimp(D.b1 - lambda*b1); + +G: Dlambda; +G: addcol(G, b1); +G[1]: (rational(1/G[1,1]))*G[1]$ +G[2]: G[2] - G[2,1] * G[1]$ +G[3]: G[3] - G[3,1] * G[1]$ +G[4]: G[4] - G[4,1] * G[1]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[2]: (rational(1/G[2,2])) * G[2]$ +G[3]: G[3] - G[3,2] * G[2]$ +G[4]: G[4] - G[4,2] * G[2]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[3]: (rational(1/G[3,3])) * G[3]$ +G[4]: G[4] - G[4,3] * G[3]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[2]: G[2] - G[2,3] * G[3]$ +G[1]: G[1] - G[1,3] * G[3]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[1]: G[1] - G[1,2] * G[2]$ +G: ratsimp(G)$ + +G; + +b2: matrix([ G[1,5] ], [ G[2,5] ], [ G[3,5] ], [ G[4,5] ]); + +expand(D.b2 - lambda * b2 - b1); + +c1: 2 * realpart(b1); +d1: 2 * imagpart(b1); +c2: 2 * realpart(b2); +d2: 2 * imagpart(b2); + +D.c1 - 2 * c1 + 3 * d1; +D.d1 - 3 * c1 - 2 * d1; +D.c2 - 2 * c2 + 3 * d2 - c1; +D.d2 - 3 * c2 - 2 * d2 - d1; diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex new file mode 100644 index 0000000..7ccc065 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -0,0 +1,97 @@ +Man findet eine Basis, in der die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix*}[r] + -5& 2& 6& 0\\ +-11& 12& -3& -15\\ + -7& 0& 9& 4\\ + 0& 5& -7& -8 +\end{pmatrix*} +\] +die relle Normalform bekommt. + +\begin{loesung} +Das charakteristische Polynom der Matrix ist +\[ +\chi_{A}(\lambda) += +\lambda^4-8\lambda^3+42\lambda^2-104\lambda+169 += +(\lambda^2-4\lambda+13)^2. +\] +Es hat die doppelten Nullstellen +\[ +\lambda_\pm += +2\pm \sqrt{4-13} += +2\pm \sqrt{-9} += +2\pm 3i. +\] +Zur Bestimmung der Basis muss man jetzt zunächst den Kern von +$A_+=A-\lambda_+I$ bestimmen, zum Beispiel mit Hilfe des Gauss-Algorithmus, +man findet +\[ +b_1 += +\begin{pmatrix} +1+i\\ +2+2i\\ +i\\ +1 +\end{pmatrix}. +\] +Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der +$b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet. +Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda_+ b_2=b_1$ findet man +\[ +b_2 += +\begin{pmatrix} +2-i\\3\\2\\0 +\end{pmatrix} +\qquad\text{und damit weiter}\qquad +\overline{b}_1 += +\begin{pmatrix} +1-i\\ +2-2i\\ +-i\\ +1 +\end{pmatrix},\quad +\overline{b}_2 += +\begin{pmatrix} +2+i\\3\\2\\0 +\end{pmatrix}. +\] +Als Basis für die reelle Normalform von $A$ kann man jetzt die Vektoren +\begin{align*} +c_1 +&= +b_1+\overline{b}_1 = \begin{pmatrix}2\\4\\0\\2\end{pmatrix},& +d_1 +&= +\frac{1}{i}(b_1-\overline{b}_1) = \begin{pmatrix}2\\4\\2\\0\end{pmatrix},& +c_2 +&= +b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},& +d_2 +&= +\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix} +\end{align*} +verwenden. +In dieser Basis hat $A$ die Matrix +\[ +A' += +\begin{pmatrix*}[r] + 2& 3& 1& 0\\ +-3& 2& 0& 1\\ + 0& 0& 2& 3\\ + 0& 0&-3& 2 +\end{pmatrix*}, +\] +wie man einfach nachrechnen kann. +\end{loesung} + |
