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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex index 745f320..d707e1f 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex @@ -11,11 +11,22 @@ $A\in M_n(\Bbbk)$. In den meisten Anwendungen wird $\Bbbk=\mathbb{R}$ sein. Da aber in $\mathbb{R}$ nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar sind, ist es manchmal notwendig, den Vektorraum zu erweitern um zum Beispiel +auf dem Umweg über komplexe Zahlen Eigenschaften der Matrix $A$ abzuleiten. \begin{definition} -Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum Eigenwert +Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum {\em Eigenwert} +\index{Eigenwert}% +\index{Eigenvekor}% $\lambda\in\Bbbk$, wenn $v\ne 0$ und $Av=\lambda v$ gilt. +Die Menge +\[ +\operatorname{Sp}(A) += +\{\lambda\in\mathbb{C}\,|\, \text{$\lambda$ ist Eigenwert von $A$}\} +\] +heisst das {\em Spektrum} von $A$. +\index{Spektrum}% \end{definition} Die Bedingung $v\ne 0$ dient dazu, pathologische Situationen auszuschliessen. @@ -27,7 +38,7 @@ Ausserdem wäre $0$ ein Eigenvektor zu jedem beliebigen Eigenwert. Eigenvektoren sind nicht eindeutig bestimmt, jedes von $0$ verschiedene Vielfache von $v$ ist ebenfalls ein Eigenvektor. -Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor jeweils mit +Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor mit geeigneten Eigenschaften finden, zum Beispiel kann man für $\Bbbk = \mathbb{R}$ Eigenvektoren auf Länge $1$ normieren. Im Folgenden werden wir oft die abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren @@ -82,17 +93,17 @@ s\lambda u + t\lambda v \lambda(su+tv), \] also ist auch $su+tv\in E_\lambda$. -Der Fall $E_\lambda = \{0\}=0$ bedeutet natürlich, dass $\lambda$ gar kein +Der Spezialfall $E_\lambda = \{0\}=0$ bedeutet natürlich, dass $\lambda$ gar kein Eigenwert ist. \begin{satz} -Wenn $\dim E_\lambda=n$, dann ist $A=\lambda E$. +Wenn $\dim E_\lambda=n$ ist, dann ist $A=\lambda I$. \end{satz} \begin{proof}[Beweis] Da $V$ ein $n$-dimensionaler Vektoraum ist, ist $E_\lambda=V$. Jeder Vektor $v\in V$ erfüllt also die Bedingung $Av=\lambda v$, -oder $A=\lambda E$. +oder $A=\lambda I$. \end{proof} Wenn man die Eigenräume von $A$ kennt, dann kann man auch die Eigenräume @@ -105,9 +116,9 @@ Av=\lambda v = (\lambda+\mu)v, \] -somit ist $v$ ein Eigenvektor von $A+\mu E$ zum Eigenwert $\lambda+\mu$. +somit ist $v$ ein Eigenvektor von $A+\mu I$ zum Eigenwert $\lambda+\mu$. Insbesondere können wir statt die Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ -zu studieren, auch die Eigenvektoren zum Eigenwert $0$ von $A-\lambda E$ +zu studieren, auch die Eigenvektoren zum Eigenwert $0$ von $A-\lambda I$ untersuchen. % @@ -116,9 +127,9 @@ untersuchen. \subsection{Verallgemeinerte Eigenräume \label{buch:subsection:verallgemeinerte-eigenraeume}} Wenn $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ ist, dann ist -ist $A-\lambda E$ injektiv und $\ker(A-\lambda E)\ne 0$. -Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda E)$ -und $\mathcal{J}(A-\lambda E)$. +ist $A-\lambda I$ injektiv und $\ker(A-\lambda I)\ne 0$. +Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda I)$ +und $\mathcal{J}(A-\lambda I)$ bilden. \begin{beispiel} Wir untersuchen die Matrix @@ -134,8 +145,8 @@ A \] Man kann zeigen, dass $\lambda=1$ ein Eigenwert ist. Wir suchen die Zerlegung des Vektorraums $\mathbb{R}^4$ in invariante -Unterräume $\mathcal{K}(A-E)$ und $\mathcal{J}(A-E)$. -Die Matrix $B=A-E$ ist +Unterräume $\mathcal{K}(A-I)$ und $\mathcal{J}(A-I)$. +Die Matrix $B=A-I$ ist \[ B = @@ -146,7 +157,7 @@ B 0&0& 0&2 \end{pmatrix} \] -und wir berechnen davon die Potenz +und wir berechnen davon die vierte Potenz \[ D=B^4=(A-E)^4 = @@ -191,26 +202,26 @@ verwenden. Als erstes überprüfen wir, ob diese Basisvektoren tatsächlich invariante Unterräume sind. -Für $\mathcal{J}(A-E) = \langle b_1,b_2\rangle$ +Für $\mathcal{J}(A-I) = \langle b_1,b_2\rangle$ berechnen wir \begin{align*} -(A-E)b_1 +(A-I)b_1 &= \begin{pmatrix} 0\\4\\4\\1 \end{pmatrix} = 4b_2+b_1, \\ -(A-E)b_2 +(A-I)b_2 &= \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix} = b_2. \end{align*} -Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist. -In dieser Basis hat die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung -auf $\mathcal{J}(A-E)$ die Matrix +Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-I)$ invariant ist. +In dieser Basis hat die von $A-I$ beschriebene lineare Abbildung +auf $\mathcal{J}(A-I)$ die Matrix \[ -A_{\mathcal{J}(A-E)} +A_{\mathcal{J}(A-I)} = \begin{pmatrix} 1&4\\ @@ -218,7 +229,7 @@ A_{\mathcal{J}(A-E)} \end{pmatrix}. \] -Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ findet man analog +Für den Kern $\mathcal{K}(A-I)$ findet man analog \[ \left. \begin{aligned} @@ -231,7 +242,7 @@ Ab_4 \end{aligned} \quad\right\} \qquad\Rightarrow\qquad -A_{\mathcal{K}(A-E)} +A_{\mathcal{K}(A-I)} = \begin{pmatrix} 0&-1\\ @@ -252,8 +263,8 @@ A' & &0& 1 \end{array}\right), \] -die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-E)$ -und $\mathcal{K}(A-E)$. +die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-I)$ +und $\mathcal{K}(A-I)$. Die aus $A-E$ gewonnen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante Unterräume für $A$. \end{beispiel} @@ -264,43 +275,50 @@ Unterraum \[ \mathcal{E}_{\lambda}(A) = -\mathcal{K}(A-\lambda E) +\mathcal{K}(A-\lambda I) \] -der verallgemeinerte Eigenraum von $A$. +der {\em verallgemeinerte Eigenraum} von $A$. +\index{verallgemeinerter Eigenraum}% +\index{Eigenraum, verallgemeinerter}% \end{definition} Es ist klar, dass -$E_\lambda(A)=\ker (A-\lambda E)\subset\mathcal{E}_{\lambda}(A)$. +$E_\lambda(A)=\ker (A-\lambda I)\subset\mathcal{E}_{\lambda}(A)$. \subsection{Zerlegung in invariante Unterräume \label{buch:subsection:zerlegung-in-invariante-unterraeume}} -Wenn $\lambda$ kein Eigenwert von $A$ ist, dann ist $A-\lambda E$ -injektiv und damit $\ker(A-\lambda E)=0$. -Es folgt, dass $\mathcal{K}^i(A-\lambda E)=0$ und daher auch -$\mathcal{J}^i(A-\lambda E)=V$. -Die Zerlegung in invariante Unterräume $\mathcal{J}(A-\lambda E)$ und -$\mathcal{K}(A-\lambda E)$ liefert in diesem Falle also nichts Neues. +Wenn $\lambda$ kein Eigenwert von $A$ ist, dann ist $A-\lambda I$ +injektiv und damit $\ker(A-\lambda I)=0$. +Es folgt, dass $\mathcal{K}^i(A-\lambda I)=0$ und daher auch +$\mathcal{J}^i(A-\lambda I)=V$. +Die Zerlegung in invariante Unterräume $\mathcal{J}(A-\lambda I)$ und +$\mathcal{E}_\lambda(A)=\mathcal{K}(A-\lambda I)$ liefert in diesem Falle also nichts Neues. -Für einen Eigenwert $\lambda_1$ von $A$ dagegen, erhalten wir die Zerlegung +Für einen Eigenwert $\lambda_1$ von $A$ dagegen erhalten wir die Zerlegung \[ V = \mathcal{E}_{\lambda_1}(A) \oplus -\underbrace{\mathcal{J}(A-\lambda_1 E)}_{\displaystyle =V_2}, +\underbrace{\mathcal{J}(A-\lambda_1 I)}_{\displaystyle =V_2}, \] wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist. -Die Matrix $A-\lambda_1 E$ ist eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ +Die Matrix $A-\lambda_1 I$ eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ ist nilpotent. -Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1E$ +Man kann sagen, auf dem Unterraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ hat +$A$ die Form $\lambda_1 I + N$, wobei $N$ nilpotent ist. + +Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1I$ gewonnen worden, ist aber natürlich auch eine Zerlegung in invariante Unterräume für $A$. Wir können daher das Problem auf $V_2$ einschränken und nach einem weiteren -Eigenwert $\lambda_2$ von $A$ in $V_2$ suchen, was wieder eine Zerlegung -in invariante Unterräume liefert. +Eigenwert $\lambda_2$ von $A$ in $V_2$ suchen. +Dieser neue Eigenwert liefert eine Zerlegung von $V_2$ +in invariante Unterräume. Indem wir so weiterarbeiten, bis wir den ganzen Raum ausgeschöpft haben, können wir eine Zerlegung des ganzen Raumes $V$ finden, so dass $A$ auf -jedem einzelnen Summanden eine sehr einfach Form hat: +jedem einzelnen Summanden die sehr einfach Form +``$\lambda I + \text{nilpotent}$'' hat: \begin{satz} \label{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} @@ -319,28 +337,28 @@ V \oplus \mathcal{E}_{\lambda_l}(A). \] -Die Einschränkung von $A-\lambda_{i}E$ auf den Eigenraum +Die Einschränkung von $A-\lambda_{i}I$ auf den Eigenraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ ist nilpotent. \end{satz} \subsection{Das charakteristische Polynom \label{buch:subsection:das-charakteristische-polynom}} Ein Eigenvektor von $A$ erfüllt $Av=\lambda v$ oder gleichbedeutend -$(A-\lambda E)v=0$, er ist also eine nichttriviale Lösung des homogenen -Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$. -Ein Eigenwert ist also ein Skalar derart, dass $A-\lambda E$ +$(A-\lambda I)v=0$, er ist also eine nichttriviale Lösung des homogenen +Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda I$. +Ein Eigenwert ist also ein Skalar derart, dass $A-\lambda I$ singulär ist. Ob eine Matrix singulär ist, kann mit der Determinante festgestellt werden. Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind daher die Nullstellen -von $\det(A-\lambda E)$. +von $\det(A-\lambda I)$. \begin{definition} Das {\em charakteristische Polynom} \[ \chi_A(x) = -\det (A-x E) +\det (A-x I) = \left| \begin{matrix} @@ -352,24 +370,36 @@ a_{n1} & a_{n2} &\dots & a_{nn}-x \right|. \] der Matrix $A$ ist ein Polynom vom Grad $n$ mit Koeffizienten in $\Bbbk$. +\index{charakteristisches Polynom}% +\index{Polynome, charakteristisches}% \end{definition} Findet man eine Nullstelle $\lambda\in\Bbbk$ von $\chi_A(x)$, -dann ist die Matrix $A-\lambda E\in M_n(\Bbbk)$ und mit dem Gauss-Algorithmus +dann ist die Matrix $A-\lambda I\in M_n(\Bbbk)$ und mit dem Gauss-Algorithmus kann man auch mindestens einen Vektor $v\in \Bbbk^n$ finden, der $Av=\lambda v$ erfüllt. -Eine Matrix der Form wie in Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:jordanblock} +Eine Dreiecksmatrix der Form +\[ +A=\begin{pmatrix} +\lambda& * & * & * &\dots &*\\ + 0 &\lambda& * & * &\dots &*\\ + 0 & 0 &\lambda& * &\dots &*\\ + 0 & 0 & 0 &\lambda&\dots &*\\ +\vdots &\vdots &\vdots & &\ddots&\vdots\\ + 0 & 0 & 0 & 0 &\dots &\lambda +\end{pmatrix} +\] hat \[ \chi_A(x) = \left| \begin{matrix} -\lambda-x & 1 & & & & \\ - & \lambda-x & 1 & & & \\ - & & \lambda-x & & & \\ - & & &\ddots& & \\ - & & & &\lambda-x& 1 \\ +\lambda-x & * & * & & * & * \\ + & \lambda-x & * & & * & * \\ + & & \lambda-x & & * & * \\ + & & &\ddots& * & * \\ + & & & &\lambda-x& * \\ & & & & &\lambda-x \end{matrix} \right| @@ -380,16 +410,18 @@ hat \] als charakteristisches Polynom, welches $\lambda$ als einzige Nullstelle hat. -Der Eigenraum der Matrix ist aber nur eindimensional, man kann also -im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms -nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen Eigenraum) -erwarten. +Wenn die Einträge oberhalb der Diagonalen nicht alle 0 sind, +dann hat der Eigenraum der Matrix Dimension, die keiner ist als +$n$. +Man kann also im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen +Polynoms nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen +Eigenraum) erwarten. Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat, dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben. Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten -des Vektors von $0$ verschieden sein, wir nehmen an, dass es die Komponente -in Zeile $k$ ist. +des Vektors von $0$ verschieden sein. +Wir nehmen an, dass es die Komponente in Zeile $k$ ist. Die Komponente $v_k$ kann man auf zwei Arten berechnen, einmal als die $k$-Komponenten von $Av$ und einmal als $k$-Komponente von $\lambda v$: \[ @@ -406,8 +438,11 @@ sein, im Widerspruch zur Annahme. Durch Hinzufügen von geeigneten Elementen können wir immer zu einem Körper $\Bbbk'$ übergehen, in dem das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. -In diesem Körper kann man jetzt das homogene lineare Gleichungssystem -mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$ lösen und damit mindestens +\index{Linearfaktor}% +Für reelle Matrizen kann man zum Beispiel zu $\mathbb{C}$ übergehen, +da ein reelles Polynom alle Nullstellen in $\mathbb{C}$ hat. +In diesem Körper $\Bbbk'$ kann man jetzt das homogene lineare Gleichungssystem +mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda I$ lösen und damit mindestens einen Eigenvektor $v$ für jeden Eigenwert finden. Die Komponenten von $v$ liegen in $\Bbbk'$, und mindestens eine davon kann nicht in $\Bbbk$ liegen. @@ -454,20 +489,22 @@ Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$. Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt -$A^{\prime 2} = 2E$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung +$A^{\prime 2} = 2I$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung \begin{equation} -A^{\prime 2}-E= \chi_{A}(A) = 0. +A^{\prime 2}-I= \chi_{A}(A) = 0. \label{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} \end{equation} -Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton -(Satz~\ref{buch:normalformen:satz:cayley-hamilton}) -welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres -charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$. Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} wurde zwar in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte. -Sie gilt daher ganz allgemein. +Sie gilt daher ganz allgemein, also $A^2-I=0$. +Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton +\index{Cayley-Hamilton, Satz von}% +\index{Satz von Cayley-Hamilton}% +(Satz~\ref{buch:normalformen:satz:cayley-hamilton}) +welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres +charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$. \end{beispiel} \begin{beispiel} @@ -483,7 +520,7 @@ M_2(\mathbb{R}) über dem Körper $\Bbbk = \mathbb{R}$ hat das charakteristische Polynom \[ -\det(A-xE) +\det(A-xI) = \left| \begin{matrix} @@ -500,43 +537,51 @@ x^2+1. \] Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$ keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über, -in dem dank dem Fundamentalsatz der Algebra alle Nullstellen zu finden -sind, sie sind $\pm i$. +in dem dank dem Fundamentalsatz \ref{buch:zahlen:satz:fundamentalsatz} +der Algebra alle Nullstellen zu finden sind, sie sind $\pm i$. In $\mathbb C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die -folgenden linearen Gleichungssyteme lösen: +folgenden homogenen linearen Gleichungssyteme in Tableauform lösen: \begin{align*} \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline 32-i&-41\\ -25 &-32-i +25 &-32-i\\ +\hline \end{tabular} & \rightarrow \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline 1 & t\\ -0 & 0 +0 & 0 \\ +\hline \end{tabular} & \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline 32+i&-41\\ -25 &-32+i +25 &-32+i\\ +\hline \end{tabular} & \rightarrow \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline 1 & \overline{t}\\ -0 & 0 +0 & 0 \\ +\hline \end{tabular}, \intertext{wobei wir $t=-41/(32-i) =-41(32+i)/1025= -1.28 -0.04i = (64-1)/50$ abgekürzt haben. Die zugehörigen Eigenvektoren sind} -v_i&=\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix} +v_i&=\begin{pmatrix}t\\-1\end{pmatrix} & -v_{-i}&=\begin{pmatrix}\overline{t}\\i\end{pmatrix} +v_{-i}&=\begin{pmatrix}\overline{t}\\-1\end{pmatrix}. \end{align*} Mit den Vektoren $v_i$ und $v_{-i}$ als Basis kann die Matrix $A$ als komplexe Matrix, also mit komplexem $T$ in die komplexe Diagonalmatrix $A'=\operatorname{diag}(i,-i)$ transformiert werden. -Wieder kann man sofort ablesen, dass $A^{\prime2}+E=0$, und wieder kann +Wieder kann man sofort ablesen, dass $A^{\prime2}+I=0$, und wieder kann man schliessen, dass für die relle Matrix $A$ ebenfalls $\chi_A(A)=0$ gelten muss. \end{beispiel} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex index 41e78ab..91294f1 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -706,547 +706,3 @@ N_3. \] \end{beispiel} -%% -%% Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors -%% -%\section{Eigenwerte und Eigenvektoren -%\label{buch:section:eigenwerte-und-eigenvektoren}} -%In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume $V=\Bbbk^n$ über einem -%beliebigen Körper $\Bbbk$ und quadratische Matrizen -%$A\in M_n(\Bbbk)$. -%In den meisten Anwendungen wird $\Bbbk=\mathbb{R}$ sein. -%Da aber in $\mathbb{R}$ nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar sind, -%ist es manchmal notwendig, den Vektorraum zu erweitern um zum Beispiel -%Eigenschaften der Matrix $A$ abzuleiten. -% -%\begin{definition} -%Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum Eigenwert -%$\lambda\in\Bbbk$, wenn $v\ne 0$ und $Av=\lambda v$ gilt. -%\end{definition} -% -%Die Bedingung $v\ne 0$ dient dazu, pathologische Situationen auszuschliessen. -%Für den Nullvektor gilt $A0=\lambda 0$ für jeden beliebigen Wert von -%$\lambda\in\Bbbk$. -%Würde man $v=0$ zulassen, wäre jede Zahl in $\Bbbk$ ein Eigenwert, -%ein Eigenwert von $A$ wäre nichts besonderes. -%Ausserdem wäre $0$ ein Eigenvektor zu jedem beliebigen Eigenwert. -% -%Eigenvektoren sind nicht eindeutig bestimmt, jedes von $0$ verschiedene -%Vielfache von $v$ ist ebenfalls ein Eigenvektor. -%Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor jeweils mit -%geeigneten Eigenschaften finden, zum Beispiel kann man für $\Bbbk = \mathbb{R}$ -%Eigenvektoren auf Länge $1$ normieren. -%Im Folgenden werden wir oft die abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren -%einfach als ``verschiedene'' Eigenvektoren bezeichnen. -% -%Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann kann -%man ihn mit zusätzlichen Vektoren $v_2,\dots,v_n$ zu einer Basis -%$\mathcal{B}=\{v,v_2,\dots,v_n\}$ -%von $V$ ergänzen. -%Die Vektoren $v_k$ mit $k=2,\dots,n$ werden von $A$ natürlich auch -%in den Vektorraum $V$ abgebildet, können also als Linearkombinationen -%\[ -%Av = a_{1k}v + a_{2k}v_2 + a_{3k}v_3 + \dots a_{nk}v_n -%\] -%dargestellt werden. -%In der Basis $\mathcal{B}$ bekommt die Matrix $A$ daher die Form -%\[ -%A' -%= -%\begin{pmatrix} -%\lambda&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\ -% 0 &a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\ -% 0 &a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\ -%\vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -% 0 &a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn} -%\end{pmatrix}. -%\] -%Bereits ein einzelner Eigenwert und ein zugehöriger Eigenvektor -%ermöglichen uns also, die Matrix in eine etwas einfachere Form -%zu bringen. -% -%\begin{definition} -%Für $\lambda\in\Bbbk$ heisst -%\[ -%E_\lambda -%= -%\{ v\;|\; Av=\lambda v\} -%\] -%der {\em Eigenraum} zum Eigenwert $\lambda$. -%\index{Eigenraum}% -%\end{definition} -% -%Der Eigenraum $E_\lambda$ ist ein Unterraum von $V$, denn wenn -%$u,v\in E_\lambda$, dann ist -%\[ -%A(su+tv) -%= -%sAu+tAv -%= -%s\lambda u + t\lambda v -%= -%\lambda(su+tv), -%\] -%also ist auch $su+tv\in E_\lambda$. -%Der Fall $E_\lambda = \{0\}=0$ bedeutet natürlich, dass $\lambda$ gar kein -%Eigenwert ist. -% -%\begin{satz} -%Wenn $\dim E_\lambda=n$, dann ist $A=\lambda E$. -%\end{satz} -% -%\begin{proof}[Beweis] -%Da $V$ ein $n$-dimensionaler Vektoraum ist, ist $E_\lambda=V$. -%Jeder Vektor $v\in V$ erfüllt also die Bedingung $Av=\lambda v$, -%oder $A=\lambda E$. -%\end{proof} -% -%Wenn man die Eigenräume von $A$ kennt, dann kann man auch die Eigenräume -%von $A+\mu E$ berechnen. -%Ein Vektor $v\in E_\lambda$ erfüllt -%\[ -%Av=\lambda v -%\qquad\Rightarrow\qquad -%(A+\mu)v = \lambda v + \mu v -%= -%(\lambda+\mu)v, -%\] -%somit ist $v$ ein Eigenvektor von $A+\mu E$ zum Eigenwert $\lambda+\mu$. -%Insbesondere können wir statt die Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ -%zu studieren, auch die Eigenvektoren zum Eigenwert $0$ von $A-\lambda E$ -%untersuchen. -% -%% -%% Invariante Räume -%% -%\subsection{Verallgemeinerte Eigenräume -%\label{buch:subsection:verallgemeinerte-eigenraeume}} -%Wenn $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ ist, dann ist -%ist $A-\lambda E$ injektiv und $\ker(A-\lambda E)\ne 0$. -%Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda E)$ -%und $\mathcal{J}(A-\lambda E)$. -% -%\begin{beispiel} -%Wir untersuchen die Matrix -%\[ -%A -%= -%\begin{pmatrix} -%1&1&-1&0\\ -%0&3&-1&1\\ -%0&2& 0&1\\ -%0&0& 0&2 -%\end{pmatrix} -%\] -%Man kann zeigen, dass $\lambda=1$ ein Eigenwert ist. -%Wir suchen die Zerlegung des Vektorraums $\mathbb{R}^4$ in invariante -%Unterräume $\mathcal{K}(A-E)$ und $\mathcal{J}(A-E)$. -%Die Matrix $B=A-E$ ist -%\[ -%B -%= -%\begin{pmatrix} -%0&1&-1&0\\ -%0&2&-1&1\\ -%0&2&-1&1\\ -%0&0& 0&2 -%\end{pmatrix} -%\] -%und wir berechnen davon die Potenz -%\[ -%D=B^4=(A-E)^4 -%= -%\begin{pmatrix} -%0&0& 0&0\\ -%0&2&-1&4\\ -%0&2&-1&4\\ -%0&0& 0&1 -%\end{pmatrix}. -%\] -%Daraus kann man ablesen, dass das Bild $\operatorname{im}D$ -%von $D$ die Basis -%\[ -%b_1 -%= -%\begin{pmatrix} -%0\\0\\0\\1 -%\end{pmatrix} -%, \qquad -%b_2 -%= -%\begin{pmatrix} -%0\\1\\1\\0 -%\end{pmatrix} -%\] -%hat. -%Für den Kern von $D$ können wir zum Beispiel die Basisvektoren -%\[ -%b_3 -%= -%\begin{pmatrix} -%0\\1\\2\\0 -%\end{pmatrix} -%,\qquad -%b_4 -%= -%\begin{pmatrix} -%1\\0\\0\\0 -%\end{pmatrix} -%\] -%verwenden. -% -%Als erstes überprüfen wir, ob diese Basisvektoren tatsächlich invariante -%Unterräume sind. -%Für $\mathcal{J}(A-E) = \langle b_1,b_2\rangle$ -%berechnen wir -%\begin{align*} -%(A-E)b_1 -%&= -%\begin{pmatrix} 0\\4\\4\\1 \end{pmatrix} -%= -%4b_2+b_1, -%\\ -%(A-E)b_2 -%&= -%\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix} -%= -%b_2. -%\end{align*} -%Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist. -%In dieser Basis hat die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung -%auf $\mathcal{J}(A-E)$ die Matrix -%\[ -%A_{\mathcal{J}(A-E)} -%= -%\begin{pmatrix} -%1&4\\ -%0&1 -%\end{pmatrix}. -%\] -% -%Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ findet man analog -%\[ -%\left. -%\begin{aligned} -%Ab_3 -%&= -%-b_4 -%\\ -%Ab_4 -%&=0 -%\end{aligned} -%\quad\right\} -%\qquad\Rightarrow\qquad -%A_{\mathcal{K}(A-E)} -%= -%\begin{pmatrix} -%0&-1\\ -%0& 0 -%\end{pmatrix}. -%\] -%In der Basis $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ hat $A$ die Matrix -%in Blockform -%\[ -%A' -%= -%\left( -%\begin{array}{cc|cr} -%2&4& & \\ -%0&2& & \\ -%\hline -% & &1&-1\\ -% & &0& 1 -%\end{array}\right), -%\] -%die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-E)$ -%und $\mathcal{K}(A-E)$. -%Die aus $A-E$ gewonnen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante -%Unterräume für $A$. -%\end{beispiel} -% -%\begin{definition} -%Ist $A$ eine Matrix mit Eigenwert $\lambda$, dann heisst der invariante -%Unterraum -%\[ -%\mathcal{E}_{\lambda}(A) -%= -%\mathcal{K}(A-\lambda E) -%\] -%der verallgemeinerte Eigenraum von $A$. -%\end{definition} -% -%Es ist klar, dass -%$E_\lambda(A)=\ker (A-\lambda E)\subset\mathcal{E}_{\lambda}(A)$. -% -%\subsection{Zerlegung in invariante Unterräume -%\label{buch:subsection:zerlegung-in-invariante-unterraeume}} -%Wenn $\lambda$ kein Eigenwert von $A$ ist, dann ist $A-\lambda E$ -%injektiv und damit $\ker(A-\lambda E)=0$. -%Es folgt, dass $\mathcal{K}^i(A-\lambda E)=0$ und daher auch -%$\mathcal{J}^i(A-\lambda E)=V$. -%Die Zerlegung in invariante Unterräume $\mathcal{J}(A-\lambda E)$ und -%$\mathcal{K}(A-\lambda E)$ liefert in diesem Falle also nichts Neues. -% -%Für einen Eigenwert $\lambda_1$ von $A$ dagegen, erhalten wir die Zerlegung -%\[ -%V -%= -%\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) -%\oplus -%\underbrace{\mathcal{J}(A-\lambda_1 E)}_{\displaystyle =V_2}, -%\] -%wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist. -%Die Matrix $A-\lambda_1 E$ ist eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ -%nilpotent. -%Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1E$ -%gewonnen worden, ist aber natürlich auch eine Zerlegung in invariante -%Unterräume für $A$. -%Wir können daher das Problem auf $V_2$ einschränken und nach einem weiteren -%Eigenwert $\lambda_2$ von $A$ in $V_2$ suchen, was wieder eine Zerlegung -%in invariante Unterräume liefert. -%Indem wir so weiterarbeiten, bis wir den ganzen Raum ausgeschöpft haben, -%können wir eine Zerlegung des ganzen Raumes $V$ finden, so dass $A$ auf -%jedem einzelnen Summanden eine sehr einfach Form hat: -% -%\begin{satz} -%\label{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} -%Sei $V$ ein $\Bbbk$-Vektorraum und $f$ eine lineare Abbildung mit Matrix -%$A$ derart, dass alle Eigenwerte $\lambda_1,\dots,\lambda_l$ von $A$ -%in $\Bbbk$ sind. -%Dann gibt es eine Zerlegung von $V$ in verallgemeinerte Eigenräume -%\[ -%V -%= -%\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) -%\oplus -%\mathcal{E}_{\lambda_2}(A) -%\oplus -%\dots -%\oplus -%\mathcal{E}_{\lambda_l}(A). -%\] -%Die Einschränkung von $A-\lambda_{i}E$ auf den Eigenraum -%$\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ ist nilpotent. -%\end{satz} -% -%\subsection{Das charakteristische Polynom -%\label{buch:subsection:das-charakteristische-polynom}} -%Ein Eigenvektor von $A$ erfüllt $Av=\lambda v$ oder gleichbedeutend -%$(A-\lambda E)v=0$, er ist also eine nichttriviale Lösung des homogenen -%Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$. -%Ein Eigenwert ist also ein Skalar derart, dass $A-\lambda E$ -%singulär ist. -%Ob eine Matrix singulär ist, kann mit der Determinante festgestellt -%werden. -%Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind daher die Nullstellen -%von $\det(A-\lambda E)$. -% -%\begin{definition} -%Das {\em charakteristische Polynom} -%\[ -%\chi_A(x) -%= -%\det (A-x E) -%= -%\left| -%\begin{matrix} -%a_{11}-x & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ -%a_{21} & a_{22}-x & \dots & a_{2n} \\ -%\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ -%a_{n1} & a_{n2} &\dots & a_{nn}-x -%\end{matrix} -%\right|. -%\] -%der Matrix $A$ ist ein Polynom vom Grad $n$ mit Koeffizienten in $\Bbbk$. -%\end{definition} -% -%Findet man eine Nullstelle $\lambda\in\Bbbk$ von $\chi_A(x)$, -%dann ist die Matrix $A-\lambda E\in M_n(\Bbbk)$ und mit dem Gauss-Algorithmus -%kann man auch mindestens einen Vektor $v\in \Bbbk^n$ finden, -%der $Av=\lambda v$ erfüllt. -%Eine Matrix der Form wie in Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:jordanblock} -%hat -%\[ -%\chi_A(x) -%= -%\left| -%\begin{matrix} -%\lambda-x & 1 & & & & \\ -% & \lambda-x & 1 & & & \\ -% & & \lambda-x & & & \\ -% & & &\ddots& & \\ -% & & & &\lambda-x& 1 \\ -% & & & & &\lambda-x -%\end{matrix} -%\right| -%= -%(\lambda-x)^n -%= -%(-1)^n (x-\lambda)^n -%\] -%als charakteristisches Polynom, welches $\lambda$ als einzige -%Nullstelle hat. -%Der Eigenraum der Matrix ist aber nur eindimensional, man kann also -%im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms -%nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen Eigenraum) -%erwarten. -% -%Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat, -%dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben. -%Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten -%des Vektors von $0$ verschieden sein, wir nehmen an, dass es die Komponente -%in Zeile $k$ ist. -%Die Komponente $v_k$ kann man auf zwei Arten berechnen, einmal als -%die $k$-Komponenten von $Av$ und einmal als $k$-Komponente von $\lambda v$: -%\[ -%a_{k1}v_1+\dots+a_{kn}v_n = \lambda v_k. -%\] -%Da $v_k\ne 0$ kann man nach $\lambda$ auflösen und erhält -%\[ -%\lambda = \frac{a_{k1}v_1+\dots + a_{kn}v_n}{v_k}. -%\] -%Alle Terme auf der rechten Seite sind in $\Bbbk$ und werden nur mit -%Körperoperationen in $\Bbbk$ verknüpft, also muss auch $\lambda\in\Bbbk$ -%sein, im Widerspruch zur Annahme. -% -%Durch Hinzufügen von geeigneten Elementen können wir immer zu einem -%Körper $\Bbbk'$ übergehen, in dem das charakteristische Polynom -%in Linearfaktoren zerfällt. -%In diesem Körper kann man jetzt das homogene lineare Gleichungssystem -%mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$ lösen und damit mindestens -%einen Eigenvektor $v$ für jeden Eigenwert finden. -%Die Komponenten von $v$ liegen in $\Bbbk'$, und mindestens eine davon kann -%nicht in $\Bbbk$ liegen. -%Das bedeutet aber nicht, dass man diese Vektoren nicht für theoretische -%Überlegungen über von $\Bbbk'$ unabhängige Eigenschaften der Matrix $A$ machen. -%Das folgende Beispiel soll diese Idee illustrieren. -% -%\begin{beispiel} -%Wir arbeiten in diesem Beispiel über dem Körper $\Bbbk=\mathbb{Q}$. -%Die Matrix -%\[ -%A=\begin{pmatrix} -%-4&7\\ -%-2&4 -%\end{pmatrix} -%\in -%M_2(\mathbb{Q}) -%\] -%hat das charakteristische Polynom -%\[ -%\chi_A(x) -%= -%\left| -%\begin{matrix} -%-4-x&7\\-2&4-x -%\end{matrix} -%\right| -%= -%(-4-x)(4-x)-7\cdot(-2) -%= -%-16+x^2+14 -%= -%x^2-2. -%\] -%Die Nullstellen sind $\pm\sqrt{2}$ und damit nicht in $\mathbb{Q}$. -%Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, in dem -%sich zwei Nullstellen $\lambda=\pm\sqrt{2}$ finden lassen. -%Zu jedem Eigenwert lässt sich auch ein Eigenvektor -%$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser -%Basis bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform. -%Die Transformationsmatrix $T$ enthält Matrixelemente aus -%$\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen. -%Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ -%diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$. -% -%Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt -%$A^{\prime 2} = 2E$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung -%\begin{equation} -%A^{\prime 2}-E= \chi_{A}(A) = 0. -%\label{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} -%\end{equation} -%Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton -%(Satz~\ref{buch:normalformen:satz:cayley-hamilton}) -%welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres -%charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$. -%Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} -%wurde zwar in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen -%keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch -%in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte. -%Sie gilt daher ganz allgemein. -%\end{beispiel} -% -%\begin{beispiel} -%Die Matrix -%\[ -%A=\begin{pmatrix} -%32&-41\\ -%24&-32 -%\end{pmatrix} -%\in -%M_2(\mathbb{R}) -%\] -%über dem Körper $\Bbbk = \mathbb{R}$ -%hat das charakteristische Polynom -%\[ -%\det(A-xE) -%= -%\left| -%\begin{matrix} -%32-x&-41 \\ -%25 &-32-x -%\end{matrix} -%\right| -%= -%(32-x)(-32-x)-25\cdot(-41) -%= -%x^2-32^2 + 1025 -%= -%x^2+1. -%\] -%Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$ -%keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über, -%in dem dank dem Fundamentalsatz der Algebra alle Nullstellen zu finden -%sind, sie sind $\pm i$. -%In $\mathbb C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die -%folgenden linearen Gleichungssyteme lösen: -%\begin{align*} -%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -%32-i&-41\\ -%25 &-32-i -%\end{tabular} -%& -%\rightarrow -%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -%1 & t\\ -%0 & 0 -%\end{tabular} -%& -%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -%32+i&-41\\ -%25 &-32+i -%\end{tabular} -%& -%\rightarrow -%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -%1 & \overline{t}\\ -%0 & 0 -%\end{tabular}, -%\intertext{wobei wir $t=-41/(32-i) =-41(32+i)/1025= -1.28 -0.04i = (64-1)/50$ -%abgekürzt haben. -%Die zugehörigen Eigenvektoren sind} -%v_i&=\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix} -%& -%v_{-i}&=\begin{pmatrix}\overline{t}\\i\end{pmatrix} -%\end{align*} -%Mit den Vektoren $v_i$ und $v_{-i}$ als Basis kann die Matrix $A$ als -%komplexe Matrix, also mit komplexem $T$ in die komplexe Diagonalmatrix -%$A'=\operatorname{diag}(i,-i)$ transformiert werden. -%Wieder kann man sofort ablesen, dass $A^{\prime2}+E=0$, und wieder kann -%man schliessen, dass für die relle Matrix $A$ ebenfalls $\chi_A(A)=0$ -%gelten muss. -%\end{beispiel} -% -% -% -% |