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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex index 5c8f169..55c3344 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -215,7 +215,7 @@ selbst. Ein Unterraum $U\subset V$ heisst {\em invarianter Unterraum}, wenn \[ -f(U) = \{ f(x)\;|\; x\in U\} \subset U. +f(U) = \{ f(x)\;|\; x\in U\} \subset U \] gilt. \end{definition} @@ -278,7 +278,7 @@ $\mathcal{J}(A)$, muss $\mathcal{J}(A)\cap\mathcal{K}(A)=0$. Es folgt, dass $V=\mathcal{J}(A) + \mathcal{K}(A)$. In $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ kann man unabhängig voneinander -jeweils aine Basis wählen. +jeweils eine Basis wählen. Die Basen von $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ zusammen ergeben eine Basis von $V$. Die Matrix $A'$ in dieser Basis wird die Blockform @@ -719,8 +719,8 @@ berechnen wir = b_2. \end{align*} -Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist und man kann ablesen, -dass in dieser Basis, die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung +Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist. +In dieser Basis hat die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung auf $\mathcal{J}(A-E)$ die Matrix \[ A_{\mathcal{J}(A-E)} @@ -731,7 +731,7 @@ A_{\mathcal{J}(A-E)} \end{pmatrix}. \] -Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ +Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ findet man analog \[ \left. \begin{aligned} @@ -749,7 +749,7 @@ A_{\mathcal{K}(A-E)} \begin{pmatrix} 0&-1\\ 0& 0 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \] In der Basis $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ hat $A$ die Matrix in Blockform @@ -899,7 +899,7 @@ nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen Eigenraum) erwarten. Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat, -dann kann es auch keine Eigenvektoren in $Bbbk^n$ geben. +dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben. Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten des Vektors von $0$ verschieden sein, wir nehmen an, dass es die Komponente in Zeile $k$ ist. @@ -956,14 +956,14 @@ hat das charakteristische Polynom x^2-2. \] Die Nullstellen sind $\pm\sqrt{2}$ und damit nicht in $\mathbb{Q}$. -Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, in dem +Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, in dem sich zwei Nullstellen $\lambda=\pm\sqrt{2}$ finden lassen. Zu jedem Eigenwert lässt sich auch ein Eigenvektor -$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser -Basis ist bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform. +$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser +Basis bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform. Die Transformationsmatrix $T$ enthält Matrixelemente aus -$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen. -Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ +$\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen. +Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$. Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt @@ -975,9 +975,9 @@ A^{\prime 2}-E= \chi_{A}(A) = 0. Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton~\ref{XXX} welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$. -Da in Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} -wurde zwar in $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen -keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch +Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} +wurde zwar in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen +keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte. Sie gilt daher ganz allgemein. \end{beispiel} @@ -1014,7 +1014,7 @@ Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$ keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über, in dem dank dem Fundamentalsatz der Algebra alle Nullstellen zu finden sind, sie sind $\pm i$. -In $C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die +In $\mathbb C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die folgenden linearen Gleichungssyteme lösen: \begin{align*} \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index 536fa7d..c21c403 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -24,7 +24,7 @@ Polynom in Linearfaktoren = (x-\lambda_1)^{k_1}\cdot (x-\lambda_2)^{k_2}\cdot\dots\cdot (x-\lambda_m)^{k_m} \] -mit Vielfachheiten $k_m$ zerfällt, $\lambda_i\in\Bbbk'$. +mit Vielfachheiten $k_1$ bis $k_m$ zerfällt, $\lambda_i\in\Bbbk'$. Zu jedem Eigenwert $\lambda_i$ gibt es sicher einen Eigenvektor, wir wollen aber in diesem Abschnitt zusätzlich annehmen, dass es eine Basis aus Eigenvektoren gibt. @@ -101,7 +101,7 @@ Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} liefern die verallgemeinerten Eigenräume $V_i=\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ eine Zerlegung von $V$ in invariante Eigenräume \[ -V=V_1\oplus V_2\oplus \oplus \dots\oplus V_l, +V=V_1\oplus V_2\oplus \dots\oplus V_l, \] derart, dass $A-\lambda_iE$ auf $V_i$ nilpotent ist. Wählt man in jedem der Unterräume $V_i$ eine Basis, dann zerfällt die @@ -239,7 +239,7 @@ charakteristischen Polynom $\chi_A(x)$. -\begin{satz}[Cayley-Hamilton]] +\begin{satz}[Cayley-Hamilton] Ist $A$ eine $n\times n$-Matrix über dem Körper $\Bbbk$, dann gilt $\chi_A(A)=0$. \end{satz} @@ -254,7 +254,7 @@ $\chi_A(x) \dots (\lambda_p-x)^{m_p}$ zerfällt. -Im Vektorraum $\Bbbk''$ kann man eine Basis finden, in der die Matrix +Im Vektorraum $\Bbbk'$ kann man eine Basis finden, in der die Matrix $A$ in Jordan-Matrizen $J_1,\dots,J_p$ zerfällt, wobei $J_i$ eine $m_i\times m_i$-Matrix ist. Für den Block mit der Nummer $i$ erhalten wir diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex index 3afac18..bdc725f 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex @@ -31,7 +31,7 @@ Linearfaktoren \] zerfällt. -Für jedes beliebige Polynome $p(X)=\Bbbk[X]$ der Form +Für jedes beliebige Polynome $p(X)\in\Bbbk[X]$ der Form \[ p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1x + a_0 \] @@ -80,7 +80,7 @@ mit den Matrixelementen \[ (J_n(\lambda)^k)_{ij} = -\binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i} +\binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i}. \] Die Binomialkoeffizienten verschwinden für $j<i$ und $j>i+k$. \end{satz} @@ -391,7 +391,7 @@ hat Norm = \max_{|x|=1} |Mx| = -\max_{t\in\mathbb R} \sqrt{2^2\cos^2 t +\frac1{3^2}\sin^2t} \ge 2. +\max_{t\in\mathbb R} \sqrt{2^2\cos^2 t +\frac1{3^2}\sin^2t} = 2. \] Da aber \[ @@ -457,7 +457,7 @@ Iterationsverfahrens Auskunft zu geben. Der Grenzwert ist aber sehr mühsam zu berechnen. \index{Grenzwert}% Es wurde angedeutet, dass der Gelfand-Radius mit dem Spektralradius -übereinstimmt, dem Betrag des des betragsgrössten Eigenwertes. +übereinstimmt, dem Betrag des betragsgrössten Eigenwertes. Dies hat uns ein vergleichsweise einfach auszuwertendes Konvergenzkriterium geliefert. \index{Konvergenzkriterium}% |