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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc index e7237cd..b15f476 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc @@ -6,6 +6,8 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex \ + chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex \ + chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex \ chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex \ chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex \ chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex \ diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex index 2913ca5..5f237a4 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex @@ -1,5 +1,5 @@ % -% chapter.tex -- Kapitel über eigenwerte und eigenvektoren +% chapter.tex -- Kapitel über Eigenwerte und Eigenvektoren % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % @@ -7,10 +7,34 @@ \label{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}} \lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren} \rhead{} +Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der +Frage nach linearen Beziehungen unter den Potenzen von $A^k$ verbunden. +Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich, +es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form. +Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente +potenziert. +Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente +von $A^k$ einfach. +Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in +eine solche besonders einfache Form zu bringen. +In Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} werden die grundlegenden +Definitionen der Eigenwerttheorie in Erinnerung gerufen. +Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen} +gezeigt werden, wie Matrizen in besonders einfache Form gebracht +werden können. +Die Eigenwerte bestimmen auch die Eigenschaften von numerischen +Algorithmen, wie in den Abschnitten~\ref{buch:section:spektralradius} +und \ref{buch:section:numerisch} dargestellt wird. +Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen, unter +geeigneten Voraussetzungen an den Spektralradius. +Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben. -\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex} + +\input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex} +\input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex} +\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex} \section*{Übungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex new file mode 100644 index 0000000..471c7fb --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -0,0 +1,391 @@ +% +% grundlagen.tex -- Grundlagen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Grundlagen +\label{buch:section:grundlagen}} +\rhead{Grundlagen} +Die Potenzen $A^k$ sind besonders einfach zu berechnen, wenn die Matrix +Diagonalform hat, wenn also $A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ +ist. +In diesem Fall ist $Ae_k=\lambda_k e_k$ für jeden Standardbasisvektor $e_k$. +Statt sich auf Diagonalmatrizen zu beschränken könnten man also auch +Vektoren $v$ suchen, für die gilt $Av=\lambda v$, die also von $A$ nur +gestreckt werden. +Gelingt es, eine Basis aus solchen sogenanten {\em Eigenvektoren} zu finden, +dann kann man die Matrix $A$ durch Basiswechsel in diese Form bringen. + +% +% +% +\subsection{Kern und Bild +\label{buch:subsection:kern-und-bild}} + +% +% Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors +% +\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren +\label{buch:subsection:eigenwerte-und-eigenvektoren}} +In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume $V=\Bbbk^n$ über einem +beliebigen Körper $\Bbbk$ und quadratische Matrizen +$A\in M_n(\Bbbk)$. +In den meisten Anwendungen wird $\Bbbk=\mathbb{R}$ sein. +Da aber in $\mathbb{R}$ nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar sind, +ist es manchmal notwendig, den Vektorraum zu erweitern um zum Beispiel +Eigenschaften der Matrix $A$ abzuleiten. + +\begin{definition} +Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum Eigenwert +$\lambda\in\Bbbk$, wenn $v\ne 0$ und $Av=\lambda v$ gilt. +\end{definition} + +Die Bedingung $v\ne 0$ dient dazu, pathologische Situationen auszuschliessen. +Für den Nullvektor gilt $A0=\lambda 0$ für jeden beliebigen Wert von +$\lambda\in\Bbbk$. +Würde man $v=0$ zulassen, wäre jede Zahl in $\Bbbk$ ein Eigenwert, +ein Eigenwert von $A$ wäre nichts besonderes. +Ausserdem wäre $0$ ein Eigenvektor zu jedem beliebigen Eigenwert. + +Eigenvektoren sind nicht eindeutig bestimmt, jedes von $0$ verschiedene +Vielfache von $v$ ist ebenfalls ein Eigenvektor. +Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor jeweils mit +geeigneten Eigenschaften finden, zum Beispiel kann man für $\Bbbk = \mathbb{R}$ +Eigenvektoren auf Länge $1$ normieren. +Im Folgenden werden wir oft die abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren +einfach als ``verschiedene'' Eigenvektoren bezeichnen. + +Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann kann +man ihn mit zusätzlichen Vektoren $v_2,\dots,v_n$ zu einer Basis +$\mathcal{B}=\{v,v_2,\dots,v_n\}$ +von $V$ ergänzen. +Die Vektoren $v_k$ mit $k=2,\dots,n$ werden von $A$ natürlich auch +in den Vektorraum $V$ abgebildet, können also als Linearkombinationen +\[ +Av = a_{1k}v + a_{2k}v_2 + a_{3k}v_3 + \dots a_{nk}v_n +\] +dargestellt werden. +In der Basis $\mathcal{B}$ bekommt die Matrix $A$ daher die Form +\[ +A' += +\begin{pmatrix} +\lambda&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\ + 0 &a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\ + 0 &a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\ +\vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ + 0 &a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn} +\end{pmatrix}. +\] +Bereits ein einzelner Eigenwert und ein zugehöriger Eigenvektor +ermöglichen uns also, die Matrix in eine etwas einfachere Form +zu bringen. + +\begin{definition} +Für $\lambda\in\Bbbk$ heisst +\[ +E_\lambda += +\{ v\;|\; Av=\lambda v\} +\] +der {\em Eigenraum} zum Eigenwert $\lambda$. +\index{Eigenraum}% +\end{definition} + +Der Eigenraum $E_\lambda$ ist ein Unterraum von $V$, denn wenn +$u,v\in E_\lambda$, dann ist +\[ +A(su+tv) += +sAu+tAv += +s\lambda u + t\lambda v += +\lambda(su+tv), +\] +also ist auch $su+tv\in E_\lambda$. +Der Fall $E_\lambda = \{0\}=0$ bedeutet natürlich, dass $\lambda$ gar kein +Eigenwert ist. + +\begin{satz} +Wenn $\dim E_\lambda=n$, dann ist $A=\lambda E$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Da $V$ ein $n$-dimensionaler Vektoraum ist, ist $E_\lambda=V$. +Jeder Vektor $v\in V$ erfüllt also die Bedingung $Av=\lambda v$, +oder $A=\lambda E$. +\end{proof} + +Wenn man die Eigenräume von $A$ kennt, dann kann man auch die Eigenräume +von $A+\mu E$ berechnen. +Ein Vektor $v\in E_\lambda$ erfüllt +\[ +Av=\lambda v +\qquad\Rightarrow\qquad +(A+\mu)v = \lambda v + \mu v += +(\lambda+\mu)v, +\] +somit ist $v$ ein Eigenvektor von $A+\mu E$ zum Eigenwert $\lambda+\mu$. +Insbesondere können wir statt die Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ +zu studieren, auch die Eigenvektoren zum Eigenwert $0$ von $A-\lambda E$ +untersuchen. + +\begin{satz} +\label{buch:eigenwerte:satz:jordanblock} +Wenn $\dim E_\lambda=1$ ist, dann gibt es eine Basis von $V$ derart, dass +$A$ in dieser Matrix die Form +\begin{equation} +A' += +\begin{pmatrix} + \lambda & 1 & & & & \\ + & \lambda & 1 & & & \\ + & & \lambda & & & \\ + & & & \ddots & & \\ + & & & & \lambda & 1 \\ + & & & & & \lambda +\end{pmatrix} +\label{buch:eigenwerte:eqn:jordanblock} +\end{equation} +hat. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Entsprechend der Bemerkung vor dem Satz können wir uns auf die Betrachtung +der Matrix $B=A-\lambda E$ konzentrieren, deren Eigenraum zum Eigenwert $0$ +$1$-dimensional ist. +Es gibt also einen Vektor $v_1\ne 0$ mit $Bv_1=0$. +Der Vektor $v_1$ spannt den Eigenraum auf: $E_0 = \langle v_1\rangle$. + +Wir konstruieren jetzt rekursiv eine Folge $v_2,\dots,v_n$ von Vektoren +mit folgenden Eigenschaften. +Zunächst soll $v_k=Bv_{k+1}$ für $k=1,\dots,n-1$ sein. +Ausserdem soll $v_{k+1}$ in jedem Schritt linear unabhängig von den +Vektoren $v_1,\dots,v_{k-1}$ gewählt werden. +Wenn diese Konstruktion gelingt, dann ist $\mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_n\}$ +eine Basis von $V$ und die Matrix von $B$ in dieser Basis ist +$A'$ wie in \eqref{buch:eigenwerte:eqn:jordanblock}. +\end{proof} + +\subsection{Das charakteristische Polynom +\label{buch:subsection:das-charakteristische-polynom}} +Ein Eigenvektor von $A$ erfüllt $Av=\lambda v$ oder gleichbedeutend +$(A-\lambda E)v=0$, er ist also eine nichttriviale Lösung des homogenen +Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$. +Ein Eigenwert ist also ein Skalar derart, dass $A-\lambda E$ +singulär ist. +Ob eine Matrix singulär ist, kann mit der Determinante festgestellt +werden. +Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind daher die Nullstellen +von $\det(A-\lambda E)$. + +\begin{definition} +Das {\em charakteristische Polynom} +\[ +\chi_A(x) += +\det (A-x E) += +\left| +\begin{matrix} +a_{11}-x & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ +a_{21} & a_{22}-x & \dots & a_{2n} \\ +\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ +a_{n1} & a_{n2} &\dots & a_{nn}-x +\end{matrix} +\right|. +\] +der Matrix $A$ ist ein Polynom vom Grad $n$ mit Koeffizienten in $\Bbbk$. +\end{definition} + +Findet man eine Nullstelle $\lambda\in\Bbbk$ von $\chi_A(x)$, +dann ist die Matrix $A-\lambda E\in M_n(\Bbbk)$ und mit dem Gauss-Algorithmus +kann man auch mindestens einen Vektor $v\in \Bbbk^n$ finden, +der $Av=\lambda v$ erfüllt. +Eine Matrix der Form wie in Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:jordanblock} +hat +\[ +\chi_A(x) += +\left| +\begin{matrix} +\lambda-x & 1 & & & & \\ + & \lambda-x & 1 & & & \\ + & & \lambda-x & & & \\ + & & &\ddots& & \\ + & & & &\lambda-x& 1 \\ + & & & & &\lambda-x +\end{matrix} +\right| += +(\lambda-x)^n += +(-1)^n (x-\lambda)^n +\] +als charakteristisches Polynom, welches $\lambda$ als einzige +Nullstelle hat. +Der Eigenraum der Matrix ist aber nur eindimensional, man kann also +im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms +nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen Eigenraum) +erwarten. + +Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat, +dann kann es auch keine Eigenvektoren in $Bbbk^n$ geben. +Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten +des Vektors von $0$ verschieden sein, wir nehmen an, dass es die Komponente +in Zeile $k$ ist. +Die Komponente $v_k$ kann man auf zwei Arten berechnen, einmal als +die $k$-Komponenten von $Av$ und einmal als $k$-Komponente von $\lambda v$: +\[ +a_{k1}v_1+\dots+a_{kn}v_n = \lambda v_k. +\] +Da $v_k\ne 0$ kann man nach $\lambda$ auflösen und erhält +\[ +\lambda = \frac{a_{k1}v_1+\dots + a_{kn}v_n}{v_k}. +\] +Alle Terme auf der rechten Seite sind in $\Bbbk$ und werden nur mit +Körperoperationen in $\Bbbk$ verknüpft, also muss auch $\lambda\in\Bbbk$ +sein, im Widerspruch zur Annahme. + +Durch hinzufügen von geeigneten Elementen können wir immer zu einem +Körper $\Bbbk'$ übergehen, in dem das charakteristische Polynom +in Linearfaktoren zerfällt. +In diesem Körper kann man jetzt das homogene lineare Gleichungssystem +mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$ lösen und damit mindestens +einen Eigenvektor $v$ für jeden Eigenwert finden. +Die Komponenten von $v$ liegen in $\Bbbk'$, und mindestens eine davon kann +nicht in $\Bbbk$ liegen. +Das bedeutet aber nicht, dass man diese Vektoren nicht für theoretische +Überlegungen über von $\Bbbk'$ unabhängige Eigenschaften der Matrix $A$ machen. +Das folgende Beispiel soll diese Idee illustrieren. + +\begin{beispiel} +Wir arbeiten in diesem Beispiel über dem Körper $\Bbbk=\mathbb{Q}$. +Die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +-4&7\\ +-2&4 +\end{pmatrix} +\in +M_2(\mathbb{Q}) +\] +hat das charakteristische Polynom +\[ +\chi_A(x) += +\left| +\begin{matrix} +-4-x&7\\-2&4-x +\end{matrix} +\right| += +(-4-x)(4-x)-7\cdot(-2) += +-16+x^2+14 += +x^2-2. +\] +Die Nullstellen sind $\pm\sqrt{2}$ und damit nicht in $\mathbb{Q}$. +Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, in dem +sich zwei Nullstellen $\lambda=\pm\sqrt{2}$ finden lassen. +Zu jedem Eigenwert lässt sich auch ein Eigenvektor +$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser +Basis ist bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform. +Die Transformationsmatrix $T$ enthält Matrixelemente aus +$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen. +Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ +diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$. + +Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt +$A^{\prime 2} = 2E$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung +\begin{equation} +A^{\prime 2}-E= \chi_{A}(A) = 0. +\label{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} +\end{equation} +Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton~\ref{XXX} +welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres +charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$. +Da in Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} +wurde zwar in $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen +keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch +in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte. +Sie gilt daher ganz allgemein. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +32&-41\\ +24&-32 +\end{pmatrix} +\in +M_2(\mathbb{R}) +\] +über dem Körper $\Bbbk = \mathbb{R}$ +hat das charakteristische Polynom +\[ +\det(A-xE) += +\left| +\begin{matrix} +32-x&-41 \\ +25 &-32-x +\end{matrix} +\right| += +(32-x)(-32-x)-25\cdot(-41) += +x^2-32^2 + 1025 += +x^2+1. +\] +Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$ +keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über, +in dem dank dem Fundamentalsatz der Algebra alle Nullstellen zu finden +sind, sie sind $\pm i$. +In $C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die +folgenden linearen Gleichungssyteme lösen: +\begin{align*} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +32-i&-41\\ +25 &-32-i +\end{tabular} +& +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +1 & t\\ +0 & 0 +\end{tabular} +& +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +32+i&-41\\ +25 &-32+i +\end{tabular} +& +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +1 & \overline{t}\\ +0 & 0 +\end{tabular}, +\intertext{wobei wir $t=-41/(32-i) =-41(32+i)/1025= -1.28 -0.04i = (64-1)/50$ +abgekürzt haben. +Die zugehörigen Eigenvektoren sind} +v_i&=\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix} +& +v_{-i}&=\begin{pmatrix}\overline{t}\\i\end{pmatrix} +\end{align*} +Mit den Vektoren $v_i$ und $v_{-i}$ als Basis kann die Matrix $A$ als +komplexe Matrix, also mit komplexem $T$ in die komplexe Diagonalmatrix +$A'=\operatorname{diag}(i,-i)$ transformiert werden. +Wieder kann man sofort ablesen, dass $A^{\prime2}+E=0$, und wieder kann +man schliessen, dass für die relle Matrix $A$ ebenfalls $\chi_A(A)=0$ +gelten muss. +\end{beispiel} + + + + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex new file mode 100644 index 0000000..f695435 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -0,0 +1,81 @@ +% +% normalformen.tex -- Normalformen einer Matrix +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Normalformen +\label{buch:section:normalformen}} +\rhead{Normalformen} +In den Beispielen im vorangegangenen wurde wiederholt der Trick +verwendet, den Koeffizientenkörper so zu erweitern, dass das +charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und +für jeden Eigenwert Eigenvektoren gefunden werden können. +Diese Idee ermöglicht, eine Matrix in einer geeigneten Körpererweiterung +in eine besonders einfache Form zu bringen, das Problem dort zu lösen. +Anschliessend kann man sich darum kümmern in welchem Mass die gewonnenen +Resultate wieder in den ursprünglichen Körper transportiert werden können. + +\subsection{Diagonalform} +Sei $A$ eine beliebige Matrix mit Koeffizienten in $\Bbbk$ und sei $\Bbbk'$ +eine Körpererweiterung von $\Bbbk$ derart, dass das charakteristische +Polynom in Linearfaktoren +\[ +\chi_A(x) += +(x-\lambda_1)^{k_1}\cdot (x-\lambda_2)^{k_2}\cdot\dots\cdot (x-\lambda_m)^{k_m} +\] +mit Vielfachheiten $k_m$ zerfällt, $\lambda_i\in\Bbbk'$. +Zu jedem Eigenwert $\lambda_i$ gibt es sicher einen Eigenvektor, wir +wollen aber in diesem Abschnitt zusätzlich annehmen, dass es eine Basis +aus Eigenvektoren gibt. +In dieser Basis bekommt die Matrix Diagonalform, wobei auf der +Diagonalen nur Eigenwerte vorkommen können. +Man kann die Vektoren so anordnen, dass die Diagonalmatrix in Blöcke +der Form $\lambda_iE$ zerfällt +\[ +\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{\raisebox{0pt}[12pt][7pt]{\phantom{x}$#1$}\phantom{x}}} +A' +=\left( +\begin{array}{cccc} +\cline{1-1} +\temp{\lambda_1E} &\multicolumn{1}{|c}{}& & \\ +\cline{1-2} + &\temp{\lambda_2E}&\multicolumn{1}{|c}{}& \\ +\cline{2-3} + & &\temp{\ddots}&\multicolumn{1}{|c}{}\\ +\cline{3-4} + & & &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[12pt][7pt]{\phantom{x}$\lambda_mE$}\phantom{x}}\\ +\cline{4-4} +\end{array} +\right) +\] +Über die Grösse eines solchen $\lambda_iE$-Blockes können wir zum jetzigen +Zeitpunkt noch keine Aussagen machen. + +Die Matrizen $A-\lambda_kE$ enthalten jeweils einen Block aus lauter +Nullen. +Das Produkt all dieser Matrizen ist daher +\[ +(A-\lambda_1E) +(A-\lambda_2E) +\cdots +(A-\lambda_mE) += +0. +\] +Über dem Körper $\Bbbk'$ gibt es also das Polynom +$m(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_m)$ mit der Eigenschaft +$m(A)=0$. +Dies ist auch das Polynom von kleinstmöglichem Grad, denn für jeden +Eigenwert muss ein entsprechender Linearfaktor in so einem Polynom vorkommen. +Das Polynom $m(x)$ ist daher das Minimalpolynom der Matrix $A$. +Da jeder Faktor in $m(x)$ auch ein Faktor von $\chi_A(x)$ ist, +folgt wieder $\chi_A(A)=0$. +Ausserdem ist über dem Körper $\Bbbk'$ das Polynom $m(x)$ ein Teiler +des charakteristischen Polynoms $\chi_A(x)$. + +\subsection{Jordan-Normalform} + +\subsection{Reelle Normalform} + +\subsection{Obere Hessenberg-Form} |