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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex index c2aa68d..aa5469f 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex @@ -1,41 +1,47 @@ -% -% chapter.tex -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\chapter{Matrizengruppen -\label{buch:chapter:matrizengruppen}} -\lhead{Matrizengruppen} -\rhead{} -Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder -physikalischen Systemen zu beschreiben. -Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu -auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer -phyisikalischen Grösse über die Zeit. -Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können, -die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen. -Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt -werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht, -sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen -zu sprechen. - -Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe, -die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus -eine sogenannte Lie-Gruppe. -Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten -Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen -Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt. -Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft, -so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften -der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen. -Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung. -Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten -Zusammenhangs darzustellen. - -\input{chapters/60-gruppen/symmetrien.tex} -\input{chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex} -\input{chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex} -\input{chapters/60-gruppen/homogen.tex} - - - +%
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+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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+\chapter{Matrizengruppen
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+\lhead{Matrizengruppen}
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+Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder
+physikalischen Systemen zu beschreiben.
+Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu
+auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer
+phyisikalischen Grösse über die Zeit.
+Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können,
+die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen.
+Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt
+werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht,
+sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen
+zu sprechen.
+
+Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe,
+die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus
+eine sogenannte Lie-Gruppe.
+Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten
+Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen
+Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt.
+Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft,
+so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften
+der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen.
+Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung.
+Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten
+Zusammenhangs darzustellen.
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