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+% chapter.tex
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+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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+\chapter{Matrizengruppen
+\label{buch:chapter:matrizengruppen}}
+\lhead{Matrizengruppen}
+\rhead{}
+Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder
+physikalischen Systemen zu beschreiben.
+Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu
+auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer
+phyisikalischen Grösse über die Zeit.
+Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können,
+die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen.
+Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt
+werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht,
+sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen
+zu sprechen.
+
+Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe,
+die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus
+eine sogenannte Lie-Gruppe.
+Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten
+Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen
+Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt.
+Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft,
+so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften
+der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen.
+Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung.
+Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten
+Zusammenhangs darzustellen.
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