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-rw-r--r--buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex289
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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
index cee8510..0f6429f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
@@ -8,7 +8,7 @@
\rhead{Lie-Algebren}
Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
-Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.
+Vektorraum $M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.
Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer
Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer
Mannigfaltigkeit.
@@ -27,6 +27,7 @@ Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$
und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die
Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
übereinstimmt.
+\index{Vektorprodukt}%
%
% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
@@ -78,12 +79,12 @@ I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
\intertext{%
Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen
Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden
-sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der
-Einparameteruntergruppe von $A+B$}
+sich aber für $t>0$ und sie unterscheiden sich von der
+Einparameteruntergruppe}
e^{(A+B)t}
&=
I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots
-\intertext{Für die Unterschiede finden wir}
+\intertext{von $A+B$. Für die Unterschiede finden wir}
e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}
&=
\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
@@ -110,15 +111,19 @@ e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}
=
\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots
\end{align*}
-wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
+wobei $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
\begin{definition}
\label{buch:gruppen:def:kommutator}
-Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
+Der {\em Kommutator} zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
$[A,B]=AB-BA$.
+\index{Kommutator}%
+\index{Lie-Klammer}%
\end{definition}
Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da
+\index{bilinear}%
+\index{antisymmetrisch}%
\begin{align*}
[\lambda A+\mu B,C]
&=
@@ -139,11 +144,13 @@ AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A].
Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$
Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied
-zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$.
+zwischen den
+$ e^{At} e^{Bt} $
+und
+$ e^{Bt} e^{At} $.
Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die
Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab.
-
\subsubsection{Die Jacobi-Identität}
Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft:
\begin{align*}
@@ -182,6 +189,7 @@ Identität.
\label{buch:gruppen:def:jacobi}
Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum
erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn
+\index{Jacobi-Identität}%
\[
[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0
\]
@@ -199,23 +207,26 @@ Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
\]
welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
+\index{Lie-Algebra}%
\end{definition}
Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet.
$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$.
-Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
+Die {\em Exponentialabbildung} $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
+\index{Exponentialabbildung}%
ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$.
Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine
Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden.
Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden
-sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der
+sind, verwenden wir die Notationskonvention, dass der Name der
Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist.
Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also
-$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$,
+$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{so}(n)$,
+\index{so(n)@$\operatorname{so}(n)$}%
die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist
$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$.
-
+\index{sln(r)@$\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$}%
%
% Die Lie-Algebra von SO(3)
@@ -229,34 +240,126 @@ Solche Matrizen haben die Form
\Omega
=
\begin{pmatrix}
- 0 & \omega_3&-\omega_2\\
--\omega_3& 0 & \omega_1\\
- \omega_2&-\omega_1& 0
+ 0 &-\omega_3& \omega_2\\
+ \omega_3& 0 &-\omega_1\\
+-\omega_2& \omega_1& 0
\end{pmatrix}
\]
+Die antisymmetrischen Matrizen
+\[
+\omega_{23}
+=
+\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},
+\quad
+\omega_{31}
+=
+\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},
+\quad
+\omega_{12}
+=
+\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
+\]
+bilden eine Basis für $\operatorname{so}(3)$, man kann
+\[
+\Omega
+=
+\omega_1\omega_{23}
++
+\omega_2\omega_{31}
++
+\omega_3\omega_{12}
+\]
+schreiben.
Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.
-Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist
+Die Kommutatoren der Basisvektoren sind
+\begin{equation}
+\setlength\arraycolsep{4pt}
+\begin{aligned}
+[\omega_{23},\omega_{31}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&-1&0\\
+1&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{12},
+%\\
+&
+[\omega_{31},\omega_{12}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&-1\\
+0&1&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{23},
+%\\
+&
+[\omega_{12},\omega_{23}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&1\\
+0&0&0\\
+-1&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{31},
+\end{aligned}
+\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
+\end{equation}
+wie man durch direkte Rechnung bestätigt.
+Diese Regeln stimmen mit den Vektorprodukten der Standardbasisvektoren
+in $\mathbb{R}^3$ überein.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.pdf}
+\caption{Der Kommutator zweier Drehungen um die $x_1$ und $x_2$
+Achse ist eine Drehung um die $x_3$-Achse.
+\label{buch:lie:fig:kommutator}}
+\end{figure}
+Abbildung~\ref{buch:lie:fig:kommutator} illustriert, wie der
+Kommutator die Nichtkommutativität der Gruppe $\operatorname{SO}(3)$
+wiedergibt.
+Die Matrix $\omega_{23}$ erzeugt eine Drehung $R_{x_1,\alpha}$
+um die $x_1$-Achse,
+die Matrix $\omega_{31}$ eine Drehung $R_{x_2,\beta}$ um die $x_2$ Achse.
+Der Kommutator $[\omega_{23},\omega_{31}]=\omega_{12}$ beschreibt in
+niedrigster Ordnung den Unterschied, der entsteht, wenn man die
+beiden Drehungen in verschiedenen Reihenfolgen ausführt.
+Dies ist eine Drehung $R_{x_3,\gamma}$ um die $x_3$-Achse.
+
+Aus der Rodriguez-Formel~\ref{buch:lie:eqn:rodrigues} wissen wir
+bereits, dass die Ableitung der Drehung das Vektorprodukt
+$\vec{\omega}\times\vec{x}$ ist.
+Dieses kann jedoch auch als
+$\Omega\vec{x} = \vec{omega}\times\vec{x}$
+ausgedrückt werden.
+
+Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $\vec{x}$ ist
\[
(I+t\Omega)
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- 1 & t\omega_3&-t\omega_2\\
--t\omega_3& 1 & t\omega_1\\
- t\omega_2&-t\omega_1& 1
+ 1 &-t\omega_3& t\omega_2\\
+ t\omega_3& 1 &-t\omega_1\\
+-t\omega_2& t\omega_1& 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
-x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
-x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
+x_1+t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
+x_2+t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
+x_3+t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
\end{pmatrix}
=
-x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
+\vec{x}+ t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
=
-x+ tx\times \omega.
+\vec{x}+ t\vec{\omega}\times \vec{x}.
\]
Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung
um die Achse $\omega$.
@@ -271,9 +374,9 @@ mit Hilfe der Abbildung
\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
- 0 & v_3&-v_1\\
--v_3& 0 & v_2\\
- v_1&-v_2& 0
+ 0 &-v_3& v_2\\
+ v_3& 0 &-v_1\\
+-v_2& v_1& 0
\end{pmatrix}.
\]
Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$
@@ -285,56 +388,56 @@ UV-VU
\\
&=
\begin{pmatrix}
- 0 & u_3&-u_1\\
--u_3& 0 & u_2\\
- u_1&-u_2& 0
+ 0 &-u_3& u_2\\
+ u_3& 0 &-u_1\\
+-u_2& u_1& 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
- 0 & v_3&-v_1\\
--v_3& 0 & v_2\\
- v_1&-v_2& 0
+ 0 &-v_3& v_2\\
+ v_3& 0 &-v_1\\
+-v_2& v_1& 0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
- 0 & v_3&-v_1\\
--v_3& 0 & v_2\\
- v_1&-v_2& 0
+ 0 &-v_3& v_2\\
+ v_3& 0 &-v_1\\
+-v_2& v_1& 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
- 0 & u_3&-u_1\\
--u_3& 0 & u_2\\
- u_1&-u_2& 0
+ 0 &-u_3& u_2\\
+ u_3& 0 &-u_1\\
+-u_2& u_1& 0
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
-u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1
- & u_1v_2 - u_2v_1
- & u_3v_2 - u_2v_3
-\\
-u_2v_1 - u_1v_2
- & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2
+-u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3 + u_2v_2
+ & u_2v_1 - u_1v_2
& u_3v_1 - u_1v_3
\\
-u_2v_3 - u_3v_2
- & u_1v_3 - u_3v_1
- &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2
+u_1v_2 - u_2v_1
+ & -u_3v_3-u_1v_1 + u_3v_3+u_1v_1
+ & u_3v_2 - u_2v_3
+\\
+u_1v_3 - u_3v_1
+ & u_2v_3 - u_3v_2
+ &-u_2v_2-u_1v_1+ u_2v_2+u_1v_1
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
0
- & u_1v_2 - u_2v_1
- &-(u_2v_3-u_3v_2)
+ &-(u_1v_2 - u_2v_1)
+ &u_3v_1-u_1v_3
\\
--( u_1v_2 - u_2v_1)
+u_1v_2 - u_2v_1
& 0
- & u_3v_1 - u_1v_3
+ &-(u_2v_3 - u_3v_2)
\\
-u_2v_3 - u_3v_2
- &-( u_3v_1 - u_1v_3)
+-(u_3v_1 - u_1v_3)
+ & u_3v_2 - u_2v_3
& 0
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
\end{align*}
Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$.
Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
@@ -349,10 +452,10 @@ Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist.
Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$
mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird.
-In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation
+In der Tat verwenden einige Lehrbücher statt der vertrauten Notation
$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der
Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel
-das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
+auch das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
von Landau und Lifschitz.
Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt
@@ -361,56 +464,6 @@ Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell:
es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur
möglich ist.
-Die antisymmetrischen Matrizen
-\[
-\omega_{23}
-=
-\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{31}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{12}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}
-\]
-haben die Kommutatoren
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-[\omega_{23},\omega_{31}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&-1&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{12}
-\\
-[\omega_{31},\omega_{12}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&1&0\\
--1&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{23}
-\\
-[\omega_{12},\omega_{23}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&-1\\
-0&0&0\\
-1&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{31}
-\end{aligned}
-\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
-\end{equation}
-
\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$}
Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den
spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$.
@@ -448,13 +501,16 @@ A\in M_n(\mathbb{C}
AA^*=I
\}
\]
+\index{unitäre Gruppe}%
+\index{Gruppe, unitär}%
+\index{U(n)@$\operatorname{U}(n)$}%
heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die
das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen
Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.
Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
derart, dass $\gamma(0)=I$.
Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf
-\begin{align*}
+\begin{equation*}
0
=
\frac{d}{dt}
@@ -469,14 +525,17 @@ Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf
+
\dot{\gamma}(0)^*
\quad\Rightarrow\quad
-\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*.
-A&=-A^*
-\end{align*}
+\dot{\gamma}(0)=-\dot{\gamma}(0)^*
+\quad\Rightarrow\quad
+A=-A^*
+\end{equation*}
Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen
Matrizen.
+\index{u(n)@$\operatorname{u}(n)$}%
Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen
Matrizen wieder anithermitesch ist:
+\index{antihermitesch}%
\begin{align*}
[A,B]^*
&=
@@ -489,7 +548,7 @@ BA - AB
-[B,A].
\end{align*}
-Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$,
+Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{i\!j}=-\overline{a}_{ji}$,
für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$
oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$.
Der Realteil von $a_{ii}$ ist
@@ -510,6 +569,7 @@ imaginär.
\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den
spurlosen antihermiteschen Matrizen.
+\index{su(n)@$\operatorname{su}(n)$}%
Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:
\[
A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
@@ -557,6 +617,7 @@ iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2}
is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3}
\end{align*}
Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren
+\index{Pauli-Matriizen}%
\begin{align*}
[\sigma_1,\sigma_2]
&=
@@ -623,7 +684,7 @@ Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
=
-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2
=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_2
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_2.
\end{align*}
Die lineare Abbildung, die
\begin{align*}
@@ -631,7 +692,7 @@ Die lineare Abbildung, die
\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
\end{align*}
-abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
+abbildet, ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.
Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$
haben also die gleiche Lie-Algebra.