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index 0000000..bf90a36
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
index 69d4b1d..6c6b74b 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
@@ -6,3 +6,258 @@
 \section{Lie-Algebren
 \label{buch:section:lie-algebren}}
 \rhead{Lie-Algebren}
+Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
+Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
+Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.
+Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer
+Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer 
+Mannigfaltigkeit.
+Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen.
+
+Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven
+innerhalb der Gruppe angesehen werden.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen
+Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass
+der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann.
+Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren
+erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren,
+die sogenannte Lie-Algebra.
+Sie ist charakteristisch für die Gruppe.
+Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ 
+und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die
+Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
+übereinstimmt.
+
+%
+% Tangentialvektoren und SO(2)
+%
+\subsection{Tangentialvektoren und $\operatorname{SO}(2)$}
+Die Drehungen in der Ebene können reell als Matrizen der Form
+\[
+D_{\alpha}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha&-\sin\alpha\\
+\sin\alpha& \cos\alpha
+\end{pmatrix}
+\]
+als eidimensionale Kurve innerhalb von $M_2(\mathbb{R})$ beschrieben
+werden.
+Alternativ können Drehungen um den Winkel $\alpha$ als mit Hilfe von
+der Abbildung
+$
+\alpha\mapsto e^{i\alpha}
+$
+als komplexe Zahlen vom Betrag $1$ beschrieben werden.
+Dies sind zwei verschiedene Parametrisierungen der gleichen
+geometrischen Transformation.
+
+Die Ableitung nach $\alpha$ ist $ie^{i\alpha}$, der Tangentialvektor
+im Punkt $e^{i\alpha}$ ist also $ie^{i\alpha}$.
+Die Multiplikation mit $i$ ist die Drehung um $90^\circ$, der Tangentialvektor
+ist also der um $90^\circ$ gedrehte Ortsvektor zum Punkt auf der Kurve.
+
+In der Darstelllung als $2\times 2$-Matrix ist die Ableitung
+\[
+\frac{d}{d\alpha}D_\alpha
+=
+\frac{d}{d\alpha}
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha& -\sin\alpha\\
+\sin\alpha&  \cos\alpha
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+-\sin\alpha & -\cos\alpha \\
+ \cos\alpha & -\sin\alpha
+\end{pmatrix}.
+\]
+Die rechte Seite kann wieder mit der Drehmatrix $D_\alpha$ geschrieben
+werden, es ist nämlich
+\[
+\frac{d}{d\alpha}D_\alpha
+=
+\begin{pmatrix}
+-\sin\alpha & -\cos\alpha \\
+ \cos\alpha & -\sin\alpha
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha & -\sin\alpha\\
+\sin\alpha &  \cos\alpha
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&-1\\
+1& 0
+\end{pmatrix}
+=
+D_\alpha J.
+\]
+Der Tangentialvektor an die Kurve $\alpha\mapsto D_\alpha$ innerhalb
+$M_2(\mathbb{R})$ im Punkt $D_\alpha$ ist also die Matrix 
+$JD_\alpha$.
+Die Matrix $J$ ist die Drehung um $90^\circ$, denn $J=D_{\frac{\pi}2}$.
+Der Zusammenhang zwischen dem Punkt $D_\alpha$ und dem Tangentialvektor
+ist also analog zur Beschreibug mit komplexen Zahlen.
+
+Im Komplexen vermittelt die Exponentialfunktion den Zusammenhang zwischen
+dem Winkel $\alpha$ und dre Drehung $e^{i\alpha}$.
+Der Grund dafür ist natürlich die Differentialgleichung
+\[
+\frac{d}{d\alpha} z(\alpha) =  iz(\alpha).
+\]
+Die analoge Differentialgleichung 
+\[
+\frac{d}{d\alpha} D_\alpha = J D_\alpha
+\]
+führt auf die Matrix-Exponentialreihe
+\begin{align*}
+D_\alpha
+=
+\exp (J\alpha)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(J\alpha)^k}{k!}
+=
+\biggl(
+1-\frac{\alpha^2}{2!} + \frac{\alpha^4}{4!} -\frac{\alpha^6}{6!}+\dots
+\biggr)
++
+J\biggl(
+\alpha - \frac{\alpha^3}{3!}
++ \frac{\alpha^5}{5!}
+- \frac{\alpha^7}{7!}+\dots
+\biggr)
+\\
+&=
+I\cos\alpha
++
+J\sin\alpha,
+\end{align*}
+welche der Eulerschen Formel $e^{i\alpha} = \cos\alpha + i \sin\alpha$
+analog ist.
+
+In diesem Beispiel gibt es nur eine Tangentialrichtung und alle in Frage
+kommenden Matrizen vertauschen miteinander.
+Es ist daher nicht damit zu rechnen, dass sich eine interessante 
+Algebrastruktur für die Ableitungen konstruieren lässt.
+
+%
+% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
+%
+\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe}
+Das eindimensionale Beispiel $\operatorname{SO}(2)$ hat gezeigt, dass
+die Tangentialvektoren in einem beliebigen Punkt $D_\alpha$ aus dem
+Tangentialvektor im Punkt $I$ durch Anwendung der Drehung hervorgehen,
+die $I$ in $D_\alpha$ abbildet.
+Die Drehungen einer eindimensionalen Untergruppe transportieren daher
+den Tangentialvektor in $I$ entlang der Kurve auf jeden beliebigen
+anderen Punkt.
+Zu jedem Tangentialvektor im Punkt $I$ dürfte es daher genau eine
+eindimensionale Untergruppe geben.
+
+Sei die Abbildung $\varrho\colon\mathbb{R}\to G$ eine Einparameter-Untergruppe
+von $G\subset M_n(\mathbb{R})$.
+Durch Ableitung der Gleichung $\varrho(t+x) = \varrho(t)\varrho(x)$ nach
+$x$ folgt die Differentialgleichung
+\[
+\varrho'(t)
+=
+\frac{d}{dx}\varrho(t+x)\bigg|_{x=0}
+=
+\varrho(t) \frac{d}{dx}\varrho(0)\bigg|_{x=0}
+=
+\varrho(t) \varrho'(0).
+\]
+Der Tangentialvektor in $\varrho'(t)$ in $\varrho(t)$ ist daher
+der Tangentialvektor $\varrho'(0)$ in $I$ transportiert in den Punkt
+$\varrho(t)$ mit Hilfe der Matrix $\varrho(t)$.
+
+Aus der Differentialgleichung folgt auch, dass
+\[
+\varrho(t) = \exp (t\varrho'(0)).
+\]
+Zu einem Tangentialvektor in $I$ kann man also immer die
+Einparameter-Untergruppe mit Hilfe der Differentialgleichung 
+oder der expliziten Exponentialreihe rekonstruieren.
+
+Die eindimensionale Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ ist abelsch und
+hat einen eindimensionalen Tangentialraum, man kann also nicht mit
+einer interessanten Algebrastruktur rechnen.
+Für eine höherdimensionale, nichtabelsche Gruppe sollte sich aus
+der Tatsache, dass es verschiedene eindimensionale Untergruppen gibt,
+deren Elemente nicht mit den Elemente einer anderen solchen Gruppe
+vertauschen, eine interessante Algebra konstruieren lassen, deren
+Struktur die Nichtvertauschbarkeit wiederspiegelt.
+
+Seien also $A$ und $B$ Tangentialvektoren einer Matrizengruppe $G$,
+die zu den Einparameter-Untergruppen $\varphi(t)=\exp At$ und
+$\varrho(t)=\exp Bt$ gehören.
+Insbesondere gilt $\varphi'(0)=A$ und $\varrho'(0)=B$.
+Das Produkt $\pi(t)=\varphi(t)\varrho(t)$ ist allerdings nicht notwendigerweise
+eine Einparametergruppe, denn dazu müsste gelten
+\begin{align*}
+\pi(t+s)
+&=
+\varphi(t+s)\varrho(t+s)
+=
+\varphi(t)\varphi(s)\varrho(t)\varrho(s)
+\\
+=
+\pi(t)\pi(s)
+&=
+\varphi(t)\varrho(t)\varphi(s)\varrho(s)
+\end{align*}
+Durch Multiplikation von links mit $\varphi(t)^{-1}$ und
+mit $\varrho(s)^{-1}$ von rechts folgt, dass dies genau dann gilt,
+wenn
+\[
+\varphi(s)\varrho(t)=\varrho(t)\varphi(s).
+\]
+Die beiden Seiten dieser Gleichung sind erneut verschiedene Punkte
+in $G$.
+Durch Multiplikation mit $\varrho(t)^{-1}$ von links und mit
+$\varphi(s)^{-1}$ von rechts erhält man die äquivaliente
+Bedingung
+\begin{equation}
+\varrho(-t)\varphi(s)\varrho(t)\varphi(-s)=I.
+\label{buch:lie:konjugation}
+\end{equation}
+Ist die Gruppe $G$ nicht kommutativ, kann man nicht
+annehmen, dass diese Bedingung erfüllt ist.
+
+Aus \eqref{buch:lie:konjugation} erhält man jetzt eine Kurve
+\[
+t \mapsto \gamma(t,s) = \varrho(-t)\varphi(s)\varrho(t)\varphi(-s) \in G
+\]
+in der Gruppe, die für $t=0$ durch $I$ geht.
+Ihren Tangentialvektor kann man durch Ableitung bekommen:
+\begin{align*}
+\frac{d}{dt}\gamma(t,s)
+&=
+-\varrho'(-t)\varphi(s)\varrho(t)\varphi(-s)
++\varrho(-t)\varphi(s)\varrho'(t)\varphi(-t)
+\\
+\frac{d}{dt}\gamma(t)\bigg|_{t=0}
+&=
+-B\varphi(s) + \varphi(-s)B
+\end{align*}
+Durch erneute Ableitung nach $s$  erhält man dann 
+\begin{align*}
+\frac{d}{ds} \frac{d}{dt}\gamma(t,s)\bigg|_{t=0}
+&=
+-B\varphi'(s) - \varphi(-s)B
+\end{align*}
+
+%
+% Die Lie-Algebra von SO(3)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$}
+
+%
+% Die Lie-Algebra von SU(2)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
index 022de97..1268ce2 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
@@ -111,6 +111,9 @@ in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$.
 Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis
 in der komplexen Ebene identifiziert werden.
 
+%
+% Isometrien von R^n
+%
 \subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$
 \label{buch:gruppen:isometrien}}
 Lineare Abbildungen der Ebene $\mathbb{R}^n$ mit dem üblichen Skalarprodukt
@@ -142,6 +145,182 @@ Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$.
 Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente
 $a_{ij}=e_i^tAe_j$.
 
+\subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$}
+Die Matrixelemente von $A^tA$ sind
+$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$
+sind diejenigen der Einheitsmatrix,
+die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$.
+Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen.
+Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht
+daher aus den Matrizen
+\[
+\operatorname{O}(n)
+=
+\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}.
+\]
+Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen,
+die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen
+Menge $M_n(\mathbb{R})$ auszeichnen.
+Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der orthogonalen Matrizen hat daher
+die Dimension
+\[
+n^2 - \frac{n(n+1)}{2}
+=
+\frac{2n^2-n^2-n}{2}
+=
+\frac{n(n-1)}2.
+\]
+Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional.
+
+\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$}
+Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die
+die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen.
+Wegen $\det (AA^t)=\det A\det A^t = (\det A)^2=1$ kann die Determinante
+einer orthogonalen Matrix nur $\pm 1$ sein.
+Orientierungserhaltende Isometrien haben Determinante $1$.
+
+Die Gruppe
+\[
+\operatorname{SO}(n)
+=
+\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\}
+\]
+heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}.
+Die Dimension der Gruppe $\operatorname{O}(n)$ ist $n(n-1)/2$.
+
+\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$}
+Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehungen des dreidimensionalen
+Raumes hat die Dimension $3(3-1)/2=3$.
+Eine Drehung wird festgelegt durch die Richtung der Drehachse und den
+Drehwinkel.
+Die Richtung der Drehachse ist ein Einheitsvektor, also ein Punkt
+auf der zweidimensionalen Kugel.
+Der Drehwinkel ist der dritte Parameter.
 
+Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden
+aus den Matrizen
+\[
+D_{x,\alpha}
+=
+\begin{pmatrix}
+1&0&0\\
+0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\
+0&\sin\alpha& \cos\alpha
+\end{pmatrix},
+\qquad
+D_{y,\beta}
+=
+\begin{pmatrix}
+ \cos\beta&0&\sin\beta\\
+      0    &1&     0    \\
+-\sin\beta&0&\cos\beta
+\end{pmatrix},
+\qquad
+D_{z,\gamma}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\
+\sin\gamma& \cos\gamma&0\\
+    0     &     0     &1
+\end{pmatrix},
+\]
+die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$
+beschreiben.
+Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die
+drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$
+angesehen werden.
+
+%
+% Die Gruppe SU(2)
+%
 \subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$
 \label{buch:gruppen:su2}}
+Die Menge der Matrizen
+\[
+\operatorname{SU}(2)
+=
+\left\{
+\left.
+A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\;\right|\;
+a,b,c,d\in\mathbb{C},\det(A)=1, AA^*=I
+\right\}
+\]
+heisst die {\em spezielle unitäre Gruppe}.
+Wegen $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$ und $(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*B=I$ ist 
+$\operatorname{SU}(2)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$.
+Die Bedingungen $\det A=1$ und $AA^*=I$ schränken die möglichen Werte
+von $a$ und $b$ weiter ein.
+Aus 
+\[
+A^*
+=
+\begin{pmatrix}
+\overline{a}&\overline{c}\\
+\overline{b}&\overline{d}
+\end{pmatrix}
+\]
+und den Bedingungen führen die Gleichungen
+\[
+\begin{aligned}
+a\overline{a}+b\overline{b}&=1
+&&\Rightarrow&|a|^2+|b|^2&=1
+\\
+a\overline{c}+b\overline{d}&=0
+&&\Rightarrow&
+\frac{a}{b}&=-\frac{\overline{d}}{\overline{c}}
+\\
+c\overline{a}+d\overline{b}&=0
+&&\Rightarrow&
+\frac{c}{d}&=-\frac{\overline{b}}{\overline{a}}
+\\
+c\overline{c}+d\overline{d}&=1&&\Rightarrow&|c|^2+|d|^2&=1
+\\
+ad-bc&=1
+\end{aligned}
+\]
+Aus der zweiten Gleichung kann man ableiten, dass es eine Zahl $t\in\mathbb{C}$
+gibt derart, dass $c=-t\overline{b}$ und $d=t\overline{a}$.
+Damit wird die Bedingung an die Determinante zu
+\[
+1
+=
+ad-bc = at\overline{a} - b(-t\overline{b})
+=
+t(|a|^2+|b|^2)
+=
+t,
+\]
+also muss die Matrix $A$ die Form haben
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+a&b\\
+-\overline{b}&\overline{a}
+\end{pmatrix}
+\qquad\text{mit}\quad |a|^2+|b|^2=1.
+\]
+Schreibt man $a=a_1+ia_2$ und $b=b_1+ib_2$ mit rellen $a_i$ und $b_i$,
+dann besteht $SU(2)$  aus den Matrizen der Form
+\[
+A=
+\begin{pmatrix}
+ a_1+ia_2&b_1+ib_2\\
+-b_1+ib_2&a_1-ia_2
+\end{pmatrix}
+\]
+mit der zusätzlichen Bedingung
+\[
+|a|^2+|b|^2
+=
+a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 1.
+\]
+Die Matrizen von $\operatorname{SU}(2)$ stehen daher in einer
+eins-zu-eins-Beziehung zu den Vektoren $(a_1,a_2,b_1,b_2)\in\mathbb{R}^4$
+eines vierdimensionalen reellen Vektorraums mit Länge $1$.
+Geometrisch betrachtet ist also $\operatorname{SU}(2)$ eine dreidmensionalen
+Kugel, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist.
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
index 8d5c0e0..cb07475 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
@@ -7,4 +7,102 @@
 \section{Symmetrien
 \label{buch:section:symmetrien}}
 \rhead{Symmetrien}
+Der geometrische Begriff der Symmetrie meint die Eigenschaft eines
+geometrischen Objektes, dass es bei einer Bewegung auf sich selbst
+abgebildet wird.
+Das Wort stammt aus dem altgriechischen, wo es {\em Gleichmass}
+bedeutet.
+Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus,
+dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen
+der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch
+Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des
+Begriffs verständlich macht.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg}
+\caption{Das Castle Howard in Yorkshire war in dieser ausgeprägt symmetrischen
+Form geplant, wurde dann aber in modifizeirter Form gebaut.
+Messungen zwischen Punkten in der rechten Hälfte des Bildes
+ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken
+in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt.
+\label{buch:lie:bild:castlehoward}}
+\end{figure}
+In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte
+Bedeutung gegeben.
+Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht
+verändert, wird als Symmetrie bezeichnet.
+Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den
+den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt,
+eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des
+Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist
+eine Symmetrie des Systems.
+
+Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat.
+Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon
+ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden.
+Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die
+durch Matrizen beschrieben weren.
+Eine unter der Symmetrie erhaltene Eigenschaft definiert so eine
+Untergruppe der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ der
+invertierbaren Matrizen.
+Die erhaltenen Eigenschaften definieren eine Menge von Gleichungen,
+denen die Elemente der Untergruppe genügen müssen.
+Als Lösungsmenge einer Gleichung erhält die Untergruppe damit eine
+zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare
+Mannigfaltigkeit.
+Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit}
+eingeführt.
+Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der
+Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen,
+die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind.
+
+Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
+Mannigfaltigkeit ist.
+Die Existenz von geometrischen Konzepten wie Tangentialvektoren
+ermöglicht zusätzliche Werkzeuge, mit denen diese Gruppe untersucht
+und verstanden werden können.
+Ziel dieses Abschnitts ist, die Grundlagen für diese Untersuchung zu
+schaffen, die dann im Abschnitt~\ref{buch:section:lie-algebren}
+durchgeführt werden soll.
+
+\subsection{Algebraische Symmetrien
+\label{buch:subsection:algebraische-symmetrien}}
+Mit Matrizen lassen sich Symmetrien in einem geometrischen Problem
+oder in einem physikalischen System beschreiben.
+Man denkt dabei gerne zuerst an geometrische Symmetrien wie die
+Symmetrie unter Punktspiegelung oder die Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene,
+wie sie zum Beispiel durch die Abbildungen
+\[
+\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : x\mapsto -x
+\qquad\text{oder}\qquad
+\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 :
+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}-x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden.
+Beide haben zunächst die Eigenschaft, dass Längen und Winkel und damit
+das Skalarprodukt erhalten sind.
+Diese Eigenschaft allein erlaubt aber noch nicht, die beiden Transformationen
+zu unterscheiden.
+Die Punktspiegelung zeichnet sich dadurch aus, das alle Geraden und alle
+Ebenen durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet werden.
+Dies funktioniert für die Ebenenspiegelung nicht, dort bleibt nur die
+Spiegelungsebene (die $x_1$-$x_2$-Ebene im vorliegenden Fall) und
+ihre Normale erhalten.
+Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen
+auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen.
+
+
+\subsection{Manningfaltigkeiten
+\label{buch:subsection:mannigfaltigkeit}}
+
+\subsection{Der Satz von Noether
+\label{buch:subsection:noether}}
+
+
+
+
+
+