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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index e19f76f..6ee51cf 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -204,7 +204,7 @@ eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra. \begin{definition} Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt \[ -[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v], +[\;\,,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v], \] welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi} erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}. diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex index c67a304..fb1b4ae 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex @@ -21,7 +21,7 @@ $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$, sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit. Doch auch alle anderen Matrizengruppen, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden sollen, -stellens ich als Untermannigfaltigkeiten von +stellen sich als Untermannigfaltigkeiten von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ heraus. \subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen @@ -181,8 +181,8 @@ Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}. Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis} als Mannigfaltigkeit erkannt wurde. -Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix -beschrieben werden kann. +Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrizen +beschrieben werden können. \subsubsection{Die Untergruppe $\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$} @@ -882,7 +882,7 @@ Der Tangentialraum ist also dreidimensional. für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$. In allen drei Fällen wird das blaue Quadrat mit den Ecken in den -Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu +Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten. In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen der Bilder der Standardbasisvektoren dar. diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex index 3db4873..640c73f 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex @@ -289,7 +289,7 @@ Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils Matrizen in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. Der Grund dafür ist, dass die Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} -linear zu sein braucht. +linear sind. Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$ die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also @@ -468,8 +468,8 @@ derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$ \to \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta) \] -als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar -ist. +als Abbildungen von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar +sind. Eine {\em $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas. \index{Atlas}% @@ -698,6 +698,7 @@ Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch \dot{x}(t) = D\varphi_{31}(\gamma(t)) +\cdot \dot{y}(t). \] Für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu |