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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex index aa5469f..3b1abc1 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex @@ -1,47 +1,47 @@ -%
-% chapter.tex
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\chapter{Matrizengruppen
-\label{buch:chapter:matrizengruppen}}
-\lhead{Matrizengruppen}
-\rhead{}
-Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder
-physikalischen Systemen zu beschreiben.
-Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu
-auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer
-phyisikalischen Grösse über die Zeit.
-Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können,
-die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen.
-Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt
-werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht,
-sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen
-zu sprechen.
-
-Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe,
-die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus
-eine sogenannte Lie-Gruppe.
-Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten
-Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen
-Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt.
-Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft,
-so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften
-der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen.
-Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung.
-Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten
-Zusammenhangs darzustellen.
-
-\input{chapters/60-gruppen/symmetrien.tex}
-\input{chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex}
-\input{chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex}
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-
-\section*{Übungsaufgaben}
-\rhead{Übungsaufgaben}
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-\begin{uebungsaufgaben}
-\uebungsaufgabe{6002}
-\uebungsaufgabe{6001}
-\end{uebungsaufgaben}
-
+% +% chapter.tex +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\chapter{Matrizengruppen +\label{buch:chapter:matrizengruppen}} +\lhead{Matrizengruppen} +\rhead{} +Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder +physikalischen Systemen zu beschreiben. +Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu +auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer +phyisikalischen Grösse über die Zeit. +Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können, +die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen. +Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt +werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht, +sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen +zu sprechen. + +Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe, +die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus +eine sogenannte Lie-Gruppe. +Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten +Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen +Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt. +Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft, +so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften +der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen. +Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung. +Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten +Zusammenhangs darzustellen. + +\input{chapters/60-gruppen/symmetrien.tex} +\input{chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex} +\input{chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex} +%\input{chapters/60-gruppen/homogen.tex} + +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{6002} +\uebungsaufgabe{6001} +\end{uebungsaufgaben} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile index 8cd824f..3ed39e5 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile @@ -1,25 +1,25 @@ -#
-# Makefile
-#
-# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-#
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-
-phasenraum.pdf: phasenraum.tex
- pdflatex phasenraum.tex
-
-kartenkreis.pdf: kartenkreis.tex
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-
-torus.png: torus.pov
- povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorus.png torus.pov
-
-karten.pdf: karten.tex torus.png
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-scherungen.pdf: scherungen.tex
- pdflatex scherungen.tex
-
+# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf sl2.pdf scherungen.pdf + +phasenraum.pdf: phasenraum.tex + pdflatex phasenraum.tex + +kartenkreis.pdf: kartenkreis.tex + pdflatex kartenkreis.tex + +torus.png: torus.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorus.png torus.pov + +karten.pdf: karten.tex torus.png + pdflatex karten.tex + +sl2.pdf: sl2.tex + pdflatex sl2.tex + +scherungen.pdf: scherungen.tex + pdflatex scherungen.tex + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex index 67c8d70..c8eb4a3 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex @@ -1,112 +1,112 @@ -%
-% karten.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
-
-\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{torus.png}};
-
-\def\s{3}
-
-\node at (-3.5,-0.4) {$U_\alpha$};
-\node at (2.0,-0.4) {$U_\beta$};
-
-\draw[->] (-2,-2.2) -- (-3,-4.3);
-\node at (-2.5,-3.25) [left] {$\varphi_\alpha$};
-
-\draw[->] (1.4,-1.7) -- (3,-4.3);
-\node at (2.5,-3.25) [right] {$\varphi_\beta$};
-
-\begin{scope}[xshift=-4.5cm,yshift=-8cm]
- \begin{scope}
- \clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
- \begin{scope}[xshift=1.8cm,yshift=0.6cm,rotate=30]
- \fill[color=gray!20]
- (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
- \foreach \x in {0,0.2,...,1}{
- \draw[color=darkgreen]
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- --
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- \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
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- (0,{\y*\s})
- --
- ({1*\s},{\y*\s});
- }
- \end{scope}
- \end{scope}
-
- \foreach \x in {0,0.2,...,1}{
- \draw[color=blue,line width=1.4pt]
- ({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s});
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- \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
- \draw[color=red,line width=1.4pt]
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-
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-
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-
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=-8cm]
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- % x = - [ (sqrt(3)/2)*0.6+(1/2)*0.2 ] = -0.6196
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- \fill[color=gray!20]
- (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
- \foreach \x in {0,0.2,...,1}{
- \draw[color=blue]
- ({\x*\s},{-0.2*\s})
- --
- ({\x*\s},{1.2*\s});
- }
- \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
- \draw[color=red]
- (0,{\y*\s})
- --
- ({1*\s},{\y*\s});
- }
- \end{scope}
- \end{scope}
-
- \foreach \x in {0,0.2,...,1}{
- \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
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- \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
- \draw[color=orange,line width=1.4pt] (0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s});
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-
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-\draw[<-,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
-
-\node at (0,-5.9)
- {$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$};
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+% +% karten.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{torus.png}}; + +\def\s{3} + +\node at (-3.5,-0.4) {$U_\alpha$}; +\node at (2.0,-0.4) {$U_\beta$}; + +\draw[->] (-2,-2.2) -- (-3,-4.3); +\node at (-2.5,-3.25) [left] {$\varphi_\alpha$}; + +\draw[->] (1.4,-1.7) -- (3,-4.3); +\node at (2.5,-3.25) [right] {$\varphi_\beta$}; + +\begin{scope}[xshift=-4.5cm,yshift=-8cm] + \begin{scope} + \clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s}); + \begin{scope}[xshift=1.8cm,yshift=0.6cm,rotate=30] + \fill[color=gray!20] + (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s}); + \foreach \x in {0,0.2,...,1}{ + \draw[color=darkgreen] + ({\x*\s},{-0.2*\s}) + -- + ({\x*\s},{1.2*\s}); + } + \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{ + \draw[color=orange] + (0,{\y*\s}) + -- + ({1*\s},{\y*\s}); + } + \end{scope} + \end{scope} + + \foreach \x in {0,0.2,...,1}{ + \draw[color=blue,line width=1.4pt] + ({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s}); + } + \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{ + \draw[color=red,line width=1.4pt] + (0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s}); + } + + \draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}]; + \draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}]; + + \node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$}; + +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=-8cm] + \begin{scope} + \clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s}); + % x = - [ (sqrt(3)/2)*0.6+(1/2)*0.2 ] = -0.6196 + % y = - [ (-1/2)*0.6 + (sqrt(3)/2)*0.2 ] = + \begin{scope}[xshift=-1.8588cm,yshift=0.3804cm,rotate=-30] + \fill[color=gray!20] + (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s}); + \foreach \x in {0,0.2,...,1}{ + \draw[color=blue] + ({\x*\s},{-0.2*\s}) + -- + ({\x*\s},{1.2*\s}); + } + \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{ + \draw[color=red] + (0,{\y*\s}) + -- + ({1*\s},{\y*\s}); + } + \end{scope} + \end{scope} + + \foreach \x in {0,0.2,...,1}{ + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] + ({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s}); + } + \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{ + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s}); + } + \draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}]; + \draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}]; + \node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$}; +\end{scope} + +\draw[<-,color=white,opacity=0.8,line width=5pt] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5); +\draw[<-,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5); + +\node at (0,-5.9) + {$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex index ff6331e..4f19937 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex @@ -1,189 +1,189 @@ -%
-% kartenkreis.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{3}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
-
-\fill[color=red!20] (0,-1) rectangle (1.5,1);
-\fill[color=blue!20] (-1.5,-1) rectangle (0,1);
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-
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- -- cycle;
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-
-\fill[color=gray!20]
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-
-\draw[->] (0.5,-1.8) arc (-180:-90:0.1) arc (-90:0:1.3) arc (0:90:0.1);
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-
-\node at (1.01,1.32)
- [right] {$\varphi_3\circ \varphi_1^{-1}(y)=\sqrt{1-y^2}$};
-\node at (1.6,1.6) {$\varphi_{31}$};
-
-\node at (1.01,-1.28)
- [right] {$\varphi_1\circ \varphi_4^{-1}(x)=-\sqrt{1-x^2}$};
-\node at (1.6,-1.6) {$\varphi_{14}$};
-
-\node at (-1.24,1.32)
- [left] {$\varphi_2\circ\varphi_3^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2}$};
-\node at (-1.6,1.6) {$\varphi_{23}$};
-
-\node at (-1.18,-1.28)
- [left] {$\varphi_4\circ\varphi_2^{-1}(y)=-\sqrt{1-y^2}$};
-\node at (-1.6,-1.6) {$\varphi_{42}$};
-
-
-\foreach \y in {0.1,0.3,...,0.9}{
- \draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
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- \draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
- ({sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (1.5,-\y);
- \draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
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- \draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
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-}
-\foreach \x in {0.1,0.3,...,0.9}{
- \draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
- ({\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},1.5);
- \draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
- ({-\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},1.5);
- \draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
- ({\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},-1.5);
- \draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
- ({-\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},-1.5);
-}
-
-%\draw[color=gray!50,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
-\draw[color=yellow!30,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
-\node[color=yellow] at ({1/sqrt(2)},{1/sqrt(2)}) [above right] {$S^1$};
-
-\def\r{1.02}
-
-\begin{scope}
- \clip (0,-1.1) rectangle (1.1,1.1);
- \draw[color=red,line width=1.4pt] (-89:\r) arc (-89:89:\r);
- \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];
- \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\begin{scope}
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- \draw[color=blue,line width=1.4pt] (91:\r) arc (91:269:\r);
- \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];
- \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\xdef\r{0.98}
-
-\begin{scope}
- \clip (-1.1,0) rectangle (1.1,1.1);
- \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1:\r) arc (1:179:\r);
- \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02];
- \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\begin{scope}
- \clip (-1.1,-1.1) rectangle (1.1,0);
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- \draw[color=orange,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[yshift=1.5cm]
- \draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$\mathbb{R}$}];
- \begin{scope}
- \clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);
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- \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1,0)
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- \end{scope}
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[yshift=-1.5cm]
- \draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={below:$\mathbb{R}$}];
- \begin{scope}
- \clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);
- \draw[color=orange,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0);
- \draw[color=orange,line width=1.4pt] (-1,0) circle[radius=0.02];
- \draw[color=orange,line width=1.4pt] (1,0) circle[radius=0.02];
- \end{scope}
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=1.5cm]
- \draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$\mathbb{R}$}];
- \begin{scope}
- \clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);
- \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);
- \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];
- \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];
- \end{scope}
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=-1.5cm]
- \draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={left:$\mathbb{R}$}];
- \begin{scope}
- \clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);
- \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);
- \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];
- \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];
- \end{scope}
-\end{scope}
-
-\node[color=red] at (23:1) [right] {$U_{x>0}$};
-\node[color=red] at (1.25,0) [right] {$\varphi_1$};
-
-\node[color=blue] at (157:1) [left] {$U_{x<0}$};
-\node[color=blue] at (-1.25,0) [left] {$\varphi_2$};
-
-\node[color=darkgreen] at (115:1) [below right] {$U_{y>0}$};
-\node[color=darkgreen] at (0,1.25) [above] {$\varphi_3$};
-
-\node[color=orange] at (-115:1) [above right] {$U_{y<0}$};
-\node[color=orange] at (0,-1.25) [below] {$\varphi_4$};
-
-\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$y$}];
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+% +% kartenkreis.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{3} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\fill[color=red!20] (0,-1) rectangle (1.5,1); +\fill[color=blue!20] (-1.5,-1) rectangle (0,1); +\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5] (-1,0) rectangle (1,1.5); +\fill[color=orange!40,opacity=0.5] (-1,-1.5) rectangle (1,0); +\fill[color=white] (0,0) circle[radius=1]; + +\fill[color=gray!20] + (0,-1.5) -- (0.02,-1.6) -- (0.5,-1.8) -- (0.98,-1.6) -- (1,-1.5) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (0,1.5) -- (0.02,1.6) -- (0.5,1.8) -- (0.98,1.6) -- (1,1.5) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (0,-1.5) -- (-0.02,-1.6) -- (-0.5,-1.8) -- (-0.98,-1.6) -- (-1,-1.5) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (0,1.5) -- (-0.02,1.6) -- (-0.5,1.8) -- (-0.98,1.6) -- (-1,1.5) + -- cycle; + +\fill[color=gray!20] + (1.5,0) -- (1.6,0.02) -- (1.8,0.5) -- (1.6,0.98) -- (1.5,1) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (-1.5,0) -- (-1.6,0.02) -- (-1.8,0.5) -- (-1.6,0.98) -- (-1.5,1) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (1.5,0) -- (1.6,-0.02) -- (1.8,-0.5) -- (1.6,-0.98) -- (1.5,-1) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (-1.5,0) -- (-1.6,-0.02) -- (-1.8,-0.5) -- (-1.6,-0.98) -- (-1.5,-1) + -- cycle; + +\draw[->] (0.5,-1.8) arc (-180:-90:0.1) arc (-90:0:1.3) arc (0:90:0.1); +\draw[->] (1.8,0.5) arc (-90:0:0.1) arc (0:90:1.3) arc (90:180:0.1); +\draw[->] (-0.5,1.8) arc (0:90:0.1) arc (90:180:1.3) arc (180:270:0.1); +\draw[->] (-1.8,-0.5) arc (90:180:0.1) arc (180:270:1.3) arc (270:360:0.1); + +\node at (1.01,1.32) + [right] {$\varphi_3\circ \varphi_1^{-1}(y)=\sqrt{1-y^2}$}; +\node at (1.6,1.6) {$\varphi_{31}$}; + +\node at (1.01,-1.28) + [right] {$\varphi_1\circ \varphi_4^{-1}(x)=-\sqrt{1-x^2}$}; +\node at (1.6,-1.6) {$\varphi_{14}$}; + +\node at (-1.24,1.32) + [left] {$\varphi_2\circ\varphi_3^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2}$}; +\node at (-1.6,1.6) {$\varphi_{23}$}; + +\node at (-1.18,-1.28) + [left] {$\varphi_4\circ\varphi_2^{-1}(y)=-\sqrt{1-y^2}$}; +\node at (-1.6,-1.6) {$\varphi_{42}$}; + + +\foreach \y in {0.1,0.3,...,0.9}{ + \draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (1.5,\y); + \draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (1.5,-\y); + \draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({-sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (-1.5,\y); + \draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({-sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (-1.5,-\y); +} +\foreach \x in {0.1,0.3,...,0.9}{ + \draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},1.5); + \draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({-\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},1.5); + \draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},-1.5); + \draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({-\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},-1.5); +} + +%\draw[color=gray!50,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1]; +\draw[color=yellow!30,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1]; +\node[color=yellow] at ({1/sqrt(2)},{1/sqrt(2)}) [above right] {$S^1$}; + +\def\r{1.02} + +\begin{scope} + \clip (0,-1.1) rectangle (1.1,1.1); + \draw[color=red,line width=1.4pt] (-89:\r) arc (-89:89:\r); + \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02]; + \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02]; +\end{scope} + +\begin{scope} + \clip (-1.1,-1.1) rectangle (0,1.1); + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (91:\r) arc (91:269:\r); + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02]; + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02]; +\end{scope} + +\xdef\r{0.98} + +\begin{scope} + \clip (-1.1,0) rectangle (1.1,1.1); + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1:\r) arc (1:179:\r); + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02]; + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02]; +\end{scope} + +\begin{scope} + \clip (-1.1,-1.1) rectangle (1.1,0); + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (181:\r) arc (181:359:\r); + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02]; + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02]; +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=1.5cm] + \draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$\mathbb{R}$}]; + \begin{scope} + \clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1); + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0); + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-1,0) + circle[radius=0.02]; + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1,0) + circle[radius=0.02]; + \end{scope} +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-1.5cm] + \draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={below:$\mathbb{R}$}]; + \begin{scope} + \clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1); + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0); + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (-1,0) circle[radius=0.02]; + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (1,0) circle[radius=0.02]; + \end{scope} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=1.5cm] + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$\mathbb{R}$}]; + \begin{scope} + \clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1); + \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98); + \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02]; + \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02]; + \end{scope} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=-1.5cm] + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={left:$\mathbb{R}$}]; + \begin{scope} + \clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1); + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98); + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02]; + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02]; + \end{scope} +\end{scope} + +\node[color=red] at (23:1) [right] {$U_{x>0}$}; +\node[color=red] at (1.25,0) [right] {$\varphi_1$}; + +\node[color=blue] at (157:1) [left] {$U_{x<0}$}; +\node[color=blue] at (-1.25,0) [left] {$\varphi_2$}; + +\node[color=darkgreen] at (115:1) [below right] {$U_{y>0}$}; +\node[color=darkgreen] at (0,1.25) [above] {$\varphi_3$}; + +\node[color=orange] at (-115:1) [above right] {$U_{y<0}$}; +\node[color=orange] at (0,-1.25) [below] {$\varphi_4$}; + +\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$y$}]; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex index 2305b26..2bccc27 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex @@ -1,93 +1,93 @@ -%
-% phasenraum.tex --
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\def\m{1}
-\def\K{0.444}
-
-\pgfmathparse{sqrt(\K/\m)}
-\xdef\o{\pgfmathresult}
-
-\def\punkt#1#2{ ({#2*cos(#1)},{\o*#2*sin(#1)}) }
-
-\foreach \r in {0.5,1,...,6}{
- \draw plot[domain=0:359,samples=360]
- ({\r*cos(\x)},{\o*\r*sin(\x)}) -- cycle;
-}
-
-\def\tangente#1#2{
- \pgfmathparse{#2/\m}
- \xdef\u{\pgfmathresult}
-
- \pgfmathparse{-#1*\K}
- \xdef\v{\pgfmathresult}
-
- \pgfmathparse{sqrt(\u*\u+\v*\v)}
- \xdef\l{\pgfmathresult}
-
- \fill[color=blue] (#1,#2) circle[radius=0.03];
- \draw[color=blue,line width=0.5pt]
- ({#1-0.2*\u/\l},{#2-0.2*\v/\l})
- --
- ({#1+0.2*\u/\l},{#2+0.2*\v/\l});
-}
-
-\foreach \x in {-6.25,-5.75,...,6.3}{
- \foreach \y in {-4.25,-3.75,...,4.3}{
- \tangente{\x}{\y}
- }
-}
-
-%\foreach \x in {0.5,1,...,5.5,6}{
-% \tangente{\x}{0}
-% \tangente{-\x}{0}
-% \foreach \y in {0.5,1,...,4}{
-% \tangente{\x}{\y}
-% \tangente{-\x}{\y}
-% \tangente{\x}{-\y}
-% \tangente{-\x}{-\y}
-% }
-%}
-%\foreach \y in {0.5,1,...,4}{
-% \tangente{0}{\y}
-% \tangente{0}{-\y}
-%}
-
-\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{60}{4} rectangle \punkt{59}{5.8};
-\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{0}{4} rectangle \punkt{18}{4.9};
-
-\draw[->,color=red,line width=1.4pt]
- plot[domain=0:60,samples=360]
- ({4*cos(\x)},{\o*4*sin(\x)});
-
-\draw[->] (-6.5,0) -- (6.7,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.7) coordinate[label={right:$p$}];
-
-\fill[color=red] \punkt{60}{4} circle[radius=0.08];
-\node[color=red] at \punkt{60}{4} [above right]
- {$\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}$};
-
-\fill[color=red] \punkt{0}{4} circle[radius=0.08];
-\node[color=red] at \punkt{0}{4} [above right]
- {$\begin{pmatrix}x_0\\0\end{pmatrix}$};
-
-\fill[color=white] (4,0) circle[radius=0.05];
-\node at (3.9,0) [below right] {$x_0$};
-\fill (0,{\o*4}) circle[radius=0.05];
-\node at (0.1,{\o*4+0.05}) [below left] {$\omega x_0$};
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+% +% phasenraum.tex -- +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\m{1} +\def\K{0.444} + +\pgfmathparse{sqrt(\K/\m)} +\xdef\o{\pgfmathresult} + +\def\punkt#1#2{ ({#2*cos(#1)},{\o*#2*sin(#1)}) } + +\foreach \r in {0.5,1,...,6}{ + \draw plot[domain=0:359,samples=360] + ({\r*cos(\x)},{\o*\r*sin(\x)}) -- cycle; +} + +\def\tangente#1#2{ + \pgfmathparse{#2/\m} + \xdef\u{\pgfmathresult} + + \pgfmathparse{-#1*\K} + \xdef\v{\pgfmathresult} + + \pgfmathparse{sqrt(\u*\u+\v*\v)} + \xdef\l{\pgfmathresult} + + \fill[color=blue] (#1,#2) circle[radius=0.03]; + \draw[color=blue,line width=0.5pt] + ({#1-0.2*\u/\l},{#2-0.2*\v/\l}) + -- + ({#1+0.2*\u/\l},{#2+0.2*\v/\l}); +} + +\foreach \x in {-6.25,-5.75,...,6.3}{ + \foreach \y in {-4.25,-3.75,...,4.3}{ + \tangente{\x}{\y} + } +} + +%\foreach \x in {0.5,1,...,5.5,6}{ +% \tangente{\x}{0} +% \tangente{-\x}{0} +% \foreach \y in {0.5,1,...,4}{ +% \tangente{\x}{\y} +% \tangente{-\x}{\y} +% \tangente{\x}{-\y} +% \tangente{-\x}{-\y} +% } +%} +%\foreach \y in {0.5,1,...,4}{ +% \tangente{0}{\y} +% \tangente{0}{-\y} +%} + +\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{60}{4} rectangle \punkt{59}{5.8}; +\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{0}{4} rectangle \punkt{18}{4.9}; + +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] + plot[domain=0:60,samples=360] + ({4*cos(\x)},{\o*4*sin(\x)}); + +\draw[->] (-6.5,0) -- (6.7,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.7) coordinate[label={right:$p$}]; + +\fill[color=red] \punkt{60}{4} circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at \punkt{60}{4} [above right] + {$\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}$}; + +\fill[color=red] \punkt{0}{4} circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at \punkt{0}{4} [above right] + {$\begin{pmatrix}x_0\\0\end{pmatrix}$}; + +\fill[color=white] (4,0) circle[radius=0.05]; +\node at (3.9,0) [below right] {$x_0$}; +\fill (0,{\o*4}) circle[radius=0.05]; +\node at (0.1,{\o*4+0.05}) [below left] {$\omega x_0$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex index f6df172..893bd12 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex @@ -1,157 +1,157 @@ -%
-% scherungen.tex -- template for standalon tikz images
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-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{blau}{rgb}{0,0.8,1}
-\definecolor{blau}{rgb}{0,0.6,0}
-\def\s{1.1}
-
-\begin{scope}[xshift=-4.6cm]
-
- \fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
- \fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,\s) -- (2,{2+\s}) -- (0,2)
- -- cycle;
-
- \foreach \x in {-1,...,3}{
- \draw[color=blau] (\x,-1) -- (\x,3);
- \draw[color=blau] (-1,\x) -- (3,\x);
- }
-
- \begin{scope}
- \clip (-1,-1) rectangle (3,3);
- \foreach \x in {-1,...,3}{
- \draw[color=orange] (\x,-1) -- (\x,3);
- \draw[color=orange] (-1,{\x-0.5*\s}) -- (3,{\x+1.5*\s});
- }
- \end{scope}
-
- \draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];
- \draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
-
- \node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
- \node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
- \draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
- \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
-
- \draw[->,color=red] (0,0) -- (2,\s);
- \draw[->,color=red] (0,0) -- (0,2);
-
- \node[color=red] at (2,\s) [below right] {$(1,t)$};
-
- \node at (0,0) [below right] {$O$};
- \node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle
- \begin{aligned}
- M &= \begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix}
- \\
- e^{Mt}
- &=
- \begin{pmatrix}1&0\\t&1 \end{pmatrix}
- \end{aligned}
- $};
-\end{scope}
-
-\begin{scope}
- \fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
- \fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,0) -- ({2+\s},2) -- (\s,2)
- -- cycle;
-
- \foreach \x in {-1,...,3}{
- \draw[color=blau] (\x,-1) -- (\x,3);
- \draw[color=blau] (-1,\x) -- (3,\x);
- }
-
- \begin{scope}
- \clip (-1,-1) rectangle (3,3);
- \foreach \x in {-1,...,3}{
- \draw[color=orange] (-1,\x) -- (3,\x);
- \draw[color=orange] ({\x-0.5*\s},-1) -- ({\x+1.5*\s},3);
- }
- \end{scope}
-
- \draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];
- \draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
-
- \node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
- \node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
- \draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
- \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
-
- \draw[->,color=red] (0,0) -- (2,0);
- \draw[->,color=red] (0,0) -- (\s,2);
-
- \node[color=red] at (\s,2) [above left] {$(t,1)$};
-
- \node at (0,0) [below right] {$O$};
-
- \node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle
- \begin{aligned} N &= \begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}
- \\
- e^{Nt}
- &=
- \begin{pmatrix}1&t\\0&1 \end{pmatrix}
- \end{aligned}
- $};
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=3.6cm,yshift=0cm]
- \def\punkt#1#2{({1.6005*(#1)+0.4114*(#2)},{-0.2057*(#1)+0.5719*(#2)})}
- \fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
- \fill[color=red!40,opacity=0.5]
- (0,0) -- \punkt{2}{0} -- \punkt{2}{2} -- \punkt{0}{2} -- cycle;
-
- \foreach \x in {0,...,4}{
- \draw[color=blau] (\x,-1) -- (\x,3);
- }
- \foreach \y in {-1,...,3}{
- \draw[color=blau] (0,\y) -- (4,\y);
- }
-
- \begin{scope}
- \clip (-0,-1) rectangle (4,3);
- \foreach \x in {-1,...,6}{
- \draw[color=orange] \punkt{\x}{-3} -- \punkt{\x}{6};
- \draw[color=orange] \punkt{-3}{\x} -- \punkt{6}{\x};
- }
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-
- \draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
- \draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
-
- \node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
- \node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
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-
- \draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{2}{0};
- \draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{0}{2};
-
- \node at (0,0) [below right] {$O$};
-
- \node at (2,-1.1) [below] {$\displaystyle
- \begin{aligned} D &= \begin{pmatrix}0.5&0.4\\-0.2&-0.5 \end{pmatrix}
- \\
- e^{D\cdot 1}
- &=
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- 1.6005 & 0.4114\\
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- \end{pmatrix}
- \end{aligned}
- $};
-\end{scope}
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+% +% scherungen.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{blau}{rgb}{0,0.8,1} +\definecolor{blau}{rgb}{0,0.6,0} +\def\s{1.1} + +\begin{scope}[xshift=-4.6cm] + + \fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2); + \fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,\s) -- (2,{2+\s}) -- (0,2) + -- cycle; + + \foreach \x in {-1,...,3}{ + \draw[color=blau] (\x,-1) -- (\x,3); + \draw[color=blau] (-1,\x) -- (3,\x); + } + + \begin{scope} + \clip (-1,-1) rectangle (3,3); + \foreach \x in {-1,...,3}{ + \draw[color=orange] (\x,-1) -- (\x,3); + \draw[color=orange] (-1,{\x-0.5*\s}) -- (3,{\x+1.5*\s}); + } + \end{scope} + + \draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}]; + + \node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$}; + \node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$}; + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- (2,\s); + \draw[->,color=red] (0,0) -- (0,2); + + \node[color=red] at (2,\s) [below right] {$(1,t)$}; + + \node at (0,0) [below right] {$O$}; + \node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle + \begin{aligned} + M &= \begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix} + \\ + e^{Mt} + &= + \begin{pmatrix}1&0\\t&1 \end{pmatrix} + \end{aligned} + $}; +\end{scope} + +\begin{scope} + \fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2); + \fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,0) -- ({2+\s},2) -- (\s,2) + -- cycle; + + \foreach \x in {-1,...,3}{ + \draw[color=blau] (\x,-1) -- (\x,3); + \draw[color=blau] (-1,\x) -- (3,\x); + } + + \begin{scope} + \clip (-1,-1) rectangle (3,3); + \foreach \x in {-1,...,3}{ + \draw[color=orange] (-1,\x) -- (3,\x); + \draw[color=orange] ({\x-0.5*\s},-1) -- ({\x+1.5*\s},3); + } + \end{scope} + + \draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}]; + + \node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$}; + \node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$}; + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- (2,0); + \draw[->,color=red] (0,0) -- (\s,2); + + \node[color=red] at (\s,2) [above left] {$(t,1)$}; + + \node at (0,0) [below right] {$O$}; + + \node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle + \begin{aligned} N &= \begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix} + \\ + e^{Nt} + &= + \begin{pmatrix}1&t\\0&1 \end{pmatrix} + \end{aligned} + $}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3.6cm,yshift=0cm] + \def\punkt#1#2{({1.6005*(#1)+0.4114*(#2)},{-0.2057*(#1)+0.5719*(#2)})} + \fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2); + \fill[color=red!40,opacity=0.5] + (0,0) -- \punkt{2}{0} -- \punkt{2}{2} -- \punkt{0}{2} -- cycle; + + \foreach \x in {0,...,4}{ + \draw[color=blau] (\x,-1) -- (\x,3); + } + \foreach \y in {-1,...,3}{ + \draw[color=blau] (0,\y) -- (4,\y); + } + + \begin{scope} + \clip (-0,-1) rectangle (4,3); + \foreach \x in {-1,...,6}{ + \draw[color=orange] \punkt{\x}{-3} -- \punkt{\x}{6}; + \draw[color=orange] \punkt{-3}{\x} -- \punkt{6}{\x}; + } + \end{scope} + + \draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}]; + + \node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$}; + \node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$}; + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{2}{0}; + \draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{0}{2}; + + \node at (0,0) [below right] {$O$}; + + \node at (2,-1.1) [below] {$\displaystyle + \begin{aligned} D &= \begin{pmatrix}0.5&0.4\\-0.2&-0.5 \end{pmatrix} + \\ + e^{D\cdot 1} + &= + \begin{pmatrix} + 1.6005 & 0.4114\\ + -0.2057 & 0.5719 + \end{pmatrix} + \end{aligned} + $}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex index c41308c..0e44aa9 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex @@ -1,146 +1,146 @@ -%
-% sl2.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
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-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
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-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
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-\begin{scope}[xshift=-4.5cm]
- \fill[color=blue!20]
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- \begin{scope}
- \clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.3,2.3);
- \draw[color=darkgreen]
- plot[domain=-1:1,samples=100]
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- \draw[color=darkgreen]
- plot[domain=-1:1,samples=100]
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- \draw[color=darkgreen]
- plot[domain=-1:1,samples=100]
- ({-(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
- \draw[color=darkgreen]
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- \node at (0,-3.2)
- {$\displaystyle
- \begin{aligned}
- A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
- \\
- e^{At}
- &=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}
- \end{aligned}
- $};
-
-\end{scope}
-
-
-\begin{scope}
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-
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- \draw[->,color=red] (0,0) -- (123:1.4);
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- \node at (0,-3.2)
- {$\displaystyle
- \begin{aligned}
- B
- &=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}
- \\
- e^{Bt}
- &=
- \begin{pmatrix}
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- \sin t& \cos t
- \end{pmatrix}
- \end{aligned}$};
-\end{scope}
-
-
-\begin{scope}[xshift=4.5cm]
- \fill[color=blue!20]
- (0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;
- \def\x{0.5}
- \fill[color=red!40,opacity=0.5]
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- ({1.4*sinh(\x},{1.4*cosh(\x)})
- --
- ({-1.4*cosh(\x)},{-1.4*sinh(\x})
- --
- ({-1.4*sinh(\x},{-1.4*cosh(\x)})
- -- cycle;
-
- \begin{scope}
- \clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.2,2.2);
- \draw[color=darkgreen]
- plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
- \draw[color=darkgreen]
- plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
- \draw[color=darkgreen]
- plot[domain=-1:1,samples=100] ({-1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
- \draw[color=darkgreen]
- plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{-1.4*cosh(\x)});
- \end{scope}
-
- \draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
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- \draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
-
- \node at (0,-3.2) {$\displaystyle
- \begin{aligned}
- C&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
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- &=
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- \end{pmatrix}
- \end{aligned}
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-\end{scope}
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+% +% sl2.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\begin{scope}[xshift=-4.5cm] + \fill[color=blue!20] + (1.4,0) -- (0,1.4) -- (-1.4,0) -- (0,-1.4) -- cycle; + \fill[color=red!40,opacity=0.5] + (1.96,0) -- (0,1) -- (-1.96,0) -- (0,-1) -- cycle; + + \begin{scope} + \clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.3,2.3); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] + ({(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] + ({(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] + ({-(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] + ({-(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)}); + \end{scope} + + \draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}]; + + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- (1.96,0); + \draw[->,color=red] (0,0) -- (0,1); + \node at (0,-3.2) + {$\displaystyle + \begin{aligned} + A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} + \\ + e^{At} + &=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix} + \end{aligned} + $}; + +\end{scope} + + +\begin{scope} + \fill[color=blue!20] + (0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle; + \fill[color=red!40,opacity=0.5] + (33:1.4) -- (123:1.4) -- (213:1.4) -- (303:1.4) -- cycle; + + \draw[color=darkgreen] (0,0) circle[radius=1.4]; + + \draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}]; + + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- (33:1.4); + \draw[->,color=red] (0,0) -- (123:1.4); + + \node at (0,-3.2) + {$\displaystyle + \begin{aligned} + B + &=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix} + \\ + e^{Bt} + &= + \begin{pmatrix} + \cos t&-\sin t\\ + \sin t& \cos t + \end{pmatrix} + \end{aligned}$}; +\end{scope} + + +\begin{scope}[xshift=4.5cm] + \fill[color=blue!20] + (0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle; + \def\x{0.5} + \fill[color=red!40,opacity=0.5] + ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x}) + -- + ({1.4*sinh(\x},{1.4*cosh(\x)}) + -- + ({-1.4*cosh(\x)},{-1.4*sinh(\x}) + -- + ({-1.4*sinh(\x},{-1.4*cosh(\x)}) + -- cycle; + + \begin{scope} + \clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.2,2.2); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] ({-1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{-1.4*cosh(\x)}); + \end{scope} + + \draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}]; + + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)}); + \draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)}); + + \node at (0,-3.2) {$\displaystyle + \begin{aligned} + C&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} + \\ + e^{Ct} + &= + \begin{pmatrix} + \cosh t&\sinh t\\ + \sinh t&\cosh t + \end{pmatrix} + \end{aligned} + $}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov index ee09c36..3a8e327 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov @@ -1,189 +1,189 @@ -//
-// diffusion.pov
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-// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostscheizer Fachhochschule
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-#version 3.7;
-#include "colors.inc"
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- adaptive 1
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- pigment {
- color rgb<1,1,1>
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-#end
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-#macro punkt(phi,theta)
- rotiere(phi, < R + r * cos(theta), r * sin(theta), 0 >)
-#end
-
-mesh {
- #declare phistep = 2 * pi / N;
- #declare thetastep = 2 * 2 * pi / N;
- #declare phi = 0;
- #while (phi < 2 * pi - phistep/2)
- #declare theta = 0;
- #while (theta < 2 * pi - thetastep/2)
- triangle {
- punkt(phi , theta ),
- punkt(phi + phistep, theta ),
- punkt(phi + phistep, theta + thetastep)
- }
- triangle {
- punkt(phi , theta ),
- punkt(phi + phistep, theta + thetastep),
- punkt(phi , theta + thetastep)
- }
- #declare theta = theta + thetastep;
- #end
- #declare phi = phi + phistep;
- #end
- pigment {
- color Gray
- }
- finish {
- specular 0.9
- metallic
- }
-}
-
-#declare thetastart = -0.2;
-#declare thetaend = 1.2;
-#declare phistart = 5;
-#declare phiend = 6;
-
-union {
- #declare thetastep = 0.2;
- #declare theta = thetastart;
- #while (theta < thetaend + thetastep/2)
- #declare phistep = (phiend-phistart)/N;
- #declare phi = phistart;
- #while (phi < phiend - phistep/2)
- sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
- cylinder {
- punkt(phi,theta),
- punkt(phi+phistep,theta),
- 0.01
- }
- #declare phi = phi + phistep;
- #end
- sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
- #declare theta = theta + thetastep;
- #end
-
- pigment {
- color Red
- }
- finish {
- specular 0.9
- metallic
- }
-}
-
-union {
- #declare phistep = 0.2;
- #declare phi = phistart;
- #while (phi < phiend + phistep/2)
- #declare thetastep = (thetaend-thetastart)/N;
- #declare theta = thetastart;
- #while (theta < thetaend - thetastep/2)
- sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
- cylinder {
- punkt(phi,theta),
- punkt(phi,theta+thetastep),
- 0.01
- }
- #declare theta = theta + thetastep;
- #end
- sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
- #declare phi = phi + phistep;
- #end
- pigment {
- color Blue
- }
- finish {
- specular 0.9
- metallic
- }
-}
-
-#macro punkt2(a,b)
- punkt(5.6+a*sqrt(3)/2-b/2,0.2+a/2 + b*sqrt(3)/2)
-#end
-
-#declare darkgreen = rgb<0,0.6,0>;
-
-#declare astart = 0;
-#declare aend = 1;
-#declare bstart = -0.2;
-#declare bend = 1.2;
-union {
- #declare a = astart;
- #declare astep = 0.2;
- #while (a < aend + astep/2)
- #declare b = bstart;
- #declare bstep = (bend - bstart)/N;
- #while (b < bend - bstep/2)
- sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
- cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a,b+bstep), 0.01 }
- #declare b = b + bstep;
- #end
- sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
- #declare a = a + astep;
- #end
- pigment {
- color darkgreen
- }
- finish {
- specular 0.9
- metallic
- }
-}
-union {
- #declare b = bstart;
- #declare bstep = 0.2;
- #while (b < bend + bstep/2)
- #declare a = astart;
- #declare astep = (aend - astart)/N;
- #while (a < aend - astep/2)
- sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
- cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a+astep,b), 0.01 }
- #declare a = a + astep;
- #end
- sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
- #declare b = b + bstep;
- #end
- pigment {
- color Orange
- }
- finish {
- specular 0.9
- metallic
- }
-}
+// +// diffusion.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostscheizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.034; +#declare N = 100; +#declare r = 0.43; +#declare R = 1; + +camera { + location <43, 25, -20> + look_at <0, -0.01, 0> + right 16/9 * x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <10, 20, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +#macro rotiere(phi, vv) + < cos(phi) * vv.x - sin(phi) * vv.z, vv.y, sin(phi) * vv.x + cos(phi) * vv.z > +#end + +#macro punkt(phi,theta) + rotiere(phi, < R + r * cos(theta), r * sin(theta), 0 >) +#end + +mesh { + #declare phistep = 2 * pi / N; + #declare thetastep = 2 * 2 * pi / N; + #declare phi = 0; + #while (phi < 2 * pi - phistep/2) + #declare theta = 0; + #while (theta < 2 * pi - thetastep/2) + triangle { + punkt(phi , theta ), + punkt(phi + phistep, theta ), + punkt(phi + phistep, theta + thetastep) + } + triangle { + punkt(phi , theta ), + punkt(phi + phistep, theta + thetastep), + punkt(phi , theta + thetastep) + } + #declare theta = theta + thetastep; + #end + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color Gray + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} + +#declare thetastart = -0.2; +#declare thetaend = 1.2; +#declare phistart = 5; +#declare phiend = 6; + +union { + #declare thetastep = 0.2; + #declare theta = thetastart; + #while (theta < thetaend + thetastep/2) + #declare phistep = (phiend-phistart)/N; + #declare phi = phistart; + #while (phi < phiend - phistep/2) + sphere { punkt(phi,theta), 0.01 } + cylinder { + punkt(phi,theta), + punkt(phi+phistep,theta), + 0.01 + } + #declare phi = phi + phistep; + #end + sphere { punkt(phi,theta), 0.01 } + #declare theta = theta + thetastep; + #end + + pigment { + color Red + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} + +union { + #declare phistep = 0.2; + #declare phi = phistart; + #while (phi < phiend + phistep/2) + #declare thetastep = (thetaend-thetastart)/N; + #declare theta = thetastart; + #while (theta < thetaend - thetastep/2) + sphere { punkt(phi,theta), 0.01 } + cylinder { + punkt(phi,theta), + punkt(phi,theta+thetastep), + 0.01 + } + #declare theta = theta + thetastep; + #end + sphere { punkt(phi,theta), 0.01 } + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color Blue + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} + +#macro punkt2(a,b) + punkt(5.6+a*sqrt(3)/2-b/2,0.2+a/2 + b*sqrt(3)/2) +#end + +#declare darkgreen = rgb<0,0.6,0>; + +#declare astart = 0; +#declare aend = 1; +#declare bstart = -0.2; +#declare bend = 1.2; +union { + #declare a = astart; + #declare astep = 0.2; + #while (a < aend + astep/2) + #declare b = bstart; + #declare bstep = (bend - bstart)/N; + #while (b < bend - bstep/2) + sphere { punkt2(a,b), 0.01 } + cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a,b+bstep), 0.01 } + #declare b = b + bstep; + #end + sphere { punkt2(a,b), 0.01 } + #declare a = a + astep; + #end + pigment { + color darkgreen + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +union { + #declare b = bstart; + #declare bstep = 0.2; + #while (b < bend + bstep/2) + #declare a = astart; + #declare astep = (aend - astart)/N; + #while (a < aend - astep/2) + sphere { punkt2(a,b), 0.01 } + cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a+astep,b), 0.01 } + #declare a = a + astep; + #end + sphere { punkt2(a,b), 0.01 } + #declare b = b + bstep; + #end + pigment { + color Orange + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index 482ba6f..cee8510 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -1,647 +1,647 @@ -%
-% lie-algebren.tex -- Lie-Algebren
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Lie-Algebren
-\label{buch:section:lie-algebren}}
-\rhead{Lie-Algebren}
-Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
-Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
-Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.
-Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer
-Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer
-Mannigfaltigkeit.
-Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen.
-
-Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven
-innerhalb der Gruppe angesehen werden.
-In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen
-Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass
-der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann.
-Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren
-erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren,
-die sogenannte Lie-Algebra.
-Sie ist charakteristisch für die Gruppe.
-Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$
-und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die
-Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
-übereinstimmt.
-
-%
-% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
-%
-\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe
-\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}}
-Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es
-eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion
-$e^{At}$ konstruiert werden kann.
-Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein
-Tangentialvektor ist.
-Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren,
-dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen
-$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert.
-
-\subsubsection{Lie-Klammer}
-Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und
-$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen
-$e^{At}$ und $e^{Bt}$.
-Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen
-$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen
-$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein.
-Die zugehörigen Potenzreihen sind:
-\begin{align*}
-e^{At}
-&=
-I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots
-\\
-e^{Bt}
-&=
-I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots
-\\
-e^{At}e^{Bt}
-&=
-\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\\
-&=
-I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
-\\
-e^{Bt}e^{At}
-&=
-\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\\
-&=
-I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
-\intertext{%
-Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen
-Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden
-sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der
-Einparameteruntergruppe von $A+B$}
-e^{(A+B)t}
-&=
-I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots
-\intertext{Für die Unterschiede finden wir}
-e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}
-&=
-\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
-+\ldots
-=
-(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots
-=
-[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots
-\\
-e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t}
-&=
-\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
-+\ldots
-=
-(BA-AB)
-\frac{t^2}{2}
-+\ldots
-=
--[A,B]\frac{t^2}{2}
-\\
-e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}
-&=
-(AB-BA)t^2+\ldots
-=
-\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots
-\end{align*}
-wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:gruppen:def:kommutator}
-Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
-$[A,B]=AB-BA$.
-\end{definition}
-
-Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da
-\begin{align*}
-[\lambda A+\mu B,C]
-&=
-\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB
-=
-\lambda[A,C]+\mu[B,C]
-\\
-[A,\lambda B+\mu C]
-&=
-\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA
-=
-\lambda[A,B]+\mu[A,C]
-\\
-[A,B]
-&=
-AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A].
-\end{align*}
-Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$
-
-Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied
-zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$.
-Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die
-Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab.
-
-
-\subsubsection{Die Jacobi-Identität}
-Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft:
-\begin{align*}
-[A,[B,C]]
-+
-[B,[C,A]]
-+
-[C,[A,B]]
-&=
-[A,BC-CB]
-+
-[B,CA-AC]
-+
-[C,AB-BA]
-\\
-&=\phantom{+}
-ABC-ACB-BCA+CBA
-\\
-&\phantom{=}+
-BCA-BAC-CAB+ACB
-\\
-&\phantom{=}+
-CAB-CBA-ABC+BAC
-\\
-&=0.
-\end{align*}
-Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel
-bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen
-betrachten kann.
-Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder
-$X$ und $Y$ definieren.
-Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche
-Identität.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:gruppen:def:jacobi}
-Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum
-erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn
-\[
-[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0
-\]
-ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$.
-\end{definition}
-
-\subsubsection{Lie-Algebra}
-Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator
-eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.
-
-\begin{definition}
-Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
-\[
-[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
-\]
-welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
-erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
-\end{definition}
-
-Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet.
-$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$.
-Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
-ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$.
-Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine
-Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden.
-
-Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden
-sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der
-Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist.
-Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also
-$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$,
-die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist
-$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$.
-
-
-%
-% Die Lie-Algebra von SO(3)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$
-\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}}
-Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra
-$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen.
-Solche Matrizen haben die Form
-\[
-\Omega
-=
-\begin{pmatrix}
- 0 & \omega_3&-\omega_2\\
--\omega_3& 0 & \omega_1\\
- \omega_2&-\omega_1& 0
-\end{pmatrix}
-\]
-Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.
-
-Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist
-\[
-(I+t\Omega)
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
- 1 & t\omega_3&-t\omega_2\\
--t\omega_3& 1 & t\omega_1\\
- t\omega_2&-t\omega_1& 1
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
-x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
-x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
-\end{pmatrix}
-=
-x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
-=
-x+ tx\times \omega.
-\]
-Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung
-um die Achse $\omega$.
-
-Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und
-Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor
-in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$
-mit Hilfe der Abbildung
-\[
-\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3)
-:
-\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}
- 0 & v_3&-v_1\\
--v_3& 0 & v_2\\
- v_1&-v_2& 0
-\end{pmatrix}.
-\]
-Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$
-konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist:
-\begin{align*}
-[U,V]
-&=
-UV-VU
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
- 0 & u_3&-u_1\\
--u_3& 0 & u_2\\
- u_1&-u_2& 0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
- 0 & v_3&-v_1\\
--v_3& 0 & v_2\\
- v_1&-v_2& 0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
- 0 & v_3&-v_1\\
--v_3& 0 & v_2\\
- v_1&-v_2& 0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
- 0 & u_3&-u_1\\
--u_3& 0 & u_2\\
- u_1&-u_2& 0
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1
- & u_1v_2 - u_2v_1
- & u_3v_2 - u_2v_3
-\\
-u_2v_1 - u_1v_2
- & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2
- & u_3v_1 - u_1v_3
-\\
-u_2v_3 - u_3v_2
- & u_1v_3 - u_3v_1
- &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-0
- & u_1v_2 - u_2v_1
- &-(u_2v_3-u_3v_2)
-\\
--( u_1v_2 - u_2v_1)
- & 0
- & u_3v_1 - u_1v_3
-\\
-u_2v_3 - u_3v_2
- &-( u_3v_1 - u_1v_3)
- & 0
-\end{pmatrix}
-\end{align*}
-Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$.
-Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
-\[
-\vec u\times(\vec v\times w)
-+
-\vec v\times(\vec w\times u)
-+
-\vec w\times(\vec u\times v)
-=0
-\]
-für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist.
-Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$
-mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird.
-In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation
-$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der
-Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel
-das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
-von Landau und Lifschitz.
-
-Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt
-keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren.
-Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell:
-es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur
-möglich ist.
-
-Die antisymmetrischen Matrizen
-\[
-\omega_{23}
-=
-\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{31}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{12}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}
-\]
-haben die Kommutatoren
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-[\omega_{23},\omega_{31}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&-1&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{12}
-\\
-[\omega_{31},\omega_{12}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&1&0\\
--1&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{23}
-\\
-[\omega_{12},\omega_{23}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&-1\\
-0&0&0\\
-1&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{31}
-\end{aligned}
-\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
-\end{equation}
-
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$}
-Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den
-spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$.
-Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt
-\[
-\operatorname{Spur}([A,B])
-=
-\operatorname{Spur}(AB-BA)
-=
-\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA)
-=
-0,
-\]
-somit ist
-\[
-\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0
-\}
-\]
-mit dem Kommutator eine Lie-Algebra.
-
-%
-% Die Lie-Algebra von U(n)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$}
-Die Lie-Gruppe
-\[
-U(n)
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{C}
-\;|\;
-AA^*=I
-\}
-\]
-heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die
-das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen
-Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.
-Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
-derart, dass $\gamma(0)=I$.
-Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf
-\begin{align*}
-0
-=
-\frac{d}{dt}
-\gamma(t)\gamma(t)^*
-\bigg|_{t=0}
-=
-\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^*
-+
-\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^*
-=
-\dot{\gamma}(0)
-+
-\dot{\gamma}(0)^*
-\quad\Rightarrow\quad
-\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*.
-A&=-A^*
-\end{align*}
-Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen
-Matrizen.
-
-Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen
-Matrizen wieder anithermitesch ist:
-\begin{align*}
-[A,B]^*
-&=
-(AB-BA)^*
-=
-B^*A^*-A^*B^*
-=
-BA - AB
-=
--[B,A].
-\end{align*}
-
-Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$,
-für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$
-oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$.
-Der Realteil von $a_{ii}$ ist
-\[
-\Re a_{ii}
-=
-\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2
-=
-0,
-\]
-die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein
-imaginär.
-
-
-%
-% Die Lie-Algebra SU(2)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
-Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den
-spurlosen antihermiteschen Matrizen.
-Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:
-\[
-A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\qquad
-\text{mit}
-\qquad
-\left\{
-\begin{aligned}
-a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d
-\\
-b^*&=-c
-\end{aligned}
-\right.
-\]
-Damit hat $A$ die Form
-\begin{align*}
-A=\begin{pmatrix}
-is&u+iv\\
--u+iv&-is
-\end{pmatrix}
-&=
-s
-\begin{pmatrix}
-i&0\\
-0&-i
-\end{pmatrix}
-+
-u
-\begin{pmatrix}
- 0&1\\
--1&0
-\end{pmatrix}
-+
-v
-\begin{pmatrix}
-0&i\\
-i&0
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1}
-+
-iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2}
-+
-is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3}
-\end{align*}
-Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren
-\begin{align*}
-[\sigma_1,\sigma_2]
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_3,
-\\
-[\sigma_2,\sigma_3]
-&=
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-=
-2
-\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_1.
-\\
-[\sigma_1,\sigma_3]
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2i
-\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_2,
-\end{align*}
-Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten
-der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$
-in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}.
-Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
-\begin{align*}
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_3
-\\
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_1
-\\
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_2
-\end{align*}
-Die lineare Abbildung, die
-\begin{align*}
-\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\
-\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
-\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
-\end{align*}
-abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
-auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.
-Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$
-haben also die gleiche Lie-Algebra.
-
-Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$
-als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der
-Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden.
-Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt.
-
-
-
-
-
+% +% lie-algebren.tex -- Lie-Algebren +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Lie-Algebren +\label{buch:section:lie-algebren}} +\rhead{Lie-Algebren} +Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen +Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen +Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können. +Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer +Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer +Mannigfaltigkeit. +Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen. + +Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven +innerhalb der Gruppe angesehen werden. +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen +Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass +der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann. +Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren +erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren, +die sogenannte Lie-Algebra. +Sie ist charakteristisch für die Gruppe. +Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ +und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die +Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$ +übereinstimmt. + +% +% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe +% +\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe +\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}} +Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es +eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion +$e^{At}$ konstruiert werden kann. +Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein +Tangentialvektor ist. +Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren, +dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen +$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert. + +\subsubsection{Lie-Klammer} +Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und +$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen +$e^{At}$ und $e^{Bt}$. +Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen +$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen +$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein. +Die zugehörigen Potenzreihen sind: +\begin{align*} +e^{At} +&= +I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots +\\ +e^{Bt} +&= +I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots +\\ +e^{At}e^{Bt} +&= +\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\\ +&= +I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots +\\ +e^{Bt}e^{At} +&= +\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\\ +&= +I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots +\intertext{% +Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen +Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden +sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der +Einparameteruntergruppe von $A+B$} +e^{(A+B)t} +&= +I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots +\intertext{Für die Unterschiede finden wir} +e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t} +&= +\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 ++\ldots += +(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots += +[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots +\\ +e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t} +&= +\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 ++\ldots += +(BA-AB) +\frac{t^2}{2} ++\ldots += +-[A,B]\frac{t^2}{2} +\\ +e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At} +&= +(AB-BA)t^2+\ldots += +\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots +\end{align*} +wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird. + +\begin{definition} +\label{buch:gruppen:def:kommutator} +Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix +$[A,B]=AB-BA$. +\end{definition} + +Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da +\begin{align*} +[\lambda A+\mu B,C] +&= +\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB += +\lambda[A,C]+\mu[B,C] +\\ +[A,\lambda B+\mu C] +&= +\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA += +\lambda[A,B]+\mu[A,C] +\\ +[A,B] +&= +AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A]. +\end{align*} +Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$ + +Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied +zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$. +Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die +Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab. + + +\subsubsection{Die Jacobi-Identität} +Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft: +\begin{align*} +[A,[B,C]] ++ +[B,[C,A]] ++ +[C,[A,B]] +&= +[A,BC-CB] ++ +[B,CA-AC] ++ +[C,AB-BA] +\\ +&=\phantom{+} +ABC-ACB-BCA+CBA +\\ +&\phantom{=}+ +BCA-BAC-CAB+ACB +\\ +&\phantom{=}+ +CAB-CBA-ABC+BAC +\\ +&=0. +\end{align*} +Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel +bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen +betrachten kann. +Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder +$X$ und $Y$ definieren. +Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche +Identität. + +\begin{definition} +\label{buch:gruppen:def:jacobi} +Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum +erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn +\[ +[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0 +\] +ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$. +\end{definition} + +\subsubsection{Lie-Algebra} +Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator +eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra. + +\begin{definition} +Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt +\[ +[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v], +\] +welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi} +erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}. +\end{definition} + +Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet. +$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$. +Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$ +ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$. +Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine +Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden. + +Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden +sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der +Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist. +Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also +$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$, +die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist +$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$. + + +% +% Die Lie-Algebra von SO(3) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ +\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}} +Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra +$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen. +Solche Matrizen haben die Form +\[ +\Omega += +\begin{pmatrix} + 0 & \omega_3&-\omega_2\\ +-\omega_3& 0 & \omega_1\\ + \omega_2&-\omega_1& 0 +\end{pmatrix} +\] +Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional. + +Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist +\[ +(I+t\Omega) +\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + 1 & t\omega_3&-t\omega_2\\ +-t\omega_3& 1 & t\omega_1\\ + t\omega_2&-t\omega_1& 1 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\ +x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\ +x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2) +\end{pmatrix} += +x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x += +x+ tx\times \omega. +\] +Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung +um die Achse $\omega$. + +Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und +Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor +in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$ +mit Hilfe der Abbildung +\[ +\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3) +: +\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} + 0 & v_3&-v_1\\ +-v_3& 0 & v_2\\ + v_1&-v_2& 0 +\end{pmatrix}. +\] +Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ +konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist: +\begin{align*} +[U,V] +&= +UV-VU +\\ +&= +\begin{pmatrix} + 0 & u_3&-u_1\\ +-u_3& 0 & u_2\\ + u_1&-u_2& 0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + 0 & v_3&-v_1\\ +-v_3& 0 & v_2\\ + v_1&-v_2& 0 +\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix} + 0 & v_3&-v_1\\ +-v_3& 0 & v_2\\ + v_1&-v_2& 0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + 0 & u_3&-u_1\\ +-u_3& 0 & u_2\\ + u_1&-u_2& 0 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1 + & u_1v_2 - u_2v_1 + & u_3v_2 - u_2v_3 +\\ +u_2v_1 - u_1v_2 + & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2 + & u_3v_1 - u_1v_3 +\\ +u_2v_3 - u_3v_2 + & u_1v_3 - u_3v_1 + &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +0 + & u_1v_2 - u_2v_1 + &-(u_2v_3-u_3v_2) +\\ +-( u_1v_2 - u_2v_1) + & 0 + & u_3v_1 - u_1v_3 +\\ +u_2v_3 - u_3v_2 + &-( u_3v_1 - u_1v_3) + & 0 +\end{pmatrix} +\end{align*} +Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$. +Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass +\[ +\vec u\times(\vec v\times w) ++ +\vec v\times(\vec w\times u) ++ +\vec w\times(\vec u\times v) +=0 +\] +für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist. +Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$ +mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird. +In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation +$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der +Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel +das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1} +von Landau und Lifschitz. + +Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt +keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren. +Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell: +es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur +möglich ist. + +Die antisymmetrischen Matrizen +\[ +\omega_{23} += +\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} +\quad +\omega_{31} += +\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix} +\quad +\omega_{12} += +\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix} +\] +haben die Kommutatoren +\begin{equation} +\begin{aligned} +[\omega_{23},\omega_{31}] +&= +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&1\\ +0&-1&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{12} +\\ +[\omega_{31},\omega_{12}] +&= +\begin{pmatrix} +0&1&0\\ +-1&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{23} +\\ +[\omega_{12},\omega_{23}] +&= +\begin{pmatrix} +0&0&-1\\ +0&0&0\\ +1&0&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{31} +\end{aligned} +\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren} +\end{equation} + +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$} +Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den +spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$. +Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt +\[ +\operatorname{Spur}([A,B]) += +\operatorname{Spur}(AB-BA) += +\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA) += +0, +\] +somit ist +\[ +\operatorname{sl}_n(\mathbb{R}) += +\{ +A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0 +\} +\] +mit dem Kommutator eine Lie-Algebra. + +% +% Die Lie-Algebra von U(n) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$} +Die Lie-Gruppe +\[ +U(n) += +\{ +A\in M_n(\mathbb{C} +\;|\; +AA^*=I +\} +\] +heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die +das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen +Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen. +Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$ +derart, dass $\gamma(0)=I$. +Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf +\begin{align*} +0 += +\frac{d}{dt} +\gamma(t)\gamma(t)^* +\bigg|_{t=0} += +\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^* ++ +\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^* += +\dot{\gamma}(0) ++ +\dot{\gamma}(0)^* +\quad\Rightarrow\quad +\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*. +A&=-A^* +\end{align*} +Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen +Matrizen. + +Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen +Matrizen wieder anithermitesch ist: +\begin{align*} +[A,B]^* +&= +(AB-BA)^* += +B^*A^*-A^*B^* += +BA - AB += +-[B,A]. +\end{align*} + +Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$, +für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$ +oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$. +Der Realteil von $a_{ii}$ ist +\[ +\Re a_{ii} += +\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2 += +0, +\] +die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein +imaginär. + + +% +% Die Lie-Algebra SU(2) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$} +Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den +spurlosen antihermiteschen Matrizen. +Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen: +\[ +A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +\qquad +\text{mit} +\qquad +\left\{ +\begin{aligned} +a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d +\\ +b^*&=-c +\end{aligned} +\right. +\] +Damit hat $A$ die Form +\begin{align*} +A=\begin{pmatrix} +is&u+iv\\ +-u+iv&-is +\end{pmatrix} +&= +s +\begin{pmatrix} +i&0\\ +0&-i +\end{pmatrix} ++ +u +\begin{pmatrix} + 0&1\\ +-1&0 +\end{pmatrix} ++ +v +\begin{pmatrix} +0&i\\ +i&0 +\end{pmatrix} +\\ +&= +iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1} ++ +iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2} ++ +is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3} +\end{align*} +Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren +\begin{align*} +[\sigma_1,\sigma_2] +&= +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} += +2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix} += +2i\sigma_3, +\\ +[\sigma_2,\sigma_3] +&= +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} += +2 +\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix} += +2i\sigma_1. +\\ +[\sigma_1,\sigma_3] +&= +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} += +2i +\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} += +2i\sigma_2, +\end{align*} +Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten +der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$ +in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}. +Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte +\begin{align*} +\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr] +&= +-{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2] += +-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3 += +-{\textstyle\frac12}i\sigma_3 +\\ +\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr] +&= +-{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3] += +-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1 += +-{\textstyle\frac12}i\sigma_1 +\\ +\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr] +&= +-{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1] += +-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2 += +-{\textstyle\frac12}i\sigma_2 +\end{align*} +Die lineare Abbildung, die +\begin{align*} +\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\ +\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\ +\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3 +\end{align*} +abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$ +auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$. +Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$ +haben also die gleiche Lie-Algebra. + +Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$ +als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der +Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden. +Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt. + + + + + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex index 2c88b76..e92c254 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex @@ -1,881 +1,881 @@ -%
-% lie-gruppen.tex -- Lie-Gruppebn
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Lie-Gruppen
-\label{buch:section:lie-gruppen}}
-\rhead{Lie-Gruppen}
-Die in bisherigen Beispielen untersuchten Matrizengruppen zeichnen sich
-durch zusätzliche Eigenschaften aus.
-Die Gruppe
-\[
-\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})
-=
-\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\}
-\]
-besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist.
-Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge
-in $M_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$,
-sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit.
-Dies gilt jedoch auch für alle anderen Matrizengruppen, die in diesem
-Abschnitt genauer untersucht werden sollen.
-
-\subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen
-\label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}}
-Eine Matrizengruppe wird automatsich zu einer Mannigfaltigkeit,
-wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements
-zu finden.
-Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes
-andere Gruppenelement eine Karte für eine Umgebung ableiten lässt.
-Sei also $\varphi_e\colon U_e\mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung
-$U_e\subset G$ von $e\in G$.
-Für $g\in G$ ist dann die Abbildung
-\[
-\varphi_g
-\colon
-U_g
-=
-gU_e
-\to
-\mathbb{R}
-:
-h\mapsto \varphi_e(g^{-1}h)
-\]
-eine Karte für die Umgebung $U_g$ des Gruppenelementes $g$.
-schreibt man $l_{g}$ für die Abbildung $h\mapsto gh$, dann
-kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$
-schreiben.
-
-\subsubsection{Kartenwechsel}
-Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$
-und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung
-\[
-\varphi_{g_1,g_2}
-=
-\varphi_{g_1}\circ \varphi_{g_2}^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ (\varphi_e\circ l_{g_2^{-1}})^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2^{-1}}^{-1} \varphi_e^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2}\varphi_e^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}g_2}\varphi_e^{-1}
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} D\varphi_e^{-1}
-=
-D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} (D\varphi_e)^{-1}.
-\]
-Die Abbildung $l_{g_1^{-1}g_2}$ ist aber nur die Multiplikation mit
-einer Matrix, also eine lineare Abbildung, so dass der Kartenwechsel
-nichts anderes ist als die Darstellung der Matrix der Linksmultiplikation
-$l_{g_1^{-1}g_2}$ im Koordinatensystem der Karte $U_e$ ist.
-Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt,
-die Matrizengruppen sind automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
-
-Die Konstruktion aller Karten aus einer einzigen Karte für eine
-Umgebung des neutralen Elements zeigt auch, dass es für die Matrizengruppen
-reicht, wenn man die Elemente in einer Umgebung des neutralen
-Elementes parametrisieren kann.
-Dies ist jedoch nicht nur für die Matrizengruppen möglich.
-Wenn eine Gruppe gleichzeitig eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
-ist, dann können Karten über die ganze Gruppe transportiert werden,
-wenn die Multiplikation mit Gruppenelementen eine differenzierbare
-Abbildung ist.
-Solche Gruppen heissen auch Lie-Gruppen gemäss der folgenden Definition.
-
-\begin{definition}
-\index{Lie-Gruppe}%
-Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
-Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen
-\begin{align*}
-G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2
-\\
-G\to G &: g \mapsto g^{-1}
-\end{align*}
-differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.
-\end{definition}
-
-Die Abstraktheit dieser Definition täuscht etwas über die
-Tatsache hinweg, dass sich mit Hilfe der Darstellungstheorie
-jede beliebige Lie-Gruppe als Untermannigfaltigkeit einer
-Matrizengruppe verstehen lässt.
-Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse
-Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen
-zu entwickeln.
-
-\subsubsection{Tangentialvektoren und die Exponentialabbildung}
-Die Matrizengruppen sind alle in der
-$n^2$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
-enthalten.
-Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
-haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in
-$M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.
-Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der
-Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch
-\[
-\frac{d}{dt}
-\gamma(t)
-=
-\begin{pmatrix}
-\dot{\gamma}_{11}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{1n}(t)\\
-\vdots &\ddots&\vdots \\
-\dot{\gamma}_{n1}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{nn}(t)
-\end{pmatrix}
-\]
-gegeben.
-
-Im Allgemeinen kann man Tangentialvektoren in verschiedenen Punkten
-einer Mannigfaltigkeit nicht miteinander vergleichen.
-Die Multiplikation $l_g$, die den Punkt $e$ in den Punkt $g$ verschiebt,
-transportiert auch die Tangentialvektoren im Punkt $e$ in
-Tangentialvektoren im Punkt $g$.
-
-\begin{aufgabe}
-Gibt es eine Kurve $\gamma(t)\in\mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ mit
-$\gamma(0)=e$ derart, dass der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$
-für $t>0$ derselbe ist wie der Tangentialvektor im Punkt $e$, transportiert
-durch Matrixmultiplikation mit $\gamma(t)$?
-\end{aufgabe}
-
-Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\frac{d}{dt}\gamma(t)
-=
-\gamma(t)\cdot A
-\label{buch:gruppen:eqn:expdgl}
-\end{equation}
-erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor
-in $e=I$ ist.
-
-Die Matrixexponentialfunktion
-\[
-e^{At}
-=
-1+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\dots
-\]
-liefert eine Einparametergruppe
-$\mathbb{R}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ mit der Ableitung
-\[
-\frac{d}{dt} e^{At}
-=
-\lim_{h\to 0} \frac{e^{A(t+h)}-e^{At}}{h}
-=
-\lim_{h\to 0} e^{At}\frac{e^{Ah}-I}{h}
-=
-e^{At} A.
-\]
-Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.
-
-\subsection{Drehungen in der Ebene
-\label{buch:gruppen:drehungen2d}}
-Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien
-des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
-als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.
-Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix
-beschrieben werden kann.
-
-\subsubsection{Die Untergruppe
-$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}
-Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch
-Matrizen der Form
-\[
-D_{\alpha}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix}
-\]
-dargestellt werden.
-Wir bezeichnen die Menge der Drehmatrizen in der Ebene mit
-$\operatorname{SO}(2)\subset\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
-Die Abbildung
-\[
-D_{\bullet}
-\colon
-\mathbb{R}\to \operatorname{SO}(2)
-:
-\alpha \mapsto D_{\alpha}
-\]
-hat die Eigenschaften
-\begin{align*}
-D_{\alpha+\beta}&= D_{\alpha}D_{\beta}
-\\
-D_0&=I
-\\
-D_{2k\pi}&=I\qquad \forall k\in\mathbb{Z}.
-\end{align*}
-Daraus folgt zum Beispiel, dass $D_{\bullet}$ eine $2\pi$-periodische
-Funktion ist.
-$D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf
-die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab.
-
-Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge
-$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar,
-die Umkehrung kann als Karte verwendet werden.
-Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und
-$\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$
-in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die
-$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt.
-Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$
-mit $k\in \mathbb{Z}$.
-In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein.
-Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen
-von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung.
-Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen.
-
-\subsubsection{Die Untergruppe $S^1\subset\mathbb{C}$}
-Ein alternatives Bild für die Drehungen der Ebene kann man in der komplexen
-Ebene $\mathbb{C}$ erhalten.
-Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $e^{i\alpha}$ beschreibt eine
-Drehung der komplexen Ebene um den Winkel $\alpha$.
-Die Zahlen der Form $e^{i\alpha}$ haben den Betrag $1$ und die Abbildung
-\[
-f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}:\alpha \mapsto e^{i\alpha}
-\]
-hat die Eigenschaften
-\begin{align*}
-f(\alpha+\beta) &= f(\alpha)f(\beta)
-\\
-f(0)&=1
-\\
-f(2\pi k)&=1\qquad\forall k\in\mathbb{Z},
-\end{align*}
-die zu den Eigenschaften der Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$
-analog sind.
-
-Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form
-$z=e^{i\alpha}$, die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des
-Einheitskreises in der Ebene.
-Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom
-Betrag $1$.
-$S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für jede Zahl
-$z,w\in S^1$ gilt
-$|z^{-1}|=1$ und $|zw|=1$ und damit $z^{-1}\in S^1$ und $zw\in S^1$.
-
-Zu einer komplexen Zahl $z\in S^1$ gibt es einen bis auf Vielfache
-von $2\pi$ eindeutigen Winkel $\alpha(z)$ derart, dass $e^{i\alpha(z)}=z$.
-Damit kann man jetzt die Abbildung
-\[
-\varphi
-\colon
-S^1\to \operatorname{SO}(2)
-:
-z\mapsto D_{\alpha(z)}
-\]
-konstruieren.
-Da $D_{\alpha}$ $2\pi$-periodisch ist, geben um Vielfache
-von $2\pi$ verschiedene Wahlen von $\alpha(z)$ die gleiche
-Matrix $D_{\alpha(z)}$, die Abbildung $\varphi$ ist daher
-wohldefiniert.
-$\varphi$ erfüllt ausserdem die Bedingungen
-\begin{align*}
-\varphi(z_1z_2)
-&=
-D_{\alpha(z_1z_2)}
-=
-D_{\alpha(z_1)+\alpha(z_2)}
-=
-D_{\alpha(z_1)}D_{\alpha(z_2)}
-=
-\varphi(z_1)\varphi(z_2)
-\\
-\varphi(1)
-&=
-D_{\alpha(1)}
-=
-D_0
-=
-I
-\end{align*}
-Die Abbildung $\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $S^1$
-in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$.
-Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis
-in der komplexen Ebene identifiziert werden.
-
-\subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$}
-Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe
-ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$
-mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden.
-Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist
-\begin{align*}
-\frac{d}{dt} \gamma(t)
-&=
-\frac{d}{d\alpha}
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
-\sin\alpha(t) & \cos\alpha(t)
-\end{pmatrix}
-\cdot
-\frac{d\alpha}{dt}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
--\sin\alpha(t)&-\cos\alpha(t)\\
- \cos\alpha(t)&-\sin\alpha(t)
-\end{pmatrix}
-\cdot
-\dot{\alpha}(t)
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
-\sin\alpha(t) & \cos\alpha(t)
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-0&-1\\
-1&0
-\end{pmatrix}
-\cdot
-\dot{\alpha}(t)
-=
-D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t).
-\end{align*}
-Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$
-entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung
-mit $\dot{\alpha}(t)$.
-
-%
-% Isometrien von R^n
-%
-\subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$
-\label{buch:gruppen:isometrien}}
-
-\subsubsection{Skalarprodukt}
-Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch
-$n\times n$-Matrizen beschrieben werden.
-Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten,
-bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.
-Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn
-für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt
-$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$.
-Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden:
-\[
-\langle Ax,Ay\rangle
-=
-(Ax)^tAy
-=
-x^tA^tAy
-=
-x^ty
-=
-\langle x,y\rangle
-\]
-für jedes Paar von Vektoren $x,y\in\mathbb{R}$.
-
-Mit dem Skalarprodukt kann man auch die Matrixelemente einer Matrix
-einer Abbildung $f$ in der Standardbasis bestimmen.
-Das Skalarprodukt $\langle e_i, v\rangle$ ist die Länge der Projektion
-des Vektors $v$ auf die Richtung $e_i$.
-Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$.
-Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente
-$a_{ij}=e_i^tAe_j$.
-
-\subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$}
-Die Matrixelemente von $A^tA$ sind
-$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$
-sind diejenigen der Einheitsmatrix,
-die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$.
-Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen.
-Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht
-daher aus den Matrizen
-\[
-\operatorname{O}(n)
-=
-\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}.
-\]
-Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen,
-die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen
-Menge $M_n(\mathbb{R})$ auszeichnen.
-Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der orthogonalen Matrizen hat daher
-die Dimension
-\[
-n^2 - \frac{n(n+1)}{2}
-=
-\frac{2n^2-n^2-n}{2}
-=
-\frac{n(n-1)}2.
-\]
-Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional.
-
-\subsubsection{Tangentialvektoren}
-Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
-von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$
-kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein.
-Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage
-kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$
-von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$.
-Orthogonal bedeutet
-\[
-\begin{aligned}
-&&
-0
-&=
-\frac{d}{dt}I
-=
-\frac{d}{dt}
-(\gamma(t)^t\gamma(t))
-=
-\dot{\gamma}(t)^t\gamma(t))
-+
-\gamma(t)^t\dot{\gamma}(t))
-\\
-&\Rightarrow&
-0
-&=
-\dot{\gamma}(0)^t \cdot I + I\cdot \dot{\gamma(0)}
-=
-\dot{\gamma}(0)^t + \dot{\gamma}(0)
-=
-A^t+A=0
-\\
-&\Rightarrow&
-A^t&=-A
-\end{aligned}
-\]
-Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau
-die antisymmetrischen Matrizen.
-
-Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix
-$J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d}
-gezeigt wurde.
-
-Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{ij}$ mit den Matrixelementen
-$(A_{ij})_{ij}=-1$ und $(A_{ij})_{ji}=1$
-antisymmetrisch.
-Für $n=2$ ist $A_{12}=J$.
-Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{ij}$ bilden eine Basis des
-$n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$.
-
-Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$
-haben die Form $gA$, wobei $A$ eine antisymmetrische Matrix ist.
-Diese Matrizen sind nur noch in speziellen Fällen antisymmetrisch,
-zum Beispiel im Punkt $-I\in\operatorname{O}(n)$.
-
-\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$}
-Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die
-die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen.
-Wegen $\det (AA^t)=\det A\det A^t = (\det A)^2=1$ kann die Determinante
-einer orthogonalen Matrix nur $\pm 1$ sein.
-Orientierungserhaltende Isometrien haben Determinante $1$.
-
-Die Gruppe
-\[
-\operatorname{SO}(n)
-=
-\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\}
-\]
-heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}.
-Die Dimension der Gruppe $\operatorname{O}(n)$ ist $n(n-1)/2$.
-
-\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$}
-Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehungen des dreidimensionalen
-Raumes hat die Dimension $3(3-1)/2=3$.
-Eine Drehung wird festgelegt durch die Richtung der Drehachse und den
-Drehwinkel.
-Die Richtung der Drehachse ist ein Einheitsvektor, also ein Punkt
-auf der zweidimensionalen Kugel.
-Der Drehwinkel ist der dritte Parameter.
-
-Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden
-aus den Matrizen
-\begin{align*}
-D_{x,\alpha}
-&=
-\begin{pmatrix}
-1&0&0\\
-0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-0&\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix},
-&
-D_{y,\beta}
-&=
-\begin{pmatrix}
- \cos\beta&0&\sin\beta\\
- 0 &1& 0 \\
--\sin\beta&0&\cos\beta
-\end{pmatrix},
-&
-D_{z,\gamma}
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\
-\sin\gamma& \cos\gamma&0\\
- 0 & 0 &1
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-e^{A_{23}t}
-&
-&=
-e^{-A_{13}t}
-&
-&=
-e^{A_{21}t}
-\end{align*}
-die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$
-beschreiben.
-Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die
-drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$
-angesehen werden.
-
-%
-% Spezielle lineare Gruppe
-%
-\subsection{Volumenerhaltende Abbildungen und
-die Gruppe $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
-\label{buch:gruppen:sl}}
-Die Elemente der Gruppe $SO(n)$ erhalten Längen, Winkel und die
-Orientierung, also auch das Volumen.
-Es gibt aber volumenerhaltende Abbildungen, die Längen oder Winkel
-nicht notwendigerweise erhalten.
-Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$, die das Volumen erhalten,
-haben die Determinante $\det A=1$.
-Wegen $\det(AB)=\det A\det B$ ist das Produkt zweier Matrizen mit
-Determinante $1$ wieder eine solche, sie bilden daher eine Gruppe.
-
-\begin{definition}
-Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe
-\[
-\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{R})
-\;|\;
-\det (A) = 1
-\}
-\]
-sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}.
-\end{definition}
-
-Wir wollen jetzt die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
-bestimmen.
-Dazu sei $A(t)$ eine Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
-mit $A(0)=I$.
-Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung
-\[
-\frac{d}{dt} \det A(t) = 0
-\quad\text{an der Stelle $t=0$.}
-\]
-Für $n=2$ ist
-\begin{align*}
-A(t)
-&=
-\begin{pmatrix}
-a(t)&b(t)\\
-c(t)&d(t)
-\end{pmatrix}
-\in
-\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{dt}
-\det A(t)\bigg|_{t=0}
-&=
-\dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0)
--
-\dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0)
-\\
-&&&&
-&=
-\dot{a}(0) + \dot{d}(0)
-\\
-&&&&
-&=
-\operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}.
-\end{align*}
-Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige
-$n\times n$-Matrizen.
-
-\begin{satz}
-Ist $A(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{B})$
-mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist
-\[
-\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
-\]
-Die Ableitung nach $t$ ist
-\[
-\frac{d}{dt} \det A(t)
-=
-\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \dot{a}_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
-+
-\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \frac{d}{dt}\det A_{i1}(t).
-\]
-An der Stelle $t=0$ enthält $\det A_{i1}(0)$ für $i\ne 1$
-eine Nullzeile, der einzige nichtverschwindende Term in der ersten
-Summe ist daher der erste.
-In der zweiten Summe ist das einzige nicht verschwindende $a_{i1}(0)$
-jenes für $i=1$, somit ist die Ableitung von $\det A(t)$
-\begin{equation}
-\frac{d}{dt} \det A(t)
-=
-\dot{a}_{11}(t) \det A_{11}(t).
-+
-\frac{d}{dt}\det A_{11}(t)
-=
-\dot{a}_{11}(0)
-+
-\frac{d}{dt}\det A_{11}(t).
-\label{buch:gruppen:eqn:detspur}
-\end{equation}
-Die Beziehung \eqref{buch:gruppen:eqn:detspur} kann für einen Beweis mit
-vollständiger Induktion verwendet werden.
-
-Die Induktionsverankerung für $n=1$ besagt, dass $\det A(t)=a_{11}(t)$
-genau dann konstant $=1$ ist, wenn $\dot{a}_{11}(0)=\operatorname{Spur}A(0)$
-ist.
-Unter der Induktionsannahme, dass für eine $(n-1)\times(n-1)$-Matrix
-$\tilde{A}(t)$ mit $\tilde{A}(0)=I$ die Ableitung der Determinante
-\[
-\frac{d}{dt}\tilde{A}(0)
-=
-\operatorname{Spur}\dot{\tilde{A}}(0)
-\]
-ist, folgt jetzt mit
-\eqref{buch:gruppen:eqn:detspur}, dass
-\[
-\frac{d}{dt}A(0)
-=
-\dot{a}_{11}(0)
-+
-\frac{d}{dt} \det A_{11}(t)\bigg|_{t=0}
-=
-\dot{a}_{11}(0)
-+
-\operatorname{Spur}\dot{A}_{11}(0)
-=
-\operatorname{Spur}\dot{A}(0).
-\]
-Damit folgt jetzt die Behauptung für alle $n$.
-\end{proof}
-
-\begin{beispiel}
-Die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ sind
-die spurlosen Matrizen
-\[
-A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{Spur}A=a+d=0
-\quad\Rightarrow\quad
-A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}.
-\]
-Der Tangentialraum ist also dreidimensional.
-Als Basis könnte man die folgenden Vektoren verwenden:
-\begin{align*}
-A
-&=
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-&&\Rightarrow&
-e^{At}
-&=
-\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}
-\\
-B
-&=
-\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
-&&\Rightarrow&
-e^{Bt}
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos t & -\sin t\\
-\sin t & \cos t
-\end{pmatrix}
-\\
-C
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-&&\Rightarrow&
-e^{Ct}
-&=
-I + Ct + \frac{C^2t^2}{2!} + \frac{C^3t^3}{3!} + \frac{C^4t^4}{4!}+\dots
-\\
-&&&&
-&=
-I\biggl(1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr)
-+
-C\biggl(t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}+\dots \biggr)
-\\
-&&&&
-&=
-I\cosh t + C \sinh t
-=
-\begin{pmatrix}
-\cosh t & \sinh t\\
-\sinh t & \cosh t
-\end{pmatrix},
-\end{align*}
-wobei in der Auswertung der Potenzreihe für $e^{Ct}$ verwendet wurde,
-dass $C^2=I$.
-
-Die Matrizen $e^{At}$ Streckungen der einen Koordinatenachse und
-Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt.
-Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und
-damit erst recht den Flächeninhalt erhalten.
-Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als
-Eigenvektoren:
-\begin{align*}
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-&\mapsto
-e^{Ct}
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-=
-(\cosh t +\sinh t)
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-=
-\biggl(
-\frac{e^t+e^{-t}}2
-+
-\frac{e^t-e^{-t}}2
-\biggr)
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-=
-e^t
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-\\
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-&\mapsto
-e^{Ct}
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-=
-(\cosh t -\sinh t)
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-=
-\biggl(
-\frac{e^t+e^{-t}}2
--
-\frac{e^t-e^{-t}}2
-\biggr)
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-=
-e^{-t}
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-\end{align*}
-Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und
-die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$.
-Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation,
-auch diese Matrizen sind flächenerhaltend.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf}
-\caption{Tangentialvektoren und die davon erzeugen Einparameteruntergruppen
-für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden
-linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.
-In allen drei Fällen wird ein blauer Rhombus mit den Ecken in den
-Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu
-zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten.
-In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen
-der Bilder der Standardbasisvektoren dar.
-\label{buch:gruppen:fig:sl2}}
-\end{figure}%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf}
-\caption{Weitere Matrizen mit Spur $0$ und ihre Wirkung
-Die inken beiden Beispiele $M$ und $N$ sind nilpotente Matrizen,
-die zugehörigen Einparameter-Untergruppen beschreiben Schwerungen.
-\label{buch:gruppen:fig:scherungen}}
-\end{figure}
-\end{beispiel}
-
-%
-% Die Gruppe SU(2)
-%
-\subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$
-\label{buch:gruppen:su2}}
-Die Menge der Matrizen
-\[
-\operatorname{SU}(2)
-=
-\left\{
-\left.
-A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\;\right|\;
-a,b,c,d\in\mathbb{C},\det(A)=1, AA^*=I
-\right\}
-\]
-heisst die {\em spezielle unitäre Gruppe}.
-Wegen $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$ und $(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*B=I$ ist
-$\operatorname{SU}(2)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$.
-Die Bedingungen $\det A=1$ und $AA^*=I$ schränken die möglichen Werte
-von $a$ und $b$ weiter ein.
-Aus
-\[
-A^*
-=
-\begin{pmatrix}
-\overline{a}&\overline{c}\\
-\overline{b}&\overline{d}
-\end{pmatrix}
-\]
-und den Bedingungen führen die Gleichungen
-\[
-\begin{aligned}
-a\overline{a}+b\overline{b}&=1
-&&\Rightarrow&|a|^2+|b|^2&=1
-\\
-a\overline{c}+b\overline{d}&=0
-&&\Rightarrow&
-\frac{a}{b}&=-\frac{\overline{d}}{\overline{c}}
-\\
-c\overline{a}+d\overline{b}&=0
-&&\Rightarrow&
-\frac{c}{d}&=-\frac{\overline{b}}{\overline{a}}
-\\
-c\overline{c}+d\overline{d}&=1&&\Rightarrow&|c|^2+|d|^2&=1
-\\
-ad-bc&=1
-\end{aligned}
-\]
-Aus der zweiten Gleichung kann man ableiten, dass es eine Zahl $t\in\mathbb{C}$
-gibt derart, dass $c=-t\overline{b}$ und $d=t\overline{a}$.
-Damit wird die Bedingung an die Determinante zu
-\[
-1
-=
-ad-bc = at\overline{a} - b(-t\overline{b})
-=
-t(|a|^2+|b|^2)
-=
-t,
-\]
-also muss die Matrix $A$ die Form haben
-\[
-A
-=
-\begin{pmatrix}
-a&b\\
--\overline{b}&\overline{a}
-\end{pmatrix}
-\qquad\text{mit}\quad |a|^2+|b|^2=1.
-\]
-Schreibt man $a=a_1+ia_2$ und $b=b_1+ib_2$ mit rellen $a_i$ und $b_i$,
-dann besteht $SU(2)$ aus den Matrizen der Form
-\[
-A=
-\begin{pmatrix}
- a_1+ia_2&b_1+ib_2\\
--b_1+ib_2&a_1-ia_2
-\end{pmatrix}
-\]
-mit der zusätzlichen Bedingung
-\[
-|a|^2+|b|^2
-=
-a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 1.
-\]
-Die Matrizen von $\operatorname{SU}(2)$ stehen daher in einer
-eins-zu-eins-Beziehung zu den Vektoren $(a_1,a_2,b_1,b_2)\in\mathbb{R}^4$
-eines vierdimensionalen reellen Vektorraums mit Länge $1$.
-Geometrisch betrachtet ist also $\operatorname{SU}(2)$ eine dreidmensionalen
-Kugel, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist.
-
-
-
+% +% lie-gruppen.tex -- Lie-Gruppebn +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Lie-Gruppen +\label{buch:section:lie-gruppen}} +\rhead{Lie-Gruppen} +Die in bisherigen Beispielen untersuchten Matrizengruppen zeichnen sich +durch zusätzliche Eigenschaften aus. +Die Gruppe +\[ +\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) += +\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\} +\] +besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist. +Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge +in $M_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$, +sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit. +Dies gilt jedoch auch für alle anderen Matrizengruppen, die in diesem +Abschnitt genauer untersucht werden sollen. + +\subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen +\label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}} +Eine Matrizengruppe wird automatsich zu einer Mannigfaltigkeit, +wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements +zu finden. +Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes +andere Gruppenelement eine Karte für eine Umgebung ableiten lässt. +Sei also $\varphi_e\colon U_e \to \mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung +$U_e\subset G$ von $e\in G$. +Für $g\in G$ ist dann die Abbildung +\[ +\varphi_g +\colon +U_g += +gU_e +\to +\mathbb{R} +: +h\mapsto \varphi_e(g^{-1}h) +\] +eine Karte für die Umgebung $U_g$ des Gruppenelementes $g$. +schreibt man $l_{g}$ für die Abbildung $h\mapsto gh$, dann +kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$ +schreiben. + +\subsubsection{Kartenwechsel} +Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$ +und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung +\[ +\varphi_{g_1,g_2} += +\varphi_{g_1}\circ \varphi_{g_2}^{-1} += +\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ (\varphi_e\circ l_{g_2^{-1}})^{-1} += +\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2^{-1}}^{-1} \varphi_e^{-1} += +\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2}\varphi_e^{-1} += +\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}g_2}\varphi_e^{-1} +\] +mit der Ableitung +\[ +D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} D\varphi_e^{-1} += +D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} (D\varphi_e)^{-1}. +\] +Die Abbildung $l_{g_1^{-1}g_2}$ ist aber nur die Multiplikation mit +einer Matrix, also eine lineare Abbildung, so dass der Kartenwechsel +nichts anderes ist als die Darstellung der Matrix der Linksmultiplikation +$l_{g_1^{-1}g_2}$ im Koordinatensystem der Karte $U_e$ ist. +Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt, +die Matrizengruppen sind automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten. + +Die Konstruktion aller Karten aus einer einzigen Karte für eine +Umgebung des neutralen Elements zeigt auch, dass es für die Matrizengruppen +reicht, wenn man die Elemente in einer Umgebung des neutralen +Elementes parametrisieren kann. +Dies ist jedoch nicht nur für die Matrizengruppen möglich. +Wenn eine Gruppe gleichzeitig eine differenzierbare Mannigfaltigkeit +ist, dann können Karten über die ganze Gruppe transportiert werden, +wenn die Multiplikation mit Gruppenelementen eine differenzierbare +Abbildung ist. +Solche Gruppen heissen auch Lie-Gruppen gemäss der folgenden Definition. + +\begin{definition} +\index{Lie-Gruppe}% +Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare +Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen +\begin{align*} +G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2 +\\ +G\to G &: g \mapsto g^{-1} +\end{align*} +differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind. +\end{definition} + +Die Abstraktheit dieser Definition täuscht etwas über die +Tatsache hinweg, dass sich mit Hilfe der Darstellungstheorie +jede beliebige Lie-Gruppe als Untermannigfaltigkeit einer +Matrizengruppe verstehen lässt. +Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse +Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen +zu entwickeln. + +\subsubsection{Tangentialvektoren und die Exponentialabbildung} +Die Matrizengruppen sind alle in der +$n^2$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ +enthalten. +Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ +haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in +$M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können. +Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der +Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch +\[ +\frac{d}{dt} +\gamma(t) += +\begin{pmatrix} +\dot{\gamma}_{11}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{1n}(t)\\ +\vdots &\ddots&\vdots \\ +\dot{\gamma}_{n1}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{nn}(t) +\end{pmatrix} +\] +gegeben. + +Im Allgemeinen kann man Tangentialvektoren in verschiedenen Punkten +einer Mannigfaltigkeit nicht miteinander vergleichen. +Die Multiplikation $l_g$, die den Punkt $e$ in den Punkt $g$ verschiebt, +transportiert auch die Tangentialvektoren im Punkt $e$ in +Tangentialvektoren im Punkt $g$. + +\begin{aufgabe} +Gibt es eine Kurve $\gamma(t)\in\mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ mit +$\gamma(0)=e$ derart, dass der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ +für $t>0$ derselbe ist wie der Tangentialvektor im Punkt $e$, transportiert +durch Matrixmultiplikation mit $\gamma(t)$? +\end{aufgabe} + +Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung +\begin{equation} +\frac{d}{dt}\gamma(t) += +\gamma(t)\cdot A +\label{buch:gruppen:eqn:expdgl} +\end{equation} +erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor +in $e=I$ ist. + +Die Matrixexponentialfunktion +\[ +e^{At} += +1+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\dots +\] +liefert eine Einparametergruppe +$\mathbb{R}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ mit der Ableitung +\[ +\frac{d}{dt} e^{At} += +\lim_{h\to 0} \frac{e^{A(t+h)}-e^{At}}{h} += +\lim_{h\to 0} e^{At}\frac{e^{Ah}-I}{h} += +e^{At} A. +\] +Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}. + +\subsection{Drehungen in der Ebene +\label{buch:gruppen:drehungen2d}} +Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien +des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis} +als Mannigfaltigkeit erkannt wurde. +Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix +beschrieben werden kann. + +\subsubsection{Die Untergruppe +$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$} +Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch +Matrizen der Form +\[ +D_{\alpha} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} +\] +dargestellt werden. +Wir bezeichnen die Menge der Drehmatrizen in der Ebene mit +$\operatorname{SO}(2)\subset\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. +Die Abbildung +\[ +D_{\bullet} +\colon +\mathbb{R}\to \operatorname{SO}(2) +: +\alpha \mapsto D_{\alpha} +\] +hat die Eigenschaften +\begin{align*} +D_{\alpha+\beta}&= D_{\alpha}D_{\beta} +\\ +D_0&=I +\\ +D_{2k\pi}&=I\qquad \forall k\in\mathbb{Z}. +\end{align*} +Daraus folgt zum Beispiel, dass $D_{\bullet}$ eine $2\pi$-periodische +Funktion ist. +$D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf +die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab. + +Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge +$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar, +die Umkehrung kann als Karte verwendet werden. +Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und +$\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$ +in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die +$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt. +Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$ +mit $k\in \mathbb{Z}$. +In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein. +Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen +von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung. +Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen. + +\subsubsection{Die Untergruppe $S^1\subset\mathbb{C}$} +Ein alternatives Bild für die Drehungen der Ebene kann man in der komplexen +Ebene $\mathbb{C}$ erhalten. +Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $e^{i\alpha}$ beschreibt eine +Drehung der komplexen Ebene um den Winkel $\alpha$. +Die Zahlen der Form $e^{i\alpha}$ haben den Betrag $1$ und die Abbildung +\[ +f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}:\alpha \mapsto e^{i\alpha} +\] +hat die Eigenschaften +\begin{align*} +f(\alpha+\beta) &= f(\alpha)f(\beta) +\\ +f(0)&=1 +\\ +f(2\pi k)&=1\qquad\forall k\in\mathbb{Z}, +\end{align*} +die zu den Eigenschaften der Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ +analog sind. + +Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form +$z=e^{i\alpha}$, die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des +Einheitskreises in der Ebene. +Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom +Betrag $1$. +$S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für jede Zahl +$z,w\in S^1$ gilt +$|z^{-1}|=1$ und $|zw|=1$ und damit $z^{-1}\in S^1$ und $zw\in S^1$. + +Zu einer komplexen Zahl $z\in S^1$ gibt es einen bis auf Vielfache +von $2\pi$ eindeutigen Winkel $\alpha(z)$ derart, dass $e^{i\alpha(z)}=z$. +Damit kann man jetzt die Abbildung +\[ +\varphi +\colon +S^1\to \operatorname{SO}(2) +: +z\mapsto D_{\alpha(z)} +\] +konstruieren. +Da $D_{\alpha}$ $2\pi$-periodisch ist, geben um Vielfache +von $2\pi$ verschiedene Wahlen von $\alpha(z)$ die gleiche +Matrix $D_{\alpha(z)}$, die Abbildung $\varphi$ ist daher +wohldefiniert. +$\varphi$ erfüllt ausserdem die Bedingungen +\begin{align*} +\varphi(z_1z_2) +&= +D_{\alpha(z_1z_2)} += +D_{\alpha(z_1)+\alpha(z_2)} += +D_{\alpha(z_1)}D_{\alpha(z_2)} += +\varphi(z_1)\varphi(z_2) +\\ +\varphi(1) +&= +D_{\alpha(1)} += +D_0 += +I +\end{align*} +Die Abbildung $\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $S^1$ +in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$. +Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis +in der komplexen Ebene identifiziert werden. + +\subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$} +Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe +ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$ +mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden. +Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist +\begin{align*} +\frac{d}{dt} \gamma(t) +&= +\frac{d}{d\alpha} +\begin{pmatrix} +\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\ +\sin\alpha(t) & \cos\alpha(t) +\end{pmatrix} +\cdot +\frac{d\alpha}{dt} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +-\sin\alpha(t)&-\cos\alpha(t)\\ + \cos\alpha(t)&-\sin\alpha(t) +\end{pmatrix} +\cdot +\dot{\alpha}(t) +\\ +&= +\begin{pmatrix} +\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\ +\sin\alpha(t) & \cos\alpha(t) +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&-1\\ +1&0 +\end{pmatrix} +\cdot +\dot{\alpha}(t) += +D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t). +\end{align*} +Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$ +entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung +mit $\dot{\alpha}(t)$. + +% +% Isometrien von R^n +% +\subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$ +\label{buch:gruppen:isometrien}} + +\subsubsection{Skalarprodukt} +Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch +$n\times n$-Matrizen beschrieben werden. +Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten, +bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll. +Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn +für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt +$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$. +Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden: +\[ +\langle Ax,Ay\rangle += +(Ax)^tAy += +x^tA^tAy += +x^ty += +\langle x,y\rangle +\] +für jedes Paar von Vektoren $x,y\in\mathbb{R}$. + +Mit dem Skalarprodukt kann man auch die Matrixelemente einer Matrix +einer Abbildung $f$ in der Standardbasis bestimmen. +Das Skalarprodukt $\langle e_i, v\rangle$ ist die Länge der Projektion +des Vektors $v$ auf die Richtung $e_i$. +Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$. +Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente +$a_{ij}=e_i^tAe_j$. + +\subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$} +Die Matrixelemente von $A^tA$ sind +$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$ +sind diejenigen der Einheitsmatrix, +die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$. +Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen. +Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht +daher aus den Matrizen +\[ +\operatorname{O}(n) += +\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}. +\] +Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen, +die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen +Menge $M_n(\mathbb{R})$ auszeichnen. +Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der orthogonalen Matrizen hat daher +die Dimension +\[ +n^2 - \frac{n(n+1)}{2} += +\frac{2n^2-n^2-n}{2} += +\frac{n(n-1)}2. +\] +Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional. + +\subsubsection{Tangentialvektoren} +Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit +von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$ +kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein. +Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage +kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$ +von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$. +Orthogonal bedeutet +\[ +\begin{aligned} +&& +0 +&= +\frac{d}{dt}I += +\frac{d}{dt} +(\gamma(t)^t\gamma(t)) += +\dot{\gamma}(t)^t\gamma(t)) ++ +\gamma(t)^t\dot{\gamma}(t)) +\\ +&\Rightarrow& +0 +&= +\dot{\gamma}(0)^t \cdot I + I\cdot \dot{\gamma(0)} += +\dot{\gamma}(0)^t + \dot{\gamma}(0) += +A^t+A=0 +\\ +&\Rightarrow& +A^t&=-A +\end{aligned} +\] +Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau +die antisymmetrischen Matrizen. + +Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix +$J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d} +gezeigt wurde. + +Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{ij}$ mit den Matrixelementen +$(A_{ij})_{ij}=-1$ und $(A_{ij})_{ji}=1$ +antisymmetrisch. +Für $n=2$ ist $A_{12}=J$. +Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{ij}$ bilden eine Basis des +$n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$. + +Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$ +haben die Form $gA$, wobei $A$ eine antisymmetrische Matrix ist. +Diese Matrizen sind nur noch in speziellen Fällen antisymmetrisch, +zum Beispiel im Punkt $-I\in\operatorname{O}(n)$. + +\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$} +Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die +die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen. +Wegen $\det (AA^t)=\det A\det A^t = (\det A)^2=1$ kann die Determinante +einer orthogonalen Matrix nur $\pm 1$ sein. +Orientierungserhaltende Isometrien haben Determinante $1$. + +Die Gruppe +\[ +\operatorname{SO}(n) += +\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\} +\] +heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}. +Die Dimension der Gruppe $\operatorname{O}(n)$ ist $n(n-1)/2$. + +\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$} +Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehungen des dreidimensionalen +Raumes hat die Dimension $3(3-1)/2=3$. +Eine Drehung wird festgelegt durch die Richtung der Drehachse und den +Drehwinkel. +Die Richtung der Drehachse ist ein Einheitsvektor, also ein Punkt +auf der zweidimensionalen Kugel. +Der Drehwinkel ist der dritte Parameter. + +Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden +aus den Matrizen +\begin{align*} +D_{x,\alpha} +&= +\begin{pmatrix} +1&0&0\\ +0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +0&\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix}, +& +D_{y,\beta} +&= +\begin{pmatrix} + \cos\beta&0&\sin\beta\\ + 0 &1& 0 \\ +-\sin\beta&0&\cos\beta +\end{pmatrix}, +& +D_{z,\gamma} +&= +\begin{pmatrix} +\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\ +\sin\gamma& \cos\gamma&0\\ + 0 & 0 &1 +\end{pmatrix} +\\ +&= +e^{A_{23}t} +& +&= +e^{-A_{13}t} +& +&= +e^{A_{21}t} +\end{align*} +die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$ +beschreiben. +Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die +drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$ +angesehen werden. + +% +% Spezielle lineare Gruppe +% +\subsection{Volumenerhaltende Abbildungen und +die Gruppe $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ +\label{buch:gruppen:sl}} +Die Elemente der Gruppe $SO(n)$ erhalten Längen, Winkel und die +Orientierung, also auch das Volumen. +Es gibt aber volumenerhaltende Abbildungen, die Längen oder Winkel +nicht notwendigerweise erhalten. +Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$, die das Volumen erhalten, +haben die Determinante $\det A=1$. +Wegen $\det(AB)=\det A\det B$ ist das Produkt zweier Matrizen mit +Determinante $1$ wieder eine solche, sie bilden daher eine Gruppe. + +\begin{definition} +Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe +\[ +\operatorname{SL}_n(\mathbb{R}) += +\{ +A\in M_n(\mathbb{R}) +\;|\; +\det (A) = 1 +\} +\] +sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}. +\end{definition} + +Wir wollen jetzt die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ +bestimmen. +Dazu sei $A(t)$ eine Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ +mit $A(0)=I$. +Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung +\[ +\frac{d}{dt} \det A(t) = 0 +\quad\text{an der Stelle $t=0$.} +\] +Für $n=2$ ist +\begin{align*} +A(t) +&= +\begin{pmatrix} +a(t)&b(t)\\ +c(t)&d(t) +\end{pmatrix} +\in +\operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) +&&\Rightarrow& +\frac{d}{dt} +\det A(t)\bigg|_{t=0} +&= +\dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0) +- +\dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0) +\\ +&&&& +&= +\dot{a}(0) + \dot{d}(0) +\\ +&&&& +&= +\operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}. +\end{align*} +Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige +$n\times n$-Matrizen. + +\begin{satz} +Ist $A(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{B})$ +mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist +\[ +\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t). +\] +Die Ableitung nach $t$ ist +\[ +\frac{d}{dt} \det A(t) += +\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \dot{a}_{i1}(t) \det A_{i1}(t). ++ +\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \frac{d}{dt}\det A_{i1}(t). +\] +An der Stelle $t=0$ enthält $\det A_{i1}(0)$ für $i\ne 1$ +eine Nullzeile, der einzige nichtverschwindende Term in der ersten +Summe ist daher der erste. +In der zweiten Summe ist das einzige nicht verschwindende $a_{i1}(0)$ +jenes für $i=1$, somit ist die Ableitung von $\det A(t)$ +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \det A(t) += +\dot{a}_{11}(t) \det A_{11}(t). ++ +\frac{d}{dt}\det A_{11}(t) += +\dot{a}_{11}(0) ++ +\frac{d}{dt}\det A_{11}(t). +\label{buch:gruppen:eqn:detspur} +\end{equation} +Die Beziehung \eqref{buch:gruppen:eqn:detspur} kann für einen Beweis mit +vollständiger Induktion verwendet werden. + +Die Induktionsverankerung für $n=1$ besagt, dass $\det A(t)=a_{11}(t)$ +genau dann konstant $=1$ ist, wenn $\dot{a}_{11}(0)=\operatorname{Spur}A(0)$ +ist. +Unter der Induktionsannahme, dass für eine $(n-1)\times(n-1)$-Matrix +$\tilde{A}(t)$ mit $\tilde{A}(0)=I$ die Ableitung der Determinante +\[ +\frac{d}{dt}\tilde{A}(0) += +\operatorname{Spur}\dot{\tilde{A}}(0) +\] +ist, folgt jetzt mit +\eqref{buch:gruppen:eqn:detspur}, dass +\[ +\frac{d}{dt}A(0) += +\dot{a}_{11}(0) ++ +\frac{d}{dt} \det A_{11}(t)\bigg|_{t=0} += +\dot{a}_{11}(0) ++ +\operatorname{Spur}\dot{A}_{11}(0) += +\operatorname{Spur}\dot{A}(0). +\] +Damit folgt jetzt die Behauptung für alle $n$. +\end{proof} + +\begin{beispiel} +Die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ sind +die spurlosen Matrizen +\[ +A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +\quad\Rightarrow\quad +\operatorname{Spur}A=a+d=0 +\quad\Rightarrow\quad +A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}. +\] +Der Tangentialraum ist also dreidimensional. +Als Basis könnte man die folgenden Vektoren verwenden: +\begin{align*} +A +&= +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +&&\Rightarrow& +e^{At} +&= +\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix} +\\ +B +&= +\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} +&&\Rightarrow& +e^{Bt} +&= +\begin{pmatrix} +\cos t & -\sin t\\ +\sin t & \cos t +\end{pmatrix} +\\ +C +&= +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +&&\Rightarrow& +e^{Ct} +&= +I + Ct + \frac{C^2t^2}{2!} + \frac{C^3t^3}{3!} + \frac{C^4t^4}{4!}+\dots +\\ +&&&& +&= +I\biggl(1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr) ++ +C\biggl(t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}+\dots \biggr) +\\ +&&&& +&= +I\cosh t + C \sinh t += +\begin{pmatrix} +\cosh t & \sinh t\\ +\sinh t & \cosh t +\end{pmatrix}, +\end{align*} +wobei in der Auswertung der Potenzreihe für $e^{Ct}$ verwendet wurde, +dass $C^2=I$. + +Die Matrizen $e^{At}$ Streckungen der einen Koordinatenachse und +Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt. +Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und +damit erst recht den Flächeninhalt erhalten. +Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als +Eigenvektoren: +\begin{align*} +\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} +&\mapsto +e^{Ct} +\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} += +(\cosh t +\sinh t) +\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} += +\biggl( +\frac{e^t+e^{-t}}2 ++ +\frac{e^t-e^{-t}}2 +\biggr) +\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} += +e^t +\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} +\\ +\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} +&\mapsto +e^{Ct} +\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} += +(\cosh t -\sinh t) +\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} += +\biggl( +\frac{e^t+e^{-t}}2 +- +\frac{e^t-e^{-t}}2 +\biggr) +\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} += +e^{-t} +\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} +\end{align*} +Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und +die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$. +Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation, +auch diese Matrizen sind flächenerhaltend. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf} +\caption{Tangentialvektoren und die davon erzeugen Einparameteruntergruppen +für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden +linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$. +In allen drei Fällen wird ein blauer Rhombus mit den Ecken in den +Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu +zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten. +In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen +der Bilder der Standardbasisvektoren dar. +\label{buch:gruppen:fig:sl2}} +\end{figure}% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf} +\caption{Weitere Matrizen mit Spur $0$ und ihre Wirkung +Die inken beiden Beispiele $M$ und $N$ sind nilpotente Matrizen, +die zugehörigen Einparameter-Untergruppen beschreiben Schwerungen. +\label{buch:gruppen:fig:scherungen}} +\end{figure} +\end{beispiel} + +% +% Die Gruppe SU(2) +% +\subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$ +\label{buch:gruppen:su2}} +Die Menge der Matrizen +\[ +\operatorname{SU}(2) += +\left\{ +\left. +A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} +\;\right|\; +a,b,c,d\in\mathbb{C},\det(A)=1, AA^*=I +\right\} +\] +heisst die {\em spezielle unitäre Gruppe}. +Wegen $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$ und $(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*B=I$ ist +$\operatorname{SU}(2)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$. +Die Bedingungen $\det A=1$ und $AA^*=I$ schränken die möglichen Werte +von $a$ und $b$ weiter ein. +Aus +\[ +A^* += +\begin{pmatrix} +\overline{a}&\overline{c}\\ +\overline{b}&\overline{d} +\end{pmatrix} +\] +und den Bedingungen führen die Gleichungen +\[ +\begin{aligned} +a\overline{a}+b\overline{b}&=1 +&&\Rightarrow&|a|^2+|b|^2&=1 +\\ +a\overline{c}+b\overline{d}&=0 +&&\Rightarrow& +\frac{a}{b}&=-\frac{\overline{d}}{\overline{c}} +\\ +c\overline{a}+d\overline{b}&=0 +&&\Rightarrow& +\frac{c}{d}&=-\frac{\overline{b}}{\overline{a}} +\\ +c\overline{c}+d\overline{d}&=1&&\Rightarrow&|c|^2+|d|^2&=1 +\\ +ad-bc&=1 +\end{aligned} +\] +Aus der zweiten Gleichung kann man ableiten, dass es eine Zahl $t\in\mathbb{C}$ +gibt derart, dass $c=-t\overline{b}$ und $d=t\overline{a}$. +Damit wird die Bedingung an die Determinante zu +\[ +1 += +ad-bc = at\overline{a} - b(-t\overline{b}) += +t(|a|^2+|b|^2) += +t, +\] +also muss die Matrix $A$ die Form haben +\[ +A += +\begin{pmatrix} +a&b\\ +-\overline{b}&\overline{a} +\end{pmatrix} +\qquad\text{mit}\quad |a|^2+|b|^2=1. +\] +Schreibt man $a=a_1+ia_2$ und $b=b_1+ib_2$ mit rellen $a_i$ und $b_i$, +dann besteht $SU(2)$ aus den Matrizen der Form +\[ +A= +\begin{pmatrix} + a_1+ia_2&b_1+ib_2\\ +-b_1+ib_2&a_1-ia_2 +\end{pmatrix} +\] +mit der zusätzlichen Bedingung +\[ +|a|^2+|b|^2 += +a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 1. +\] +Die Matrizen von $\operatorname{SU}(2)$ stehen daher in einer +eins-zu-eins-Beziehung zu den Vektoren $(a_1,a_2,b_1,b_2)\in\mathbb{R}^4$ +eines vierdimensionalen reellen Vektorraums mit Länge $1$. +Geometrisch betrachtet ist also $\operatorname{SU}(2)$ eine dreidmensionalen +Kugel, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist. + + + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex index c0a0fb8..7364c85 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex @@ -1,725 +1,725 @@ -%
-% symmetrien.tex -- Geometrische Beschreibung von Symmetrien, O(n), SO(n),
-% Spiegelungen
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Symmetrien
-\label{buch:section:symmetrien}}
-\rhead{Symmetrien}
-Der geometrische Begriff der Symmetrie meint die Eigenschaft eines
-geometrischen Objektes, dass es bei einer Bewegung auf sich selbst
-abgebildet wird.
-Das Wort stammt aus dem altgriechischen, wo es {\em Gleichmass}
-bedeutet.
-Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus,
-dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen
-der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch
-Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des
-Begriffs verständlich macht.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg}
-\caption{Das Castle Howard in Yorkshire war in dieser ausgeprägt symmetrischen
-Form geplant, wurde dann aber in modifizeirter Form gebaut.
-Messungen zwischen Punkten in der rechten Hälfte des Bildes
-ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken
-in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt.
-\label{buch:lie:bild:castlehoward}}
-\end{figure}
-In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte
-Bedeutung gegeben.
-Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht
-verändert, wird als Symmetrie bezeichnet.
-Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den
-den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt,
-eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des
-Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist
-eine Symmetrie des Systems.
-
-Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat.
-Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon
-ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden.
-Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die
-durch Matrizen beschrieben weren.
-Eine unter der Symmetrie erhaltene Eigenschaft definiert so eine
-Untergruppe der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ der
-invertierbaren Matrizen.
-Die erhaltenen Eigenschaften definieren eine Menge von Gleichungen,
-denen die Elemente der Untergruppe genügen müssen.
-Als Lösungsmenge einer Gleichung erhält die Untergruppe damit eine
-zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare
-Mannigfaltigkeit.
-Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit}
-eingeführt.
-Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der
-Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen,
-die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind.
-
-Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
-Mannigfaltigkeit ist.
-Die Existenz von geometrischen Konzepten wie Tangentialvektoren
-ermöglicht zusätzliche Werkzeuge, mit denen diese Gruppe untersucht
-und verstanden werden können.
-Ziel dieses Abschnitts ist, die Grundlagen für diese Untersuchung zu
-schaffen, die dann im Abschnitt~\ref{buch:section:lie-algebren}
-durchgeführt werden soll.
-
-\subsection{Algebraische Symmetrien
-\label{buch:subsection:algebraische-symmetrien}}
-Mit Matrizen lassen sich Symmetrien in einem geometrischen Problem
-oder in einem physikalischen System beschreiben.
-Man denkt dabei gerne zuerst an geometrische Symmetrien wie die
-Symmetrie unter Punktspiegelung oder die Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene,
-wie sie zum Beispiel durch die Abbildungen
-\[
-\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : x\mapsto -x
-\qquad\text{oder}\qquad
-\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 :
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}-x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-\]
-dargestellt werden.
-Beide haben zunächst die Eigenschaft, dass Längen und Winkel und damit
-das Skalarprodukt erhalten sind.
-Diese Eigenschaft allein erlaubt aber noch nicht, die beiden Transformationen
-zu unterscheiden.
-Die Punktspiegelung zeichnet sich dadurch aus, das alle Geraden und alle
-Ebenen durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet werden.
-Dies funktioniert für die Ebenenspiegelung nicht, dort bleibt nur die
-Spiegelungsebene (die $x_1$-$x_2$-Ebene im vorliegenden Fall) und
-ihre Normale erhalten.
-Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen
-auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen.
-
-Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der
-ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ symmetrisch ist, können wir
-sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind.
-Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$
-u.~s.~w., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden,
-ebenfalls Symmetrien.
-Wenn die Symmetrie auch umkehrbar ist, dann gilt dies sogar für alle
-$n\in\mathbb{Z}$.
-Wir erhalten so eine Abbildung
-$\varphi\colon \mathbb{Z}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}):n\mapsto f^n$
-mit den Eigenschaften $\varphi(0)=f^0 = I$ und
-$\varphi(n+m)=f^{n+m}=f^n\circ f^m = \varphi(n)\circ\varphi(m)$.
-$\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $\mathbb{Z}$ in die Gruppe
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
-Wir nennen dies eine {\em diskrete Symmetrie}.
-
-\subsection{Kontinuierliche Symmetrien
-\label{buch:subsection:kontinuierliche-symmetrien}}
-Von besonderem Interesse sind kontinuierliche Symmetrien.
-Dies sind Abbildungen eines Systems, die von einem Parameter
-abhängen.
-Zum Beispiel können wir Drehungen der Ebene $\mathbb{R}^2$ um den
-Winkel $\alpha$ durch Matrizen
-\[
-D_{\alpha}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix}
-\]
-beschrieben werden.
-Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant.
-Im Gegensatz dazu sind alle $3n$-Ecke mit Schwerpunkt $0$ nur invariant
-unter der einen Drehung $D_{\frac{2\pi}3}$ invariant.
-Die kleinste Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter
-allen Drehungen $D_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um
-den Nullpunkt.
-
-\begin{definition}
-Ein Homomorphismus $\varphi\colon\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
-von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die allgemeine lineare Gruppe
-heisst eine {\em Einparameter-Untergruppe} von
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
-\end{definition}
-
-Die Abbildung
-\[
-\varphi
-\colon
-\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})
-:
-\alpha \mapsto
-D_{\alpha}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix}
-\]
-ist also eine Einparameter-Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
-
-\subsubsection{Der harmonische Oszillator}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf}
-\caption{Die Lösungen der
-Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$.
-\label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}}
-\end{figure}
-Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$
-schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung
-\[
-m\frac{d^2}{dt^2} x(t) = -Kx(t).
-\]
-Die Kreisfrequenz der Schwingung ist
-\[
-\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}.
-\]
-Das System kann als zweidimensionales System im Phasenraum mit den
-Koordinaten $x_1=x$ und $x_2=p=m\dot{x}$ beschrieben werden.
-Die zweidimensionale Differentialgleichung ist
-\begin{equation}
-\left.
-\begin{aligned}
-\dot{x}(t) &= \frac{1}{m}p(t)\\
-\dot{p}(t) &= -Kx(t)
-\end{aligned}
-\quad
-\right\}
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac{d}{dt}
-\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&\frac{1}{m}\\
--K&0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}.
-\label{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-\end{equation}
-Die Lösung der Differentialgleichung für die Anfangsbedingung $x(0)=1$ und
-$p(0)=0$ ist
-\[
-x(t)
-=
-\cos \omega t
-\qquad\Rightarrow\qquad
-p(t)
-=
--\omega \sin\omega t,
-\]
-die Lösung zur Anfangsbedingung $x(0)=0$ und $p(0)=1$ ist
-\[
-x(t) = \frac{1}{\omega} \sin\omega t,
-\qquad
-p(t) = \cos \omega t.
-\]
-In Matrixform kann man die allgemeine Lösung zur Anfangsbedingun $x(0)=x_0$
-und $p(0)=p_0$
-\begin{equation}
-\begin{pmatrix}
-x(t)\\
-p(t)
-\end{pmatrix}
-=
-\underbrace{
-\begin{pmatrix}
- \cos \omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\
--\omega \sin\omega t & \cos\omega t
-\end{pmatrix}
-}_{\displaystyle =\Phi_t}
-\begin{pmatrix}x_0\\p_0\end{pmatrix}
-\label{buch:gruppen:eqn:phi}
-\end{equation}
-schreiben.
-Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameter-Untergruppe von
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da
-\begin{align*}
-\Phi_s\Phi_t
-&=
-\begin{pmatrix}
- \cos\omega s & \frac{1}{\omega} \sin\omega s \\
--\omega \sin\omega s & \cos\omega s
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
- \cos\omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\
--\omega \sin\omega t & \cos\omega t
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos\omega s \cos\omega t - \sin\omega s \sin\omega t
-& \frac{1}{\omega} ( \cos\omega s \sin\omega t + \sin\omega s \cos \omega t)
-\\
--\omega (\sin\omega s \cos\omega t + \cos\omega s \sin\omega t )
-& \cos\omega s \cos\omega t -\sin\omega s \sin\omega t
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
- \cos\omega(s+t) & \frac{1}{\omega}\sin\omega(s+t) \\
--\omega \sin\omega(s+t) & \cos\omega(s+t)
-\end{pmatrix}
-=
-\Phi_{s+t}
-\end{align*}
-gilt.
-Die Lösungen der
-Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-sind in Abbildung~\ref{chapter:gruppen:fig:phasenraum}
-Die Matrizen $\Phi_t$ beschreiben eine kontinuierliche Symmetrie
-des Differentialgleichungssystems, welches den harmonischen Oszillator
-beschreibt.
-
-\subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung}
-Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils
-Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
-Der Grund dafür ist, dass die
-Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-linear ist.
-Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$
-die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch
-Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also
-aus der Formel
-\[
-\Phi_t (\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda \Phi_t x_1 + \mu \Phi_t x_2.
-\]
-Dies zeigt, dass $\Phi_t$ für jedes $t$ eine lineare Abbildung sein muss.
-
-Für eine beliebige Differentialgleichung kann man immer noch eine Abbildung
-$\Phi$ konstruieren, die aber nicht mehr linear ist.
-Sei dazu die Differentialgleichung erster Ordnung
-\begin{equation}
-\frac{dx}{dt}
-=
-f(t,x)
-\qquad\text{mit}\qquad
-f\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
-\label{buch:gruppen:eqn:dgl}
-\end{equation}
-gegeben.
-Für jeden Anfangswert $x_0\in\mathbb{R}^n$ kann man mindestens für eine
-gewisse Zeit $t <\varepsilon$ eine Lösung $x(t,x_0)$ finden mit $x(t,x_0)=x_0$.
-Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist auch
-bekannt, dass $x(t,x_0)$ mindestens in der Nähe von $x_0$ differenzierbar von
-$x_0$ abhängt.
-Dies erlaubt eine Abbildung
-\[
-\Phi\colon \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
-:
-(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)
-\]
-zu definieren, die sowohl von $t$ als auch von $x_0$ differenzierbar
-abhängt.
-Aus der Definition folgt unmittelbar, dass $\Phi_0(x_0)=x_0$ ist, dass
-also $\Phi_0$ die identische Abbildung von $\mathbb{R}^n$ ist.
-
-Aus der Definition lässt sich auch ableiten, dass
-$\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$ gilt.
-$\Phi_t(x_0)=x(t,x_0)$ ist der Endpunkt der Bahn, die bei $x_0$ beginnt
-und sich während der Zeit $t$ entwickelt.
-$\Phi_s(x(t,x_0))$ ist dann der Endpunkt der Bahn, die bei $x(t,x_0)$
-beginnt und sich während der Zeit $s$ entwickelt.
-Somit ist $\Phi_s\circ \Phi_t(x_0)$ der Endpunkt der Bahn, die bei
-$x_0$ beginnt und sich über die Zeit $s+t$ entwickelt.
-In Formeln bedeutet dies
-\[
-\Phi_{s+t} = \Phi_s\circ \Phi_t.
-\]
-Die Abbildung $t\mapsto \Phi_t$ ist also wieder ein Homomorphismus
-von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in eine Gruppe von differenzierbaren
-Abbildungen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$.
-
-\begin{definition}
-Die Abbildung
-\[
-\Phi\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n
-:
-(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)
-\]
-heisst der {\em Fluss} der Differentialgleichung
-\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl},
-wenn für jedes $x_0\in\mathbb{R}^n$ die Kurve $t\mapsto \Phi_t(x_0)$
-eine Lösung der Differentialgleichung ist mit Anfangsbedingung $x_0$.
-\end{definition}
-
-Die Abbildung $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} ist also
-der Fluss der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators.
-
-\subsection{Mannigfaltigkeiten
-\label{buch:subsection:mannigfaltigkeit}}
-Eine Differentialgleichung der Form~\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl}
-stellt einen Zusammenhang her zwischen einem Punkt $x$ und der
-Tangentialrichtung einer Bahnkurve $f(t,x)$.
-Die Ableitung liefert die lineare Näherung der Bahkurve
-\[
-x(t_0+h) = x(t_0) + h f(t_0,x_0) + o(h)
-\]
-für $h$ in einer kleinen Umgebung von $0$.
-Das funktioniert auch, weil $f(t_0,x_0)$ selbst ein Vektor von
-$\mathbb{R}^n$ ist, in dem die Bahnkurve verläuft.
-
-Diese Idee funktioniert nicht mehr zum Beispiel für eine
-Differentialgleichung auf einer Kugeloberfläche, weil alle Punkte
-$x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche
-liegen.
-Physikalisch äussert sich das ein einer zusätzlichen Kraft, die nötig
-ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten.
-Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für
-Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind.
-Trotzdem ist der Tangentialvektor oder der Geschwindigkeitsvektor
-nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert
-werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als
-in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann.
-
-Um die Idee der Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche
-konsistent zu machen ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung
-auf eine Art zu definieren, die nicht von der Einbettung der Fläche
-in den $n$-dimensionalen Raum abhängig ist.
-Das in diesem Abschnitt entwickelte Konzept der {\em Mannigfaltigkeit}
-löst dieses Problem.
-
-\subsubsection{Karten}
-Die Navigation auf der Erdoberfläche verwendet das Koordinatensystem
-der geographischen Länge und Breite.
-Dieses Koordinatensystem funktioniert gut, solange man sich nicht an
-den geographischen Polen befindet, denn deren Koordinaten sind
-nicht mehr eindeutig.
-Alle Punkte mit geographischer Breite $90^\circ$ und beliebiger
-geographischer Länge beschreiben den Nordpol.
-Auch die Ableitung funktioniert dort nicht mehr.
-Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit über den Nordpol,
-springt die Ableitung der geographischen Breite von einem positiven
-Wert auf einen negativen Wert, sie kann also nicht differenzierbar sein.
-Diese Einschränkungen sind in der Praxis nur ein geringes Problem dar,
-da die meisten Reisen nicht über die Pole erfolgen.
-
-Der Polarforscher, der in unmittelbarer Umgebung des Poles arbeitet,
-kann das Problem lösen, indem er eine lokale Karte für das Gebiet
-um den Pol erstellt.
-Dafür kann er beliebige Koordinaten verwenden, zum Beispiel auch
-ein kartesisches Koordinatensystem, er muss nur eine Methode haben,
-wie er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite
-umrechnen will.
-Und wenn er über Geschwindigkeiten kommunizieren will, dann muss
-er auch Ableitungen von Kurven in seinem kartesischen Koordinatensystem
-umrechnen können auf die Kugelkoordinaten.
-Dazu muss seine Umrechnungsformel von kartesischen Koordinaten
-auf Kugelkoordinaten differenzierbar sein.
-
-Diese Idee wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert.
-Eine $n$-dimensionale {\em Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ von Punkten,
-die lokal, also in der Umgebung eines Punktes, mit möglicherweise mehreren
-verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann.
-Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge
-$U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$.
-Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/karten.pdf}
-\caption{Karten
-$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to \mathbb{R}^2$
-und
-$\varphi_\beta\colon U_\beta\to \mathbb{R}^2$
-auf einem Torus.
-Auf dem Überschneidungsgebiet $\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$
-ist der Kartenwechsel $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ wohldefiniert
-und muss differnzierbar sein, wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
-entstehen soll.
-\label{buch:gruppen:fig:karten}}
-\end{figure}
-
-\begin{definition}
-Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung
-$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch
-Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}).
-Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$
-derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$
-überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen
-\[
-\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}
-\colon
-\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)
-\to
-\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)
-\]
-als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
-ist.
-Eine {$n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine
-Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas.
-\end{definition}
-
-Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale
-Koordinatensysteme ineinander umrechnen lassen.
-
-\begin{beispiel}
-$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit denn
-die identische Abbildung $M\to \mathbb{R}^n$ ist eine Karte und ein
-Atlas von $M$.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf}
-\caption{Karten für die Kreislinie $S^1\subset\mathbb{R}^2$.
-\label{buch:gruppen:fig:kartenkreis}}
-\end{figure}
-Die Kreislinie in in der Ebene ist eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
-Natürlich kann sie nicht mit einer einzigen Karte beschrieben werden,
-da es keine umkehrbaren Abbildungen zwischen $\mathbb{R}$ und der Kreislinie
-gibt.
-Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden
-vier Karten:
-\begin{align*}
-\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto y
-\\
-\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto y
-\\
-\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto x
-\\
-\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto x
-\end{align*}
-Die Werte der Kartenabbildungen sind genau die $x$- und $y$-Koordinaten
-auf der in den Raum $\mathbb{R}^2$ eingebetteten Kreislinie.
-
-Für $\varphi_1$ und $\varphi_2$ sind die Definitionsgebiete disjunkt,
-hier gibt es also keine Notwendigkeit, Koordinatenumrechnungen vornehmen
-zu können.
-Dasselbe gilt für $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
-
-Die nichtleeren Schnittmengen der verschiedenen Kartengebiete beschreiben
-jeweils die Punkte der Kreislinie in einem Quadranten.
-Die Umrechnung zwischen den Koordinaten und ihre Ableitung
-ist je nach Quadrant durch
-\begin{align*}
-&\text{1.~Quadrant}&
-\varphi_{31}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{31}
-&=
--\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
-\\
-&\text{2.~Quadrant}&
-\varphi_{24}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{24}
-&=
--\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
-\\
-&\text{3.~Quadrant}&
-\varphi_{42}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{42}
-&=
-\phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
-\\
-&\text{4.~Quadrant}&
-\varphi_{14}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{14}
-&=
-\phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
-\end{align*}
-gegeben.
-Diese Abbildungen sind im offenen Intervall $(-1,1)$ differenzierbar,
-Schwierigkeiten mit der Ableitungen ergeben sich nur an den Stellen
-$x=\pm1$ und $y=\pm 1$, die in einem Überschneidungsgebiet von Karten
-nicht vorkommen können.
-Somit bilden die vier Karten einen differenzierbaren Atlas für
-die Kreislinie (Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}).
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Ganz analog zum vorangegangenen Beispiel über die Kreisline lässt sich
-für eine $n$-di\-men\-sio\-nale Sphäre
-\[
-S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1})\;|\; x_0^2+\dots+x_n^2=1\}
-\]
-immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen
-\[
-\varphi_{i,\pm}
-\colon
-U_{i,\pm}
-=
-\{p\in S^n\;|\; \pm x_i >0\}
-\to
-\mathbb{R}^n
-:
-p\mapsto (x_1,\dots,\hat{x}_i,\dots,x_{n+1})
-\]
-konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht.
-\end{beispiel}
-
-\subsubsection{Tangentialraum}
-Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$
-kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten
-$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden.
-Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein
-soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist,
-wird von der Karte in eine Kurve
-$\gamma_\alpha=\varphi_\alpha\circ\gamma\colon I\to \mathbb{R}^n$
-abgebildet,
-deren Tangentialvektor wieder ein Vektor in $\mathbb{R}^n$ ist.
-
-Eine zweite Karte $\varphi_\beta$ führt auf eine andere Kurve
-mit der Parametrisierung
-$\gamma_\beta=\varphi_\beta\circ\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$
-und einem anderen Tangentialvektor.
-Die beiden Tangentialvektoren können aber mit der Ableitung der
-Koordinatenwechsel-Abbildung
-$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon
-\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \mathbb{R}^n$
-ineinander umgerechnet werden.
-Aus
-\[
-\gamma_\beta
-=
-\varphi_\beta\circ \gamma
-=
-(
-\varphi_\beta
-\circ
-\varphi_\alpha^{-1}
-)
-\circ
-\varphi_\alpha\circ\gamma
-=
-\varphi_{\beta\alpha}
-\circ
-\varphi_\alpha\circ\gamma
-=
-\varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha
-\]
-folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass
-\[
-\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t)
-=
-D\varphi_{\beta\alpha}
-\cdot
-\frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t).
-\]
-Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$
-an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor
-einer Kurve in der Karte $\varphi_\alpha$ den Tangentialvektor der
-Kurve in der Karte $\varphi_\beta$.
-
-Die Forderung nach Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen
-$\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung
-eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen
-Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der
-Mannigfaltigkeit führt.
-Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug,
-mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer
-Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem
-ohne Singularitäten umgangen werden kann.
-
-\begin{beispiel}
-Das Beispiel des Kreises in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
-zeigt, dass die Tangentialvektoren je nach Karte sehr verschieden
-aussehen können.
-Der Tangentialvektor der Kurve $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ im Punkt
-$\gamma(t)$ ist $\dot{y}(t)$ in den Karten $\varphi_1$ und $\varphi_2$
-und $\dot{x}(t)$ in den Karten $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
-
-Die spezielle Kurve $\gamma(t) = (\cos t,\sin t)$ hat in einem Punkt
-$t\in (0,\frac{\pi}2)$.
-in der Karte $\varphi_1$ den Tangentialvektor $\dot{y}(t)=\cos t$,
-in der Karte $\varphi_3$ aber den Tangentialvektor $\dot{x}=-\sin t$.
-Die Ableitung des Kartenwechsels in diesem Punkt ist die $1\times 1$-Matrix
-\[
-D\varphi_{31}(\gamma(t))
-=
--\frac{y(t)}{\sqrt{1-y(t)^2}}
-=
--\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}
-=
--\frac{\sin t}{\cos t}
-=
--\tan t.
-\]
-Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch
-\[
-\dot{x}(t)
-=
-D\varphi_{31}(\gamma(t))
-\dot{y}(t)
-\]
-wird für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu
-\[
-D\varphi_{31}(\gamma(t))
-\cdot
-\dot{y}(t)
-=
--\tan t\cdot \cos t
-=
--\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t
-=
--\sin t
-=
-\dot{x}(t).
-\qedhere
-\]
-\end{beispiel}
-
-Betrachtet man die Kreislinie als Kurve in $\mathbb{R}^2$,
-dann ist der Tangentialvektor durch
-$\dot{\gamma}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ gegeben.
-Da die Karten Projektionen auf die $x$- bzw.~$y$-Achsen sind,
-entsteht der Tangentialvektor in der Karte durch Projektion
-von $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ auf die entsprechende Komponente.
-
-Die Tangentialvektoren in zwei verschiedenen Punkten der Kurve können
-im Allgemeinen nicht miteinander verglichen werden.
-Darüber hinweg hilft auch die Tatsache nicht, dass die Kreislinie
-in den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ eingebettet sind, wo sich Vektoren
-durch Translation miteinander vergleichen lassen.
-Ein nichtverschwindender Tangentialvektor im Punkt $(1,0)$ hat,
-betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$ verschwindende $x$-Komponente,
-für Tangentialvektoren im Inneren eines Quadranten ist dies nicht
-der Fall.
-
-Eine Möglichkeit, einen Tangentialvektor in $(1,0)$ mit einem
-Tangentialvektor im Punkt $(\cos t,\sin t)$ zu vergleichen, besteht
-darin, den Vektor um den Winkel $t$ zu drehen.
-Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie,
-nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$
-in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden.
-Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich.
-Dieser Ansatz ist für alle Matrizen erfolgreich, wie wir später sehen werden.
-
-Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee,
-einen sogenannten Zusammenhang zu definieren, eine Vorschrift, wie
-Tangentialvektoren infinitesimal entlang von Kurven in der Mannigfaltigkeit
-transportiert werden können.
-Auf einer sogenannten {\em Riemannschen Mannigfaltigkeit} ist zusätzlich
-zur Mannigfaltigkeitsstruktur die Längenmessung definiert.
-Sie kann dazu verwendet werden, den Transport von Vektoren entlang einer
-Kurve so zu definieren, dass dabei Längen und Winkel erhalten bleiben.
-Dieser Ansatz ist die Basis der Theorie der Krümmung sogenannter
-Riemannscher Mannigfaltigkeiten.
-
-\subsection{Der Satz von Noether
-\label{buch:subsection:noether}}
-
-
-
-
-
-
-
+% +% symmetrien.tex -- Geometrische Beschreibung von Symmetrien, O(n), SO(n), +% Spiegelungen +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Symmetrien +\label{buch:section:symmetrien}} +\rhead{Symmetrien} +Der geometrische Begriff der Symmetrie meint die Eigenschaft eines +geometrischen Objektes, dass es bei einer Bewegung auf sich selbst +abgebildet wird. +Das Wort stammt aus dem altgriechischen, wo es {\em Gleichmass} +bedeutet. +Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus, +dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen +der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch +Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des +Begriffs verständlich macht. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg} +\caption{Das Castle Howard in Yorkshire war in dieser ausgeprägt symmetrischen +Form geplant, wurde dann aber in modifizeirter Form gebaut. +Messungen zwischen Punkten in der rechten Hälfte des Bildes +ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken +in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt. +\label{buch:lie:bild:castlehoward}} +\end{figure} +In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte +Bedeutung gegeben. +Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht +verändert, wird als Symmetrie bezeichnet. +Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den +den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt, +eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des +Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist +eine Symmetrie des Systems. + +Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat. +Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon +ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden. +Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die +durch Matrizen beschrieben weren. +Eine unter der Symmetrie erhaltene Eigenschaft definiert so eine +Untergruppe der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ der +invertierbaren Matrizen. +Die erhaltenen Eigenschaften definieren eine Menge von Gleichungen, +denen die Elemente der Untergruppe genügen müssen. +Als Lösungsmenge einer Gleichung erhält die Untergruppe damit eine +zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare +Mannigfaltigkeit. +Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit} +eingeführt. +Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der +Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen, +die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind. + +Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare +Mannigfaltigkeit ist. +Die Existenz von geometrischen Konzepten wie Tangentialvektoren +ermöglicht zusätzliche Werkzeuge, mit denen diese Gruppe untersucht +und verstanden werden können. +Ziel dieses Abschnitts ist, die Grundlagen für diese Untersuchung zu +schaffen, die dann im Abschnitt~\ref{buch:section:lie-algebren} +durchgeführt werden soll. + +\subsection{Algebraische Symmetrien +\label{buch:subsection:algebraische-symmetrien}} +Mit Matrizen lassen sich Symmetrien in einem geometrischen Problem +oder in einem physikalischen System beschreiben. +Man denkt dabei gerne zuerst an geometrische Symmetrien wie die +Symmetrie unter Punktspiegelung oder die Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene, +wie sie zum Beispiel durch die Abbildungen +\[ +\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : x\mapsto -x +\qquad\text{oder}\qquad +\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : +\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix}-x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} +\] +dargestellt werden. +Beide haben zunächst die Eigenschaft, dass Längen und Winkel und damit +das Skalarprodukt erhalten sind. +Diese Eigenschaft allein erlaubt aber noch nicht, die beiden Transformationen +zu unterscheiden. +Die Punktspiegelung zeichnet sich dadurch aus, das alle Geraden und alle +Ebenen durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet werden. +Dies funktioniert für die Ebenenspiegelung nicht, dort bleibt nur die +Spiegelungsebene (die $x_1$-$x_2$-Ebene im vorliegenden Fall) und +ihre Normale erhalten. +Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen +auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen. + +Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der +ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ symmetrisch ist, können wir +sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind. +Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$ +u.~s.~w., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden, +ebenfalls Symmetrien. +Wenn die Symmetrie auch umkehrbar ist, dann gilt dies sogar für alle +$n\in\mathbb{Z}$. +Wir erhalten so eine Abbildung +$\varphi\colon \mathbb{Z}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}):n\mapsto f^n$ +mit den Eigenschaften $\varphi(0)=f^0 = I$ und +$\varphi(n+m)=f^{n+m}=f^n\circ f^m = \varphi(n)\circ\varphi(m)$. +$\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $\mathbb{Z}$ in die Gruppe +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. +Wir nennen dies eine {\em diskrete Symmetrie}. + +\subsection{Kontinuierliche Symmetrien +\label{buch:subsection:kontinuierliche-symmetrien}} +Von besonderem Interesse sind kontinuierliche Symmetrien. +Dies sind Abbildungen eines Systems, die von einem Parameter +abhängen. +Zum Beispiel können wir Drehungen der Ebene $\mathbb{R}^2$ um den +Winkel $\alpha$ durch Matrizen +\[ +D_{\alpha} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} +\] +beschrieben werden. +Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant. +Im Gegensatz dazu sind alle $3n$-Ecke mit Schwerpunkt $0$ nur invariant +unter der einen Drehung $D_{\frac{2\pi}3}$ invariant. +Die kleinste Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter +allen Drehungen $D_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um +den Nullpunkt. + +\begin{definition} +Ein Homomorphismus $\varphi\colon\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ +von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die allgemeine lineare Gruppe +heisst eine {\em Einparameter-Untergruppe} von +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. +\end{definition} + +Die Abbildung +\[ +\varphi +\colon +\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) +: +\alpha \mapsto +D_{\alpha} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} +\] +ist also eine Einparameter-Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. + +\subsubsection{Der harmonische Oszillator} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf} +\caption{Die Lösungen der +Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} +im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$. +\label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}} +\end{figure} +Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$ +schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung +\[ +m\frac{d^2}{dt^2} x(t) = -Kx(t). +\] +Die Kreisfrequenz der Schwingung ist +\[ +\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}. +\] +Das System kann als zweidimensionales System im Phasenraum mit den +Koordinaten $x_1=x$ und $x_2=p=m\dot{x}$ beschrieben werden. +Die zweidimensionale Differentialgleichung ist +\begin{equation} +\left. +\begin{aligned} +\dot{x}(t) &= \frac{1}{m}p(t)\\ +\dot{p}(t) &= -Kx(t) +\end{aligned} +\quad +\right\} +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac{d}{dt} +\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&\frac{1}{m}\\ +-K&0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}. +\label{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} +\end{equation} +Die Lösung der Differentialgleichung für die Anfangsbedingung $x(0)=1$ und +$p(0)=0$ ist +\[ +x(t) += +\cos \omega t +\qquad\Rightarrow\qquad +p(t) += +-\omega \sin\omega t, +\] +die Lösung zur Anfangsbedingung $x(0)=0$ und $p(0)=1$ ist +\[ +x(t) = \frac{1}{\omega} \sin\omega t, +\qquad +p(t) = \cos \omega t. +\] +In Matrixform kann man die allgemeine Lösung zur Anfangsbedingun $x(0)=x_0$ +und $p(0)=p_0$ +\begin{equation} +\begin{pmatrix} +x(t)\\ +p(t) +\end{pmatrix} += +\underbrace{ +\begin{pmatrix} + \cos \omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\ +-\omega \sin\omega t & \cos\omega t +\end{pmatrix} +}_{\displaystyle =\Phi_t} +\begin{pmatrix}x_0\\p_0\end{pmatrix} +\label{buch:gruppen:eqn:phi} +\end{equation} +schreiben. +Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameter-Untergruppe von +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da +\begin{align*} +\Phi_s\Phi_t +&= +\begin{pmatrix} + \cos\omega s & \frac{1}{\omega} \sin\omega s \\ +-\omega \sin\omega s & \cos\omega s +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \cos\omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\ +-\omega \sin\omega t & \cos\omega t +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +\cos\omega s \cos\omega t - \sin\omega s \sin\omega t +& \frac{1}{\omega} ( \cos\omega s \sin\omega t + \sin\omega s \cos \omega t) +\\ +-\omega (\sin\omega s \cos\omega t + \cos\omega s \sin\omega t ) +& \cos\omega s \cos\omega t -\sin\omega s \sin\omega t +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} + \cos\omega(s+t) & \frac{1}{\omega}\sin\omega(s+t) \\ +-\omega \sin\omega(s+t) & \cos\omega(s+t) +\end{pmatrix} += +\Phi_{s+t} +\end{align*} +gilt. +Die Lösungen der +Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} +sind in Abbildung~\ref{chapter:gruppen:fig:phasenraum} +Die Matrizen $\Phi_t$ beschreiben eine kontinuierliche Symmetrie +des Differentialgleichungssystems, welches den harmonischen Oszillator +beschreibt. + +\subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung} +Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils +Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. +Der Grund dafür ist, dass die +Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} +linear ist. +Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$ +die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch +Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also +aus der Formel +\[ +\Phi_t (\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda \Phi_t x_1 + \mu \Phi_t x_2. +\] +Dies zeigt, dass $\Phi_t$ für jedes $t$ eine lineare Abbildung sein muss. + +Für eine beliebige Differentialgleichung kann man immer noch eine Abbildung +$\Phi$ konstruieren, die aber nicht mehr linear ist. +Sei dazu die Differentialgleichung erster Ordnung +\begin{equation} +\frac{dx}{dt} += +f(t,x) +\qquad\text{mit}\qquad +f\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n +\label{buch:gruppen:eqn:dgl} +\end{equation} +gegeben. +Für jeden Anfangswert $x_0\in\mathbb{R}^n$ kann man mindestens für eine +gewisse Zeit $t <\varepsilon$ eine Lösung $x(t,x_0)$ finden mit $x(t,x_0)=x_0$. +Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist auch +bekannt, dass $x(t,x_0)$ mindestens in der Nähe von $x_0$ differenzierbar von +$x_0$ abhängt. +Dies erlaubt eine Abbildung +\[ +\Phi\colon \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n +: +(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0) +\] +zu definieren, die sowohl von $t$ als auch von $x_0$ differenzierbar +abhängt. +Aus der Definition folgt unmittelbar, dass $\Phi_0(x_0)=x_0$ ist, dass +also $\Phi_0$ die identische Abbildung von $\mathbb{R}^n$ ist. + +Aus der Definition lässt sich auch ableiten, dass +$\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$ gilt. +$\Phi_t(x_0)=x(t,x_0)$ ist der Endpunkt der Bahn, die bei $x_0$ beginnt +und sich während der Zeit $t$ entwickelt. +$\Phi_s(x(t,x_0))$ ist dann der Endpunkt der Bahn, die bei $x(t,x_0)$ +beginnt und sich während der Zeit $s$ entwickelt. +Somit ist $\Phi_s\circ \Phi_t(x_0)$ der Endpunkt der Bahn, die bei +$x_0$ beginnt und sich über die Zeit $s+t$ entwickelt. +In Formeln bedeutet dies +\[ +\Phi_{s+t} = \Phi_s\circ \Phi_t. +\] +Die Abbildung $t\mapsto \Phi_t$ ist also wieder ein Homomorphismus +von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in eine Gruppe von differenzierbaren +Abbildungen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$. + +\begin{definition} +Die Abbildung +\[ +\Phi\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n +: +(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0) +\] +heisst der {\em Fluss} der Differentialgleichung +\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl}, +wenn für jedes $x_0\in\mathbb{R}^n$ die Kurve $t\mapsto \Phi_t(x_0)$ +eine Lösung der Differentialgleichung ist mit Anfangsbedingung $x_0$. +\end{definition} + +Die Abbildung $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} ist also +der Fluss der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators. + +\subsection{Mannigfaltigkeiten +\label{buch:subsection:mannigfaltigkeit}} +Eine Differentialgleichung der Form~\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl} +stellt einen Zusammenhang her zwischen einem Punkt $x$ und der +Tangentialrichtung einer Bahnkurve $f(t,x)$. +Die Ableitung liefert die lineare Näherung der Bahkurve +\[ +x(t_0+h) = x(t_0) + h f(t_0,x_0) + o(h) +\] +für $h$ in einer kleinen Umgebung von $0$. +Das funktioniert auch, weil $f(t_0,x_0)$ selbst ein Vektor von +$\mathbb{R}^n$ ist, in dem die Bahnkurve verläuft. + +Diese Idee funktioniert nicht mehr zum Beispiel für eine +Differentialgleichung auf einer Kugeloberfläche, weil alle Punkte +$x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche +liegen. +Physikalisch äussert sich das ein einer zusätzlichen Kraft, die nötig +ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten. +Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für +Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind. +Trotzdem ist der Tangentialvektor oder der Geschwindigkeitsvektor +nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert +werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als +in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann. + +Um die Idee der Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche +konsistent zu machen ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung +auf eine Art zu definieren, die nicht von der Einbettung der Fläche +in den $n$-dimensionalen Raum abhängig ist. +Das in diesem Abschnitt entwickelte Konzept der {\em Mannigfaltigkeit} +löst dieses Problem. + +\subsubsection{Karten} +Die Navigation auf der Erdoberfläche verwendet das Koordinatensystem +der geographischen Länge und Breite. +Dieses Koordinatensystem funktioniert gut, solange man sich nicht an +den geographischen Polen befindet, denn deren Koordinaten sind +nicht mehr eindeutig. +Alle Punkte mit geographischer Breite $90^\circ$ und beliebiger +geographischer Länge beschreiben den Nordpol. +Auch die Ableitung funktioniert dort nicht mehr. +Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit über den Nordpol, +springt die Ableitung der geographischen Breite von einem positiven +Wert auf einen negativen Wert, sie kann also nicht differenzierbar sein. +Diese Einschränkungen sind in der Praxis nur ein geringes Problem dar, +da die meisten Reisen nicht über die Pole erfolgen. + +Der Polarforscher, der in unmittelbarer Umgebung des Poles arbeitet, +kann das Problem lösen, indem er eine lokale Karte für das Gebiet +um den Pol erstellt. +Dafür kann er beliebige Koordinaten verwenden, zum Beispiel auch +ein kartesisches Koordinatensystem, er muss nur eine Methode haben, +wie er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite +umrechnen will. +Und wenn er über Geschwindigkeiten kommunizieren will, dann muss +er auch Ableitungen von Kurven in seinem kartesischen Koordinatensystem +umrechnen können auf die Kugelkoordinaten. +Dazu muss seine Umrechnungsformel von kartesischen Koordinaten +auf Kugelkoordinaten differenzierbar sein. + +Diese Idee wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert. +Eine $n$-dimensionale {\em Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ von Punkten, +die lokal, also in der Umgebung eines Punktes, mit möglicherweise mehreren +verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann. +Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge +$U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$. +Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/karten.pdf} +\caption{Karten +$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to \mathbb{R}^2$ +und +$\varphi_\beta\colon U_\beta\to \mathbb{R}^2$ +auf einem Torus. +Auf dem Überschneidungsgebiet $\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$ +ist der Kartenwechsel $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ wohldefiniert +und muss differnzierbar sein, wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit +entstehen soll. +\label{buch:gruppen:fig:karten}} +\end{figure} + +\begin{definition} +Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung +$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch +Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}). +Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$ +derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$ +überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen +\[ +\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1} +\colon +\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta) +\to +\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta) +\] +als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar +ist. +Eine {$n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine +Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas. +\end{definition} + +Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale +Koordinatensysteme ineinander umrechnen lassen. + +\begin{beispiel} +$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit denn +die identische Abbildung $M\to \mathbb{R}^n$ ist eine Karte und ein +Atlas von $M$. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf} +\caption{Karten für die Kreislinie $S^1\subset\mathbb{R}^2$. +\label{buch:gruppen:fig:kartenkreis}} +\end{figure} +Die Kreislinie in in der Ebene ist eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit. +Natürlich kann sie nicht mit einer einzigen Karte beschrieben werden, +da es keine umkehrbaren Abbildungen zwischen $\mathbb{R}$ und der Kreislinie +gibt. +Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden +vier Karten: +\begin{align*} +\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R} +: +(x,y) \mapsto y +\\ +\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R} +: +(x,y) \mapsto y +\\ +\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R} +: +(x,y) \mapsto x +\\ +\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R} +: +(x,y) \mapsto x +\end{align*} +Die Werte der Kartenabbildungen sind genau die $x$- und $y$-Koordinaten +auf der in den Raum $\mathbb{R}^2$ eingebetteten Kreislinie. + +Für $\varphi_1$ und $\varphi_2$ sind die Definitionsgebiete disjunkt, +hier gibt es also keine Notwendigkeit, Koordinatenumrechnungen vornehmen +zu können. +Dasselbe gilt für $\varphi_3$ und $\varphi_4$. + +Die nichtleeren Schnittmengen der verschiedenen Kartengebiete beschreiben +jeweils die Punkte der Kreislinie in einem Quadranten. +Die Umrechnung zwischen den Koordinaten und ihre Ableitung +ist je nach Quadrant durch +\begin{align*} +&\text{1.~Quadrant}& +\varphi_{31} +&= +\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut} +& +D\varphi_{31} +&= +-\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}} +\\ +&\text{2.~Quadrant}& +\varphi_{24} +&= +\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut} +& +D\varphi_{24} +&= +-\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}} +\\ +&\text{3.~Quadrant}& +\varphi_{42} +&= +\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut} +& +D\varphi_{42} +&= +\phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}} +\\ +&\text{4.~Quadrant}& +\varphi_{14} +&= +\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut} +& +D\varphi_{14} +&= +\phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}} +\end{align*} +gegeben. +Diese Abbildungen sind im offenen Intervall $(-1,1)$ differenzierbar, +Schwierigkeiten mit der Ableitungen ergeben sich nur an den Stellen +$x=\pm1$ und $y=\pm 1$, die in einem Überschneidungsgebiet von Karten +nicht vorkommen können. +Somit bilden die vier Karten einen differenzierbaren Atlas für +die Kreislinie (Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}). +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Ganz analog zum vorangegangenen Beispiel über die Kreisline lässt sich +für eine $n$-di\-men\-sio\-nale Sphäre +\[ +S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1})\;|\; x_0^2+\dots+x_n^2=1\} +\] +immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen +\[ +\varphi_{i,\pm} +\colon +U_{i,\pm} += +\{p\in S^n\;|\; \pm x_i >0\} +\to +\mathbb{R}^n +: +p\mapsto (x_1,\dots,\hat{x}_i,\dots,x_{n+1}) +\] +konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht. +\end{beispiel} + +\subsubsection{Tangentialraum} +Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$ +kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten +$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden. +Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein +soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist, +wird von der Karte in eine Kurve +$\gamma_\alpha=\varphi_\alpha\circ\gamma\colon I\to \mathbb{R}^n$ +abgebildet, +deren Tangentialvektor wieder ein Vektor in $\mathbb{R}^n$ ist. + +Eine zweite Karte $\varphi_\beta$ führt auf eine andere Kurve +mit der Parametrisierung +$\gamma_\beta=\varphi_\beta\circ\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$ +und einem anderen Tangentialvektor. +Die beiden Tangentialvektoren können aber mit der Ableitung der +Koordinatenwechsel-Abbildung +$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon +\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \mathbb{R}^n$ +ineinander umgerechnet werden. +Aus +\[ +\gamma_\beta += +\varphi_\beta\circ \gamma += +( +\varphi_\beta +\circ +\varphi_\alpha^{-1} +) +\circ +\varphi_\alpha\circ\gamma += +\varphi_{\beta\alpha} +\circ +\varphi_\alpha\circ\gamma += +\varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha +\] +folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass +\[ +\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t) += +D\varphi_{\beta\alpha} +\cdot +\frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t). +\] +Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$ +an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor +einer Kurve in der Karte $\varphi_\alpha$ den Tangentialvektor der +Kurve in der Karte $\varphi_\beta$. + +Die Forderung nach Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen +$\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung +eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen +Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der +Mannigfaltigkeit führt. +Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug, +mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer +Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem +ohne Singularitäten umgangen werden kann. + +\begin{beispiel} +Das Beispiel des Kreises in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis} +zeigt, dass die Tangentialvektoren je nach Karte sehr verschieden +aussehen können. +Der Tangentialvektor der Kurve $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ im Punkt +$\gamma(t)$ ist $\dot{y}(t)$ in den Karten $\varphi_1$ und $\varphi_2$ +und $\dot{x}(t)$ in den Karten $\varphi_3$ und $\varphi_4$. + +Die spezielle Kurve $\gamma(t) = (\cos t,\sin t)$ hat in einem Punkt +$t\in (0,\frac{\pi}2)$. +in der Karte $\varphi_1$ den Tangentialvektor $\dot{y}(t)=\cos t$, +in der Karte $\varphi_3$ aber den Tangentialvektor $\dot{x}=-\sin t$. +Die Ableitung des Kartenwechsels in diesem Punkt ist die $1\times 1$-Matrix +\[ +D\varphi_{31}(\gamma(t)) += +-\frac{y(t)}{\sqrt{1-y(t)^2}} += +-\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2 t}} += +-\frac{\sin t}{\cos t} += +-\tan t. +\] +Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch +\[ +\dot{x}(t) += +D\varphi_{31}(\gamma(t)) +\dot{y}(t) +\] +wird für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu +\[ +D\varphi_{31}(\gamma(t)) +\cdot +\dot{y}(t) += +-\tan t\cdot \cos t += +-\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t += +-\sin t += +\dot{x}(t). +\qedhere +\] +\end{beispiel} + +Betrachtet man die Kreislinie als Kurve in $\mathbb{R}^2$, +dann ist der Tangentialvektor durch +$\dot{\gamma}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ gegeben. +Da die Karten Projektionen auf die $x$- bzw.~$y$-Achsen sind, +entsteht der Tangentialvektor in der Karte durch Projektion +von $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ auf die entsprechende Komponente. + +Die Tangentialvektoren in zwei verschiedenen Punkten der Kurve können +im Allgemeinen nicht miteinander verglichen werden. +Darüber hinweg hilft auch die Tatsache nicht, dass die Kreislinie +in den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ eingebettet sind, wo sich Vektoren +durch Translation miteinander vergleichen lassen. +Ein nichtverschwindender Tangentialvektor im Punkt $(1,0)$ hat, +betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$ verschwindende $x$-Komponente, +für Tangentialvektoren im Inneren eines Quadranten ist dies nicht +der Fall. + +Eine Möglichkeit, einen Tangentialvektor in $(1,0)$ mit einem +Tangentialvektor im Punkt $(\cos t,\sin t)$ zu vergleichen, besteht +darin, den Vektor um den Winkel $t$ zu drehen. +Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie, +nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$ +in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden. +Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich. +Dieser Ansatz ist für alle Matrizen erfolgreich, wie wir später sehen werden. + +Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee, +einen sogenannten Zusammenhang zu definieren, eine Vorschrift, wie +Tangentialvektoren infinitesimal entlang von Kurven in der Mannigfaltigkeit +transportiert werden können. +Auf einer sogenannten {\em Riemannschen Mannigfaltigkeit} ist zusätzlich +zur Mannigfaltigkeitsstruktur die Längenmessung definiert. +Sie kann dazu verwendet werden, den Transport von Vektoren entlang einer +Kurve so zu definieren, dass dabei Längen und Winkel erhalten bleiben. +Dieser Ansatz ist die Basis der Theorie der Krümmung sogenannter +Riemannscher Mannigfaltigkeiten. + +\subsection{Der Satz von Noether +\label{buch:subsection:noether}} + + + + + + + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex index 5c973fd..2acf6f6 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex @@ -1,233 +1,233 @@ -Eine Drehung eines Vektors $\vec{x}$ der Ebene $\mathbb{R}^2$
-um den Winkel $\alpha$ gefolgt von einer Translation um $\vec{t}$
-ist gegeben durch $D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$.
-Darauf lässt sich jedoch die Theorie der Matrizengruppen nicht
-darauf anwenden, weil die Operation nicht die Form einer Matrixmultiplikation
-schreiben.
-Die Drehung und Translation kann in eine Matrix zusammengefasst werden,
-indem zunächst die Ebene mit
-\[
-\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3
-:
-\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}
-\qquad\text{oder in Vektorschreibweise }\qquad
-\vec{x}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-\]
-in den dreidimensionalen Raum eingebettet wird.
-Die Drehung und Verschiebung kann damit in der Form
-\[
-\begin{pmatrix}D_\alpha\vec{x}+\vec{t}\\1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}D_\alpha&\vec{t}\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-\]
-als Matrizenoperation geschrieben werden.
-Die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen der Ebene ist daher
-die Gruppe
-\[
-G
-=
-\left\{
-\left.
-A
-=
-\begin{pmatrix}
-D_\alpha&\vec{t}\\
-0&1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha & -\sin\alpha & t_x \\
-\sin\alpha & \cos\alpha & t_y \\
- 0 & 0 & 1
-\end{pmatrix}
-\;
-\right|
-\;
-\alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2
-\right\}
-\]
-Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab.
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Verifizieren Sie, dass das Produkt zweier solcher Matrizen
-$(\alpha_1,\vec{t}_1)$ und $(\alpha_2,\vec{t}_2)$
-wieder die selbe Form $(\alpha,\vec{t})$ hat und berechnen Sie
-$\alpha$ und $\vec{t}_j$.
-\item
-Bestimmen Sie das inverse Element zu $(\alpha,\vec{t}) \in G$.
-\item
-Die Elemente der Gruppe $G$ sind parametrisiert durch den Winkel $\alpha$
-und die Translationskomponenten $t_x$ und $t_y$.
-Rechnen Sie nach, dass
-\[
-\alpha\mapsto \begin{pmatrix} D_{\alpha}&0\\0&1\end{pmatrix},
-\quad
-t_x\mapsto
-\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix},
-\qquad
-t_y\mapsto
-\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\]
-Einparameteruntergruppen von $G$ sind.
-\item
-Berechnen Sie die Tangentialvektoren $D$, $X$ und $Y$,
-die zu den Einparameteruntergruppen von c) gehören.
-\item
-Berechnen Sie die Lie-Klammer für alle Paare von Tangentialvektoren.
-\end{teilaufgaben}
-
-\begin{loesung}
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Die Wirkung beider Gruppenelemente auf dem Vektor $\vec{x}$ ist
-\begin{align*}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}&\vec{t}_2\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-&=
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2\\1\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1}(D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2)+\vec{t}_1\\1
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1}D_{\alpha_2}\vec{x} + D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1+\alpha_2}&D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\
-0&1
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}.
-\end{align*}
-Das Produkt in der Gruppe $G$ kann daher
-\[
-(\alpha_1,\vec{t}_1) (\alpha_2,\vec{t}_2)
-=
-(\alpha_1+\alpha_2,\vec{t}_1+D_{\alpha_1}\vec{t}_2)
-\]
-geschrieben werden.
-\item
-Die Inverse der Abbildung $\vec{x}\mapsto \vec{y}=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$
-kann gefunden werden, indem man auf der rechten Seite nach $\vec{x}$
-auflöst:
-\begin{align*}
-\vec{y}&=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}
-&&\Rightarrow&
-D_{\alpha}^{-1}( \vec{y}-\vec{t}) &= \vec{x}
-\\
-&&&& \vec{x} &= D_{-\alpha}\vec{y} + (-D_{-\alpha}\vec{t})
-\end{align*}
-Die Inverse von $(\alpha,\vec{t})$ ist also $(-\alpha,-D_{-\alpha}\vec{t})$.
-\item
-Da $D_\alpha$ eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{SO}(2)$ ist,
-ist $\alpha\mapsto (D_\alpha,0)$ ebenfalls eine Einparameteruntergruppe.
-Für die beiden anderen gilt
-\[
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-=
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}+t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-\quad\text{und}\quad
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}\end{pmatrix}\biggr)
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y2}\end{pmatrix}\biggr)
-=
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}+t_{y2}\end{pmatrix}\biggr),
-\]
-also sind dies auch Einparameteruntergruppen.
-\item
-Die Ableitungen sind
-\begin{align*}
-D
-&=
-\frac{d}{d\alpha}\begin{pmatrix}D_\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{\alpha=0}
-=
-\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&-1&0\\
-1& 0&0\\
-0& 0&0
-\end{pmatrix}
-\\
-X
-&=
-\frac{d}{dt_x}
-\left.
-\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\right|_{t_x=0}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&1\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-&
-Y
-&=
-\frac{d}{dt_y}
-\left.
-\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\right|_{t_y=0}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-\end{align*}
-\item
-Die Vertauschungsrelationen sind
-\begin{align*}
-[D,X]
-&=
-DX-XD
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-Y
-\\
-[D,Y]
-&=
-DY-YD
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&-1\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
--X
-\\
-[X,Y]
-&=
-XY-YX
-=
-0-0=0
-\qedhere
-\end{align*}
-\end{teilaufgaben}
-\end{loesung}
+Eine Drehung eines Vektors $\vec{x}$ der Ebene $\mathbb{R}^2$ +um den Winkel $\alpha$ gefolgt von einer Translation um $\vec{t}$ +ist gegeben durch $D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$. +Darauf lässt sich jedoch die Theorie der Matrizengruppen nicht +darauf anwenden, weil die Operation nicht die Form einer Matrixmultiplikation +schreiben. +Die Drehung und Translation kann in eine Matrix zusammengefasst werden, +indem zunächst die Ebene mit +\[ +\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 +: +\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} +\qquad\text{oder in Vektorschreibweise }\qquad +\vec{x}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix} +\] +in den dreidimensionalen Raum eingebettet wird. +Die Drehung und Verschiebung kann damit in der Form +\[ +\begin{pmatrix}D_\alpha\vec{x}+\vec{t}\\1 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}D_\alpha&\vec{t}\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix} +\] +als Matrizenoperation geschrieben werden. +Die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen der Ebene ist daher +die Gruppe +\[ +G += +\left\{ +\left. +A += +\begin{pmatrix} +D_\alpha&\vec{t}\\ +0&1 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha & -\sin\alpha & t_x \\ +\sin\alpha & \cos\alpha & t_y \\ + 0 & 0 & 1 +\end{pmatrix} +\; +\right| +\; +\alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2 +\right\} +\] +Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab. +\begin{teilaufgaben} +\item +Verifizieren Sie, dass das Produkt zweier solcher Matrizen +$(\alpha_1,\vec{t}_1)$ und $(\alpha_2,\vec{t}_2)$ +wieder die selbe Form $(\alpha,\vec{t})$ hat und berechnen Sie +$\alpha$ und $\vec{t}_j$. +\item +Bestimmen Sie das inverse Element zu $(\alpha,\vec{t}) \in G$. +\item +Die Elemente der Gruppe $G$ sind parametrisiert durch den Winkel $\alpha$ +und die Translationskomponenten $t_x$ und $t_y$. +Rechnen Sie nach, dass +\[ +\alpha\mapsto \begin{pmatrix} D_{\alpha}&0\\0&1\end{pmatrix}, +\quad +t_x\mapsto +\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}, +\qquad +t_y\mapsto +\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix} +\] +Einparameteruntergruppen von $G$ sind. +\item +Berechnen Sie die Tangentialvektoren $D$, $X$ und $Y$, +die zu den Einparameteruntergruppen von c) gehören. +\item +Berechnen Sie die Lie-Klammer für alle Paare von Tangentialvektoren. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Die Wirkung beider Gruppenelemente auf dem Vektor $\vec{x}$ ist +\begin{align*} +\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}&\vec{t}_2\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2\\1\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +D_{\alpha_1}(D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2)+\vec{t}_1\\1 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +D_{\alpha_1}D_{\alpha_2}\vec{x} + D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\1 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +D_{\alpha_1+\alpha_2}&D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\ +0&1 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}. +\end{align*} +Das Produkt in der Gruppe $G$ kann daher +\[ +(\alpha_1,\vec{t}_1) (\alpha_2,\vec{t}_2) += +(\alpha_1+\alpha_2,\vec{t}_1+D_{\alpha_1}\vec{t}_2) +\] +geschrieben werden. +\item +Die Inverse der Abbildung $\vec{x}\mapsto \vec{y}=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$ +kann gefunden werden, indem man auf der rechten Seite nach $\vec{x}$ +auflöst: +\begin{align*} +\vec{y}&=D_\alpha\vec{x}+\vec{t} +&&\Rightarrow& +D_{\alpha}^{-1}( \vec{y}-\vec{t}) &= \vec{x} +\\ +&&&& \vec{x} &= D_{-\alpha}\vec{y} + (-D_{-\alpha}\vec{t}) +\end{align*} +Die Inverse von $(\alpha,\vec{t})$ ist also $(-\alpha,-D_{-\alpha}\vec{t})$. +\item +Da $D_\alpha$ eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{SO}(2)$ ist, +ist $\alpha\mapsto (D_\alpha,0)$ ebenfalls eine Einparameteruntergruppe. +Für die beiden anderen gilt +\[ +\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}\\0\end{pmatrix}\biggr) +\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr) += +\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}+t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr) +\quad\text{und}\quad +\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}\end{pmatrix}\biggr) +\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y2}\end{pmatrix}\biggr) += +\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}+t_{y2}\end{pmatrix}\biggr), +\] +also sind dies auch Einparameteruntergruppen. +\item +Die Ableitungen sind +\begin{align*} +D +&= +\frac{d}{d\alpha}\begin{pmatrix}D_\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{\alpha=0} += +\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&-1&0\\ +1& 0&0\\ +0& 0&0 +\end{pmatrix} +\\ +X +&= +\frac{d}{dt_x} +\left. +\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix} +\right|_{t_x=0} += +\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +& +Y +&= +\frac{d}{dt_y} +\left. +\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix} +\right|_{t_y=0} += +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&1\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +\end{align*} +\item +Die Vertauschungsrelationen sind +\begin{align*} +[D,X] +&= +DX-XD += +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&1\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +Y +\\ +[D,Y] +&= +DY-YD += +\begin{pmatrix} +0&0&-1\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +-X +\\ +[X,Y] +&= +XY-YX += +0-0=0 +\qedhere +\end{align*} +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex index 25ac535..14fbe2b 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex @@ -1,162 +1,162 @@ -Die Elemente der Gruppe $G$ der Translationen und Streckungen von
-$\mathbb{R}$ kann durch Paare $(\lambda,t)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$
-beschrieben werden,
-wobei $\lambda$ durch Streckung und $t$ durch Translation wirkt:
-\[
-(\lambda,t)\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\mapsto \lambda x+t.
-\]
-Dies ist allerdings noch keine Untergruppe einer Matrizengruppe.
-Dazu bettet man $\mathbb{R}$ mit Hilfe der Abbildung
-\[
-\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : x\mapsto \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}
-\]
-in $\mathbb{R}^2$ ein.
-Die Wirkung von $(\lambda,t)$ ist dann
-\[
-\begin{pmatrix}(\lambda,t)\cdot x\\1\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix} \lambda x + t\\1\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}.
-\]
-Die Wirkung des Paares $(\lambda,t)$ kann also mit Hilfe einer
-$2\times 2$-Matrix beschrieben werden.
-Die Abbildung
-\[
-G\to \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})
-:
-(\lambda,t)
-\mapsto
-\begin{pmatrix}\lambda&t\\0&1\end{pmatrix}
-\]
-bettet die Gruppe $G$ in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ ein.
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Berechnen Sie das Produkt $g_1g_2$ zweier Elemente
-$g_j=(\lambda_j,t_j)$.
-\item
-Bestimmen Sie das inverse Elemente von $(\lambda,t)$ in $G$.
-\item
-Der sogenannte Kommutator zweier Elemente ist $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$,
-berechnen Sie den Kommutator für die Gruppenelemente von a).
-\item
-Rechnen Sie nach, dass
-\[
-s\mapsto \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}
-,\qquad
-t\mapsto \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}
-\]
-Einparameteruntergruppen von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ sind.
-\item
-Berechnen Sie die Tangentialvektoren $S$ und $T$ dieser beiden
-Einparameteruntergruppen.
-\item
-Berechnen Sie den Kommutator $[S,T]$
-\end{teilaufgaben}
-
-\begin{loesung}
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Die beiden Gruppenelemente wirken auf $x$ nach
-\[
-(\lambda_1,t_1)
-(\lambda_2,t_2)
-\cdot
-x
-=
-(\lambda_1,t_1)(\lambda_2x+t_2)
-=
-\lambda_1(\lambda_2x+t_2)+t_1)
-=
-\lambda_1\lambda_2 x + (\lambda_1t_2+t_1),
-\]
-also ist $g_1g_2=(\lambda_1\lambda_2,\lambda_1t_2+t_1)$.
-\item
-Die Inverse von $(\lambda,t)$ kann erhalten werden, indem man die
-Abbildung $x\mapsto y=\lambda x +t$ nach $x$ auflöst:
-\[
-y=\lambda x+t
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\lambda^{-1}(y-t)
-=
-\lambda^{-1}y - \lambda^{-1}t.
-\]
-Daraus liest man ab, dass $(\lambda,t)^{-1}=(\lambda^{-1},-\lambda^{-1}t)$
-ist.
-\item
-Mit Hilfe der Identität $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}=g_1g_2(g_2g_1)^{-1}$
-kann man den Kommutator leichter berechnen
-\begin{align*}
-g_1g_2&=(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
-\\
-g_2g_1&= (\lambda_2\lambda_1,t_2+\lambda_2t_1)
-\\
-(g_2g_1)^{-1}
-&=
-(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
- -\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
-\\
-g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}
-&=
-(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
-(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
- -\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
-\\
-&=(1,t_1+\lambda_1t_2 + \lambda_1\lambda_2(
- -\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
-)
-\\
-&=(1, t_1+\lambda_1t_2 - t_2 -\lambda_2t_1)
-=
-(1,(1-\lambda_2)(t_1-t_2)).
-\end{align*}
-Der Kommutator ist also das neutrale Element, wenn $\lambda_2=1$ ist.
-\item
-Dies ist am einfachsten in der Matrixform nachzurechnen:
-\begin{align*}
-\begin{pmatrix} e^{s_1}&0\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix} e^{s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
-&=
-\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
-&
-\begin{pmatrix} 1&t_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix} 1&t_2\\0&1\end{pmatrix}
-&=
-\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix}
-\end{align*}
-\item
-Die Tangentialvektoren werden erhalten durch ableiten der
-Matrixdarstellung nach dem Parameter
-\begin{align*}
-S
-&=
-\frac{d}{ds} \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{s=0}
-=
-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-\\
-T
-&=
-\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{t=0}
-=
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
-\end{align*}
-\item Der Kommutator ist
-\[
-[S,T]
-=
-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
-=
-T.
-\qedhere
-\]
-\end{teilaufgaben}
-\end{loesung}
-
+Die Elemente der Gruppe $G$ der Translationen und Streckungen von +$\mathbb{R}$ kann durch Paare $(\lambda,t)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$ +beschrieben werden, +wobei $\lambda$ durch Streckung und $t$ durch Translation wirkt: +\[ +(\lambda,t)\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\mapsto \lambda x+t. +\] +Dies ist allerdings noch keine Untergruppe einer Matrizengruppe. +Dazu bettet man $\mathbb{R}$ mit Hilfe der Abbildung +\[ +\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : x\mapsto \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix} +\] +in $\mathbb{R}^2$ ein. +Die Wirkung von $(\lambda,t)$ ist dann +\[ +\begin{pmatrix}(\lambda,t)\cdot x\\1\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} \lambda x + t\\1\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}. +\] +Die Wirkung des Paares $(\lambda,t)$ kann also mit Hilfe einer +$2\times 2$-Matrix beschrieben werden. +Die Abbildung +\[ +G\to \operatorname{GL}_2(\mathbb{R}) +: +(\lambda,t) +\mapsto +\begin{pmatrix}\lambda&t\\0&1\end{pmatrix} +\] +bettet die Gruppe $G$ in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ ein. +\begin{teilaufgaben} +\item +Berechnen Sie das Produkt $g_1g_2$ zweier Elemente +$g_j=(\lambda_j,t_j)$. +\item +Bestimmen Sie das inverse Elemente von $(\lambda,t)$ in $G$. +\item +Der sogenannte Kommutator zweier Elemente ist $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$, +berechnen Sie den Kommutator für die Gruppenelemente von a). +\item +Rechnen Sie nach, dass +\[ +s\mapsto \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix} +,\qquad +t\mapsto \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix} +\] +Einparameteruntergruppen von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ sind. +\item +Berechnen Sie die Tangentialvektoren $S$ und $T$ dieser beiden +Einparameteruntergruppen. +\item +Berechnen Sie den Kommutator $[S,T]$ +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Die beiden Gruppenelemente wirken auf $x$ nach +\[ +(\lambda_1,t_1) +(\lambda_2,t_2) +\cdot +x += +(\lambda_1,t_1)(\lambda_2x+t_2) += +\lambda_1(\lambda_2x+t_2)+t_1) += +\lambda_1\lambda_2 x + (\lambda_1t_2+t_1), +\] +also ist $g_1g_2=(\lambda_1\lambda_2,\lambda_1t_2+t_1)$. +\item +Die Inverse von $(\lambda,t)$ kann erhalten werden, indem man die +Abbildung $x\mapsto y=\lambda x +t$ nach $x$ auflöst: +\[ +y=\lambda x+t +\qquad\Rightarrow\qquad +\lambda^{-1}(y-t) += +\lambda^{-1}y - \lambda^{-1}t. +\] +Daraus liest man ab, dass $(\lambda,t)^{-1}=(\lambda^{-1},-\lambda^{-1}t)$ +ist. +\item +Mit Hilfe der Identität $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}=g_1g_2(g_2g_1)^{-1}$ +kann man den Kommutator leichter berechnen +\begin{align*} +g_1g_2&=(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2) +\\ +g_2g_1&= (\lambda_2\lambda_1,t_2+\lambda_2t_1) +\\ +(g_2g_1)^{-1} +&= +(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1}, + -\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1)) +\\ +g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1} +&= +(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2) +(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1}, + -\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1)) +\\ +&=(1,t_1+\lambda_1t_2 + \lambda_1\lambda_2( + -\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1)) +) +\\ +&=(1, t_1+\lambda_1t_2 - t_2 -\lambda_2t_1) += +(1,(1-\lambda_2)(t_1-t_2)). +\end{align*} +Der Kommutator ist also das neutrale Element, wenn $\lambda_2=1$ ist. +\item +Dies ist am einfachsten in der Matrixform nachzurechnen: +\begin{align*} +\begin{pmatrix} e^{s_1}&0\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} e^{s_2}&0\\0&1\end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix} +& +\begin{pmatrix} 1&t_1\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1&t_2\\0&1\end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix} +\end{align*} +\item +Die Tangentialvektoren werden erhalten durch ableiten der +Matrixdarstellung nach dem Parameter +\begin{align*} +S +&= +\frac{d}{ds} \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{s=0} += +\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} +\\ +T +&= +\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{t=0} += +\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +\end{align*} +\item Der Kommutator ist +\[ +[S,T] += +\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} += +T. +\qedhere +\] +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} + |