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-\subsection{Vergleich mit der Wärmeleitung auf $\mathbb{R}$} -Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss -der partiellen Differentialgleichung -\[ -\frac{\partial T}{\partial t} = -\kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}. -\] -Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die -Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung -$\partial^2/\partial x^2$ sind. -Diese haben das gleiche Problem, der Betrag von $e^{ikx}$ ist $1$, die -Entfernung von einem Punkt spielt überhaupt keine Rolle. -Die Funktion -\[ -F(x,t) -= -\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-x^2/4\kappa t} -\] -ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit einem Maximum an -der Stelle $0$. -Sie heisst die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. -Durch Überlagerung von Translaten in eine Funktion -\begin{equation} -f(x,t) -= -\int_{-\infty}^\infty f(\xi) F(x-\xi,t)\,d\xi -\label{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung} -\end{equation} -kann man die allgemeine Lösung aus Fundamentallösungen zusammensetzen. -Die Fundamentallösungen $f(x-\xi,t)$ sind für kleine Zeiten immer noch -deutlich in einer Umgebung von $\xi$ konzentriert. - -% XXX Ausbreitung der Fundamentallösung illustrieren -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf} -\caption{Vergleich der verschiedenen Funktionenfamilien, mit denen -Lösungenfunktionen durch Linearkombination erzeugt werden können. -In der Standarbasis (links) ist es am einfachsten, die Funktionswerte -abzulesen, in der Eigenbasis (Mitte) kann die zeitliche Entwicklung -besonders leicht berechnet werden. -Dazuwischen liegen die Fundamentallösungen (rechts), die eine einigermassen -übersichtliche Zeitentwicklung haben, die Berechnung der Temperatur an -einer Stelle $x$ zur Zeit $t$ ist aber erst durch das Integral -\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung} gegeben. -\label{buch:graphen:fig:fundamental}} -\end{figure} - -\subsection{Fundamentallösungen auf einem Graphen} -Die Wärmeleitungsgleichung auf einem Graphen kann für einen -Standardbasisvektor mit Hilfe der -Lösungsformel~\eqref{buch:graphen:eqn:eigloesung} -gefunden werden. -Aus physikalischen Gründen ist aber offensichtlich, dass die -Wärmeenergie Fundamentallösungen $F_i(t)$ für kurze Zeiten $t$ -in der Nähe des Knoten $i$ konzentriert ist. -Dies ist aber aus der expliziten Formel -\begin{equation} -F_i(t) -= -\sum_{j=1}^n \langle f_j,e_i\rangle e^{-\kappa \lambda_i t} f_j -= -\sum_{j=1}^n \overline{f}_{ji} e^{-\kappa \lambda_i t}, -\label{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph} -\end{equation} -nicht unmittelbar erkennbar. - -Man kann aber aus~\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph} ablesen, -dass für zunehmende Zeit die hohen Frequenzen sehr schnell gedämpft -werden. -Die hohen Frequenzen erzeugen also den scharfen Peak für Zeiten nahe -beim Knoten $i$, die zu kleineren $\lambda_i$ beschreiben die Ausbreitung -über grössere Distanzen. -Die Fundamentallösung interpoliert also in einem gewissen Sinne zwischen -den Extremen der Standardbasis und der Eigenbasis. -Die ``Interpolation'' geht von der Differentialgleichung aus, -sie ist nicht einfach nur ein Filter, der die verschiedenen Frequenzen -auf die gleiche Art bearbeitet. - -Gesucht ist eine Methode, eine Familie von Vektoren zu finden, -aus der sich alle Vektoren linear kombinieren lassen, in der aber -auch auf die für die Anwendung interessante Längenskala angepasste -Funktionen gefunden werden können. - -\subsection{Wavelets und Frequenzspektrum} -Eine Wavelet-Basis der Funktionen auf $\mathbb{R}$ zerlegt - - -\subsection{Frequenzspektrum -\label{buch:subsection:frequenzspektrum}} -Die Fundamentallösung der Wärmeleitunsgleichung haben ein Spektrum, welches -wie $e^{-k^2}$ gegen $0$ geht. - -Die Fundamentallösung entsteht dadurch, dass die hohen Frequenzen -schneller dämpft als die tiefen Frequenzen. - - -\subsection{Wavelet-Basen -\label{buch:subsection:}} - - - - - +%
+% wavelets.tex -- Wavelets auf Graphen
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+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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+\section{Wavelets auf Graphen
+\label{buch:section:wavelets-auf-graphen}}
+\rhead{Wavelets auf Graphen}
+In Abschnitt~\ref{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis} wurde
+gezeigt dass die Standardbasis den Zusammenhang zwischen den einzelnen
+Teilen des Graphen völlig ignoriert, während die Eigenbasis Wellen
+beschreibt, die mit vergleichbarer Amplitude sich über den ganzen
+Graphen entsprechen.
+Die Eigenbasis unterdrückt also die ``Individualität'' der einzelnen
+Knoten fast vollständig.
+
+Wenn man einen Standardbasisvektor in einem Knoten $i$
+als Anfangstemperaturverteilung verwendet, erwartet man eine Lösung,
+die für kleine Zeiten $t$ die Energie immer in der Nähe des Knotens $i$
+konzentriert hat.
+Weder die Standardbasis noch die Eigenbasis haben diese Eigenschaft.
+
+\subsection{Vergleich mit der Wärmeleitung auf $\mathbb{R}$}
+Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss
+der partiellen Differentialgleichung
+\[
+\frac{\partial T}{\partial t} = -\kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
+\]
+Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die
+Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung
+$\partial^2/\partial x^2$ sind.
+Diese haben das gleiche Problem, der Betrag von $e^{ikx}$ ist $1$, die
+Entfernung von einem Punkt spielt überhaupt keine Rolle.
+Die Funktion
+\[
+F(x,t)
+=
+\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-x^2/4\kappa t}
+\]
+ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit einem Maximum an
+der Stelle $0$.
+Sie heisst die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung.
+Durch Überlagerung von Translaten in eine Funktion
+\begin{equation}
+f(x,t)
+=
+\int_{-\infty}^\infty f(\xi) F(x-\xi,t)\,d\xi
+\label{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung}
+\end{equation}
+kann man die allgemeine Lösung aus Fundamentallösungen zusammensetzen.
+Die Fundamentallösungen $f(x-\xi,t)$ sind für kleine Zeiten immer noch
+deutlich in einer Umgebung von $\xi$ konzentriert.
+
+% XXX Ausbreitung der Fundamentallösung illustrieren
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf}
+\caption{Vergleich der verschiedenen Funktionenfamilien, mit denen
+Lösungenfunktionen durch Linearkombination erzeugt werden können.
+In der Standarbasis (links) ist es am einfachsten, die Funktionswerte
+abzulesen, in der Eigenbasis (Mitte) kann die zeitliche Entwicklung
+besonders leicht berechnet werden.
+Dazuwischen liegen die Fundamentallösungen (rechts), die eine einigermassen
+übersichtliche Zeitentwicklung haben, die Berechnung der Temperatur an
+einer Stelle $x$ zur Zeit $t$ ist aber erst durch das Integral
+\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung} gegeben.
+\label{buch:graphen:fig:fundamental}}
+\end{figure}
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+\subsection{Fundamentallösungen auf einem Graphen}
+Die Wärmeleitungsgleichung auf einem Graphen kann für einen
+Standardbasisvektor mit Hilfe der
+Lösungsformel~\eqref{buch:graphen:eqn:eigloesung}
+gefunden werden.
+Aus physikalischen Gründen ist aber offensichtlich, dass die
+Wärmeenergie Fundamentallösungen $F_i(t)$ für kurze Zeiten $t$
+in der Nähe des Knoten $i$ konzentriert ist.
+Dies ist aber aus der expliziten Formel
+\begin{equation}
+F_i(t)
+=
+\sum_{j=1}^n \langle f_j,e_i\rangle e^{-\kappa \lambda_i t} f_j
+=
+\sum_{j=1}^n \overline{f}_{ji} e^{-\kappa \lambda_i t},
+\label{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph}
+\end{equation}
+nicht unmittelbar erkennbar.
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+Man kann aber aus~\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph} ablesen,
+dass für zunehmende Zeit die hohen Frequenzen sehr schnell gedämpft
+werden.
+Die hohen Frequenzen erzeugen also den scharfen Peak für Zeiten nahe
+beim Knoten $i$, die zu kleineren $\lambda_i$ beschreiben die Ausbreitung
+über grössere Distanzen.
+Die Fundamentallösung interpoliert also in einem gewissen Sinne zwischen
+den Extremen der Standardbasis und der Eigenbasis.
+Die ``Interpolation'' geht von der Differentialgleichung aus,
+sie ist nicht einfach nur ein Filter, der die verschiedenen Frequenzen
+auf die gleiche Art bearbeitet.
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+Gesucht ist eine Methode, eine Familie von Vektoren zu finden,
+aus der sich alle Vektoren linear kombinieren lassen, in der aber
+auch auf die für die Anwendung interessante Längenskala angepasste
+Funktionen gefunden werden können.
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+\subsection{Wavelets und Frequenzspektrum}
+Eine Wavelet-Basis der Funktionen auf $\mathbb{R}$ zerlegt
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+\subsection{Frequenzspektrum
+\label{buch:subsection:frequenzspektrum}}
+Die Fundamentallösung der Wärmeleitunsgleichung haben ein Spektrum, welches
+wie $e^{-k^2}$ gegen $0$ geht.
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+Die Fundamentallösung entsteht dadurch, dass die hohen Frequenzen
+schneller dämpft als die tiefen Frequenzen.
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