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-rw-r--r-- | buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex | 28 |
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diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex index 226c3d3..3a61a77 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex @@ -70,7 +70,7 @@ sollten also die Ereignisse $\{X_{t_0}=x_0\}$ bis $\{X_{t_{n-1}}=x_{n-1}\}$ keinen Einfluss haben. \begin{definition} -Ein stochastischer Prozess erfüllt die Markov-Eigenschaft, wenn +Ein stochastischer Prozess erfüllt die {\em Markov-Eigenschaft}, wenn für jede Folge von früheren Zeitpunkten $t_0<t_1<\dots <t_n<t$ und Zuständen $x_0,\dots,x_n,x\in \mathcal{S}$ die Wahrscheinlichkeit~\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:historybedingt} @@ -152,12 +152,12 @@ p_{x_1y}(t_1,s) \] wird. Jeder Summand auf der rechten Seite beschreibt einen Weg des Prozesses -derart, dass er zu den Zwischenzeitpunkten bestimmte -Zwischenzustände durchläuft. +derart, dass zu den Zwischenzeitpunkten bestimmte +Zwischenzustände durchlaufen werden. \begin{definition} Die Wahrscheinlichkeit, dass der stochastische Prozess zwischen Zeitpunkten -$t_0$ und $t_n$ die Zwischenzustände $x_i$ zu Zeiten $t_i$ durchläuft ist +$t_0$ und $t_n$ die Zwischenzustände $x_i$ zu Zeiten $t_i$ durchläuft, ist das Produkt \[ \sum_{x_1,\dots,x_n\in\mathcal{S}} @@ -221,7 +221,7 @@ T(n+1,n) \begin{pmatrix} p_{11}(n+1,n) & \dots & p_{1s}(n+1,n)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ -p_{11}(n+1,n) & \dots & p_{1s}(n+1,n) +p_{s1}(n+1,n) & \dots & p_{ss}(n+1,n) \end{pmatrix}, \] auch die $1$-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeit genannt, kann man jetzt @@ -267,14 +267,14 @@ Eine Permutationsmatrix beschreibt einen stochastischen Prozess, dessen \end{beispiel} \subsubsection{Zustandswahrscheinlichkeiten} -Die Wahrscheinlichkeit, mit der sich der Prozess zum Zeitpunkt $n$ -im Zustand $i\in\mathcal{S}$ befindet, wird +Die Wahrscheinlichkeiten, mit der sich der Prozess zum Zeitpunkt $n$ +in den Zuständen $i\in\mathcal{S}$ befindet, werden \[ p_i(n) = P(X_i=n) \] -geschrieben, die auch in einem Vektor $p(n)$ mit den Komponten +geschrieben, die auch in einem Vektor $p(n)$ mit den Komponenten $p_i(n)$ zusammengefasst werden können. Die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten erlaubt, die Verteilung $p(n+1)$ aus der Verteilung $p(n)$ zu berechnen. @@ -331,7 +331,7 @@ ist singulär. Dass $T-I$ singulär ist, garantiert aber noch nicht, dass alle Einträge in einem Eigenvektor zum Eigenwert $1$ auch tatsächlich nichtnegativ gewählt werden können. -Die Perron-Frobienus-Theorie von +Die Perron-Frobenius-Theorie von \index{Perron-Frobenius-Theorie}% Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen} beweist, dass genau dies immer möglich ist. @@ -384,7 +384,7 @@ Anzahl der Zyklen der Permutation $\sigma$. \end{beispiel} \subsubsection{Irreduzible Markov-Ketten} -Die Zyklen-Zerlegung einer Permutation bilden voneinander isolierte +Die Zyklen-Zerlegung einer Permutation bildet voneinander isolierte Mengen von Zuständen, es gibt keine Möglichkeit eines Übergangs zu einem anderen Zyklus. Die Zyklen können daher unabhängig voneinander studiert werden. @@ -682,7 +682,7 @@ Dies ist der Spezialfall der Frage~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:frage1} für die Verteilung $p_j(n-1) = \delta_{i\!j}$. Der Erwartungswert ist die Summe der Spalte $j$ der Matrix $G\odot T$. Man kann das Produkt $U^t(G\odot T)$ also auch als eine Zeilenvektor -von Gewinnerwartungen unter der Vorbedingung $X_{n-1}=j$ betrachten. +von Gewinnerwartungen unter der Vorbedingung $X_{n-1}=j$ betrachten: \[ \begin{pmatrix} E(Y\mid X_{n-1}=1) @@ -795,7 +795,7 @@ dass der Prozess ausgehend vom Zustand $j$ im Schritt $k$ im Zustand $i$ ankommt. Wegen der angenommenen Irreduzibilität wird man -früher oder später in einem absorbierenden Zustand landet, +früher oder später in einem absorbierenden Zustand landen, daher muss $\lim_{k\to\infty} Q^k=0$ sein. Die Summe in der rechten oberen Teilmatrix kann man als geometrische Reihe summieren, man erhält die Matrix @@ -926,7 +926,7 @@ I&RF\\ \end{array} \right). \] -Die Matrix $RF$ enthält enthält also in Zeile $i$ und Spalte $j$ +Die Matrix $RF$ enthält also in Zeile $i$ und Spalte $j$ die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess ausgehend vom Zustand $j$ irgendwann im Zustand $i$ absorbiert wird. @@ -939,7 +939,7 @@ den Zustand $l$ hat? Wir schreiben $l\overset{\smash{k}}{\twoheadrightarrow} i$ für das Ereignis, dass der Prozess im $k$-ten Schritt über den letzten Zustand $l$ in den Absorbtionszustand $i$ übergeht. -Ist uns der Zeitpunkt dies Übergangs egal, lassen wir das $k$ +Ist uns der Zeitpunkt des Übergangs egal, lassen wir das $k$ weg und schreiben nur $l\twoheadrightarrow i$. Damit $l\overset{\smash{k}}{\twoheadrightarrow} i$ eintritt, muss der Prozess im $(k-1)$-ten Schritt im |