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-rw-r--r-- | buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex | 16 |
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diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex index 4b86e00..056cfd6 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex @@ -160,8 +160,8 @@ besteht aus zwei $3\times 3$-Blöcken. Die beiden Unterräume $V_1=\langle e_1,e_2,e_3\rangle$ und $V_2=\langle e_4,e_5,e_6\rangle$ sind invariante Unterräume von $A$ und damit auch von $A^n$. -Die Potenzen haben daher auch die gleich Blockstruktur. -Insbesondere sind zwar die Blöcke von $A^n$ für $n>1$ positive +Die Potenzen haben daher auch die gleiche Blockstruktur. +Insbesondere sind zwar die diagonalen Blöcke von $A^n$ für $n>1$ positive Teilmatrizen, aber die Matrix $A^n$ ist für alle $n$ nicht positiv. \end{beispiel} @@ -236,7 +236,7 @@ Der Satz besagt also, dass es eine Komponente $v_i\ne 0$ gibt derart, dass $u_i = (1+\varepsilon)v_i$. Diese Komponenten limitiert also, wie stark man $v$ strecken kann, so dass er immer noch $\le u$ ist. -Natürlich folgt aus den der Voraussetzung $u>v$ auch, dass $u$ ein +Natürlich folgt aus der Voraussetzung $u>v$ auch, dass $u$ ein positiver Vektor ist (Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:figure:trenn}). \begin{figure} @@ -305,12 +305,14 @@ nicht negativen Vektoren positive Vektoren. \label{buch:subsection:verallgemeinerte-dreiecksungleichung}} Die Dreiecksungleichung besagt, dass für beliebige Vektoren $u,v\in\mathbb{R}^n$ gilt -\[ +\begin{equation} |u+v|\le |u|+|v| -\] +\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:dreicksungleichung} +\end{equation} mit Gleichheit genau dann, wenn $u$ und $v$ linear abhängig sind. -Wenn beide von $0$ verschieden sind, dann gibt es eine positive Zahl -$t$ mit $u=tv$. +Wenn beide Vektoren von $0$ verschieden sind, dann gibt es bei Gleichheit +in~\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:dreicksungleichung} +eine positive Zahl $t$ mit $u=tv$. Wir brauchen eine Verallgemeinerung für eine grössere Zahl von Summanden. |