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 \label{buch:chapter:wahrscheinlichkeit}}
 \lhead{Wahrscheinlichkeitsmatrizen}
 \rhead{}
+Matrizen beschreiben lineare Abbildungen, also einen Prozess, der
+jedem Vektor einen neuen Vektor zuordnet.
+Es ist daher nicht abwegig zu erwarten, dass sich 
+die Zeitentwicklung eines vom Zufall beeinflussten Systems, welches sich
+in mehreren verschiedenen Zuständen befinden kann, ebenfalls mit Hilfe
+von Matrizen beschreiben lässt.
+Eine solche Beschreiben ermöglicht leicht Verteilungen,
+Erwartungswerte und stationäre Zustände zu ermitteln.
+
+Im Abschnitt~\ref{buch:section:google-matrix} wird an Hand der Google
+Matrix bezeigt, wie ein anschauliches Beispiel in natürlicher Weise
+auf eine Matrix führt.
+Abschnitt~\ref{buch:section:diskrete-markov-ketten} stellt dann die abstrakte
+mathematische Theorie der Markov-Ketten dar und behandelt einige wichtige
+Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmatrizen.
+Es stellt sich heraus, dass thermodynamische Quantensysteme sehr gut
+mit solchen Matrizen beschrieben werden können, zum Beispiel kann man
+einfache Formen von Laser auf diese Art behandeln.
+Aus einem solchen System hat Parrondo ein System abgeleitet, welches 
+ziemlich unerwartetes Verhalten an den Tag gelegt hat, welches mit
+Hilfe von Matrizen leicht zu analysieren ist. 
+Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:paradoxon-von-parrondo}
+dargestellt.
 
 \input{chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex}
 \input{chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex}