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-% aes.tex -- Beschreibung des AES Algorithmus
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Advanced Encryption Standard -- AES
-\label{buch:section:aes}}
-\rhead{Advanced Encryption Standard}
-Eine wichtige Forderung bei der Konzeption des damals neuen
-Advanced Encryption Standard war, dass darin keine ``willkürlich''
-erscheinenden Operationen geben darf, bei denen der Verdacht
-entstehen könnte, dass sich dahinter noch offengelegtes Wissen
-über einen möglichen Angriff auf den Verschlüsselungsalgorithmus
-verbergen könnte.
-Dies war eine Schwäche des vor AES üblichen DES Verschlüsselungsalgorithmus.
-In seiner Definition kommt eine Reihe von Konstanten vor, über deren
-Herkunft nichts bekannt war.
-Die Gerüchteküche wollte wissen, dass die NSA die Konstanten aus dem
-ursprünglichen Vorschlag abgeändert habe, und dass dies geschehen sei,
-um den Algorithmus durch die NSA angreifbar zu machen.
-
-Eine weiter Forderung war, dass die Sicherheit des neuen
-Verschlüsselungsstandards ``skalierbar'' sein soll, dass man also
-die Schlüssellänge mit der Zeit von 128~Bit auf 196 oder sogar 256~Bit
-steigern kann.
-Der Standard wird dadurch langlebiger und gleichzeitig entsteht die
-Möglichkeit, Sicherheit gegen Rechenleistung einzutauschen.
-Weniger leistungsfähige Systeme können den Algorithmus immer noch
-nutzen, entweder mit geringerer Verschlüsselungsrate oder geringerer
-Sicherheit.
-
-In diesem Abschnitt soll gezeigt werde, wie sich die AES
-spezifizierten Operationen als mit der Arithmetik der
-endlichen Körper beschreiben lassen.
-
+%

+% aes.tex -- Beschreibung des AES Algorithmus

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Advanced Encryption Standard -- AES

+\label{buch:section:aes}}

+\rhead{Advanced Encryption Standard}

+Eine wichtige Forderung bei der Konzeption des damals neuen

+Advanced Encryption Standard war, dass darin keine ``willkürlich''

+erscheinenden Operationen geben darf, bei denen der Verdacht

+entstehen könnte, dass sich dahinter noch offengelegtes Wissen

+über einen möglichen Angriff auf den Verschlüsselungsalgorithmus

+verbergen könnte.

+Dies war eine Schwäche des vor AES üblichen DES Verschlüsselungsalgorithmus.

+In seiner Definition kommt eine Reihe von Konstanten vor, über deren

+Herkunft nichts bekannt war.

+Die Gerüchteküche wollte wissen, dass die NSA die Konstanten aus dem

+ursprünglichen Vorschlag abgeändert habe, und dass dies geschehen sei,

+um den Algorithmus durch die NSA angreifbar zu machen.

+

+Eine weiter Forderung war, dass die Sicherheit des neuen

+Verschlüsselungsstandards ``skalierbar'' sein soll, dass man also

+die Schlüssellänge mit der Zeit von 128~Bit auf 196 oder sogar 256~Bit

+steigern kann.

+Der Standard wird dadurch langlebiger und gleichzeitig entsteht die

+Möglichkeit, Sicherheit gegen Rechenleistung einzutauschen.

+Weniger leistungsfähige Systeme können den Algorithmus immer noch

+nutzen, entweder mit geringerer Verschlüsselungsrate oder geringerer

+Sicherheit.

+

+In diesem Abschnitt soll gezeigt werde, wie sich die AES

+spezifizierten Operationen als mit der Arithmetik der

+endlichen Körper beschreiben lassen.

+Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:byte-operationen} werden

+Bytes als Elemente in einem endlichen Körper $\mathbb{F}_{2^8}$

+interpretiert.

+Damit kann dann die sogenannte $S$-Box konstruiert werden und

+es ist leicht zu verstehen, dass sie invertierbar ist.

+Aus den Byte-Operationen können dann Mischoperationen erzeugt

+werden, die Bytes untereinander verknüpfen, die aber auch wieder

+als Operationen in einem endlichen Körper verstanden werden können.

+

+\subsection{Byte-Operationen

+\label{buch:subsection:byte-operationen}}

+Moderne Prozessoren operieren auf Wörtern, die Vielfache von Bytes sind.

+Byte-Operationen sind besonders effizient in Hardware zu realisieren.

+AES verwendet daher als Grundelemente Operationen auf Bytes, die als

+Elemente eines endlichen Körpers $\mathbb{F}_{2^8}$ interpretiert werden.

+

+\subsubsection{Bytes als Elemente von $\mathbb{F}_{2^8}$}

+Das Polynom $m(X)=X^8+X^4+X^3+X+1\in \mathbb{F}_2[X]$ ist irreduzibel,

+somit ist $\mathbb{F}_{2^8} = \mathbb{F}_2[X]/(m)$ ein Körper.

+Die Elemente können dargestellt werden als Polynome, das Byte

+$\texttt{63}_{16}$ bekommt die Form

+\[

+p(X) = p_7X^7 + p_6X^6 + \dots + p_2X^2+p_1X + p_0,

+\]

+sie bestehen daher aus den $8$ Bits $p_7,\dots,p_0$.

+

+Die Interpretation der Bytes als Elemente eines Körpers bedeutet,

+dass jede Multiplikation mit einem nicht verschwindenden Byte 

+invertierbar ist.

+Ausserdem mischen diese Operationen die einzelnen Bits auf einigermassen

+undurchsichtige, aber umkehrbare Art durcheinander, wie dies für ein

+Verschlüsselungsverfahren wünschenswert ist.

+

+\subsubsection{$S$-Box}

+Für die Operation der $S$-Box wird wie folgt zusammengesetzt.

+Zunächst wird ein Byte $x$ durch das zugehörige multiplikative

+inverse Element

+\[

+x\mapsto \bar{x} = \begin{cases}

+x^{-1}&\qquad \text{für $x\in \mathbb{F}_{2^8}^*$}\\

+0     &\qquad \text{für $x=0$}

+\end{cases}

+\]

+ersetzt.

+

+Im zweiten Schritt betrachten wir $\mathbb{F}_{2^8}$ als einen

+$8$-dimensionalen Vektorraum über $\mathbb{F}_2$.

+Einem Polynom $p(X)=p_7X^7 + \dots + p_1X+p_0$ wird der Spaltenvektor

+mit den Komponenten $p_0$ bis $p_7$ zugeordnet.

+

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/sbox.pdf}

+\caption{Berechnung der Inversen der Matrix $A$ in der $S$-Box  des

+AES-Algorithmus mit dem Gauss-Algorithmus

+\label{buch:crypto:fig:sbox}}

+\end{figure}

+

+Eine lineare Transformation in diesem Vektorraum kann durch eine

+$8\times 8$-Matrix in $M_8(\mathbb{F}_2)$ betrachtet werden.

+In der $S$-Box wird die Matrix

+\[

+A=

+\begin{pmatrix}

+1&0&0&0&1&1&1&1\\

+1&1&0&0&0&1&1&1\\

+1&1&1&0&0&0&1&1\\

+1&1&1&1&0&0&0&1\\

+1&1&1&1&1&0&0&0\\

+0&1&1&1&1&1&0&0\\

+0&0&1&1&1&1&1&0\\

+0&0&0&1&1&1&1&1

+\end{pmatrix},

+\qquad

+A^{-1}

+=

+\begin{pmatrix}

+0&0&1&0&0&1&0&1\\

+1&0&0&1&0&0&1&0\\

+0&1&0&0&1&0&0&1\\

+1&0&1&0&0&1&0&0\\

+0&1&0&1&0&0&1&0\\

+0&0&1&0&1&0&0&1\\

+1&0&0&1&0&1&0&0\\

+0&1&0&0&1&0&1&0

+\end{pmatrix}

+\]

+verwendet.

+Mit dem Gauss-Algorithmus, schematisch dargestellt in

+Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:sbox}, kann man die Inverse

+bestimmen, die Multiplikation mit $A$ ist also eine invertierbare

+Abbildung.

+

+Der letzte Schritt ist dann wieder eine Addition von

+$q(X)=X^7+X^6+X+1\in \mathbb{F}_{2^8}$, durch Subtraktion

+von $q(X)$ invertiert werden kann.

+Die $S$-Box-Operation kann also bektoriell geschrieben werden also

+\[

+	S(x) = A\overline{x}+q.

+\]

+

+Die Implementation ist möglicherweise mit einer Tabelle am schnellsten,

+es sind ja nur 256 Bytes im Definitionsbereich der $S$-Box-Abbildung

+und ebenso nur 256 möglich Werte.

+

+\subsection{Block-Operationen

+\label{buch:subsection:block-operationen}}

+Die zu verschlüsselnden Daten werden in in Blöcke aufgeteilt, deren

+Länge Vielfache von $32$ bit sind.

+Die kleinste Blockgrösse ist 128\,Bit, die grösste ist 256\,Bit.

+Die Bytes eines Blockes werden dann in einem Rechteck angeordnet

+als

+\begin{equation}

+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}

+\hline

+ b_{0} & b_{4} & b_{8}  & b_{12} & b_{16} & b_{20} & b_{24} & b_{28} \\

+ b_{1} & b_{5} & b_{9}  & b_{13} & b_{17} & b_{21} & b_{25} & b_{29} \\

+ b_{2} & b_{6} & b_{10} & b_{14} & b_{18} & b_{22} & b_{26} & b_{30} \\

+ b_{3} & b_{7} & b_{11} & b_{15} & b_{19} & b_{23} & b_{27} & b_{31} \\

+\hline

+\end{tabular}

+\label{buch:crypto:eqn:block}

+\end{equation}

+für eine Blocklänge von 256\,Bits.

+

+

+

+\subsubsection{Zeilenshift}

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/shift.pdf}

+\caption{Zeilenshift in einem Block von 256 bits

+\label{buch:crypto:fig:shift}}

+\end{figure}

+Die Verschlüsselung muss sicherstellen, dass die Bytes des Blockes

+untereinander gut gemischt werden.

+Die bisher beschriebenen Operationen operieren immer nur auf einzelnen

+Bytes während

+die im nächsten Abschnitt beschriebene Spalten-Mischoperation

+nur auf Spalten wird.

+Die Zeilenmischoperation permutiert die Zeilen in den vier Zeilen

+eines Blocks zyklisch, die erste Zeile bleibt an Ort, die zweite

+Zeile wird um ein Byte rotiert, die dritte um zwei und die letzte

+um 3 Bytes, wie in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:zeilenshift}

+dargestellt.

+Diese Operation könnte mit einer Permutationsmatrix beschrieben werden,

+dies wäre jedoch keine effiziente Implementation.

+Der Zeilenschift hat ansonsten keine elegante algebraische Beschreibung.

+

+\subsubsection{Spalten mischen}

+Jede Spalte von \eqref{buch:crypto:eqn:block} kann als Vektor des

+vierdimensionalen Vektorraumes $\mathbb{F}_{2^8}^4$.

+Die Zeilenmischoperation wendet ein lineare Abbildung auf jeden

+Spaltenvektor von~\eqref{buch:crypto:eqn:block}.

+Die Koeffizienten der Matrix sind Elemente von $\mathbb{F}_{2^8}$.

+Die Matrix ist

+\[

+C=\begin{pmatrix}

+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\

+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}

+\end{pmatrix}.

+\]

+Um nachzuprüfen, dass die Matrix $C$ invertierbar ist, könnte man den

+Gauss-Algorithmus verwenden und damit die Inverse berechnen.

+Dazu müsste man die multiplikativen Inversen kennen, was etwas mühsam

+ist.

+Man kann aber aber auch die Determinante bestimmen, dazu braucht man

+nur multiplizieren zu können, was in diesem Fall sehr leicht möglich ist,

+weil kein Überlauf entsteht.

+Dabei hilft es zu beachten, dass die Multiplikation mit $\texttt{02}_{16}$

+nur eine Einbit-Shiftoperation nach links ist.

+Nur die Multiplikation $\texttt{03}_{16}\cdot\texttt{03}_{16}=\text{05}_{16}$

+gibt etwas mehr zu überlegen.

+Mit geeigneten Zeilen-Operationen kann man die Berechnung der Determinante

+von $C$ mit dem Entwicklungssatz etwas vereinfachen.

+Man erhält

+\begin{align*}

+\det(C)

+&=

+\left|

+\begin{matrix}

+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\

+\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}

+\end{matrix}

+\right|

+\\

+&=

+\texttt{02}_{16}

+\left|

+\begin{matrix}

+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\

+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}

+\end{matrix}

+\right|

++

+\texttt{01}_{16}

+\left|

+\begin{matrix}

+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\

+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}

+\end{matrix}

+\right|

+\\

+&=

+\texttt{02}_{16}

+\left|

+\begin{matrix}

+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\

+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}

+\end{matrix}

+\right|

++

+\texttt{01}_{16}

+\left|

+\begin{matrix}

+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}

+\end{matrix}

+\right|

+\\

+&=

+\texttt{02}_{16}

+\left(

+\texttt{02}_{16}

+\left|

+\begin{matrix}

+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\

+\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}

+\end{matrix}

+\right|

++

+\texttt{01}_{16}

+\left|

+\begin{matrix}

+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}

+\end{matrix}

+\right|

+\right)

++

+\texttt{01}_{16}

+\left|

+\begin{matrix}

+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\

+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}\\

+\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{01}_{16}

+\end{matrix}

+\right|

+\\

+&=

+\texttt{02}_{16}

+(

+\texttt{02}_{16}(\texttt{04}_{16}+\texttt{05}_{16})

++

+(\texttt{06}_{16}+\texttt{03}_{16})

+)

++

+\texttt{03}_{16}\texttt{03}_{16}

+\\

+&=

+\texttt{02}_{16}

+(

+\texttt{02}_{16}

++

+\texttt{05}_{16}

+)

++

+\texttt{05}_{16}

+=

+\texttt{0e}_{16}+\texttt{05}_{16}

+=

+\texttt{0a}_{16}

+\ne 0.

+\end{align*}

+Damit ist gezeigt, dass die Matrix $C$ invertierbar auf den

+Spaltenvektoren wirkt.

+Die Inverse der Matrix kann einmal berechnet und anschliessend

+für die Entschlüsselung verwendet werden.

+

+Alternativ kann man die Multiplikation mit der Matrix $C$ auch

+interpretieren als eine Polynommultiplikation.

+Dazu interpretiert man die Spalten des Blocks als Polynom vom Grad~3

+mit Koeffizienten in $\mathbb{F}_{2^8}$.

+Durch Reduktion mit dem irreduziblen Polynom

+$n(Z)=Z^4+1\in\mathbb{F}_{2^8}[X]$ entsteht aus dem Polynomring

+wieder ein Körper.

+Die Wirkung der Matrix $C$ ist dann nichts anderes als Multiplikation

+mit dem Polynom

+\[

+c(Z) = \texttt{03}_{16}Z^3 + Z^2+Z^1+\texttt{02}_{16},

+\]

+die natürlich ebenfalls umkehrbar ist.

+

+\subsection{Schlüssel

+\label{buch:subsection:schlüssel}}

+Die von den Byte- und Blockoperationen mischen die einzelnen Bits

+der Daten zwar ganz schön durcheinander, aber es wird noch kein

+Schlüsselmaterial eingearbeitet, welches den Prozess einzigartig

+macht.

+

+\subsubsection{Schlüsseladdition}

+Nach jeder Spaltenmischoperation wird ein Rundenschlüssel

+zum Blockhinzuaddiert.

+Beim ersten Mal wird dazu einfach das Schlüsselmaterial verwendet.

+Für die folgenden Runden muss aus diesem Schlüssel neues

+Material, die sogenannten Rundenschlüssel, gewonnen werden.

+

+\subsubsection{Rundenschlüssel}

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/90-crypto/images/keys.pdf}

+\caption{Erzeugung der erweiterten Schlüsseldaten aus dem Schlüssel

+$K_0,\dots,K_7$ für Schlüssellänge 256\,bit.

+Die mit $S$ beschrifteten Blöcke wenden die $S$-Box auf jedes einzelne

+Byte an.

+$\pi$ ist die zyklische Vertauschung der Bytes eines Wortes.

+Die Operation $r_i$ ist eine Addition einer Konstanten, die in jeder

+Runde anders ist.

+\label{buch:crypto:fig:keys}}

+\end{figure}

+Die Erzeugung der Rundenschlüssel ist in Abbildung

+\ref{buch:crypto:fig:keys}

+schematisch dargestellt.

+Die Blöcke beschreiben wieder Spaltenvektoren im vierdimensionalen

+Raum $\mathbb{F}_{2^8}^4$.

+Die Blöcke $K_0$ bis $K_7$ stellen den ursprünglichen Schlüssel dar.

+Die Erzeugung eines neuen Blocks Schlüsselmatrial beginnt damit,

+dass der letzte Vektor des vorangegangenblocks drei Operationen

+unterworfen werden.

+\begin{itemize}

+\item

+Die Operation $\pi$ vertauscht die Bytes des Vektors zyklisch:

+\begin{center}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]

+\def\s{0.6}

+\begin{scope}

+\draw (0,0) rectangle (\s,{4*\s});

+\foreach \y in {1,...,3}{

+	\draw (0,{\y*\s}) (\s,{\y*\s});

+}

+\node at ({0.5*\s},{0.5*\s}) {$b_3$};

+\node at ({0.5*\s},{1.5*\s}) {$b_2$};

+\node at ({0.5*\s},{2.5*\s}) {$b_1$};

+\node at ({0.5*\s},{3.5*\s}) {$b_0$};

+\end{scope}

+\draw[->] ({1.1*\s},{2*\s}) -- ({4.9*\s},{2*\s});

+\node at ({3*\s},{2*\s}) [above] {$\pi$};

+\begin{scope}[xshift=3cm]

+\draw (0,0) rectangle (\s,{4*\s});

+\foreach \y in {1,...,3}{

+	\draw (0,{\y*\s}) (\s,{\y*\s});

+}

+\node at ({0.5*\s},{0.5*\s}) {$b_0$};

+\node at ({0.5*\s},{1.5*\s}) {$b_3$};

+\node at ({0.5*\s},{2.5*\s}) {$b_2$};

+\node at ({0.5*\s},{3.5*\s}) {$b_1$};

+\end{scope}

+\end{tikzpicture}

+\end{center}

+\item

+Die $S$-Operation wendet die $S$-Box auf alle Bytes eines Vektors an.

+\item

+Die $r_i$ Operation addiert in Runde eine Konstante $r_i$ zur $0$-Komponente.

+\end{itemize}

+Die Konstante $r_i$ ist wieder ein einzelnes Byte und es ist daher

+naheliegend, diese Bytes mit Hilfe der Arithmetik in $\mathbb{F}_{2^8}$

+zu erzeugen.

+Man kann daher $r_i$ definieren als

+$(\texttt{02}_{16})^{i-1}\in\mathbb{F}_{2^8}$.

+

+\subsection{Runden}

+Der AES-Verschlüsselungsalgorithmus besteht jetzt darin, die bisher

+definierten Operationen wiederholt anzuwenden.

+Eine einzelne Runde besteht dabei aus folgenden Schritten:

+\begin{enumerate}

+\item Wende die $S$-Box auf alle Bytes des Blocks an.

+\item Führe den Zeilenshift durch.

+\item Mische die Spalten (wird in der letzten Runde)

+\item Erzeuge den nächsten Rundenschlüssel

+\item Addiere den Rundenschlüssel

+\end{enumerate}

+Der AES-Verschlüsselungsalgorithmus beginnt damit, dass der Schlüssel

+zum Datenblock addiert wird.

+Anschliessend werden je nach Blocklänge verschiedene Anzahlen von

+Runden durchgeführt, 10 Runden für 128\,bit, 12 Runden für 192\,bit und

+14 Runden für 256\,bit.

+

+

+

+

+

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/arith.tex b/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
index b6f2fd8..2520a69 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/arith.tex
@@ -1,25 +1,295 @@
-%
-% arith.tex
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Arithmetik für die Kryptographie
-\label{buch:section:arithmetik-fuer-kryptographie}}
-\rhead{Arithmetik für die Kryptographie}
-
-\subsection{Potenzieren
-\label{buch:subsection:potenzieren}}
-% XXX Divide-and-Conquer Algorithmus
-
-\subsection{Rechenoperationen in $\mathbb{F}_p$
-\label{buch:subsection:rechenoperationen-in-fp}}
-% XXX Multiplikation: modulare Reduktion mit jedem Digit
-% XXX Divide-and-Conquer
-
-\subsection{Rechenoperationen in $\mathbb{F}_{2^l}$
-\label{buch:subsection:rechenoperatione-in-f2l}}
-% XXX Darstellung eines Körpers der Art F_{2^l}
-% XXX Addition (XOR) und Multiplikation
-% XXX Beispiel F_{2^8}
-% XXX Beispiel F einer Oakley-Gruppe
-
+%

+% arith.tex

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Arithmetik für die Kryptographie

+\label{buch:section:arithmetik-fuer-kryptographie}}

+\rhead{Arithmetik für die Kryptographie}

+Die Algorithmen der mathematischen Kryptographie basieren

+auf den Rechenoperationen in grossen, aber endlichen Körpern.

+Für die Division liefert der euklidische Algorithmus eine

+Methode, der in so vielen Schritten die Inverse findet,

+wie Dividend und Divisor Binärstellen haben.

+Dies ist weitgehend optimal.

+

+Die Division ist umkehrbar, in der Kryptographie strebt man aber an,

+Funktionen zu konstruieren, die nur mit grossem Aufwand umkehrbar sind.

+Eine solche Funktion ist das Potenzieren in einem endlichen Körper.

+Die Berechnung von Potenzen durch wiederholte Multiplikation ist jedoch

+prohibitiv aufwendig, daher ist ein schneller Potenzierungsalgorithmus

+nötig, der in Abschnitt~\ref{buch:subsection:potenzieren} beschrieben

+wird.

+Bei der Verschlüsselung grosser Datenmengen wie zum Beispiel bei

+der Verschlüsselung ganzer Harddisks mit Hilfe des AES-Algorithmus

+kommt es auf die Geschwindigkeit auch der elementarsten Operationen

+in den endlichen Körpern an.

+Solche Methoden werden in den Abschnitten

+\ref{buch:subsection:rechenoperationen-in-fp}

+und

+\ref{buch:subsection:rechenoperatione-in-f2l}

+besprochen.

+

+\subsection{Potenzieren

+\label{buch:subsection:potenzieren}}

+Wir gehen davon aus, dass wir einen schnellen Algorithmus zur

+Berechnung des Produktes zweier Elemente $a,b$ in einer

+beliebigen Gruppe $G$ haben.

+Die Gruppe $G$ kann die Multiplikation der ganzen oder reellen Zahlen

+sein, dies wird zum Beispiel in Implementation der Potenzfunktion

+verwendet.

+Für kryptographische Anwendungen ist $G$ die multiplikative Gruppe

+eines endlichen Körpers oder eine elliptische Kurve.

+

+Zur Berechnung von $a^k$ sind bei einer naiven Durchführung des

+Algorithmus $k-1$ Multiplikationen nötig, immer sofort gefolgt

+von einer Reduktion $\mod p$ um sicherzustellen, dass die Resultate

+nicht zu gross werden.

+Ist $l$ die Anzahl der Binärstellen von $k$, dann benötigt dieser

+naive Algorithmus $O(2^l)$ Multiplikationen, die Laufzeit wächst

+also exponentiell mit der Bitlänge von $k$ an.

+Der nachfolgend beschriebene Algorithmus reduziert die Laufzeit auf

+die $O(l)$.

+

+Zunächst schreiben wir den Exponenten $k$ in binärer Form als

+\[

+k = k_l2^l + k_{l-1}2^{l-1} + \dots k_22^2+k_12^1 k_02^0.

+\]

+Die Potenz $a^k$ kann dann geschrieben werden als

+\[

+a^k

+=

+a^{k_l2^l} \cdot a^{k_{l-1}2^{l-1}} \cdot \dots \cdot

+a^{k_22^2} \cdot a^{k_12^1} \cdot a^{k_02^0}

+\]

+Nur diejenigen Faktoren tragen etwas bei, für die $k_i\ne 0$ ist.

+Die Potenz kann man daher auch schreiben als

+\[

+a^k

+=

+\prod_{k_i\ne 0} a^{2^i}.

+\]

+Es sind also nur so viele Faktoren zu berücksichtigen, wie $k$ 

+Binärstellen $1$ hat.

+

+Die einzelnen Faktoren $a^{2^i}$ können durch wiederholtes Quadrieren

+erhalten werden:

+\[

+a^{2^i} = a^{2\cdot 2^{i-1}} = (a^{2^{i-1}})^2,

+\]

+also durch maximal $l-1$ Multiplikationen.

+Wenn $k$ keine Ganzzahl ist sondern binäre Nachkommastellen hat, also

+\[

+k=k_l2^l + \dots + k_12^1 + k_02^0 + k_{-1}2^{-1} + k_{-2}2^{-2}+\dots,

+\]

+dann können die Potenzen $a^{2^{-i}}$ durch wiederholtes Wurzelziehen

+\[

+a^{2^{-i}} = a^{\frac12\cdot 2^{-i+1}} = \sqrt{a^{2^{-i+1}}}

+\]

+gefunden werden.

+Die Berechnung der Quadratwurzel lässt sich in Hardware effizient

+implementieren.

+

+\begin{algorithmus}

+Der folgende Algorithmus berechnet $a^k$ in $O(\log_2(k))$

+Multiplikationen

+\begin{enumerate}

+\item Initialisiere $p=1$ und $q=a$

+\item Falls $k$ ungerade ist, setze $p:=p\cdot q$ 

+\item Setze $q:=q^2$ und $k := k/2$, wobei die ganzzahlige Division durch $2$

+am effizientesten als Rechtsshift implementiert werden kann.

+\item Falls $k>0$, fahre weiter bei 2.

+\end{enumerate}

+\end{algorithmus}

+

+\begin{beispiel}

+Die Berechnung von $1.1^{17}$ mit diesem Algorithmus ergibt

+\begin{enumerate}

+\item $p=1$, $q=1.1$

+\item $k$ ist ungerade: $p:=1.1$

+\item $q:=q^2=1.21$, $k := 8$

+\item $k$ ist gerade

+\item $q:=q^2=1.4641$, $k := 4$

+\item $k$ ist gerade

+\item $q:=q^2=2.14358881$, $k := 2$

+\item $k$ ist gerade

+\item $q:=q^2=4.5949729863572161$, $k := 1$

+\item $k$ ist ungerade: $p:=1.1\cdot p = 5.05447028499293771$

+\item $k:=0$

+\end{enumerate}

+Multiplikationen sind nur nötig in den Schritten 3, 5, 7, 9, 10, es

+werden also genau $5$ Multiplikationen ausgeführt.

+\end{beispiel}

+

+\subsection{Rechenoperationen in $\mathbb{F}_p$

+\label{buch:subsection:rechenoperationen-in-fp}}

+Die Multiplikation macht aus zwei Faktoren $a$ und $b$ ein 

+Resultat mit Bitlänge $\log_2 a+\log_2 b$, die Bitlänge wird

+also typischerweise verdoppelt.

+In $\mathbb{F}_p$ muss anschliessend das Resultat $\mod p$

+reduziert werden, so dass die Bitlänge wieder höchstens

+$\log_2p$ ist.

+In folgenden soll gezeigt werden, dass dieser Speicheraufwand 

+für eine Binärimplementation deutlich reduziert werden kann,

+wenn die Reihenfolge der Operationen modifiziert wird.

+

+Für die Multiplikation von $41\cdot 47$ rechnet man im Binärsystem

+\begin{center}

+\begin{tabular}{>{$}r<{$}}

+\texttt{{\color{darkgreen}1}0{\color{red}1}001}\cdot\texttt{101111}\\

+\hline

+\texttt{101111}\\

+\texttt{{\color{red}101111}\phantom{000}}\\

+\texttt{{\color{darkgreen}101111}\phantom{00000}}\\

+\hline

+\texttt{11110000111}\\

+\hline

+\end{tabular}

+\end{center}

+In $\mathbb{F}_{53}$ muss im Anschluss Modulo $p=53$ reduziert werden.

+

+Der Speicheraufwand entsteht zunächst dadurch, dass durch die Multiplikation

+mit $2$ die Summanden immer länger werden.

+Man kann den die Sumanden kurz halten, indem man jedesmal, wenn 

+der Summand nach der Multiplikation mit $2$ grösser als $p$ geworden ist,

+$p$ subtrahiert (Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:reduktion}).

+Ebenso kann bei nach jeder Addition das bereits reduzierten zweiten

+Faktors wieder reduziert werden.

+Die Anzahl der nötigen Reduktionsoperationen wird durch diese

+frühzeitig durchgeführten Reduktionen nicht teurer als bei der Durchführung

+des Divisionsalgorithmus.

+

+\begin{figure}

+\begin{center}

+\begin{tabular}{>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}}

+\text{Multiplikation mit $2$}&\text{Reduktion?}&\text{reduziert}

+	&\text{Summanden}&\text{Summe}&\text{reduziert}

+\\

+\hline

+\texttt{101111}               &                &\texttt{101111} 

+	&\texttt{101111}&\texttt{101111}&\texttt{101111}

+\\

+\texttt{101111\phantom{0}}    &\texttt{{\color{red}1011110}}&\texttt{101001}

+	&               &               &

+\\

+\texttt{101111\phantom{00}}   &\texttt{0{\color{red}111010}}&\texttt{011101}

+	&               &               &

+\\

+\texttt{101111\phantom{000}}  &\texttt{0001010}&\texttt{000101}

+	&\texttt{000101}&\texttt{110100}&\texttt{110100}

+\\

+\texttt{101111\phantom{0000}} &\texttt{0010100}&\texttt{001010}

+	&               &               &

+\\

+\texttt{101111\phantom{00000}}&\texttt{0101000}&\texttt{010100}

+	&\texttt{010100}&\texttt{{\color{red}1001000}}&\texttt{10011}\rlap{$\mathstrut=19$}

+\end{tabular}

+\end{center}

+\caption{Multiplikation von $41=\texttt{101001}_2$ mit $47=\texttt{101111}_2$,

+Reduktion nach jeder Multiplikation mit $2$: falls das Resultat

+$>p$ ist, wie in den rot markierten Zeilen $p=53=\texttt{110101}_2$

+durchgeführt.

+Bei der Bildung der Summe wird ebenfalls in jedem Schritt falls nötig

+reduziert, angezeigt durch die roten Zahlen in der zweitletzten

+Spalte.

+Die Anzahl der Subtraktionen, die für die Reduktionen nötig sind, ist

+von der selben Grössenordnung wie bei der Durchführung des

+Divisionsalgorithmus.

+\label{buch:crypto:fig:reduktion}}

+\end{figure}

+

+Es ist also möglich, mit gleichem Aufwand an Operationen

+aber mit halbe Speicherplatzbedarf die Multiplikationen in $\mathbb{F}_p$

+durchzuführen.

+Die Platzeinsparung ist besonders bei Implementationen in Hardware 

+hilfreich, wo on-die Speicherplatz teuer sein kann.

+

+\subsection{Rechenoperationen in $\mathbb{F}_{2^l}$

+\label{buch:subsection:rechenoperatione-in-f2l}}

+Von besonderem praktischem Interesse sind die endlichen Körper

+$\mathbb{F}_{2^l}$.

+Die arithmetischen Operationen in diesen Körpern lassen sich besonders

+effizient in Hardware realisieren.

+

+\subsubsection{Zahldarstellung}

+Ein endlicher Körper $\mathbb{F}_{2^l}$ ist definiert durch ein

+irreduzibles Polynom in $\mathbb{F}_2[X]$ vom Grad $2^l$ 

+\[

+m(X)

+=

+X^l + m_{l-1}X^{l-1} + m_{l-2}X^{l-2} + \dots + m_2X^2 + m_1X + m_0

+\]

+gegeben.

+Ein Element in $\mathbb{F}_2[X]/(m)$ kann dargestellt werden durch ein

+Polynom vom Grad $l-1$, also durch

+\[

+a = a_{l-1}X^{l-1} + a_{l-2}X^{l-2} +\dots + a_2X^2 + a_1X + a_0.

+\]

+In einer Maschine kann eine Zahl also als eine Bitfolge der Länge $l$

+dargestellt werden.

+

+\subsubsection{Addition}

+Die Addition in $\mathbb{F}_2$ ist in Hardware besonders leicht zu

+realisieren.

+Die Addition ist die XOR-Operation, die Multiplikation ist die UND-Verknüfung.

+Ausserdem stimmen in $\mathbb{F}_2$ Addition und Subtraktion überein.

+

+Die Addition zweier Polynome erfolgt komponentenweise.

+Die Addition von zwei Elemente von $\mathbb{F}_{2^l}$ kann also

+durch die bitweise XOR-Verknüpfung der Darstellungen der Summanden 

+erfolgen.

+Diese Operation ist in einem einzigen Maschinenzyklus realisierbar.

+Die Subtraktion, die für die Reduktionsoperation module $m(X)$ nötig

+ist, ist mit der Addition identisch.

+

+\subsubsection{Multiplikation}

+Die Multiplikation zweier Polynome benötigt zunächst die Multiplikation

+mit $X$, wodurch der Grad des Polynoms ansteigt und möglicherweise so

+gross wird, dass eine Reduktionsoperation modulo $m(X)$ nötig wird.

+Die Reduktion wird immer dann nötig, wenn der Koeffizient von $X^l$

+nicht $0$ ist.

+Der Koeffizient kann dann zum Verschwinden gebracht werden, indem

+$m(X)$ addiert wird.

+

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/90-crypto/images/schieberegister.pdf}

+\caption{Implementation der Multiplikation mit $X$ in einem 

+endlichen Körper $\mathbb{F}_{2^l}$ mit dem Minimalpolynom

+$m(X) = X^8+X^4+X^3+X^+1$ als Feedback-Schieberegister.

+\label{buch:crypto:fig:schieberegister}}

+\end{figure}

+

+In Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:schieberegister} wird gezeigt,

+wie die Reduktion erfolgt, wenn die Multiplikation mit $X$, also der

+Shift nach links, einen Überlauf ergibt.

+Das Minimalpolynom $m(X)=X^8+X^4+X^3+X+1$ bedeutet, dass in $\mathbb{F}_{2^l}$

+$X^8=X^4+X^3+X+1$ gilt, so dass man das Überlaufbit durch 

+$X^4+X^3+X+1$ ersetzen und addieren kann.

+

+Ein Produktes $p(X)\cdot q(X)$, wobei $p(X)$ und

+$q(X)$ Repräsentaten von Elementen $\mathbb{F}_{2^l}$ sind, kann jetzt

+wie folgt berechnet werden.

+Mit dem Schieberegister werden die Vielfachen $X^k\cdot p(X)$ 

+für $k=0,\dots,l-1$ berechnet.

+Diejenigen Vielfachen, für die der Koeffizient von $X^k$ in $q(X)$

+von $0$ verschieden ist werden aufsummiert und ergeben das Produkt.

+Der Prozess in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:multiplikation}

+dargestellt.

+

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf}

+\caption{Multiplikation zweier Elemente von $\mathbb{F}_{2^l}$.

+Mit Hilfe des Schieberegisters am linken Rand werden die Produkte 

+$X\cdot p(X)$, $X^2\cdot p(X),\dots,X^7\cdot p(X)$ nach der in

+Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:schieberegister} dargestellten

+Methode berechnet.

+Am rechten Rand werden diejenigen $X^k\cdot p(X)$ aufaddiert,

+für die der $X^k$-Koeffizient von $q(X)$ von $0$ verschieden ist.

+\label{buch:crypto:fig:multiplikation}}

+\end{figure}

+

+

+% XXX Beispiel F einer Oakley-Gruppe

+

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex b/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
index 43ac8de..920941d 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/chapter.tex
@@ -1,31 +1,31 @@
-%
-% chapter.tex -- Anwendungen von Matrizen in der Codierungstheorie und
-%                Kryptographie
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-% !TeX spellcheck = de_CH
-\chapter{Anwendungen in Kryptographie und Codierungstheorie
-\label{buch:chapter:kryptographie}}
-\lhead{Kryptographie und Codierungstheorie}
-\rhead{}
-Die algebraische Theorie der endlichen Körper hat sich als besonders
-nützliche herausgestellt in der Krypographie.
-Die Eigenschaften dieser Körper sind reichhaltig genug, um 
-kryptographsch widerstandsfähige Algorithmen zu liefern, die
-auch in ihrer Stärke beliebig skaliert werden können.
-Gleichzeitig liefert die Algebra auch eine effiziente Implementierung.
-In diesem Abschnitt soll dies an einigen Beispielen gezeigt werden.
-
-\input{chapters/90-crypto/arith.tex}
-\input{chapters/90-crypto/ff.tex}
-\input{chapters/90-crypto/aes.tex}
-\input{chapters/90-crypto/rs.tex}
-
-\section*{Übungsaufgaben}
-\rhead{Übungsaufgaben}
-\aufgabetoplevel{chapters/90-crypto/uebungsaufgaben}
-\begin{uebungsaufgaben}
-\uebungsaufgabe{9001}
-\end{uebungsaufgaben}
-
+%

+% chapter.tex -- Anwendungen von Matrizen in der Codierungstheorie und

+%                Kryptographie

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+% !TeX spellcheck = de_CH

+\chapter{Anwendungen in Kryptographie und Codierungstheorie

+\label{buch:chapter:kryptographie}}

+\lhead{Kryptographie und Codierungstheorie}

+\rhead{}

+Die algebraische Theorie der endlichen Körper hat sich als besonders

+nützliche herausgestellt in der Krypographie.

+Die Eigenschaften dieser Körper sind reichhaltig genug, um 

+kryptographsch widerstandsfähige Algorithmen zu liefern, die

+auch in ihrer Stärke beliebig skaliert werden können.

+Gleichzeitig liefert die Algebra auch eine effiziente Implementierung.

+In diesem Abschnitt soll dies an einigen Beispielen gezeigt werden.

+

+\input{chapters/90-crypto/arith.tex}

+\input{chapters/90-crypto/ff.tex}

+\input{chapters/90-crypto/aes.tex}

+%\input{chapters/90-crypto/rs.tex}

+

+\section*{Übungsaufgaben}

+\rhead{Übungsaufgaben}

+\aufgabetoplevel{chapters/90-crypto/uebungsaufgaben}

+\begin{uebungsaufgaben}

+\uebungsaufgabe{9001}

+\end{uebungsaufgaben}

+

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
index 4ab9c34..8a38f93 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
@@ -1,664 +1,664 @@
-%
-% ff.tex -- Kryptographie und endliche Körper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-
-\section{Kryptographie und endliche Körper
-\label{buch:section:kryptographie-und-endliche-koerper}}
-\rhead{Kryptographie und endliche Körper}
-
-\subsection{Potenzen in $\mathbb{F}_p$ und diskreter Logarithmus
-\label{buch:subsection:potenzen-diskreter-logarithmus}}
-Für kryptographische Anwendungen wird eine einfach zu berechnende
-Funktion benötigt,
-die ohne zusätzliches Wissen, üblicherweise der Schlüssel genannt,
-nicht ohne weiteres umkehrbar ist.
-Die arithmetischen Operationen in einem endlichen Körper sind
-mit geringem Aufwand durchführbar.
-Für die ``schwierigste'' Operation, die Division, steht der
-euklidische Algorithmus zur Verfügung.
-
-Die nächstschwierigere Operation ist die Potenzfunktion.
-Für $g\in \Bbbk$ und $a\in\mathbb{N}$ ist die Potenz $g^a\in\Bbbk$
-natürlich durch die wiederholte Multiplikation definiert.
-In der Praxis werden aber $g$ und $a$ Zahlen mit vielen Binärstellen
-sein, die die wiederholte Multiplikation ist daher sicher nicht
-effizient, das Kriterium der einfachen Berechenbarkeit scheint
-also nicht erfüllt.
-Der folgende Algorithmus berechnet die Potenz in $O(\log_2 a$
-Multiplikationen.
-
-\begin{algorithmus}[Divide-and-conquer]
-\label{buch:crypto:algo:divide-and-conquer}
-Sei $a=a_0 + a_12^1 + a_22^2 + \dots + a_k2^k$ die Binärdarstellung
-der Zahl $a$.
-\begin{enumerate}
-\item setze $f=g$, $x=1$, $i=0$
-\label{divide-and-conquer-1}
-\item solange $i\ge k$ ist, führe aus
-\label{divide-and-conquer-2}
-\begin{enumerate}
-\item
-\label{divide-and-conquer-3}
-falls $a_i=1$ setze $x \coloneqq x \cdot f$
-\item
-\label{divide-and-conquer-4}
-$i \coloneqq i+1$ und $f\coloneqq f\cdot f$
-\end{enumerate}
-\end{enumerate}
-Die Potenz $x=g^a$ kann so in $O(\log_2a)$ Multiplikationen
-berechnet werden.
-\end{algorithmus}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Die Initalisierung in Schritt~\ref{divide-and-conquer-1} stellt sicher,
-dass $x$ den Wert $g^0$ hat. 
-Schritt~\ref{divide-and-conquer-4} stellt sicher,
-dass die Variable $f$ immer den Wert $g^{2^i}$ hat.
-Im Schritt~\ref{divide-and-conquer-3} wird zu $x$ die Potenz
-$g^{a_i2^i}$ hinzumultipliziert.
-Am Ende des Algorithmus hat daher $x$ den Wert
-\[
-x = g^{a_02^0} \cdot g^{a_12^1} \cdot g^{a_22^2} \cdot\ldots\cdot 2^{a_k2^k}
-=
-g^{a_0+a_12+a_22^2+\dots+a_k2^k}
-=
-g^a.
-\]
-Die Schleife wird $\lfloor1+\log_2ab\rfloor$ mal durchlaufen.
-In jedem Fall wird auf jeden Fall die Multiplikation in 
-Schritt~\ref{divide-and-conquer-4} durchgeführt
-und im schlimmsten Fall auch noch die Multiplikation in
-Schritt~\ref{divide-and-conquer-3}.
-Es werden also nicht mehr als $2\lfloor 1+\log_2a\rfloor=O(\log_2a)$
-Multiplikationen durchgeführt.
-\end{proof}
-
-\begin{beispiel}
-Man berechne die Potenz $7^{2021}$ in $\mathbb{F}_p$.
-Die Binärdarstellung von 2021 ist $2021_{10}=\texttt{11111100101}_2$.
-Wir stellen die nötigen Operationen des
-Algorithmus~\ref{buch:crypto:algo:divide-and-conquer} in der folgenden
-Tabelle
-\begin{center}
-\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
-\hline
- i&   f& a_i&    x\\
-\hline
- 0&   7&   1&    7\\
- 1&  49&   0&    7\\
- 2&1110&   1&   24\\
- 3& 486&   0&   24\\
- 4&1234&   0&   24\\
- 5& 667&   1&  516\\
- 6& 785&   1&  977\\
- 7& 418&   1&  430\\
- 8& 439&   1&  284\\
- 9& 362&   1&  819\\
-10& 653&   1&  333\\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{center}
-Daraus liest man ab, dass $7^{2021}=333\in\mathbb{F}_{1291}$.
-\end{beispiel}
-
-Die Tabelle suggeriert, dass die Potenzen von $g$ ``wild'', also
-scheinbar ohne System in $\mathbb{F}_p$ herumspringen.
-Dies deutet an, dass die Umkehrung der Exponentialfunktion in $\mathbb{F}_p$
-schwierig ist.
-Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, die Umkehrfunktion von 
-$x\mapsto g^x$ in $\mathbb{F}_p$ heisst der {\em diskrete Logarithmus}.
-\index{diskreter Logarithmus}%
-Tatsächlich ist der diskrete Logarithmus ähnlich schwierig zu bestimmen
-wie das Faktorisieren von Zahlen, die das Produkt grosser
-Primafaktoren ähnlicher Grössenordnung wie $p$ sind.
-Die Funktion $x\mapsto g^x$ ist die gesuchte, schwierig zu invertierende
-Funktion.
-
-Auf dern ersten Blick scheint der
-Algorithmus~\ref{buch:crypto:algo:divide-and-conquer}
-den Nachteil zu haben, dass erst die Binärdarstellung der Zahl $a$ 
-ermittelt werden muss.
-In einem Computer ist dies aber normalerweise kein Problem, da $a$
-im Computer ohnehin binär dargestellt ist.
-Die Binärziffern werden in der Reihenfolge vom niederwertigsten zum
-höchstwertigen Bit benötigt.
-Die folgende Modifikation des Algorithmus ermittelt laufend
-auch die Binärstellen von $a$.
-Die dazu notwendigen Operationen sind im Binärsystem besonders
-effizient implementierbar, die Division durch 2 ist ein Bitshift, der
-Rest ist einfach das niederwertigste Bit der Zahl.
-
-\begin{algorithmus}
-\label{buch:crypto:algo:divide-and-conquer2}
-\begin{enumerate}
-\item
-Setze $f=g$, $x=1$, $i=0$
-\item
-Solange $a>0$ ist, führe aus
-\begin{enumerate}
-\item
-Verwende den euklidischen Algorithmus um $r$ und $b$ zu bestimmen mit $a=2b+r$
-\item
-Falls $r=1$ setze $x \coloneqq x \cdot f$
-\item
-$i \coloneqq i+1$, $a = b$ und $f\coloneqq f\cdot f$
-\end{enumerate}
-\end{enumerate}
-Die Potenz $x=g^a$ kann so in $O(\log_2a)$ Multiplikationen
-berechnet werden.
-\end{algorithmus}
-
-
-%
-% Diffie-Hellman Schlüsseltausch
-%
-\subsection{Diffie-Hellman-Schlüsseltausch
-\label{buch:subsection:diffie-hellman}}
-Eine Grundaufgabe der Verschlüsselung im Internet ist, dass zwei
-Kommunikationspartner einen gemeinsamen Schlüssel für die Verschlüsselung
-der Daten aushandeln können müssen.
-Es muss davon ausgegangen werden, dass die Kommunikation abgehört wird.
-Trotzdem soll es für einen Lauscher nicht möglich sein, den 
-ausgehandelten Schlüssel zu ermitteln.
-
-% XXX Historisches zu Diffie und Hellman
-
-Die beiden Partner $A$ und $B$ einigen sich zunächst auf eine Zahl $g$,
-die öffentlich bekannt sein darf.
-Weiter erzeugen sie eine zufällige Zahl $a$ und $b$, die sie geheim
-halten.
-Das Verfahren soll aus diesen beiden Zahlen einen Schlüssel erzeugen,
-den beide Partner berechnen können, ohne dass sie $a$ oder $b$ 
-übermitteln müssen.
-Die beiden Zahlen werden daher auch die privaten Schlüssel genannt.
-
-Die Idee von Diffie und Hellman ist jetzt, die Werte $x=g^a$ und $y=g^b$
-zu übertragen.
-In $\mathbb{R}$ würden dadurch natürlich dem Lauscher auch $a$ offenbart,
-er könnte einfach $a=\log_g x$ berechnen.
-Ebenso kann auch $b$ als $b=\log_g y$ erhalten werden, die beiden
-privaten Schlüssel wären also nicht mehr privat.
-Statt der Potenzfunktion in $\mathbb{R}$ muss also eine Funktion
-verwendet werden, die nicht so leicht umgekehrt werden kann.
-Die Potenzfunktion in $\mathbb{F}_p$ erfüllt genau diese Eigenschaft.
-Die Kommunikationspartner einigen sich also auch noch auf die (grosse)
-Primzahl $p$ und übermitteln $x=g^a\in\mathbb{F}_p$ und
-$y=g^b\in\mathbb{F}_p$.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/90-crypto/images/dh.pdf}
-\caption{Schlüsselaustausch nach Diffie-Hellman.
-Die Kommunikationspartner $A$ und $B$ einigen sich öffentlich auf
-$p\in\mathbb{N}$ und $g\in\mathbb{F}_p$.
-$A$ wählt dann einen privaten Schlüssel $a\in\mathbb{N}$ und
-$B$ wählt $b\in\mathbb{N}$, sie tauschen dann $x=g^a$ und $y=g^b$
-aus.
-$A$ erhält den gemeinsamen Schlüssel aus $y^a$, $B$ erhält ihn
-aus $x^b$.
-\label{buch:crypto:fig:dh}}
-\end{figure}
-
-Aus $x$ und $y$ muss jetzt der gemeinsame Schlüssel abgeleitet werden.
-$A$ kennt $y=g^b$ und $a$, $B$ kennt $x=g^a$ und $b$.
-Beide können die Zahl $s=g^{ab}\in\mathbb{F}_p$ berechnen.
-$A$ macht das, indem er $y^a=(g^b)^a = g^{ab}$ rechnet,
-$B$ rechnet $x^b = (g^a)^b = g^{ab}$, beide natürlich in $\mathbb{F}_p$.
-Der Lauscher kann aber $g^{ab}$ nicht ermitteln, dazu müsste er
-$a$ oder $b$ ermitteln können.
-Die Zahl $s=g^{ab}$ kann also als gemeinsamer Schlüssel verwendet
-werden.
-
-
-
-\subsection{Elliptische Kurven
-\label{buch:subsection:elliptische-kurven}}
-Das Diffie-Hellman-Verfahren basiert auf der Schwierigkeit, in einem 
-Körper $\mathbb{F}_p$ die Gleichung $a^x=b$ nach $x$ aufzulösen.
-Die Addition in $\mathbb{F}_p$ wird dazu nicht benötigt.
-Es reicht, eine Menge mit einer Multiplikation zu haben, in der das
-die Gleichung $a^x=b$ schwierig zu lösen ist.
-Ein Gruppe wäre also durchaus ausreichend.
-
-Ein Kandidat für eine solche Gruppe könnte der Einheitskreis
-$S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ in der komplexen Ebene sein.
-Wählt man eine Zahl $g=e^{i\alpha}$, wobei $\alpha$ ein irrationales
-Vielfaches von $\pi$ ist, dann sind alle Potenzen $g^n$ für natürliche
-Exponenten voneinander verschieden.
-Wäre nämlich $g^{n_1}=g^{n_2}$, dann wäre $e^{i\alpha(n_1-n_2)}=1$ und
-somit müsste $\alpha=2k\pi/(n_1-n_2)$ sein.
-Damit wäre aber $\alpha$ ein rationales Vielfaches von $\pi$, im Widerspruch
-zur Voraussetzung.
-Die Abbildung $n\mapsto g^n\in S^1$ ist auf den ersten Blick etwa ähnlich
-undurchschaubar wie die Abbildung $n\mapsto g^n\in\mathbb{F}_p$.
-Es gibt zwar die komplexe Logarithmusfunktion, mit der man $n$ bestimmen
-kann, dazu muss man aber den Wert von $g^n$ mit beliebiger Genauigkeit
-kennen, denn die Werte von $g^n$ können beliebig nahe beieinander liegen.
-
-Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung $x^2+y^2=1$ für
-reelle Koordinaten $x$ und $y$,
-doch Rundungsunsicherheiten verunmöglichen den Einsatz in einem 
-Verfahren ähnlich dem Diffie-Hellman-Verfahren.
-Dieses Problem kann gelöst werden, indem für die Variablen Werte
-aus einem endlichen Körper verwendet werden.
-Gesucht ist also eine Gleichung in zwei Variablen, deren Lösungsmenge
-in einem endlichen Körper eine Gruppenstruktur trägt.
-Die Lösungsmenge ist eine ``Kurve'' von Punkten mit
-Koordinaten in einem endlichen Körper.
-
-In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass sogenannte elliptische Kurven
-über endlichen Körpern genau die verlangen Eigenschaften haben.
-
-\subsubsection{Elliptische Kurven}
-Elliptische Kurven sind Lösungen einer Gleichung der Form
-\begin{equation}
-Y^2+XY=X^3+aX+b
-\label{buch:crypto:eqn:ellipticcurve}
-\end{equation}
-mit Werten von $X$ und $Y$ in einem geeigneten Körper.
-Die Koeffizienten $a$ und $b$ müssen so gewählt werden, dass die
-Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve} genügend viele
-Lösungen hat.
-Über den komplexen Zahlen hat die Gleichung natürlich für jede Wahl von
-$X$ drei Lösungen.
-Für einen endlichen Körper können wir dies im allgemeinen nicht erwarten,
-aber wenn wir genügend viele Wurzeln zu $\mathbb{F}$ hinzufügen können wir
-mindestens erreichen, dass die Lösungsmenge so viele Elemente hat, 
-dass ein Versuch, die Gleichung $g^x=b$ mittels Durchprobierens zu
-lösen, zum Scheitern verurteil ist.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:crypto:def:ellipticcurve}
-Die {\em elliptische Kurve} $E_{a,b}(\Bbbk)$ über dem Körper $\Bbbk$ ist 
-die Menge
-\[
-E_{a,b}(\Bbbk)
-=
-\{(X,Y)\in\Bbbk^2\;|\;Y^2+XY=X^3+aX+b\},
-\]
-für $a,b\in\Bbbk$.
-\end{definition}
-
-Um die Anschauung zu vereinfachen, werden wir elliptische Kurven über
-dem Körper $\mathbb{R}$ visualisieren.
-Die daraus gewonnenen geometrischen Einsichten werden wir anschliessend
-algebraisch umsetzen.
-In den reellen Zahlen kann man die
-Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve}
-noch etwas vereinfachen.
-Indem man in \eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve} 
-quadratisch ergänzt, bekommt man
-\begin{align}
-Y^2 + XY + \frac14X^2 &= X^3+\frac14 X^2 +aX+b
-\notag
-\\
-\Rightarrow\qquad
-v^2&=X^3+\frac14X^2+aX+b,
-\label{buch:crypto:eqn:ell2}
-\end{align}
-indem man $v=Y+\frac12X$ setzt.
-Man beachte, dass man diese Substition nur machen kann, wenn $\frac12$
-definiert ist.
-In $\mathbb{R}$ ist dies kein Problem, aber genau über den Körpern
-mit Charakteristik $2$, die wir für die Computer-Implementation
-bevorzugen, ist dies nicht möglich.
-Es geht hier aber nur um die Visualisierung.
-
-Auch die Form \eqref{buch:crypto:eqn:ell2} lässt sich noch etwas 
-vereinfachen.
-Setzt man $X=u-\frac1{12}$, dann verschwindet nach einiger Rechnung,
-die wir hier nicht durchführen wollen, der quadratische Term
-auf der rechten Seite.
-Die interessierenden Punkte sind Lösungen der einfacheren Gleichung
-\begin{equation}
-v^2
-=
-u^3+\biggl(a-\frac{1}{48}\biggr)u + b-\frac{a}{12}+\frac{1}{864}
-=
-u^3+Au+B.
-\label{buch:crypto:ellvereinfacht}
-\end{equation}
-In dieser Form ist mit $(u,v)$ immer auch $(u,-v)$ eine Lösung,
-die Kurve ist symmetrisch bezüglich der $u$-Achse.
-Ebenso kann man ablesen, dass nur diejenigen $u$-Werte möglich sind,
-für die das kubische Polynom $u^3+Au+B$ auf der rechten Seite von
-\eqref{buch:crypto:ellvereinfacht}
-nicht negativ ist.
-
-Sind $u_1$, $u_2$ und $u_3$ die Nullstellen des kubischen Polynoms
-auf der rechten Seite von~\eqref{buch:crypto:ellvereinfacht}, folgt
-\[
-v^2
-=
-(u-u_1)(u-u_2)(u-u_3)
-=
-u^3
--(u_1+u_2+u_3)u^2
-+(u_1u_2+u_1u_3+u_2u_3)u
--
-u_1u_2u_3.
-\]
-Durch Koeffizientenvergleich sieht man, dass $u_1+u_2+u_3=0$ sein muss.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf}
-\caption{Elliptische Kurve in $\mathbb{R}$ in der Form
-$v^2=u^3+Au+B$ mit Nullstellen $u_1$, $u_2$ und $u_3$ des
-kubischen Polynoms auf der rechten Seite.
-Die blauen Punkte und Geraden illustrieren die Definition der
-Gruppenoperation in der elliptischen Kurve.
-\label{buch:crypto:fig:elliptischekurve}}
-\end{figure}
-Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:elliptischekurve}
-zeigt eine elliptische Kurve in der Ebene.
-
-\subsubsection{Geometrische Definition der Gruppenoperation}
-In der speziellen Form \ref{buch:crypto:ellvereinfacht} ist die
-elliptische Kurve symmetrisch unter Spiegelung an der $u$-Achse.
-Die Spiegelung ist eine Involution, zweimalige Ausführung führt auf
-den ursprünglichen Punkt zurück.
-Die Inverse in einer Gruppe hat diese Eigenschaft auch, es ist
-daher naheliegend, den gespiegelten Punkt als die Inverse eines
-Elementes zu nehmen.
-
-Eine Gerade durch zwei Punkte der
-in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:elliptischekurve}
-dargestellten Kurve schneidet die Kurve ein drittes Mal.
-Die Gruppenoperation wird so definiert, dass drei Punkte der Kurve
-auf einer Geraden das Gruppenprodukt $e$ haben.
-Da aus $g_1g_2g_3=e$ folgt $g_3=(g_1g_2)^{-1}$ oder
-$g_1g_2=g_3^{-1}$, erhält man das Gruppenprodukt zweier Elemente
-auf der elliptischen Kurve indem erst den dritten Schnittpunkt
-ermittelt und diesen dann an der $u$-Achse spiegelt.
-
-Die geometrische Konstruktion schlägt fehl, wenn $g_1=g_2$ ist.
-In diesem Fall kann man die Tangente im Punkt $g_1$ an die Kurve 
-verwenden.
-Dieser Fall tritt zum Beispiel auch in den drei Punkten 
-$(u_1,0)$, $(u_2,0)$ und $(u_3,0)$ ein.
-
-Um das neutrale Element der Gruppe zu finden, können wir 
-zwei Punkte $g$ und $g^{-1}$ miteinander verknüpfen.
-Die Gerade durch $g$ und $g^{-1}$ schneidet aber die Kurve
-kein drittes Mal.
-Ausserdem sind alle Geraden durch $g$ und $g^{-1}$ für verschiedene
-$g$ parallel.
-Das neutrale Element entspricht also einem unendlich weit entfernten Punkt.
-Das neutrale Element entsteht immer dann als Produkt, wenn zwei
-Punkte die gleiche $u$-Koordinaten haben.
-
-\subsubsection{Gruppenoperation, algebraische Konstruktion}
-Nach den geometrischen Vorarbeiten zur Definition der Gruppenoperation
-kann können wir die Konstruktion jetzt algebraisch umsetzen.
-
-Zunächst überlegen wir uns wieder eine Involution, welche als Inverse
-dienen kann.
-Dazu beachten wir, dass die linke Seite der definierenden Gleichung
-\begin{equation}
-Y^2+XY=X^3-aX+b.
-\label{buch:crypto:eqn:grupopgl}
-\end{equation}
-auch als $Y(Y+X)$ geschrieben werden kann.
-Die Abbildung $Y\mapsto -X-Y$ macht daraus
-\[
-(-X-Y)(-X-Y+X)=(X+Y)Y,
-\]
-dies ist also die gesuchte Involution.
-
-Seien also $g_1=(x_1,y_1)$ und $g_2=(x_2,y_2)$ zwei verschiedene Lösungen
-der Gleichung \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl}
-Als erstes brauchen wir eine Gleichung für die Gerade durch die beiden
-Punkte.
-Sei also $l(X,Y)$ eine Linearform derart, dass $l(g_1)=d$ und $l(g_2)=d$
-für ein geeignetes $d\in\Bbbk$.
-Dann gilt auch für die Punkte
-\[
-g(t) = tg_1 + (1-t)g_2
-\qquad\Rightarrow\qquad
-l(g(t))
-=
-tl(g_1) + (1-t)l(g_2)
-=
-tc+(1-t)c
-=
-(t+1-t)c
-=c,
-\]
-jeder Punkt der Geraden durch $g_1$ und $g_2$ lässt sich in dieser Form
-schreiben.
-
-Setzt man jetzt $g(t)$ in die Gleichung ein, erhält man eine kubische
-Gleichung in $t$, von der wir bereits zwei Nullstellen kennen, nämlich 
-$0$ und $1$.
-Die kubische Gleichung muss also durch $t$ und $(t-1)$ teilbar sein.
-Diese Berechnung kann man einfach in einem Computeralgebrasystem
-durchführen.
-Das Polynom ist
-\[
-p(t)
-=
-\]
-Nach Division durch $t(t-1)$ erhält man als den Quotienten
-\begin{align*}
-q(t)
-&=
-(y_2-y_1)^2 
-+
-(y_2-y_1) (x_2-x_1)
-+
-t(x_2-x_1)^3
--
-2x_2^3+3x_1x_2^2-x_1^3
-\end{align*}
-und den Rest
-\[
-r(t)
-=
-t(y_1^2+x_1y_1-x_1^3-ax_1-b)
-+
-(1-t)(y_2^2+x_2y_2-x_2^3-ax_2-b).
-\]
-Die Klammerausdrücke verschwinden, da die sie gleichbedeutend damit sind,
-dass die Punkte Lösungen von \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} sind.
-
-Für den dritten Punkt auf der Geraden muss $t$ so gewählt werden, dass
-$q(t)=0$ ist.
-Dies ist aber eine lineare Gleichung mit der Lösung
-\begin{align*}
-t
-&=
--\frac{
-(y_1-y_2)^2
-+
-(y_2-y_1)(x_2-x_1)
--2x_2^3+3x_1x_2^2-x_1^3
-}{(x_2-x_1)^3}
-.
-\end{align*}
-Setzt man dies $g(t)$ ein, erhält man für die Koordinaten des dritten
-Punktes $g_3$ die Werte
-\begin{align}
-x_3
-&=
-\frac{
-(y_2-y_1)^2(x_2-x_1) + (y_2-y_1)(x_2-x_1)^2
--(x_2^4+x_1^4)
-}{
-(x_2-x_1)^3
-}
-\label{buch:crypto:eqn:x3}
-\\
-y_3
-&=
-\frac{
-(y_2-y_1)^3
-+(x_2-x_1)(y_2-y_1)^2
--(x_{2}-x_{1})^3 ( y_{2} - y_{1})
--(x_{2}-x_{1})^2 ( x_{1} y_{2}- x_{2} y_{1})
-}{
-(x_2-x_1)^3
-}
-\label{buch:crypto:eqn:y3}
-\end{align}
-Die Gleichungen 
-\eqref{buch:crypto:eqn:x3}
-und
-\eqref{buch:crypto:eqn:y3}
-ermöglichen also, das Element $g_1g_2^{-1}$ zu berechnen.
-Interessant daran ist, dass in den Formeln die Konstanten $a$ und $b$ 
-gar nicht vorkommen.
-
-Es bleibt noch der wichtige Fall des Quadrierens in der Gruppe zu
-behandeln, also den Fall $g_1=g_2$.
-In diese Fall sind die Formeln
-\eqref{buch:crypto:eqn:x3}
-und
-\eqref{buch:crypto:eqn:y3}
-ganz offensichtlich nicht anwendbar.
-Die geometrische Anschauung hat nahegelegt, die Tangent an die Kurve
-im Punkt $g_1$ zu nehmen.
-In $\mathbb{R}$ würde man dafür einen Grenzübergang $g_2\to g_1$ machen,
-aber in einem endlichen Körper ist dies natürlich nicht möglich.
-
-Wir schreiben die Gerade als Parameterdarstellung in der Form
-\(
-t\mapsto g(t)= (x_1+ut, y_1+vt)
-\)
-für beliebige Parameter in $\Bbbk$.
-Die Werte $u_1$ und $u_2$ müssen so gewählt werden, dass $g(t)$ eine
-Tangente wird.
-Setzt man $g(t)$ in die Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} ein,
-entsteht ein kubische Gleichung, die genau dann eine doppelte Nullstelle
-bei $0$ hat, wenn $u,v$ die Tangentenrichtung beschreiben.
-Einsetzen von $g(t)$ in \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl}
-ergibt die Gleichung
-\begin{align}
-0
-&=
--u^3t^3
-+
-(-3u^2x_{1}+v^2+uv)t^2
-+
-(2vy_1+uy_1-3ux_1^2+vx_1-au)t
-+
-(y_1^2+x_1y_1-x_1^3-ax_1-b)
-\label{buch:crypto:eqn:tangente1}
-\end{align}
-Damit bei $t=0$ eine doppelte Nullstelle mussen die letzten beiden
-Koeffizienten verschwinden, dies führt auf die Gleichungen
-\begin{align}
-y_1^2+x_1y_1&=x_1^3+ax_1+b
-\label{buch:crypto:eqn:rest1}
-\\
-(2y_1
-+x_1)v
-+(y_1
--3x_1^2
--a)u
-&=0
-\label{buch:crypto:eqn:rest2}
-\end{align}
-Die erste Gleichung \eqref{buch:crypto:eqn:rest1} drückt aus,
-dass $g_1$ ein Punkt der Kurve ist, sie ist automatisch erfüllt.
-
-Die zweite Gleichung
-\eqref{buch:crypto:eqn:rest2}
-legt das Verhältnis von $u$ und $v$, also die
-\label{buch:crypto:eqn:rest2}
-Tangentenrichtung fest.
-Eine mögliche Lösung ist
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-u &= x_1+2y_1
-\\
-v &= -y_1+3x_1^2+a.
-\end{aligned}
-\label{buch:crypto:eqn:uv}
-\end{equation}
-
-Der Quotient ist ein lineares Polynom in $t$, die Nullstelle parametrisiert
-den Punkt, der $(g_1)^{-2}$ entspricht.
-Der zugehörige Wert von $t$ ist
-\begin{equation}
-t=-\frac{3u^2x_1-v^2-uv}{u^3}.
-\label{buch:crypto:eqn:t}
-\end{equation}
-
-
-Setzt man
-\label{buch:crypto:eqn:t}
-und
-\eqref{buch:crypto:eqn:uv}
-in $g(t)$ ein, erhält man sehr komplizierte Ausdrücke für den dritten Punkt.
-Wir verzichten darauf, diese Ausdrücke hier aufzuschreiben.
-In der Praxis wird man in einem Körper der Charakteristik 2 arbeiten.
-In diesem Körper werden alle geraden Koeffizienten zu $0$, alle ungeraden
-Koeffizienten werden unabhängig vom Vorzeichen zu $1$.
-Damit bekommt man die folgenden, sehr viel übersichtlicheren Ausdrücke
-für den dritten Punkt:
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-x
-&=
--\frac{
-y_1^2+x_1y_1+x_1^4+x_1^3+ax_1-a^2
- }{
-x_1^2
-}
-\\
-y
-&=
-\frac{
-y_1^3+(x_1^2+x_1+a)y_1^2+(x_1^4 +a^2)y_1+x_1^6+ax_1^4+ax_1^3+a^2x_1^2+a^2x_1+a^3
-}{
- x_1^3
-}
-\end{aligned}
-\label{buch:crypto:eqn:tangentechar2}
-\end{equation}
-Damit haben wir einen vollständigen Formelsatz für die Berechnung der
-Gruppenoperation in der elliptischen Kurve mindestens für den praktisch
-relevanten Fall einer Kurve über einem Körper der Charakteristik $2$.
-
-\begin{satz}
-Die elliptische Kurve
-\[
-E_{a,b}(\mathbb{F}_{p^l})
-=
-\{
-(X,Y)\in\mathbb{F}_{p^l}
-\;|\;
-Y^2+XY = X^3-aX-b
-\}
-\]
-trägt eine Gruppenstruktur, die wie folgt definiert ist:
-\begin{enumerate}
-\item Der Punkt $(0,0)$ entspricht dem neutralen Element.
-\item Das inverse Element von $(x,y)$ ist $(-x,-y-x)$.
-\item Für zwei verschiedene Punkte $g_1$ und $g_2$ kann $g_3=(g_1g_2)^{-1}$
-mit Hilfe der Formeln
-\eqref{buch:crypto:eqn:x3}
-und
-\eqref{buch:crypto:eqn:y3}
-gefunden werden.
-\item Für einen Punkt $g_1$ kann $g_3=g_1^{-2}$ in Charakteristik $2$ mit
-Hilfe der Formeln
-\eqref{buch:crypto:eqn:tangentechar2}
-gefunden werden.
-\end{enumerate}
-Diese Operationen machen $E_{a,b}(\mathbb{F}_{p^l})$ zu einer endlichen
-abelschen Gruppe.
-\end{satz}
-
-\subsubsection{Beispiele}
-% XXX
-TODO: elliptische Kurven in IPsec: Oakley Gruppen
-
-\subsubsection{Diffie-Hellman in einer elliptischen Kurve}
-% XXX
-TODO: $g^x$ in einer elliptischen Kurve
-
-
-
+%

+% ff.tex -- Kryptographie und endliche Körper

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+%

+

+\section{Kryptographie und endliche Körper

+\label{buch:section:kryptographie-und-endliche-koerper}}

+\rhead{Kryptographie und endliche Körper}

+

+\subsection{Potenzen in $\mathbb{F}_p$ und diskreter Logarithmus

+\label{buch:subsection:potenzen-diskreter-logarithmus}}

+Für kryptographische Anwendungen wird eine einfach zu berechnende

+Funktion benötigt,

+die ohne zusätzliches Wissen, üblicherweise der Schlüssel genannt,

+nicht ohne weiteres umkehrbar ist.

+Die arithmetischen Operationen in einem endlichen Körper sind

+mit geringem Aufwand durchführbar.

+Für die ``schwierigste'' Operation, die Division, steht der

+euklidische Algorithmus zur Verfügung.

+

+Die nächstschwierigere Operation ist die Potenzfunktion.

+Für $g\in \Bbbk$ und $a\in\mathbb{N}$ ist die Potenz $g^a\in\Bbbk$

+natürlich durch die wiederholte Multiplikation definiert.

+In der Praxis werden aber $g$ und $a$ Zahlen mit vielen Binärstellen

+sein, die die wiederholte Multiplikation ist daher sicher nicht

+effizient, das Kriterium der einfachen Berechenbarkeit scheint

+also nicht erfüllt.

+Der folgende Algorithmus berechnet die Potenz in $O(\log_2 a)$

+Multiplikationen.

+

+\begin{algorithmus}[Divide-and-conquer]

+\label{buch:crypto:algo:divide-and-conquer}

+Sei $a=a_0 + a_12^1 + a_22^2 + \dots + a_k2^k$ die Binärdarstellung

+der Zahl $a$.

+\begin{enumerate}

+\item setze $f=g$, $x=1$, $i=0$

+\label{divide-and-conquer-1}

+\item solange $i\ge k$ ist, führe aus

+\label{divide-and-conquer-2}

+\begin{enumerate}

+\item

+\label{divide-and-conquer-3}

+falls $a_i=1$ setze $x \coloneqq x \cdot f$

+\item

+\label{divide-and-conquer-4}

+$i \coloneqq i+1$ und $f\coloneqq f\cdot f$

+\end{enumerate}

+\end{enumerate}

+Die Potenz $x=g^a$ kann so in $O(\log_2a)$ Multiplikationen

+berechnet werden.

+\end{algorithmus}

+

+\begin{proof}[Beweis]

+Die Initalisierung in Schritt~\ref{divide-and-conquer-1} stellt sicher,

+dass $x$ den Wert $g^0$ hat. 

+Schritt~\ref{divide-and-conquer-4} stellt sicher,

+dass die Variable $f$ immer den Wert $g^{2^i}$ hat.

+Im Schritt~\ref{divide-and-conquer-3} wird zu $x$ die Potenz

+$g^{a_i2^i}$ hinzumultipliziert.

+Am Ende des Algorithmus hat daher $x$ den Wert

+\[

+x = g^{a_02^0} \cdot g^{a_12^1} \cdot g^{a_22^2} \cdot\ldots\cdot 2^{a_k2^k}

+=

+g^{a_0+a_12+a_22^2+\dots+a_k2^k}

+=

+g^a.

+\]

+Die Schleife wird $\lfloor1+\log_2ab\rfloor$ mal durchlaufen.

+In jedem Fall wird auf jeden Fall die Multiplikation in 

+Schritt~\ref{divide-and-conquer-4} durchgeführt

+und im schlimmsten Fall auch noch die Multiplikation in

+Schritt~\ref{divide-and-conquer-3}.

+Es werden also nicht mehr als $2\lfloor 1+\log_2a\rfloor=O(\log_2a)$

+Multiplikationen durchgeführt.

+\end{proof}

+

+\begin{beispiel}

+Man berechne die Potenz $7^{2021}$ in $\mathbb{F}_p$.

+Die Binärdarstellung von 2021 ist $2021_{10}=\texttt{11111100101}_2$.

+Wir stellen die nötigen Operationen des

+Algorithmus~\ref{buch:crypto:algo:divide-and-conquer} in der folgenden

+Tabelle

+\begin{center}

+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}

+\hline

+ i&   f& a_i&    x\\

+\hline

+ 0&   7&   1&    7\\

+ 1&  49&   0&    7\\

+ 2&1110&   1&   24\\

+ 3& 486&   0&   24\\

+ 4&1234&   0&   24\\

+ 5& 667&   1&  516\\

+ 6& 785&   1&  977\\

+ 7& 418&   1&  430\\

+ 8& 439&   1&  284\\

+ 9& 362&   1&  819\\

+10& 653&   1&  333\\

+\hline

+\end{tabular}

+\end{center}

+Daraus liest man ab, dass $7^{2021}=333\in\mathbb{F}_{1291}$.

+\end{beispiel}

+

+Die Tabelle suggeriert, dass die Potenzen von $g$ ``wild'', also

+scheinbar ohne System in $\mathbb{F}_p$ herumspringen.

+Dies deutet an, dass die Umkehrung der Exponentialfunktion in $\mathbb{F}_p$

+schwierig ist.

+Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, die Umkehrfunktion von 

+$x\mapsto g^x$ in $\mathbb{F}_p$ heisst der {\em diskrete Logarithmus}.

+\index{diskreter Logarithmus}%

+Tatsächlich ist der diskrete Logarithmus ähnlich schwierig zu bestimmen

+wie das Faktorisieren von Zahlen, die das Produkt grosser

+Primafaktoren ähnlicher Grössenordnung wie $p$ sind.

+Die Funktion $x\mapsto g^x$ ist die gesuchte, schwierig zu invertierende

+Funktion.

+

+Auf dern ersten Blick scheint der

+Algorithmus~\ref{buch:crypto:algo:divide-and-conquer}

+den Nachteil zu haben, dass erst die Binärdarstellung der Zahl $a$ 

+ermittelt werden muss.

+In einem Computer ist dies aber normalerweise kein Problem, da $a$

+im Computer ohnehin binär dargestellt ist.

+Die Binärziffern werden in der Reihenfolge vom niederwertigsten zum

+höchstwertigen Bit benötigt.

+Die folgende Modifikation des Algorithmus ermittelt laufend

+auch die Binärstellen von $a$.

+Die dazu notwendigen Operationen sind im Binärsystem besonders

+effizient implementierbar, die Division durch 2 ist ein Bitshift, der

+Rest ist einfach das niederwertigste Bit der Zahl.

+

+\begin{algorithmus}

+\label{buch:crypto:algo:divide-and-conquer2}

+\begin{enumerate}

+\item

+Setze $f=g$, $x=1$, $i=0$

+\item

+Solange $a>0$ ist, führe aus

+\begin{enumerate}

+\item

+Verwende den euklidischen Algorithmus um $r$ und $b$ zu bestimmen mit $a=2b+r$

+\item

+Falls $r=1$ setze $x \coloneqq x \cdot f$

+\item

+$i \coloneqq i+1$, $a = b$ und $f\coloneqq f\cdot f$

+\end{enumerate}

+\end{enumerate}

+Die Potenz $x=g^a$ kann so in $O(\log_2a)$ Multiplikationen

+berechnet werden.

+\end{algorithmus}

+

+

+%

+% Diffie-Hellman Schlüsseltausch

+%

+\subsection{Diffie-Hellman-Schlüsseltausch

+\label{buch:subsection:diffie-hellman}}

+Eine Grundaufgabe der Verschlüsselung im Internet ist, dass zwei

+Kommunikationspartner einen gemeinsamen Schlüssel für die Verschlüsselung

+der Daten aushandeln können müssen.

+Es muss davon ausgegangen werden, dass die Kommunikation abgehört wird.

+Trotzdem soll es für einen Lauscher nicht möglich sein, den 

+ausgehandelten Schlüssel zu ermitteln.

+

+% XXX Historisches zu Diffie und Hellman

+

+Die beiden Partner $A$ und $B$ einigen sich zunächst auf eine Zahl $g$,

+die öffentlich bekannt sein darf.

+Weiter erzeugen sie eine zufällige Zahl $a$ und $b$, die sie geheim

+halten.

+Das Verfahren soll aus diesen beiden Zahlen einen Schlüssel erzeugen,

+den beide Partner berechnen können, ohne dass sie $a$ oder $b$ 

+übermitteln müssen.

+Die beiden Zahlen werden daher auch die privaten Schlüssel genannt.

+

+Die Idee von Diffie und Hellman ist jetzt, die Werte $x=g^a$ und $y=g^b$

+zu übertragen.

+In $\mathbb{R}$ würden dadurch natürlich dem Lauscher auch $a$ offenbart,

+er könnte einfach $a=\log_g x$ berechnen.

+Ebenso kann auch $b$ als $b=\log_g y$ erhalten werden, die beiden

+privaten Schlüssel wären also nicht mehr privat.

+Statt der Potenzfunktion in $\mathbb{R}$ muss also eine Funktion

+verwendet werden, die nicht so leicht umgekehrt werden kann.

+Die Potenzfunktion in $\mathbb{F}_p$ erfüllt genau diese Eigenschaft.

+Die Kommunikationspartner einigen sich also auch noch auf die (grosse)

+Primzahl $p$ und übermitteln $x=g^a\in\mathbb{F}_p$ und

+$y=g^b\in\mathbb{F}_p$.

+

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/90-crypto/images/dh.pdf}

+\caption{Schlüsselaustausch nach Diffie-Hellman.

+Die Kommunikationspartner $A$ und $B$ einigen sich öffentlich auf

+$p\in\mathbb{N}$ und $g\in\mathbb{F}_p$.

+$A$ wählt dann einen privaten Schlüssel $a\in\mathbb{N}$ und

+$B$ wählt $b\in\mathbb{N}$, sie tauschen dann $x=g^a$ und $y=g^b$

+aus.

+$A$ erhält den gemeinsamen Schlüssel aus $y^a$, $B$ erhält ihn

+aus $x^b$.

+\label{buch:crypto:fig:dh}}

+\end{figure}

+

+Aus $x$ und $y$ muss jetzt der gemeinsame Schlüssel abgeleitet werden.

+$A$ kennt $y=g^b$ und $a$, $B$ kennt $x=g^a$ und $b$.

+Beide können die Zahl $s=g^{ab}\in\mathbb{F}_p$ berechnen.

+$A$ macht das, indem er $y^a=(g^b)^a = g^{ab}$ rechnet,

+$B$ rechnet $x^b = (g^a)^b = g^{ab}$, beide natürlich in $\mathbb{F}_p$.

+Der Lauscher kann aber $g^{ab}$ nicht ermitteln, dazu müsste er

+$a$ oder $b$ ermitteln können.

+Die Zahl $s=g^{ab}$ kann also als gemeinsamer Schlüssel verwendet

+werden.

+

+

+

+\subsection{Elliptische Kurven

+\label{buch:subsection:elliptische-kurven}}

+Das Diffie-Hellman-Verfahren basiert auf der Schwierigkeit, in einem 

+Körper $\mathbb{F}_p$ die Gleichung $a^x=b$ nach $x$ aufzulösen.

+Die Addition in $\mathbb{F}_p$ wird dazu nicht benötigt.

+Es reicht, eine Menge mit einer Multiplikation zu haben, in der das

+die Gleichung $a^x=b$ schwierig zu lösen ist.

+Ein Gruppe wäre also durchaus ausreichend.

+

+Ein Kandidat für eine solche Gruppe könnte der Einheitskreis

+$S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ in der komplexen Ebene sein.

+Wählt man eine Zahl $g=e^{i\alpha}$, wobei $\alpha$ ein irrationales

+Vielfaches von $\pi$ ist, dann sind alle Potenzen $g^n$ für natürliche

+Exponenten voneinander verschieden.

+Wäre nämlich $g^{n_1}=g^{n_2}$, dann wäre $e^{i\alpha(n_1-n_2)}=1$ und

+somit müsste $\alpha=2k\pi/(n_1-n_2)$ sein.

+Damit wäre aber $\alpha$ ein rationales Vielfaches von $\pi$, im Widerspruch

+zur Voraussetzung.

+Die Abbildung $n\mapsto g^n\in S^1$ ist auf den ersten Blick etwa ähnlich

+undurchschaubar wie die Abbildung $n\mapsto g^n\in\mathbb{F}_p$.

+Es gibt zwar die komplexe Logarithmusfunktion, mit der man $n$ bestimmen

+kann, dazu muss man aber den Wert von $g^n$ mit beliebiger Genauigkeit

+kennen, denn die Werte von $g^n$ können beliebig nahe beieinander liegen.

+

+Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung $x^2+y^2=1$ für

+reelle Koordinaten $x$ und $y$,

+doch Rundungsunsicherheiten verunmöglichen den Einsatz in einem 

+Verfahren ähnlich dem Diffie-Hellman-Verfahren.

+Dieses Problem kann gelöst werden, indem für die Variablen Werte

+aus einem endlichen Körper verwendet werden.

+Gesucht ist also eine Gleichung in zwei Variablen, deren Lösungsmenge

+in einem endlichen Körper eine Gruppenstruktur trägt.

+Die Lösungsmenge ist eine ``Kurve'' von Punkten mit

+Koordinaten in einem endlichen Körper.

+

+In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass sogenannte elliptische Kurven

+über endlichen Körpern genau die verlangen Eigenschaften haben.

+

+\subsubsection{Elliptische Kurven}

+Elliptische Kurven sind Lösungen einer Gleichung der Form

+\begin{equation}

+Y^2+XY=X^3+aX+b

+\label{buch:crypto:eqn:ellipticcurve}

+\end{equation}

+mit Werten von $X$ und $Y$ in einem geeigneten Körper.

+Die Koeffizienten $a$ und $b$ müssen so gewählt werden, dass die

+Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve} genügend viele

+Lösungen hat.

+Über den komplexen Zahlen hat die Gleichung natürlich für jede Wahl von

+$X$ drei Lösungen.

+Für einen endlichen Körper können wir dies im allgemeinen nicht erwarten,

+aber wenn wir genügend viele Wurzeln zu $\mathbb{F}$ hinzufügen können wir

+mindestens erreichen, dass die Lösungsmenge so viele Elemente hat, 

+dass ein Versuch, die Gleichung $g^x=b$ mittels Durchprobierens zu

+lösen, zum Scheitern verurteil ist.

+

+\begin{definition}

+\label{buch:crypto:def:ellipticcurve}

+Die {\em elliptische Kurve} $E_{a,b}(\Bbbk)$ über dem Körper $\Bbbk$ ist 

+die Menge

+\[

+E_{a,b}(\Bbbk)

+=

+\{(X,Y)\in\Bbbk^2\;|\;Y^2+XY=X^3+aX+b\},

+\]

+für $a,b\in\Bbbk$.

+\end{definition}

+

+Um die Anschauung zu vereinfachen, werden wir elliptische Kurven über

+dem Körper $\mathbb{R}$ visualisieren.

+Die daraus gewonnenen geometrischen Einsichten werden wir anschliessend

+algebraisch umsetzen.

+In den reellen Zahlen kann man die

+Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve}

+noch etwas vereinfachen.

+Indem man in \eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve} 

+quadratisch ergänzt, bekommt man

+\begin{align}

+Y^2 + XY + \frac14X^2 &= X^3+\frac14 X^2 +aX+b

+\notag

+\\

+\Rightarrow\qquad

+v^2&=X^3+\frac14X^2+aX+b,

+\label{buch:crypto:eqn:ell2}

+\end{align}

+indem man $v=Y+\frac12X$ setzt.

+Man beachte, dass man diese Substition nur machen kann, wenn $\frac12$

+definiert ist.

+In $\mathbb{R}$ ist dies kein Problem, aber genau über den Körpern

+mit Charakteristik $2$, die wir für die Computer-Implementation

+bevorzugen, ist dies nicht möglich.

+Es geht hier aber nur um die Visualisierung.

+

+Auch die Form \eqref{buch:crypto:eqn:ell2} lässt sich noch etwas 

+vereinfachen.

+Setzt man $X=u-\frac1{12}$, dann verschwindet nach einiger Rechnung,

+die wir hier nicht durchführen wollen, der quadratische Term

+auf der rechten Seite.

+Die interessierenden Punkte sind Lösungen der einfacheren Gleichung

+\begin{equation}

+v^2

+=

+u^3+\biggl(a-\frac{1}{48}\biggr)u + b-\frac{a}{12}+\frac{1}{864}

+=

+u^3+Au+B.

+\label{buch:crypto:ellvereinfacht}

+\end{equation}

+In dieser Form ist mit $(u,v)$ immer auch $(u,-v)$ eine Lösung,

+die Kurve ist symmetrisch bezüglich der $u$-Achse.

+Ebenso kann man ablesen, dass nur diejenigen $u$-Werte möglich sind,

+für die das kubische Polynom $u^3+Au+B$ auf der rechten Seite von

+\eqref{buch:crypto:ellvereinfacht}

+nicht negativ ist.

+

+Sind $u_1$, $u_2$ und $u_3$ die Nullstellen des kubischen Polynoms

+auf der rechten Seite von~\eqref{buch:crypto:ellvereinfacht}, folgt

+\[

+v^2

+=

+(u-u_1)(u-u_2)(u-u_3)

+=

+u^3

+-(u_1+u_2+u_3)u^2

++(u_1u_2+u_1u_3+u_2u_3)u

+-

+u_1u_2u_3.

+\]

+Durch Koeffizientenvergleich sieht man, dass $u_1+u_2+u_3=0$ sein muss.

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf}

+\caption{Elliptische Kurve in $\mathbb{R}$ in der Form

+$v^2=u^3+Au+B$ mit Nullstellen $u_1$, $u_2$ und $u_3$ des

+kubischen Polynoms auf der rechten Seite.

+Die blauen Punkte und Geraden illustrieren die Definition der

+Gruppenoperation in der elliptischen Kurve.

+\label{buch:crypto:fig:elliptischekurve}}

+\end{figure}

+Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:elliptischekurve}

+zeigt eine elliptische Kurve in der Ebene.

+

+\subsubsection{Geometrische Definition der Gruppenoperation}

+In der speziellen Form \ref{buch:crypto:ellvereinfacht} ist die

+elliptische Kurve symmetrisch unter Spiegelung an der $u$-Achse.

+Die Spiegelung ist eine Involution, zweimalige Ausführung führt auf

+den ursprünglichen Punkt zurück.

+Die Inverse in einer Gruppe hat diese Eigenschaft auch, es ist

+daher naheliegend, den gespiegelten Punkt als die Inverse eines

+Elementes zu nehmen.

+

+Eine Gerade durch zwei Punkte der

+in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:elliptischekurve}

+dargestellten Kurve schneidet die Kurve ein drittes Mal.

+Die Gruppenoperation wird so definiert, dass drei Punkte der Kurve

+auf einer Geraden das Gruppenprodukt $e$ haben.

+Da aus $g_1g_2g_3=e$ folgt $g_3=(g_1g_2)^{-1}$ oder

+$g_1g_2=g_3^{-1}$, erhält man das Gruppenprodukt zweier Elemente

+auf der elliptischen Kurve indem erst den dritten Schnittpunkt

+ermittelt und diesen dann an der $u$-Achse spiegelt.

+

+Die geometrische Konstruktion schlägt fehl, wenn $g_1=g_2$ ist.

+In diesem Fall kann man die Tangente im Punkt $g_1$ an die Kurve 

+verwenden.

+Dieser Fall tritt zum Beispiel auch in den drei Punkten 

+$(u_1,0)$, $(u_2,0)$ und $(u_3,0)$ ein.

+

+Um das neutrale Element der Gruppe zu finden, können wir 

+zwei Punkte $g$ und $g^{-1}$ miteinander verknüpfen.

+Die Gerade durch $g$ und $g^{-1}$ schneidet aber die Kurve

+kein drittes Mal.

+Ausserdem sind alle Geraden durch $g$ und $g^{-1}$ für verschiedene

+$g$ parallel.

+Das neutrale Element entspricht also einem unendlich weit entfernten Punkt.

+Das neutrale Element entsteht immer dann als Produkt, wenn zwei

+Punkte die gleiche $u$-Koordinaten haben.

+

+\subsubsection{Gruppenoperation, algebraische Konstruktion}

+Nach den geometrischen Vorarbeiten zur Definition der Gruppenoperation

+kann können wir die Konstruktion jetzt algebraisch umsetzen.

+

+Zunächst überlegen wir uns wieder eine Involution, welche als Inverse

+dienen kann.

+Dazu beachten wir, dass die linke Seite der definierenden Gleichung

+\begin{equation}

+Y^2+XY=X^3-aX+b.

+\label{buch:crypto:eqn:grupopgl}

+\end{equation}

+auch als $Y(Y+X)$ geschrieben werden kann.

+Die Abbildung $Y\mapsto -X-Y$ macht daraus

+\[

+(-X-Y)(-X-Y+X)=(X+Y)Y,

+\]

+dies ist also die gesuchte Involution.

+

+Seien also $g_1=(x_1,y_1)$ und $g_2=(x_2,y_2)$ zwei verschiedene Lösungen

+der Gleichung \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl}

+Als erstes brauchen wir eine Gleichung für die Gerade durch die beiden

+Punkte.

+Sei also $l(X,Y)$ eine Linearform derart, dass $l(g_1)=d$ und $l(g_2)=d$

+für ein geeignetes $d\in\Bbbk$.

+Dann gilt auch für die Punkte

+\[

+g(t) = tg_1 + (1-t)g_2

+\qquad\Rightarrow\qquad

+l(g(t))

+=

+tl(g_1) + (1-t)l(g_2)

+=

+tc+(1-t)c

+=

+(t+1-t)c

+=c,

+\]

+jeder Punkt der Geraden durch $g_1$ und $g_2$ lässt sich in dieser Form

+schreiben.

+

+Setzt man jetzt $g(t)$ in die Gleichung ein, erhält man eine kubische

+Gleichung in $t$, von der wir bereits zwei Nullstellen kennen, nämlich 

+$0$ und $1$.

+Die kubische Gleichung muss also durch $t$ und $(t-1)$ teilbar sein.

+Diese Berechnung kann man einfach in einem Computeralgebrasystem

+durchführen.

+Das Polynom ist

+\[

+p(t)

+=

+\]

+Nach Division durch $t(t-1)$ erhält man als den Quotienten

+\begin{align*}

+q(t)

+&=

+(y_2-y_1)^2 

++

+(y_2-y_1) (x_2-x_1)

++

+t(x_2-x_1)^3

+-

+2x_2^3+3x_1x_2^2-x_1^3

+\end{align*}

+und den Rest

+\[

+r(t)

+=

+t(y_1^2+x_1y_1-x_1^3-ax_1-b)

++

+(1-t)(y_2^2+x_2y_2-x_2^3-ax_2-b).

+\]

+Die Klammerausdrücke verschwinden, da die sie gleichbedeutend damit sind,

+dass die Punkte Lösungen von \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} sind.

+

+Für den dritten Punkt auf der Geraden muss $t$ so gewählt werden, dass

+$q(t)=0$ ist.

+Dies ist aber eine lineare Gleichung mit der Lösung

+\begin{align*}

+t

+&=

+-\frac{

+(y_1-y_2)^2

++

+(y_2-y_1)(x_2-x_1)

+-2x_2^3+3x_1x_2^2-x_1^3

+}{(x_2-x_1)^3}

+.

+\end{align*}

+Setzt man dies $g(t)$ ein, erhält man für die Koordinaten des dritten

+Punktes $g_3$ die Werte

+\begin{align}

+x_3

+&=

+\frac{

+(y_2-y_1)^2(x_2-x_1) + (y_2-y_1)(x_2-x_1)^2

+-(x_2^4+x_1^4)

+}{

+(x_2-x_1)^3

+}

+\label{buch:crypto:eqn:x3}

+\\

+y_3

+&=

+\frac{

+(y_2-y_1)^3

++(x_2-x_1)(y_2-y_1)^2

+-(x_{2}-x_{1})^3 ( y_{2} - y_{1})

+-(x_{2}-x_{1})^2 ( x_{1} y_{2}- x_{2} y_{1})

+}{

+(x_2-x_1)^3

+}

+\label{buch:crypto:eqn:y3}

+\end{align}

+Die Gleichungen 

+\eqref{buch:crypto:eqn:x3}

+und

+\eqref{buch:crypto:eqn:y3}

+ermöglichen also, das Element $g_1g_2^{-1}$ zu berechnen.

+Interessant daran ist, dass in den Formeln die Konstanten $a$ und $b$ 

+gar nicht vorkommen.

+

+Es bleibt noch der wichtige Fall des Quadrierens in der Gruppe zu

+behandeln, also den Fall $g_1=g_2$.

+In diese Fall sind die Formeln

+\eqref{buch:crypto:eqn:x3}

+und

+\eqref{buch:crypto:eqn:y3}

+ganz offensichtlich nicht anwendbar.

+Die geometrische Anschauung hat nahegelegt, die Tangent an die Kurve

+im Punkt $g_1$ zu nehmen.

+In $\mathbb{R}$ würde man dafür einen Grenzübergang $g_2\to g_1$ machen,

+aber in einem endlichen Körper ist dies natürlich nicht möglich.

+

+Wir schreiben die Gerade als Parameterdarstellung in der Form

+\(

+t\mapsto g(t)= (x_1+ut, y_1+vt)

+\)

+für beliebige Parameter in $\Bbbk$.

+Die Werte $u_1$ und $u_2$ müssen so gewählt werden, dass $g(t)$ eine

+Tangente wird.

+Setzt man $g(t)$ in die Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} ein,

+entsteht ein kubische Gleichung, die genau dann eine doppelte Nullstelle

+bei $0$ hat, wenn $u,v$ die Tangentenrichtung beschreiben.

+Einsetzen von $g(t)$ in \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl}

+ergibt die Gleichung

+\begin{align}

+0

+&=

+-u^3t^3

++

+(-3u^2x_{1}+v^2+uv)t^2

++

+(2vy_1+uy_1-3ux_1^2+vx_1-au)t

++

+(y_1^2+x_1y_1-x_1^3-ax_1-b)

+\label{buch:crypto:eqn:tangente1}

+\end{align}

+Damit bei $t=0$ eine doppelte Nullstelle mussen die letzten beiden

+Koeffizienten verschwinden, dies führt auf die Gleichungen

+\begin{align}

+y_1^2+x_1y_1&=x_1^3+ax_1+b

+\label{buch:crypto:eqn:rest1}

+\\

+(2y_1

++x_1)v

++(y_1

+-3x_1^2

+-a)u

+&=0

+\label{buch:crypto:eqn:rest2}

+\end{align}

+Die erste Gleichung \eqref{buch:crypto:eqn:rest1} drückt aus,

+dass $g_1$ ein Punkt der Kurve ist, sie ist automatisch erfüllt.

+

+Die zweite Gleichung

+\eqref{buch:crypto:eqn:rest2}

+legt das Verhältnis von $u$ und $v$, also die

+\label{buch:crypto:eqn:rest2}

+Tangentenrichtung fest.

+Eine mögliche Lösung ist

+\begin{equation}

+\begin{aligned}

+u &= x_1+2y_1

+\\

+v &= -y_1+3x_1^2+a.

+\end{aligned}

+\label{buch:crypto:eqn:uv}

+\end{equation}

+

+Der Quotient ist ein lineares Polynom in $t$, die Nullstelle parametrisiert

+den Punkt, der $(g_1)^{-2}$ entspricht.

+Der zugehörige Wert von $t$ ist

+\begin{equation}

+t=-\frac{3u^2x_1-v^2-uv}{u^3}.

+\label{buch:crypto:eqn:t}

+\end{equation}

+

+

+Setzt man

+\label{buch:crypto:eqn:t}

+und

+\eqref{buch:crypto:eqn:uv}

+in $g(t)$ ein, erhält man sehr komplizierte Ausdrücke für den dritten Punkt.

+Wir verzichten darauf, diese Ausdrücke hier aufzuschreiben.

+In der Praxis wird man in einem Körper der Charakteristik 2 arbeiten.

+In diesem Körper werden alle geraden Koeffizienten zu $0$, alle ungeraden

+Koeffizienten werden unabhängig vom Vorzeichen zu $1$.

+Damit bekommt man die folgenden, sehr viel übersichtlicheren Ausdrücke

+für den dritten Punkt:

+\begin{equation}

+\begin{aligned}

+x

+&=

+-\frac{

+y_1^2+x_1y_1+x_1^4+x_1^3+ax_1-a^2

+ }{

+x_1^2

+}

+\\

+y

+&=

+\frac{

+y_1^3+(x_1^2+x_1+a)y_1^2+(x_1^4 +a^2)y_1+x_1^6+ax_1^4+ax_1^3+a^2x_1^2+a^2x_1+a^3

+}{

+ x_1^3

+}

+\end{aligned}

+\label{buch:crypto:eqn:tangentechar2}

+\end{equation}

+Damit haben wir einen vollständigen Formelsatz für die Berechnung der

+Gruppenoperation in der elliptischen Kurve mindestens für den praktisch

+relevanten Fall einer Kurve über einem Körper der Charakteristik $2$.

+

+\begin{satz}

+Die elliptische Kurve

+\[

+E_{a,b}(\mathbb{F}_{p^l})

+=

+\{

+(X,Y)\in\mathbb{F}_{p^l}

+\;|\;

+Y^2+XY = X^3-aX-b

+\}

+\]

+trägt eine Gruppenstruktur, die wie folgt definiert ist:

+\begin{enumerate}

+\item Der Punkt $(0,0)$ entspricht dem neutralen Element.

+\item Das inverse Element von $(x,y)$ ist $(-x,-y-x)$.

+\item Für zwei verschiedene Punkte $g_1$ und $g_2$ kann $g_3=(g_1g_2)^{-1}$

+mit Hilfe der Formeln

+\eqref{buch:crypto:eqn:x3}

+und

+\eqref{buch:crypto:eqn:y3}

+gefunden werden.

+\item Für einen Punkt $g_1$ kann $g_3=g_1^{-2}$ in Charakteristik $2$ mit

+Hilfe der Formeln

+\eqref{buch:crypto:eqn:tangentechar2}

+gefunden werden.

+\end{enumerate}

+Diese Operationen machen $E_{a,b}(\mathbb{F}_{p^l})$ zu einer endlichen

+abelschen Gruppe.

+\end{satz}

+

+\subsubsection{Beispiele}

+% XXX

+TODO: elliptische Kurven in IPsec: Oakley Gruppen

+

+\subsubsection{Diffie-Hellman in einer elliptischen Kurve}

+% XXX

+TODO: $g^x$ in einer elliptischen Kurve

+

+

+

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile b/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile
index 9480163..5df9178 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/Makefile
@@ -1,13 +1,29 @@
-#
-# Makefile -- build images for crypto chapter
-#
-# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-#
-all:	dh.pdf elliptic.pdf
-
-dh.pdf:	dh.tex
-	pdflatex dh.tex
-
-elliptic.pdf:	elliptic.tex
-	pdflatex elliptic.tex
-
+#

+# Makefile -- build images for crypto chapter

+#

+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+#

+all:	dh.pdf elliptic.pdf schieberegister.pdf multiplikation.pdf sbox.pdf \

+	shift.pdf keys.pdf

+

+dh.pdf:	dh.tex

+	pdflatex dh.tex

+

+elliptic.pdf:	elliptic.tex

+	pdflatex elliptic.tex

+

+schieberegister.pdf:	schieberegister.tex

+	pdflatex schieberegister.tex

+

+multiplikation.pdf:	multiplikation.tex

+	pdflatex multiplikation.tex

+

+sbox.pdf:	sbox.tex

+	pdflatex sbox.tex

+

+shift.pdf:	shift.tex

+	pdflatex shift.tex

+

+keys.pdf:	keys.tex

+	pdflatex keys.tex

+

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/dh.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/dh.pdf
index 67b95a5..eede4bd 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/images/dh.pdf
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/dh.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf
index d408f1e..e58639f 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/keys.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/keys.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2c6b4b9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/keys.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/keys.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/keys.tex
new file mode 100644
index 0000000..4b1b566
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/keys.tex
@@ -0,0 +1,121 @@
+%

+% keys.tex -- template for standalon tikz images

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}

+\def\s{0.5}

+\def\punkt#1#2{({(#1)*\s},{(#2)*\s})}

+\def\wort#1#2#3{

+	\fill[color=#3] \punkt{#1}{#2} rectangle \punkt{(#1+1)}{(#2+4)};

+	\draw \punkt{#1}{#2} rectangle \punkt{(#1+1)}{(#2+4)};

+}

+

+\def\summe{

+	\foreach \x in {0,3,...,21}{

+		\draw[->] \punkt{(\x+0.5)}{-0.1} -- \punkt{(\x+0.5)}{-2.1};

+		\draw \punkt{(\x+0.5)}{-2.5} circle[radius={0.3*\s}];

+		\draw \punkt{(\x+0.5-0.2)}{-2.5} 

+			--

+			\punkt{(\x+0.5+0.2)}{-2.5};

+		\draw \punkt{(\x+0.5)}{-2.5+0.2} 

+			--

+			\punkt{(\x+0.5)}{-2.5-0.2};

+		\draw[->] \punkt{(\x+0.5)}{-2.9} -- \punkt{(\x+0.5)}{-4.9};

+	}

+	\foreach \x in {0,3,...,18}{

+		\draw[->] \punkt{(\x+1.1)}{-7} -- \punkt{(\x+2)}{-7}

+			-- \punkt{(\x+2)}{-2.5} -- \punkt{(\x+3.1)}{-2.5};

+	}

+	\fill[color=white]

+		\punkt{(9+1.25)}{-5.5}

+		rectangle

+		\punkt{(9+2.75)}{-4.00};

+	\draw

+		\punkt{(9+1.25)}{-5.5}

+		rectangle

+		\punkt{(9+2.75)}{-4.00};

+	\node at \punkt{(9+2)}{-4.75} {$S$};

+}

+

+\def\blocks#1{

+	\foreach \x in {0,3,...,21}{

+		\wort{\x}{0}{#1}

+	}

+}

+

+\def\schlange#1{

+	\draw[->] \punkt{22.1}{2} -- \punkt{23}{2}

+		-- \punkt{23}{-1.0} -- \punkt{-3}{-1.0}

+		-- \punkt{-3}{-8} -- \punkt{-1}{-8} -- \punkt{-1}{-2.5}

+		-- \punkt{0.1}{-2.5};

+	;

+	\fill[color=white] \punkt{-3.75}{-1.75} rectangle \punkt{-2.25}{-3.25};

+	\draw \punkt{-3.75}{-1.75} rectangle \punkt{-2.25}{-3.25};

+	\node at \punkt{-3}{-2.5} {$\pi$};

+

+	\fill[color=white] \punkt{-3.75}{-3.75} rectangle \punkt{-2.25}{-5.25};

+	\draw \punkt{-3.75}{-3.75} rectangle \punkt{-2.25}{-5.25};

+	\node at \punkt{-3}{-4.5} {$S$};

+

+	\fill[color=white] \punkt{-3.75}{-5.75} rectangle \punkt{-2.25}{-7.25};

+	\draw \punkt{-3.75}{-5.75} rectangle \punkt{-2.25}{-7.25};

+	\node at \punkt{-3}{-6.5} {$r_{#1}$};

+}

+

+\begin{scope}

+	\blocks{blue!20}

+	\foreach \x in {0,...,7}{

+		\node at \punkt{(3*\x+0.5)}{2} {$K_\x$};

+	}

+	\schlange{1}

+	\summe

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-4.5cm]

+	\blocks{darkgreen!20}

+	\foreach \x in {8,...,15}{

+		\node at \punkt{(3*(\x-8)+0.5)}{2} {$K_{\x}$};

+	}

+	\schlange{2}

+	\summe

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-9cm]

+	\blocks{darkgreen!20}

+	\foreach \x in {16,...,23}{

+		\node at \punkt{(3*(\x-16)+0.5)}{2} {$K_{\x}$};

+	}

+	\schlange{3}

+	\summe

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-13.5cm]

+	\blocks{darkgreen!20}

+	\foreach \x in {24,...,31}{

+		\node at \punkt{(3*(\x-24)+0.5)}{2} {$K_{\x}$};

+	}

+	\foreach \x in {0,3,...,21}{

+		\draw[->,color=gray]

+			\punkt{(\x+0.5)}{-0.1} -- \punkt{(\x+0.5)}{-2.1};

+		\node[color=gray] at \punkt{(\x+0.5)}{-2.1} [below] {$\vdots$};

+	}

+	\draw[color=gray] \punkt{22.1}{2} -- \punkt{23}{2}

+		-- \punkt{23}{-1.0} -- \punkt{-3}{-1.0}

+		-- \punkt{-3}{-2.1};

+	\node[color=gray] at \punkt{-3}{-2.1} [below] {$\vdots$};

+\end{scope}

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf
new file mode 100644
index 0000000..86345b8
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.tex
new file mode 100644
index 0000000..dd59097
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/multiplikation.tex
@@ -0,0 +1,464 @@
+%

+% multiplikation.tex -- 

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}

+

+\def\s{0.45}

+

+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})}

+

+\def\pfeile{

+	\foreach \x in {0.5,1.5,...,7.5}{

+		\draw[->,color=blue] \punkt{\x}{-2.1} -- \punkt{(\x-1)}{-3.3};

+	}

+}

+

+\begin{scope}[yshift=0.1cm]

+	\node at \punkt{0}{0.5} [left] {$p(X)=\mathstrut$};

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+	}

+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\foreach \x in {0.5,1.5,...,7.5}{

+		\draw[->,color=blue] \punkt{\x}{-0.1} -- \punkt{(\x-1)}{-1.3};

+	}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-1cm]

+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);

+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};

+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+	}

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};

+

+	\draw[->,color=darkgreen]

+		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+

+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};

+	}

+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+

+	\pfeile

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-3cm]

+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);

+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};

+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+	}

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};

+

+%	\draw[->,color=darkgreen]

+%		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};

+

+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};

+	}

+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+

+	\pfeile

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-5cm]

+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);

+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};

+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+	}

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};

+

+%	\draw[->,color=darkgreen]

+%		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};

+

+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};

+	}

+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+

+	\pfeile

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-7cm]

+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);

+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};

+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+	}

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};

+

+	\draw[->,color=darkgreen]

+		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};

+

+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};

+	}

+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+

+	\pfeile

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-9cm]

+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);

+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};

+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+	}

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};

+

+	\draw[->,color=darkgreen]

+		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};

+

+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};

+	}

+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+

+	\pfeile

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-11cm]

+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);

+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};

+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+	}

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};

+

+%	\draw[->,color=darkgreen]

+%		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};

+

+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};

+	}

+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+

+	\pfeile

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-13cm]

+	\draw[<-] \punkt{8.2}{-1.3} arc (-30:30:1.8);

+	\node at \punkt{9.3}{0.6} {$\mathstrut\cdot X$};

+	\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{0} rectangle \punkt{0}{1};

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+	}

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{-0.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{0}};

+

+%	\draw[->,color=darkgreen]

+%		\punkt{-0.5}{0.1} -- \punkt{-0.5}{-0.5} -- \punkt{3.1}{-0.5};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+%	\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-0.5} {\texttt{1}};

+	\node[color=darkgreen] at \punkt{4}{-0.5} {$\|$};

+

+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};

+	}

+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{1}};

+

+%	\pfeile

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=9cm]

+

+\begin{scope}[yshift=0.1cm]

+	\draw[->] \punkt{-11.8}{0.5} -- \punkt{-0.1}{0.5};

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+	}

+	\draw \punkt{4}{-0.1} -- \punkt{4}{-3};

+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{1}};

+\end{scope}

+

+\def\summation#1#2#3#4#5#6#7#8{

+	\draw[->] \punkt{4}{2.3} -- \punkt{4}{1};

+

+	\draw[->] \punkt{-11.8}{0.5} -- \punkt{3.5}{0.5};

+

+	\draw \punkt{4}{0.5} circle[radius=0.2];

+	\draw \punkt{4}{0.20} -- \punkt{4}{0.80};

+	\draw \punkt{3.7}{0.5} -- \punkt{4.3}{0.5};

+

+	\draw[->] \punkt{4}{-0.05} -- \punkt{4}{-0.95};

+	\draw \punkt{0}{-2} rectangle \punkt{8}{-1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{-2} -- \punkt{\x}{-1};

+	}

+

+	\node at \punkt{0.5}{-1.5} {\texttt{#1}};

+	\node at \punkt{1.5}{-1.5} {\texttt{#2}};

+	\node at \punkt{2.5}{-1.5} {\texttt{#3}};

+	\node at \punkt{3.5}{-1.5} {\texttt{#4}};

+	\node at \punkt{4.5}{-1.5} {\texttt{#5}};

+	\node at \punkt{5.5}{-1.5} {\texttt{#6}};

+	\node at \punkt{6.5}{-1.5} {\texttt{#7}};

+	\node at \punkt{7.5}{-1.5} {\texttt{#8}};

+}

+

+\begin{scope}[yshift=-1.9cm]

+	\summation{1}{0}{0}{1}{0}{1}{0}{1}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-3.9cm]

+	\summation{1}{1}{1}{1}{0}{1}{1}{1}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-5.9cm]

+	\summation{1}{1}{1}{1}{0}{1}{1}{1}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-7.9cm]

+	\summation{0}{1}{1}{0}{0}{1}{0}{0}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-9.9cm]

+	\summation{0}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{1}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-11.9cm]

+	\summation{0}{1}{0}{1}{1}{0}{0}{1}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[yshift=-13.9cm]

+	\summation{0}{0}{1}{1}{0}{1}{1}{0}

+	\node at \punkt{0}{-1.5} [left] {$p(X)\cdot q(X)=\mathstrut$};

+\end{scope}

+

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=5cm]

+

+\begin{scope}[yshift=2cm]

+	\node at \punkt{0}{0.5} [left] {$q(X)=\mathstrut$};

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+	}

+	\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};

+	\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};

+	\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{1}};

+

+	\draw[->] \punkt{7.5}{-0.1} -- ({7.5*\s},{-1.3});

+	\node at ({7.5*\s},{-1.2}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};

+

+	\def\y{1.2}

+

+	\draw[->] \punkt{6.5}{-0.1} -- ({6.5*\s},{-1*2-\y-0.1});

+	\node at ({6.5*\s},{-1*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{0}$};

+

+	\draw[->] \punkt{5.5}{-0.1} -- ({5.5*\s},{-2*2-\y-0.1});

+	\node at ({5.5*\s},{-2*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};

+

+	\draw[->] \punkt{4.5}{-0.1} -- ({4.5*\s},{-3*2-\y-0.1});

+	\node at ({4.5*\s},{-3*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{0}$};

+

+	\draw[->] \punkt{3.5}{-0.1} -- ({3.5*\s},{-4*2-\y-0.1});

+	\node at ({3.5*\s},{-4*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};

+

+	\draw[->] \punkt{2.5}{-0.1} -- ({2.5*\s},{-5*2-\y-0.1});

+	\node at ({2.5*\s},{-5*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};

+

+	\draw[->] \punkt{1.5}{-0.1} -- ({1.5*\s},{-6*2-\y-0.1});

+	\node at ({1.5*\s},{-6*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{0}$};

+

+	\draw[->] \punkt{0.5}{-0.1} -- ({0.5*\s},{-7*2-\y-0.1});

+	\node at ({0.5*\s},{-7*2-\y}) [below] {$\mathstrut\cdot\texttt{1}$};

+\end{scope}

+

+\end{scope}

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.m b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.m
new file mode 100644
index 0000000..1f0c2ce
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.m
@@ -0,0 +1,52 @@
+#

+# sbox.m

+#

+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+#

+A=[

+1,0,0,0,1,1,1,1;

+1,1,0,0,0,1,1,1;

+1,1,1,0,0,0,1,1;

+1,1,1,1,0,0,0,1;

+1,1,1,1,1,0,0,0;

+0,1,1,1,1,1,0,0;

+0,0,1,1,1,1,1,0;

+0,0,0,1,1,1,1,1;

+]

+

+R = zeros(8,16);

+R(:,1:8) = A;

+R(:,9:16) = eye(8);

+

+for k = (1:5)

+	for i=(k+1:8)

+		pivot = R(i,k);

+		R(i,:) = R(i,:) + pivot * R(k,:);

+	end

+	R = mod(R, 2)

+end

+

+P = [

+1,0,0,0,0,0,0,0;

+0,1,0,0,0,0,0,0;

+0,0,1,0,0,0,0,0;

+0,0,0,1,0,0,0,0;

+0,0,0,0,1,0,0,0;

+0,0,0,0,0,0,0,1;

+0,0,0,0,0,1,0,0;

+0,0,0,0,0,0,1,0;

+]

+

+R = P * R

+

+for k = (8:-1:2)

+	for i = (1:k-1)

+		pivot = R(i,k);

+		R(i,:) = R(i,:) + pivot * R(k,:);

+	end

+	R = mod(R, 2)

+end

+

+B = R(:,9:16)

+

+A * B

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7a5bdf3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.tex
new file mode 100644
index 0000000..fefb823
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/sbox.tex
@@ -0,0 +1,241 @@
+%

+% sbox.tex -- template for standalon tikz images

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\def\s{0.2}

+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{(8-(#2))*\s})}

+

+\definecolor{b}{rgb}{0,0,0}

+\definecolor{w}{rgb}{1,1,1}

+

+\def\feld#1#2#3{

+	\fill[color=#3] \punkt{#1}{#2} rectangle \punkt{(#1+1)}{(#2-1)};

+}

+

+\def\zeile#1#2#3#4#5#6#7#8#9{

+	\feld{0}{#1}{#2}

+	\feld{1}{#1}{#3}

+	\feld{2}{#1}{#4}

+	\feld{3}{#1}{#5}

+	\feld{4}{#1}{#6}

+	\feld{5}{#1}{#7}

+	\feld{6}{#1}{#8}

+	\feld{7}{#1}{#9}

+}

+\def\inverse#1#2#3#4#5#6#7#8#9{

+	\feld{8}{#1}{#2}

+	\feld{9}{#1}{#3}

+	\feld{10}{#1}{#4}

+	\feld{11}{#1}{#5}

+	\feld{12}{#1}{#6}

+	\feld{13}{#1}{#7}

+	\feld{14}{#1}{#8}

+	\feld{15}{#1}{#9}

+}

+\def\rechteck{

+	\draw (0,{1*\s}) rectangle ({16*\s},{(8+1)*\s});

+	\draw ({8*\s},{1*\s}) -- ({8*\s},{(8+1)*\s});

+}

+

+\def\pivot#1#2{

+	\draw[color=red,line width=1.2pt]

+		\punkt{(#1+\inset)}{(#2-\inset)}

+		rectangle

+		\punkt{(#1+1-\inset)}{(#2-1+\inset)};

+}

+\def\inset{0.1}

+\def\cleanup#1#2#3{

+	\pgfmathparse{(#3-#2)/abs(#3-#2)}

+	\xdef\signum{\pgfmathresult}

+	\draw[color=blue!50,line width=1.2pt]

+		\punkt{(#1+\inset)}{#3}

+		--

+		\punkt{(#1+\inset)}{(#2-1+\inset*\signum)}

+		--

+		\punkt{(#1+1-\inset)}{(#2-1+\inset*\signum)}

+		--

+		\punkt{(#1+1-\inset)}{#3}

+	;

+}

+

+\begin{scope}

+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww

+	\zeile1bbwwwbbb \inverse1wbwwwwww

+	\zeile2bbbwwwbb \inverse2wwbwwwww

+	\zeile3bbbbwwwb \inverse3wwwbwwww

+	\zeile4bbbbbwww \inverse4wwwwbwww

+	\zeile5wbbbbbww \inverse5wwwwwbww

+	\zeile6wwbbbbbw \inverse6wwwwwwbw

+	\zeile7wwwbbbbb \inverse7wwwwwwwb

+	\rechteck

+	\pivot{0}{0}

+	\cleanup{0}{1}{7}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=4cm]

+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]

+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};

+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww

+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww

+	\zeile2wbbwbbww \inverse2bwbwwwww

+	\zeile3wbbbbbbw \inverse3bwwbwwww

+	\zeile4wbbbwbbb \inverse4bwwwbwww

+	\zeile5wbbbbbww \inverse5wwwwwbww

+	\zeile6wwbbbbbw \inverse6wwwwwwbw

+	\zeile7wwwbbbbb \inverse7wwwwwwwb

+	\rechteck

+	\pivot{1}{1}

+	\cleanup{1}{2}{7}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=8cm]

+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]

+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};

+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww

+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww

+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww

+	\zeile3wwbbwbbw \inverse3wbwbwwww

+	\zeile4wwbbbbbb \inverse4wbwwbwww

+	\zeile5wwbbwbww \inverse5bbwwwbww

+	\zeile6wwbbbbbw \inverse6wwwwwwbw

+	\zeile7wwwbbbbb \inverse7wwwwwwwb

+	\rechteck

+	\pivot{2}{2}

+	\cleanup{2}{3}{7}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=12cm,yshift=0cm]

+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]

+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};

+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww

+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww

+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww

+	\zeile3wwwbwwbw \inverse3wwbbwwww

+	\zeile4wwwbbwbb \inverse4wwbwbwww

+	\zeile5wwwbwwww \inverse5bwbwwbww

+	\zeile6wwwbbwbw \inverse6wbbwwwbw

+	\zeile7wwwbbbbb \inverse7wwwwwwwb

+	\rechteck

+	\pivot{3}{3}

+	\cleanup{3}{4}{7}

+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]

+		\punkt{8}{7} -- \punkt{8}{11};

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=12cm,yshift=-2.4cm]

+	\draw[<-,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]

+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};

+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww

+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww

+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww

+	\zeile3wwwbwwbw \inverse3wwbbwwww

+	\zeile4wwwwbwwb \inverse4wwwbbwww

+	\zeile5wwwwwwbw \inverse5bwwbwbww

+	\zeile6wwwwbwww \inverse6wbwbwwbw

+	\zeile7wwwwbbwb \inverse7wwbbwwwb

+	\rechteck

+	\pivot{4}{4}

+	\cleanup{4}{5}{7}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=8cm,yshift=-2.4cm]

+	\draw[<-,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]

+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};

+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww

+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww

+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww

+	\zeile3wwwbwwbw \inverse3wwbbwwww

+	\zeile4wwwwbwwb \inverse4wwwbbwww

+	\zeile5wwwwwwbw \inverse5bwwbwbww

+	\zeile6wwwwwwwb \inverse6wbwwbwbw

+	\zeile7wwwwwbww \inverse7wwbwbwwb

+	\rechteck

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=4cm,yshift=-2.4cm]

+	\draw[<-,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]

+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};

+	\zeile0bwwwbbbb \inverse0bwwwwwww

+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww

+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww

+	\zeile3wwwbwwbw \inverse3wwbbwwww

+	\zeile4wwwwbwwb \inverse4wwwbbwww

+	\zeile5wwwwwbww \inverse5wwbwbwwb

+	\zeile6wwwwwwbw \inverse6bwwbwbww

+	\zeile7wwwwwwwb \inverse7wbwwbwbw

+	\rechteck

+	\cleanup{7}{7}{-1}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-2.4cm]

+	\zeile0bwwwbbbw \inverse0bbwwbwbw

+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww

+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww

+	\zeile3wwwbwwbw \inverse3wwbbwwww

+	\zeile4wwwwbwww \inverse4wbwbwwbw

+	\zeile5wwwwwbww \inverse5wwbwbwwb

+	\zeile6wwwwwwbw \inverse6bwwbwbww

+	\zeile7wwwwwwwb \inverse7wbwwbwbw

+	\rechteck

+	\cleanup{6}{6}{-1}

+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]

+		\punkt{8}{7} -- \punkt{8}{11};

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-4.8cm]

+	\zeile0bwwwbbww \inverse0wbwbbbbw

+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww

+	\zeile2wwbwwbww \inverse2wbbwwwww

+	\zeile3wwwbwwww \inverse3bwbwwbww

+	\zeile4wwwwbwww \inverse4wbwbwwbw

+	\zeile5wwwwwbww \inverse5wwbwbwwb

+	\zeile6wwwwwwbw \inverse6bwwbwbww

+	\zeile7wwwwwwwb \inverse7wbwwbwbw

+	\rechteck

+	\cleanup{5}{5}{-1}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=4cm,yshift=-4.8cm]

+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]

+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};

+	\zeile0bwwwbwww \inverse0wbbbwbbb

+	\zeile1wbwwbwww \inverse1bbwwwwww

+	\zeile2wwbwwwww \inverse2wbwwbwwb

+	\zeile3wwwbwwww \inverse3bwbwwbww

+	\zeile4wwwwbwww \inverse4wbwbwwbw

+	\zeile5wwwwwbww \inverse5wwbwbwwb

+	\zeile6wwwwwwbw \inverse6bwwbwbww

+	\zeile7wwwwwwwb \inverse7wbwwbwbw

+	\rechteck

+	\cleanup{4}{4}{-1}

+\end{scope}

+

+\begin{scope}[xshift=8cm,yshift=-4.8cm]

+	\draw[->,shorten >= 0.05cm,shorten <= 0.05cm]

+		\punkt{-4}{3} -- \punkt{0}{3};

+	\zeile0bwwwwwww \inverse0wwbwwbwb

+	\zeile1wbwwwwww \inverse1bwwbwwbw

+	\zeile2wwbwwwww \inverse2wbwwbwwb

+	\zeile3wwwbwwww \inverse3bwbwwbww

+	\zeile4wwwwbwww \inverse4wbwbwwbw

+	\zeile5wwwwwbww \inverse5wwbwbwwb

+	\zeile6wwwwwwbw \inverse6bwwbwbww

+	\zeile7wwwwwwwb \inverse7wbwwbwbw

+	\rechteck

+\end{scope}

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.pdf
new file mode 100644
index 0000000..30b675b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.tex
new file mode 100644
index 0000000..49302ac
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/schieberegister.tex
@@ -0,0 +1,120 @@
+%

+% schieberegister.tex -- template for standalon tikz images

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}

+

+\def\s{0.8}

+

+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})}

+

+\fill[color=blue!20] \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+

+\node at \punkt{0.5}{1} [above] {$X^7\mathstrut$};

+\node at \punkt{3}{1}   [above] {$+\mathstrut$};

+\node at \punkt{3.5}{1} [above] {$X^4\mathstrut$};

+\node at \punkt{5}{1}   [above] {$+\mathstrut$};

+\node at \punkt{5.5}{1} [above] {$X^2\mathstrut$};

+\node at \punkt{7}{1}   [above] {$+\mathstrut$};

+\node at \punkt{7.5}{1} [above] {$1\mathstrut$};

+

+\node at \punkt{0}{1} [above left] {\llap{$p(X)=\mathstrut$}};

+

+\node at \punkt{0.5}{0.5} {\texttt{1}};

+\node at \punkt{1.5}{0.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{2.5}{0.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{3.5}{0.5} {\texttt{1}};

+\node at \punkt{4.5}{0.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{5.5}{0.5} {\texttt{1}};

+\node at \punkt{6.5}{0.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{7.5}{0.5} {\texttt{1}};

+

+\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{1};

+\foreach \x in {1,...,7}{

+	\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{1};

+}

+

+\fill[color=blue!20] \punkt{-1}{-3} rectangle \punkt{7}{-2};

+\fill[color=darkgreen!20] \punkt{0}{-4} rectangle \punkt{8}{-3};

+

+\node[color=darkgreen] at \punkt{-1}{-1.5} [left] 

+	{$m(X) = X^8+X^4+X^3+X+1$};

+

+\node[color=darkgreen] at \punkt{-1}{-2.7} [left]

+	{$\underbrace{X^4+X^3+X+1}_{}= X^8=\mathstrut$};

+

+\coordinate (A) at ({-4.15*\s},{-3*\s});

+\coordinate (B) at ({0*\s},{-3.5*\s});

+

+\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm] (A) to[out=-90,in=180] (B);

+\node[color=red] at \punkt{-3.1}{-3.8} [below] {Feedback};

+

+\node at \punkt{-0.5}{-2.5} {\texttt{1}};

+\node at \punkt{0.5}{-2.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{1.5}{-2.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{2.5}{-2.5} {\texttt{1}};

+\node at \punkt{3.5}{-2.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{4.5}{-2.5} {\texttt{1}};

+\node at \punkt{5.5}{-2.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{6.5}{-2.5} {\texttt{1}};

+\node at \punkt{7.5}{-2.5} {\texttt{0}};

+

+\node[color=darkgreen] at \punkt{0.5}{-3.5} {\texttt{0}};

+\node[color=darkgreen] at \punkt{1.5}{-3.5} {\texttt{0}};

+\node[color=darkgreen] at \punkt{2.5}{-3.5} {\texttt{0}};

+\node[color=darkgreen] at \punkt{3.5}{-3.5} {\texttt{1}};

+\node[color=darkgreen] at \punkt{4.5}{-3.5} {\texttt{1}};

+\node[color=darkgreen] at \punkt{5.5}{-3.5} {\texttt{0}};

+\node[color=darkgreen] at \punkt{6.5}{-3.5} {\texttt{1}};

+\node[color=darkgreen] at \punkt{7.5}{-3.5} {\texttt{1}};

+

+\draw \punkt{0}{-4} rectangle \punkt{8}{-2};

+\draw \punkt{0}{-3} -- \punkt{8}{-3};

+\foreach \x in {1,...,7}{

+	\draw \punkt{\x}{-4} -- \punkt{\x}{-2};

+}

+

+\foreach \x in {0.5,1.5,...,7.5}{

+	\draw[->,color=blue] \punkt{\x}{-0.1} -- \punkt{(\x-1)}{-1.9};

+}

+

+\draw \punkt{0}{-6} rectangle \punkt{8}{-5};

+\foreach \x in {1,...,7}{

+	\draw \punkt{\x}{-6} -- \punkt{\x}{-5};

+}

+

+\node at \punkt{0.5}{-5.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{1.5}{-5.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{2.5}{-5.5} {\texttt{1}};

+\node at \punkt{3.5}{-5.5} {\texttt{1}};

+\node at \punkt{4.5}{-5.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{5.5}{-5.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{6.5}{-5.5} {\texttt{0}};

+\node at \punkt{7.5}{-5.5} {\texttt{1}};

+

+\node at \punkt{4}{-4.5} {$\|$};

+

+\node at \punkt{10.3}{-3} [left]

+	{$\left.\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}\right\} + = \text{XOR}$};

+

+\draw[<-,shorten >= 0.1cm, shorten <= 0.1cm]

+	\punkt{8.0}{-2.0} arc (-30:30:{2.0*\s});

+\node at \punkt{8.3}{-1} [right] {$\mathstrut \cdot X$};

+

+\node at \punkt{8.1}{-5.5} [right] {$=X\cdot p(X)\mathstrut$};

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/shift.pdf b/buch/chapters/90-crypto/images/shift.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b007378
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/shift.pdf
diff --git a/buch/chapters/90-crypto/images/shift.tex b/buch/chapters/90-crypto/images/shift.tex
new file mode 100644
index 0000000..af225a7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/90-crypto/images/shift.tex
@@ -0,0 +1,131 @@
+%

+% shift.tex -- template for standalon tikz images

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}

+

+\def\s{0.8}

+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})}

+

+\def\feld#1#2#3#4{

+	\fill[color=#3] \punkt{#1}{#2} rectangle \punkt{(#1+1)}{(#2+1)};

+	\node at \punkt{(#1+0.5)}{(#2+0.5)} {$\mathstrut #4$};

+}

+\def\gitter{

+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{4};

+	\foreach \x in {1,...,7}{

+		\draw \punkt{\x}{0} -- \punkt{\x}{4};

+	}

+	\foreach \y in {1,...,3}{

+		\draw \punkt{0}{\y} -- \punkt{8}{\y};

+	}

+}

+

+\begin{scope}

+	\feld{0}{3}{red!20}{b_{0}}

+	\feld{0}{2}{red!20}{b_{1}}

+	\feld{0}{1}{red!20}{b_{2}}

+	\feld{0}{0}{red!20}{b_{3}}

+

+	\feld{1}{3}{red!10}{b_{4}}

+	\feld{1}{2}{red!10}{b_{5}}

+	\feld{1}{1}{red!10}{b_{6}}

+	\feld{1}{0}{red!10}{b_{7}}

+

+	\feld{2}{3}{yellow!20}{b_{8}}

+	\feld{2}{2}{yellow!20}{b_{9}}

+	\feld{2}{1}{yellow!20}{b_{10}}

+	\feld{2}{0}{yellow!20}{b_{11}}

+

+	\feld{3}{3}{yellow!10}{b_{12}}

+	\feld{3}{2}{yellow!10}{b_{13}}

+	\feld{3}{1}{yellow!10}{b_{14}}

+	\feld{3}{0}{yellow!10}{b_{15}}

+

+	\feld{4}{3}{darkgreen!20}{b_{16}}

+	\feld{4}{2}{darkgreen!20}{b_{17}}

+	\feld{4}{1}{darkgreen!20}{b_{18}}

+	\feld{4}{0}{darkgreen!20}{b_{19}}

+

+	\feld{5}{3}{darkgreen!10}{b_{20}}

+	\feld{5}{2}{darkgreen!10}{b_{21}}

+	\feld{5}{1}{darkgreen!10}{b_{22}}

+	\feld{5}{0}{darkgreen!10}{b_{23}}

+

+	\feld{6}{3}{blue!20}{b_{24}}

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+	\feld{6}{1}{blue!20}{b_{26}}

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+

+	\feld{7}{3}{blue!10}{b_{28}}

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+	\feld{7}{0}{blue!10}{b_{31}}

+

+	\gitter

+

+	\draw[->] \punkt{8.1}{2} -- \punkt{9.3}{2};

+\end{scope}

+

+

+\begin{scope}[xshift=7.5cm]

+

+	\feld{0}{3}{red!20}{b_{0}}

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+	\feld{3}{0}{red!20}{b_{3}}

+

+	\feld{1}{3}{red!10}{b_{4}}

+	\feld{2}{2}{red!10}{b_{5}}

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+

+	\feld{2}{3}{yellow!20}{b_{8}}

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+

+	\feld{3}{3}{yellow!10}{b_{12}}

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+

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+

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+

+	\gitter

+

+\end{scope}

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex b/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex
index 5bf4558..9cda25e 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/uebungsaufgaben/9001.tex
@@ -1,31 +1,31 @@
-$A$ und $B$ einigen sich darauf, das Diffie-Hellman-Verfahren für
-$p=2027$ durchzuführen und mit $g=3$ zu arbeiten.
-$A$ verwenden $a=49$ als privaten Schlüssel und erhält von $B$
-den öffentlichen Schlüssel $y=1772$.
-Welchen gemeinsamen Schlüssel verwenden $A$ und $B$?
-
-\begin{loesung}
-Der zu verwendende gemeinsame Schlüssel ist
-$g^{ab}=(g^b)^a = y^a\in\mathbb{F}_2027$.
-Diese Potenz kann man mit dem Divide-and-Conquer-Algorithmus effizient
-berechnen.
-Die Binärdarstellung des privaten Schlüssels von $A$ ist
-$a=49_{10}=\texttt{110001}_2$.
-Der Algorithmus verläuft wie folgt:
-\begin{center}
-\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
-\hline
-i&g^{2^i}&a_i&     x\\
-\hline
-0&      3&  1&     3\\
-1&      9&  0&     3\\
-2&     81&  0&     3\\
-3&    480&  0&     3\\
-4&   1349&  1&  2020\\
-5&   1582&  1&  1088\\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{center}
-Der gemeinsame Schlüssel ist daher $s=1088$.
-\end{loesung}
-
+$A$ und $B$ einigen sich darauf, das Diffie-Hellman-Verfahren für

+$p=2027$ durchzuführen und mit $g=3$ zu arbeiten.

+$A$ verwenden $a=49$ als privaten Schlüssel und erhält von $B$

+den öffentlichen Schlüssel $y=1772$.

+Welchen gemeinsamen Schlüssel verwenden $A$ und $B$?

+

+\begin{loesung}

+Der zu verwendende gemeinsame Schlüssel ist

+$g^{ab}=(g^b)^a = y^a\in\mathbb{F}_{2027}$.

+Diese Potenz kann man mit dem Divide-and-Conquer-Algorithmus effizient

+berechnen.

+Die Binärdarstellung des privaten Schlüssels von $A$ ist

+$a=49_{10}=\texttt{110001}_2$.

+Der Algorithmus verläuft wie folgt:

+\begin{center}

+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}

+\hline

+i&g^{2^i}&a_i&     x\\

+\hline

+0&      3&  1&     3\\

+1&      9&  0&     3\\

+2&     81&  0&     3\\

+3&    480&  0&     3\\

+4&   1349&  1&  2020\\

+5&   1582&  1&  1088\\

+\hline

+\end{tabular}

+\end{center}

+Der gemeinsame Schlüssel ist daher $s=1088$.

+\end{loesung}

+