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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex index 2d40e07..95ecb79 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex @@ -9,8 +9,8 @@ \rhead{} Mit der Inzidenzmatrix war es möglich, einen Graphen zu beschreiben und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen. -Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden, -es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines +Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden: +Es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}. \begin{figure} \centering diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex index 6a4a571..5ca2ca8 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex @@ -66,7 +66,7 @@ t\vec{p} + (1-t) \vec{q} t_0 \vec{p} + t_1\vec{q}, \end{equation} wobei die beiden positiven reellen Zahlen $t_0,t_1\in\mathbb{R}$ die -Bedingung $t_0+t_1$ erfüllen. +Bedingung $t_0 + t_1 = 1$ erfüllen. Für ein eindimensionales Objekt brauchen wir also zwei Punkte und zwei positive Parameter, die sich zu $1$ summieren. Die Mengen $\triangle_1=\{ (t_0,t_1)\,|t_i\ge 0, t_0+t_1=1\}$ kann also @@ -195,8 +195,9 @@ und hat in den oben beschriebenden Basen die Matrix \subsubsection{Rand eines Simplex} Einem Simplex muss auch der Rand zugeordnet werden können. -Setzt man in $\triangle_2$ den Parameter $t_k=0$, dann erhalt man die Kante, -die der Ecke mit der Nummer $k$ gegenüberliegt. +Setzt man in $\triangle_2$ den Parameter $t_k=0$, dann erhält +man die Kante, +die der Ecke mit Nummer $k$ gegenüberliegt. Für jedes $k$ gibt es also eine Abbildung \[ i_k @@ -207,19 +208,20 @@ i_k \mapsto (t_0,\dots,t_{k-1},0,t_{k},\dots,t_n), \] -die die Kante gegenüber der Ecke $e_k$. +in die Kante gegenüber der Ecke $e_k$. Dies ist auch die Art, wie Kanten des Dreiecks $\triangle$ in Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar} orientiert wurden. Für den Rand des $2$-Simplexes mussten die Kanten mit alternierenden Vorzeichen zugeordnet werden. -Damit wird erreicht, dass jeder Punkt sowohl Endpunkt einer Kante ist und -ausserdem Anfangspunkt der nächsten kannte ist. +Damit wird erreicht, dass jeder Punkt sowohl Endpunkt einer +Kante und +ausserdem Anfangspunkt der nächsten Kannte ist. Diese Eigenschaft soll auch in höheren Dimensionen erhalten bleiben. -Die vier Dreiecke, die den Rand eines $3$-Simplex ausmachen, müssen -derart müssen so orientiert werden, dass jede Kante in beiden Richtungen -durchlaufen wird. +Die vier Dreiecke, die den Rand eines $3$-Simplex ausmachen, +müssen so orientiert werden, +dass jede Kante in beiden Richtungen durchlaufen wird. \begin{definition} \label{buch:def:randoperator} |