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index c7502a8..b0487fd 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
@@ -660,7 +660,7 @@ $
 Dieser Algorithmus kann ebenfalls mit der oben angesprochenen Variante
 des Gauss-Algorithmus durchgeführt werden.
 Dazu werden die Zeilen $n_k+1$ bis $n_k+1+|\mathcal{Z}_k|$ mit den
-Vektoren $z_i^t$.
+Vektoren $z_i^t$ gefüllt.
 Dann führt man die Vorwärtsreduktion im ganzen Tableau durch, wobei
 man wieder die Nullzeilen stehen lässt.
 Nullzeilen zeigen wieder Vektoren an, die sich linear durch die darüber
@@ -792,7 +792,7 @@ einem Breitenkreis.
 \label{buch:homologie:fig:torus}}
 \end{figure}
 
-Um den Algorithmus für das Beispiel durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau
+Um den Algorithmus für das Beispiel durchzuführen, bilden wir das Gauss-Tableau
 in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau},
 bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9
 Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen.
@@ -825,7 +825,7 @@ dazu verwendet werden, eine Basis von $H_k(C)$ zu finden.
 Die Vektoren in $\mathcal{B}_k$ bilden eine Basis von $B_k(C)$
 und die Vektoren in $\mathcal{Z}_k'$ sind davon unabhängig.
 Die Klassen der Vektoren von $\mathcal{Z}_k'$ in $H_k(C)$ sind
-daher ebenfalls linear unabhängig und bilden damit eine Basis
+daher ebenfalls linear unabhängig und bilden somit eine Basis
 von $H_k(C)$.
 Die von obigem Algorithmus ausgewählten Zyklen bilden also automatisch
 eine Basis von Zyklen, die nicht Rand irgend einer Kette in $C_{k+1}$
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
index 89aee68..fa55974 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
@@ -12,7 +12,8 @@ möglich, einen Graphen zu beschreiben
 und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen.
 Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden:
 Es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines
-Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}.
+Dreiecks zu unterscheiden
+(Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}).
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/95-homologie/images/dreieck.pdf}
@@ -26,7 +27,7 @@ sobald man das Innere des Dreiecks entfernt.
 \label{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}}
 \end{figure}
 Die Randkurve ist in einem Dreieck zusammenziehbar, aber sobald man
-das innere des Dreiecks entfernt, ist die Randkurve nicht mehr
+das Innere des Dreiecks entfernt, ist die Randkurve nicht mehr
 zusammenziehbar.
 Dreieck und der Rand des Dreiecks sind also wie man sagt topologisch verschieden.
 
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
index f377f48..bda9d78 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
@@ -17,8 +17,8 @@ Statt eine Kugel zu studieren, kann man also auch ein Tetraeder untersuchen.
 
 Das Gerüst kann natürlich nicht mehr alle Eigenschaften des ursprünglichen
 Objektes wiedergeben.
-Im Beispiel der Kugel geht die Information darüber, dass es sich um eine
-glatte Mannigfaltigkeit handelt, verloren.
+Im Beispiel der Kugel geht die Information darüber, dass die Oberfläche
+der Kugel eine glatte Mannigfaltigkeit ist, verloren.
 Was aber bleibt, sind Eigenschaften des Zusammenhangs.
 Wenn sich zwei Punkte mit Wegen verbinden lassen, dann gibt es auch eine
 Triangulation mit eindimensionalen Simplices, die diese Punkte als Ecken
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
index 93f402e..6c2b883 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
@@ -13,7 +13,7 @@ Komponenten, wenn die beiden Punkte nicht Rand irgend einer
 Linearkombination von Kanten sind.
 Komponenten können also identifiziert werden, indem man unter allen
 Linearkombinationen von Punkten, dargestellt als Vektoren in $C_0$, all diejenigen ignoriert,
-die Rand einer Linearkombinationv on Kanten sind.
+die Rand einer Linearkombination von Kanten sind.
 Dies ist das Bild $\partial_1C_1$.
 Der Quotientenraum $H_0=C_0/\partial_1C_1$ enthält also für jede Komponente
 eine Dimension.
@@ -86,7 +86,7 @@ abgekürzt werden.
 
 Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die
 Homologiegruppe $H_2$ die Anwesenheit eines Hohlraumes detektieren kann,
-der entsteht, wenn man aus einem Tetraeder das innere entfernt.
+der entsteht, wenn man aus einem Tetraeder das Innere entfernt.
 
 \begin{beispiel}
 \begin{figure}
@@ -282,7 +282,7 @@ Daher ist auch $H_3=0$.
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
-Für dieses Beispiel entfernen wir das Innere des Tetraeders, es entsteht
+Für dieses Beispiel entfernen wir im vorangegangenen Beispiel das Innere des Tetraeders, es entsteht
 ein Hohlraum.
 Am Kettenkomplex der Triangulation ändert sich nur, dass $C_3$ jetzt 
 nur noch den $0$-Vektor enthält.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf
index 663eaa9..acdf6c2 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.tex
index 877351d..8b1e8ac 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.tex
@@ -143,7 +143,7 @@
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=7cm]
-	\abbildung{0}{5}{4}{8}
+	\abbildung{0}{5}{4}{9}
 	\rechteck{5}{7}{blue}
 	\rechteck{1}{5}{darkgreen}
 	\rechteck{0}{0}{red}
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex b/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex
index 6e5c1d9..17c389e 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex
@@ -113,7 +113,8 @@ von $\partial_k$ auf die Basisvektoren von $B_{k-1}$ abgebildet werden.
 In dieser Basis ist $\Delta_k$ eine Einheitsmatrix.
 \label{buch:homologie:fig:komplexbasis}}
 \end{figure}%
-Die Bedingung \eqref{buch:komplex:abbildung} für die Abbildung von Kettenkomplexen
+Die Bedingung \eqref{buch:komplex:abbildung} in Definition~\ref{buch:komplex:def:abbildung}
+für die Abbildung von Kettenkomplexen
 bekommt jetzt die Matrixform
 \begin{equation}
 \left.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
index 7e02a1f..73d4c1f 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
@@ -19,7 +19,7 @@ beantworten.
 \subsection{Definition
 \label{buch:subsection:kettenkomplex-definition}}
 Die Operation $\partial$, die für Simplizes konstruiert worden ist,
-war linear und hat die Eigenschaft $\partial^2$ gehabt.
+war linear und hat die Eigenschaft $\partial^2=0$ gehabt.
 Diese Eigenschaften reichen bereits für Definition eines Kettenkomplexes.
 
 \begin{definition}
@@ -51,6 +51,7 @@ solche Abbildung mit dem Randoperator vertragen.
 Wir definieren daher
 
 \begin{definition}
+\label{buch:komplex:def:abbildung}
 Eine Abbildung $f_*$ zwischen zwei Kettenkomplexe $(C_*,\partial^C_*)$ und 
 $(D_*,\partial^D_*)$ heisst eine Abbildung von Kettenkomplexen, wenn
 für jedes $k$ 
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
index a38a507..08583bb 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
@@ -68,7 +68,7 @@ wobei die beiden positiven reellen Zahlen $t_0,t_1\in\mathbb{R}$ die
 Bedingung $t_0 + t_1 = 1$ erfüllen.
 Für ein eindimensionales Objekt brauchen wir also zwei Punkte und zwei
 positive Parameter, die sich zu $1$ summieren.
-Die Mengen $\triangle_1=\{ (t_0,t_1)\mid t_i\ge 0, t_0+t_1=1\}$ kann also
+Die Menge $\triangle_1=\{ (t_0,t_1)\mid t_i\ge 0, t_0+t_1=1\}$ kann also
 ganz allgemein als Parameterraum zur Beschreibung eines eindimensionalen Objektes
 $\triangle_1$
 mit den Endpunkten $0$ und $1$ dienen.
@@ -128,7 +128,7 @@ t_1\vec{p}_1
 +
 t_n\vec{p}_n
 \end{equation}
-Eine solche Abbildung verallgemeinert also den Begriff einer Strecke
+Eine solche Abbildung verallgemeinert den Begriff einer Strecke
 in einem Raum $\mathbb{R}^N$  
 auf höhere Dimensionen.
 Sie ist durch die Eckpunkte vollständig vorgegeben, es reicht also
@@ -242,7 +242,7 @@ Die Adjazenzmatrix ordnet ihm die Linearkombination
 A(G)\colon e_k=[v_i,v_j] \mapsto -[v_i] +[v_j]
 = (-1)^0 [\widehat{v_i},v_j] + (-1)^1 [v_i,\widehat{v_j}]
 =
-\partial_2 [v_i,v_j]
+\partial_1 [v_i,v_j]
 \]
 zu.
 Die Adjazenzmatrix eines Graphen kann man also als den Randoperator
@@ -304,7 +304,7 @@ Summe müssen die Teile vor und nach $i$ daher separat betrachtet werden:
 [P_0,\dots,\widehat{P_j},\dots,\widehat{P_i}\dots,P_l]
 -
 \sum_{j>i} (-1)^{i+j}
-[P_0,\dots,\widehat{P_i},\dots,\widehat{P_j}\dots,P_l]
+[P_0,\dots,\widehat{P_i},\dots,\widehat{P_j}\dots,P_l].
 \notag
 \end{align}
 Auf der letzten Zeile sind die Summen über alle Paare
@@ -393,7 +393,7 @@ nur die ``Gestalt'' oder ``Topologie'' des Objekts.
 Entfernungen zwischen Punkten sind ebenfalls von untergeordneter 
 Bedeutung, da sie bei Deformation nicht erhalten bleiben.
 Der Begriff des ``topologischen Raumes'' fasst diese Ideen mathematisch
-präzise ein, eine genaue Definition würde aber an dieser Stelle zu weit
+präzise, eine genaue Definition würde aber an dieser Stelle zu weit
 führen.
 Stattdessen beschränken wir uns auf eine Klasse von Punktmengen, die man
 mit Simplizes beschreiben kann.
@@ -419,7 +419,7 @@ auf ein dreidimensionales Simplex abgebildet werden.
 \begin{beispiel}
 \label{buch:homologie:projektion}
 Sei $T$ ein reguläres Tetraeder mit den Ecken auf der dreidimensionalen
-Einheitskugel $B^3$.
+Einheitsvollkugel $B^3$.
 Für jeden Richtungsvektor $x\ne 0$ sei $l(x)$ Entfernung vom Mittelpunkt des
 Tetraeders bis zum Durchstosspunkt einer Geraden durch den Mittelpunkt
 mit Richtungsvektor $x$ durch die Oberfläche des Tetraeders.