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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex index 391ebf2..31ec208 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex @@ -664,32 +664,6 @@ liegenden Vektoren ausdrücken lassen. Die auszuwählenden Vektoren sind daher genau diejenigen, die für $\mathcal{Z}_k'$ ausgewählt werden müssen. -Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau -in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau}, -bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9 -Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen. -Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in -Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert} -dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$, -$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen. -Es bleiben die folgenden Zyklen: -\begin{center} -\begin{tabular}{>{$}l<{$}l} -\text{Zyklus}&Eigenschaft\\ -\hline -z_5 &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\ -z_6 &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\ -z_9 &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\ -z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\ -\hline -\end{tabular} -\end{center} -Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in -Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt. -Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen -Dreiecke. -Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines -Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen. \begin{figure} \centering @@ -804,6 +778,43 @@ also genau ein weisses Dreieck. \label{buch:homologie:beispiel:homoclasses}} \end{figure} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/torus/torus.jpg} +\caption{Basis der Homologiegruppen eines Torus $T^2$. +Der Algorithmus findet zwei Basisklassen für $H(T^2)$, der eine Zyklus +geht durch das ``Loch'' des Torus (blau), der andere folgt mehr oder +weniger dem Äquator. +\label{buch:homologie:fig:torus}} +\end{figure} + +Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau +in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau}, +bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9 +Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen. +Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in +Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert} +dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$, +$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen. +Es bleiben die folgenden Zyklen: +\begin{center} +\begin{tabular}{>{$}l<{$}l} +\text{Zyklus}&Eigenschaft\\ +\hline +z_5 &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\ +z_6 &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\ +z_9 &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\ +z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in +Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt. +Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen +Dreiecke. +Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines +Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen. + \subsubsection{Basis von $H_k(C)$} Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch dazu verwendet werden, eine Basis von $H_k(C)$ zu finden. @@ -815,3 +826,14 @@ von $H_k(C)$. Die von obigem Algorithmus ausgewählten Zyklen bilden also automatisch eine Basis von Zyklen, die nicht Rand irgend einer Kette in $C_{k+1}$ sein können. + + +Führt man das beschriebene Verfahren für einen zweidimensionalen Torus $T^2$ durch, +findet es die beiden in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:torus} dargestellten +Zyklen. +Sie zeigen schön, wie die Homologieklassen die beiden Arten von ``Löchern'' +erkennen. +Zum einen ist da der blaue Zyklus, der das ``Loch'' im inneren des Torus +umschliesst. +Der rote Zyklus dagegen folgt mehr oder weniger dem Äquator und repräsentiert +damit die ``Ringform'' des Torus. diff --git a/buch/chapters/95-homologie/torus/Makefile b/buch/chapters/95-homologie/torus/Makefile index 4eb1381..8671ede 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/torus/Makefile +++ b/buch/chapters/95-homologie/torus/Makefile @@ -12,4 +12,4 @@ torus.png: torus.pov torus.inc povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorus.png torus.pov torus.jpg: torus.png Makefile - convert -extract 1624x970+150+78 torus.png torus.jpg + convert -extract 1624x978+147+75 torus.png torus.jpg diff --git a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.jpg b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.jpg Binary files differindex eaa92d9..d5f8ca7 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.jpg +++ b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.jpg diff --git a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.m b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.m index 00134d7..64a615e 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.m +++ b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.m @@ -5,9 +5,9 @@ # global n; -n = 24; +n = 32; global m; -m = 12; +m = 18; global R; R = 3; global r; @@ -51,10 +51,10 @@ coordinates function insert_edges(ll, lr, ul, ur) global edges; k = 3 * ll + 1; - edges(k,1) = ll; - edges(k,2) = lr; edges(k+1,1) = ll; - edges(k+1,2) = ur; + edges(k+1,2) = lr; + edges(k+0,1) = ll; + edges(k+0,2) = ur; edges(k+2,1) = ll; edges(k+2,2) = ul; endfunction @@ -330,5 +330,20 @@ endfor fprintf(fn, " }\n"); fprintf(fn, "#end\n"); +fprintf(fn, "#macro triangulation()\n"); +fprintf(fn, " union {\n"); +for i = (1:nvertices) + punkt = coordinates(i,:); + fprintf(fn, "\tsphere { <%.4f,%.4f,%.4f>, r/3 }\n", punkt(1,1), punkt(1,3), punkt(1,2)); +endfor +for i = (1:nedges) + punkt1 = coordinates(edges(i,1)+1,:); + punkt2 = coordinates(edges(i,2)+1,:); + fprintf(fn, "\tcylinder { <%.4f,%.4f,%.4f>, ", punkt1(1,1), punkt1(1,3), punkt1(1,2)); + fprintf(fn, "<%.4f,%.4f,%.4f>, r/3 }\n", punkt2(1,1), punkt2(1,3), punkt2(1,2)); +endfor +fprintf(fn, " }\n"); +fprintf(fn, "#end\n"); + fclose(fn); diff --git a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.png b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.png Binary files differindex 814c466..bcd28bc 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.png +++ b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.png diff --git a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.pov b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.pov index 292ad00..1c507f8 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.pov +++ b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.pov @@ -11,17 +11,17 @@ global_settings { } #declare imagescale = 0.1; -#declare r = 0.03; +#declare r = 0.04; camera { - location <43, 25, -20> + location <43, 25, 20> look_at <0, 0, 0> right 16/9 * x * imagescale up y * imagescale } light_source { - <10, 20, -40> color White + <10, 20, 0> color White area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 adaptive 1 jitter @@ -38,7 +38,7 @@ sky_sphere { object { torusflaeche() pigment { - color rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5> + color rgbt<0.8,0.8,0.8,0.3> } finish { specular 0.9 @@ -49,7 +49,7 @@ object { object { zyklus1() pigment { - color Red + color rgb<1.0,0.2,0.2> } finish { specular 0.9 @@ -60,7 +60,18 @@ object { object { zyklus2() pigment { - color Blue + color rgb<0.2,0.2,1.0> + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} + +object { + triangulation() + pigment { + color rgb<0.8,0.6,0.4> } finish { specular 0.9 |
