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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex index 6cf49c2..f720c76 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex @@ -4,9 +4,9 @@ Die Definition der Homologiegruppen $H_k(C)$ als Quotient von Vektorräumen ist ziemlich abstrakt. Sie besteht aus Klassen von Zyklen, die sich höchstens um einen Rand unterscheiden. -% XXX Verweise auf Visualisierung Indem wir eine geeignete Basis wählen, können wir konkrete Zyklen identifizieren, die eine Basis für den Vektorraum $H_k(C)$ bilden. +Dies soll im Folgenden schrittweise durchgeführt werden. \begin{figure} \centering @@ -47,7 +47,7 @@ Sie ist \setcounter{MaxMatrixCols}{27} \partial_1 = -\tiny +\footnotesize \setlength\arraycolsep{2pt} \begin{pmatrix*}[r] %1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 @@ -69,32 +69,37 @@ Sie ist \end{pmatrix*} \] Die reduzierte Zeilenstufenform von $\partial_1$ ist +(Pivotpositionen in {\color{red}rot}, frei wählbare Variablen +in {\color{darkgreen}grün}) \begin{center} -\tiny +%\tiny +\scriptsize +%\footnotesize \setlength\tabcolsep{3pt} \begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} \hline -&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27\\ + & 1& 2& 3& 4& 5&{\color{darkgreen}6}& 7&{\color{darkgreen}8}& 9&{\color{darkgreen}10}&11&{\color{darkgreen}12}&{\color{darkgreen}13}&{\color{darkgreen}14}&15&{\color{darkgreen}16}&17&{\color{darkgreen}18}&19&{\color{darkgreen}20}&21&{\color{darkgreen}22}&23&{\color{darkgreen}24}&{\color{darkgreen}25}&26&{\color{darkgreen}27}\\ \hline - 1&1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ - 2&0& 1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ - 3&0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ - 4&0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ - 5&0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ - 6&0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ - 7&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ - 8&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ - 9&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ -10&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -11&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\ -12&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\ -13&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1&-1& 0& 1\\ -14&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1\\ -15&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 1&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ + 2& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ + 3& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 4& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 5& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ + 6& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 7& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ + 8& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 9& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ +10& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ +11& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\ +12& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\ +13& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1&-1& 0& 1\\ +14& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1\\ +15& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \hline \end{tabular}. \end{center} -Daraus kann man die Zyklen wie folgt ablesen: +Daraus kann man die Zyklen wie folgt ablesen, indem man jeweils +genau eine frei wählbare Variable auf $1$ setzt: { \begin{align*} z_1 @@ -365,7 +370,7 @@ z_8 % variable 18 = 1 -1\\ 0\\ 0\\ - 1\\ +-1\\ 0\\ 0\\ 0\\ @@ -569,7 +574,7 @@ Aus den Abbildungen~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} und \ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} kann man auch ablesen, wie die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ aus den Zyklen von $\mathcal{Z}_1$ linear kombiniert werden können. -Man erhält so die Beziehungen. +Man erhält so die Beziehungen \begin{equation} \setcounter{MaxMatrixCols}{29} \setlength\arraycolsep{1pt} @@ -578,11 +583,11 @@ Man erhält so die Beziehungen. \partial_2e_2^{(2)} &=& & &z_2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \partial_2e_3^{(2)} &=& & & & &z_3& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \partial_2e_4^{(2)} &=& & & & & & &z_4& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\partial_2e_5^{(2)} &=& & & & & & & &-&z_5& & &+&z_7& & & & & & & & & & & & \\ -\partial_2e_6^{(2)} &=& & & & & & & & & &-&z_6& & &+&z_8& & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_5^{(2)} &=& & & & & & & & &z_5& & &+&z_7& & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_6^{(2)} &=& & & & & & & & & & &z_6& & &+&z_8& & & & & & & & & & \\ \partial_2e_7^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{10}& & & & & & \\ \partial_2e_8^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{11}& & & & \\ -\partial_2e_9^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &-&z_{12}&+&z_{13} +\partial_2e_9^{(2)} &=& &\phantom{+}& &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & & &z_{12}&+&z_{13} \end{array} \end{equation} Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke @@ -766,31 +771,33 @@ mit Hilfe von Rändern der Zeilen 1--9 kombiniert werden können. \scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & \\ \scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\ \hline -% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 -\scriptstyle z_{ 1}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 2}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 3}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 4}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 5}& & & & & & 1& 1& & & & & & & &-1&-1& & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 6}& & & & & & & & & & 1& 1& & & & & &-1&-1& & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 7}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 8}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 9}& & & & & & & & 1& 1& & & & & & & 1& 1& & & &-1&-1&-1&-1& & & \\ -\scriptstyle z_{10}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{11}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{12}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& 1& & &-1&-1\\ -\scriptstyle z_{13}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 +\scriptstyle z_{ 1}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 2}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 3}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 4}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 5}'& & & & & & 1& 1& & & & & & & &-1&-1& & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 6}'& & & & & & & & & & 1& 1& & & & & &-1&-1& & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 7}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 8}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 9}'& & & & & & & & 1& 1& & & & & & & 1& 1& & & &-1&-1&-1&-1& & & \\ +\scriptstyle z_{10}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{11}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{12}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& 1& & &-1&-1\\ +\scriptstyle z_{13}'& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hline \end{tabular} \caption{Nach Durchführung der Vorwärtsreduktion kann man die Zyklen ablesen, die nicht für eine Basis von $H_1$ gebraucht werden. +Die resultierenden Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} +dargestellt. \label{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}} \end{figure} \begin{figure} \centering \includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf} -\caption{Repräsentanten für die Reduzierten Klassen aus dem +\caption{Repräsentanten für die reduzierten Klassen aus dem Tableau von Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}, sie bilden eine Basis der Homologie-Gruppe $H_1$. diff --git a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex index 1f61a29..03e389b 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex @@ -10,7 +10,7 @@ Euler hat für dreidimensionale Polyeder eine Invariante gefunden, die unabhängig ist von der Triangulation. \begin{definition} -\label{buch:homologie:def:eulerchar} +\label{buch:homologie:def:eulerchar0} Ist $E$ die Anzahl der Ecken, $K$ die Anzahl der Kanten und $F$ die Anzahl der Flächen eines dreidimensionalen Polyeders $P$, dann heisst @@ -32,6 +32,7 @@ Vektorräume $B_k(C)$ und $Z_k(C)$ grösser werden. Kann man eine Grösse analog zu $\chi(P)$ finden, die sich nicht ändert? \begin{definition} +\label{buch:homologie:def:eulerchar} Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst \[ \chi(C) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\dim H_k(C) @@ -39,6 +40,14 @@ Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst die Euler-Charakteristik von $C$. \end{definition} +Die Summe in Definition~\ref{buch:homologie:def:eulerchar} erstreckt +sich bis zum Index $n$, der Dimension des Simplexes höchster Dimension +in einem Polyeder. +Für $k>n$ ist $H_k(C)=0$, es ändert sich also nichts, wenn wir +die Summe bis $\infty$ erstrecken, da die zusätzlichen Terme alle +$0$ sind. +Wir werden dies im folgenden zur Vereinfachung der Notation tun. + Die Definition verlangt, dass man erst die Homologiegruppen berechnen muss, bevor man die Euler-Charakteristik bestimmen kann. diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex index 80daaee..b3b184e 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex @@ -54,6 +54,18 @@ Dimension, die Matrizen $H_k(f)$ sind also relativ klein. Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/images/approximation.pdf} +\caption{Stückweise lineare Approximation einer Abbildung derart, +dass die Bildpunkt von Knoten auf Gitterpunkte fallen. +Die Abbildung wird damit zu einer Abbildung von Polyedern und +die induzierte Abbildung der Kettenkomplexe lässt sich direkt berechnen. +Wenn die Auflösung des Gitters klein genug ist, hat die Approximation +einer Abbildung ohne Fixpunkte immer noch keine Fixpunkte. +\label{buch:homologie:fig:simplapprox}} +\end{figure}% + \begin{proof}[Beweis] Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt, dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für @@ -78,7 +90,7 @@ werden: \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B}) \\ &= -\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}). +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}). \intertext{Die Abbildung $H_k(f)$ hat $f_{k,Z}$ als Matrix, also ist die letzte Form gleichbedeutend mit} &= @@ -100,6 +112,7 @@ ist $\lambda(f) \ne 0$, dann hat $f$ einen Fixpunkt. Im Folgenden soll nur ein heuristisches Argument gegeben werden, warum ein solcher Satz wahr sein könnte. + Wenn eine Abbildung keinen Fixpunkt hat, dann ist $f(x) \ne x$ für alle Punkte von $X$. Da $X$ kompakt ist, gibt es einen minimalen Abstand $d$ zwischen $f(x)$ und $x$. @@ -109,6 +122,9 @@ Punkte im selben Simplex oder in einem Nachbarsimplex abgebildet wird. Indem man nötigenfalls die Triangulation nochmals verfeinert, kann man auch genügend Platz schaffen, dass man die Abbildung $f$ etwas modifizieren kann, so dass auch die deformierte Abbildung immer noch diese Eigenschaft hat. +Die Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:simplapprox} illustriert, wie eine +Abbildung durch eine andere approximiert werden kann, die die Triangulation +im Bildraum respektiert. Die zugehörige Abbildung des Kettenkomplexes der Triangulation hat damit die Eigenschaft, dass kein Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird. diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex index 9874ddd..383c8df 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex @@ -1,3 +1,8 @@ +% +% homologieketten.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% \subsection{Homologie eines Kettenkomplexes \label{buch:subsection:homologie-eines-kettenkomplexes}} Wegzusammenhang lässt sich untersuchen, indem man in der Triangulation diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile index 50c2b0d..bc85c55 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile @@ -4,7 +4,8 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # all: complexbasis.pdf homocycles.pdf homoboundaries.pdf homoclasses.pdf \ - gausshomoex.pdf gausshomobasis.pdf dreieck.pdf polyeder.pdf + gausshomoex.pdf gausshomobasis.pdf dreieck.pdf polyeder.pdf \ + approximation.pdf dreieck.pdf: dreieck.tex pdflatex dreieck.tex @@ -30,3 +31,9 @@ homoclasses.pdf: homoclasses.tex complexbasis.pdf: complexbasis.tex pdflatex complexbasis.tex +approximation.pdf: approximation.tex approx.tex + pdflatex approximation.tex + +approx.tex: approx.m + octave approx.m + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m b/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m new file mode 100644 index 0000000..0db41c2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m @@ -0,0 +1,77 @@ +# +# approx.m +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +x = zeros(7,7); +y = zeros(7,7); + +s = 1.05; + +for i = (1:7) + winkel = (i-1) * 8.333333 + 20; + for j = (1:7) + radius = (j-1) * 0.5 + 3; + x(i,j) = 1.05 * radius * cosd(winkel); + y(i,j) = 1.05 * radius * sind(winkel); + endfor +endfor + +X = x; +Y = y; +for i = (1:7) + for j = (1:7) + X(i,j) = round(2 * x(i,j)) / 2; + Y(i,j) = round(2 * y(i,j)) / 2; + endfor +endfor + +fn = fopen("approx.tex", "w"); + + +for i = (1:6) + for j = (1:6) + winkel = (i-1+0.6666) * 8.33333 + 20; + radius = (j-1+0.3333) * 0.5 + 3; + fprintf(fn, "\\definecolor{mycolor}{rgb}{%.2f,%.2f,%.2f};\n", + (winkel - 20) / 50, 0.8, (radius-3)/3); + fprintf(fn, "\\fill[color=mycolor] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- cycle;\n", + X(i,j), Y(i,j), + X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1), + X(i+1,j), Y(i+1,j)); + winkel = (i-1+0.3333) * 8.33333 + 20; + radius = (j-1+0.6666) * 0.5 + 3; + fprintf(fn, "\\definecolor{mycolor}{rgb}{%.2f,%.2f,%.2f};\n", + (winkel - 20) / 50, 0.8, (radius-3)/3); + fprintf(fn, "\\fill[color=mycolor] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- cycle;\n", + X(i,j), Y(i,j), + X(i,j+1), Y(i,j+1), + X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1)); + endfor +endfor + +linewidth = 0.4; + +fprintf(fn, "\\gitter\n"); + +for i = (1:7) + for j = (1:6) + fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth, + X(i,j), Y(i,j), X(i,j+1), Y(i,j+1)); + endfor +endfor +for i = (1:6) + for j = (1:7) + fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth, + X(i,j), Y(i,j), X(i+1,j), Y(i+1,j)); + endfor +endfor +for i = (1:6) + for j = (1:6) + fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth, + X(i,j), Y(i,j), X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1)); + endfor +endfor + +fclose(fn) + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..8bdd2e7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex new file mode 100644 index 0000000..042f0e2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex @@ -0,0 +1,69 @@ +% +% approximation.tex -- Approximation einer Abbildung durch eine simpliziale +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1.3} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0} +\definecolor{darkred}{rgb}{0,0,0} + +\def\gitter{ + \foreach \x in {1,1.5,...,6}{ + \draw[color=gray] (\x,1) -- (\x,6); + \draw[color=gray] (1,\x) -- (6,\x); + } +} + +\def\s{1.05} + +\def\colorsector{ + \foreach \r in {3,3.2,...,5.8}{ + \foreach \a in {20,...,69}{ + \pgfmathparse{(\a-20)/50} + \xdef\rot{\pgfmathresult} + \pgfmathparse{(\r-3)/3} + \xdef\blau{\pgfmathresult} + \definecolor{mycolor}{rgb}{\rot,0.8,\blau} + \fill[color=mycolor] + (\a:{\s*\r}) -- (\a:{\s*(\r+0.2)}) -- ({\a+1}:{\s*(\r+0.2)}) -- ({\a+1}:{\s*\r}) -- cycle; + } + } +} + +\begin{scope}[xshift=0cm] +\colorsector +\gitter +\foreach \r in {3,3.5,...,6.0}{ + \draw[color=black,line width=0.4pt] (20:{\s*\r}) arc (20:70:{\s*\r}); +} +\foreach \a in {20,28.3333,...,70}{ + \draw[color=black,line width=0.4pt] (\a:{\s*3}) -- (\a:{\s*6}); +} +\begin{scope} +\clip (20:{\s*3}) -- (20:{\s*6}) arc (20:70:{\s*6}) -- (70:{\s*3}); +\foreach \a in {-5,...,5}{ + \draw[color=black,line width=0.4pt] + plot[domain={20+8.33333*\a}:{70+8.3333*\a},samples=100] + (\x:{\s*(3+3*(\x-(20+8.3333*\a))/50)}); +} +\end{scope} + +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=5.5cm] +\input{approx.tex} +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf Binary files differindex 644f334..fb94ec8 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex index ef8fd1a..53087fa 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex @@ -14,7 +14,7 @@ \def\skala{1} \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] -\def\s{0.4} +\def\s{0.55} \def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})} \def\A{\punkt{0}{0}} @@ -41,6 +41,7 @@ \def\blau#1#2{ \draw[color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2} -- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle; + \draw[->,color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}; } \def\gebiet{ diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf Binary files differindex 217ae75..fbbaedd 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex index e325d9b..4467f08 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex @@ -1,5 +1,5 @@ % -% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% homoclasses.tex -- template for standalon tikz images % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % @@ -11,11 +11,12 @@ \usepackage{csvsimple} \usetikzlibrary{arrows,intersections,math} \begin{document} -\def\skala{1} +\def\skala{1.4} \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} \def\s{0.4} +\def\h{-0.3} \def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})} \def\A{\punkt{0}{0}} @@ -77,25 +78,29 @@ \begin{scope} \gebiet \draw[color=darkgreen] \B -- \G -- \J -- \F -- cycle; -\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_5'$}; +\draw[->,color=darkgreen] \B -- \G; +\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_5'$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=2cm] \gebiet \draw[color=darkgreen] \D -- \I -- \L -- \H -- cycle; -\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_6'$}; +\draw[->,color=darkgreen] \D -- \I; +\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_6'$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=4cm] \gebiet \draw[color=darkgreen] \C -- \L -- \N -- \K -- \M -- \J -- cycle; -\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_9'$}; +\draw[->,color=darkgreen] \C -- \L; +\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_9'$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=6cm] \gebiet \draw[color=darkgreen] \K -- \N -- \O -- \M -- cycle; -\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_{12}'$}; +\draw[->,color=darkgreen] \K -- \N; +\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_{12}'$}; \end{scope} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf Binary files differindex 075bb65..b68519e 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex index 898cac6..8f20a0c 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex @@ -75,79 +75,92 @@ \begin{scope} \gebiet -\draw[color=red] \A -- \B -- \F -- cycle; +\draw[->,color=red] \A -- \B -- \F -- cycle; +\draw[->,color=red] \A -- \B; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_1$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=2cm] \gebiet \draw[color=red] \B -- \C -- \G -- cycle; +\draw[->,color=red] \B -- \C; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_2$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=4cm] \gebiet \draw[color=red] \C -- \D -- \H -- cycle; +\draw[->,color=red] \C -- \D; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_3$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=6cm] \gebiet \draw[color=red] \D -- \E -- \I -- cycle; +\draw[->,color=red] \D -- \E; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_4$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=8cm] \gebiet \draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \F -- cycle; +\draw[<-,color=red] \A -- \B; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_5$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=10cm] \gebiet \draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \H -- cycle; +\draw[<-,color=red] \C -- \D; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_6$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=12cm] \gebiet \draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \J -- \F -- cycle; +\draw[->,color=red] \A -- \B; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_7$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-3cm] \gebiet \draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \L -- \H -- cycle; +\draw[->,color=red] \C -- \D; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_8$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=2cm,yshift=-3cm] \gebiet \draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \K -- \J -- \F -- cycle; +\draw[<-,color=red] \A -- \B; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_9$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=4cm,yshift=-3cm] \gebiet \draw[color=red] \J -- \K -- \M -- cycle; +\draw[->,color=red] \J -- \K; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{10}$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-3cm] \gebiet \draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \N -- \K -- \J -- \F -- cycle; +\draw[->,color=red] \A -- \B; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{11}$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=8cm,yshift=-3cm] \gebiet \draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \M -- cycle; +\draw[<-,color=red] \J -- \K; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{12}$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=10cm,yshift=-3cm] \gebiet \draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \O -- \M -- cycle; +\draw[->,color=red] \J -- \K; \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{13}$}; \end{scope} |