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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index 2fcf199..ac2b85d 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -839,6 +839,83 @@ die Eigenschaft $A^{-1}A=I$ ganz allgemein gezeigt. \subsubsection{Determinante} XXX TODO +\begin{beispiel} +Die Inverse der Matrix +\begin{equation} +A=\begin{pmatrix} +1&a&a\\ +a&1&a\\ +a&a&1 +\end{pmatrix} +\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1} +\end{equation} +ist mit Hilfe von Determinanten besonders einfach zu invertieren. +Die Determinante von $A$ ist nach der Sarrus-Formel +\[ +\det A += +1 + 2a^3 - 3a^2. +\] +Die adjungiert Matrix ist +\begin{align*} +A^{-1} +&= +\frac{1}{\det{A}} +\begin{pmatrix} +\det A_{11} & \det A_{21} & \det A_{31} \\ +\det A_{12} & \det A_{22} & \det A_{32} \\ +\det A_{13} & \det A_{23} & \det A_{33} +\end{pmatrix} +\\ +&= +\frac{1}{2a^3-3a^2+1} +\renewcommand\arraystretch{1.1} +\begin{pmatrix*}[r] +\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +\left|\begin{matrix}a&a\\1&a\end{matrix}\right| +\\ +-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right| +\\ +\left|\begin{matrix}a&1\\a&a\end{matrix}\right| +& +-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right| +& +\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right| +\end{pmatrix*} +\\ +&= +\frac{1}{2a^3-3a^2+1} +\begin{pmatrix} +1-a^2 & a^2-a & a^2-a\\ +a^2-a & 1-a^2 & a^2-a\\ +a^2-a & a^2-a & 1-a^2 +\end{pmatrix} +\end{align*} +Mit $1-a^2=(1+a)(1-a)$ und $a^2-a=a(a-1)$ kann man dies noch etwas +vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammern. +Man erhält so die Form +\begin{equation} +A^{-1} += +\frac{1-a}{2a^3-3a^2+1} +\begin{pmatrix} +1+a & -a & -a \\ + -a & 1+a & -a \\ + -a & -a & 1+a +\end{pmatrix}. +\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn2} +\end{equation} +für die Inverse einer Matrix der Form +\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1}. +\end{beispiel} + % % Lineare Abbildungen % @@ -1133,3 +1210,8 @@ n-\operatorname{def}A. \subsubsection{Quotient} TODO: $\operatorname{im} A \simeq \Bbbk^m/\ker A$ + + + + + diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex index 2f8117e..c7147bf 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex @@ -128,6 +128,7 @@ $p_1$ und $p_2$ Nullteiler in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Ein Körper kann also nur entstehen, wenn $n$ eine Primzahl ist. \begin{definition} +\label{buch:endlichekoerper:def:galois-koerper} Ist $p$ eine Primzahl, dann heisst $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ der Galois-Körper der Ordnung $p$. \end{definition} |