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diff --git a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex index f673aa4..e4e58ee 100644 --- a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex +++ b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex @@ -14,17 +14,23 @@ Die Geometrie studiert zum Beispiel Objekte wie Punkte, Geraden, Kreise und deren Beziehungen untereinander, die man definieren kann ganz ohne das Wissen, was eine Zahl ist. Apollonius von Perga (262--190 BCE) hat in seinem Buch über Kegelschnitte +\index{Apollonius von Perga}% +\index{Perga, Appollonius von}% als erster einen algebraischen Zusammenhang zwischen Zahlen festgestellt, die man also die Vorläufer heutiger Koordinaten eines Punktes ansehen könnte. -Erst im 16.~Jahrhundert entwickelte sich die Algebra allerdings weit genug, +Erst im 16.~Jahrhundert entwickelte sich die Algebra weit genug, dass eine Algebraisierung der Geometrie möglich wurde. Pierre de Fermat \index{Fermat, Pierre de}% und René Descartes \index{Descartes, René}% schufen die sogenannte {\em analytische Geometrie}. +\index{analytische Geometrie}% +\index{Geometrie, analytische}% Das rechtwinklige Koordinatensystem, nach Descartes auch karteisches Koordinatensystem genannt, beschreibt Punkte als Zahlenpaare $(x,y)$ +\index{kartesisches Koordinatensystem}% +\index{Koordinatensystem, kartesisches}% und Kurven in der Ebene durch ihre Gleichungen. Geraden können als Graphen der Funktion $f(x) = ax+b$ oder als Lösungsmenge linearer Gleichungen wie $ax+by=c$ verstanden werden. @@ -46,7 +52,7 @@ x^2+(y-1)^2=4 einen Kreis mit Radius $2$ um den Punkt $(0,1)$. Der Kreis hat natürlich zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, wie mit jeder Gerade, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises kleiner ist als der Radius. -Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die +Die Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die Gleichung \[ x_S^2 + (0-1)^2 = x_S^2+1=4 @@ -54,11 +60,14 @@ x_S^2 + (0-1)^2 = x_S^2+1=4 x_S^2=3 \] erfüllen. +\index{rationale Zahlen}% Eine solche Lösung ist nicht möglich, wenn man sich auf rationale Koordinaten $x_S\in\mathbb{Q}$ beschränkt, die Erweiterung auf reelle Zahlen ist notwendig. +\index{reelle Zahlen}% Kapitel~\ref{buch:chapter:zahlen} übernimmt die Aufgabe, die Zahlensysteme +\index{Zahlensysteme}% klar zu definieren und ihre wichtigsten Eigenschaften zusammenzutragen. Sie bilden das Fundament aller folgenden Konstruktionen. @@ -69,12 +78,13 @@ Die Zahl $\alpha=\sqrt{2}$ ist ja nur ein Objekt, mit dem gerechnet werden kann wie mit jeder anderen Zahl, welche aber die zusätzliche Rechenregel $\alpha^2=2$ erfüllt. Die Erweiterung von $\mathbb{R}$ zu den komplexen Zahl verlangt nur, +\index{komplexe Zahlen}% dass man der Menge $\mathbb{R}$ ein neues algebraisches Objekt $i$ hinzufügt, welches als spezielle Eigenschaft die Gleichung $i^2=-1$ hat. Bei $\sqrt{2}$ hat die geometrische Anschauung suggeriert, dass es eine solche Zahl ``zwischen'' den rationalen Zahlen gibt, aber für $i$ gibt es keine solche Anschauung. -Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher auch diesen durchaus +Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher von Descartes auch diesen durchaus abwertend gemeinten Namen. Die Zahlensysteme lassen sich also verstehen als einfachere Zahlensysteme, @@ -89,6 +99,7 @@ erfüllen will, auch einfach wieder die Existenz des neuen Objektes postulieren? Komplexen Zahlen und Matrizen zeigen, wie das gehen könnte. +\index{Matrizen}% Indem man vier rationale Zahlen als $2\times 2$-Matrix in der Form \[ A= @@ -181,7 +192,7 @@ die Menge der Matrizen a,b\in\mathbb{Q} \right\} \] -verhält sich daher genau so wie die Menge der rationalen Zahlen, denen +verhält sich daher genau so wie die Menge der rationalen Zahlen, der man ein ``imaginäres'' neues Objekt $\!\sqrt{2}$ hinzugefügt hat. Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich ein algebraisches Systeme @@ -199,24 +210,33 @@ einzelnen Objektes, sowohl $\sqrt{2}$ wie auch $i$ sind Lösungen einer Polynomgleichung. Eine besondere Rolle spielen in der Mathematik die Symmetrien. +\index{Symmetrie}% Eine der frühesten Anwendungen dieses Gedankens in der Algebra war die Überlegung, dass sich die Nullstellen einer Polynomgleichung permutieren lassen. Die Idee der Permutationsgruppe taucht auch in algebraischen Konstruktionen wie der Determinanten auf. +\index{Permutation}% +\index{Permutationsgruppe}% +\index{Determinante}% Tatsächlich lassen sich Permutationen auch als Matrizen schreiben und die Rechenregeln für Determinanten sind ein direktes Abbild gewisser Eigenschaften von Transpositionen. +\index{Transposition}% Einmal mehr haben Matrizen ermöglicht, ein neues Konzept in einer bekannten Sprache auszudrücken. Die Darstellungstheorie ist das Bestreben, nicht nur Permutationen, +\index{Darstellungstheorie}% sondern beliebige Gruppen von Symmetrien als Mengen von Matrizen darzustellen. Die abstrakten Symmetriegruppen erhalten damit immer konkrete Realisierungen als Matrizenmengen. Auch kompliziertere Strukturen wie Ringe, Körper oder Algebren lassen sich mit Matrizen realisieren. +\index{Ring}% +\index{Körper}% +\index{Algebra}% Aber die Idee ist nicht auf die Geometrie beschränkt, auch analytische oder kombinatorische Eigenschaften lassen sich in Matrizenstrukturen abbilden und damit neuen rechnerischen Behandlungen zugänglich @@ -225,8 +245,10 @@ machen. Das Kapitel~\ref{buch:chapter:homologie} illustriert, wie weit dieser Plan führen kann. Die Konstruktion der Homologiegruppen zeigt, wie sich die Eigenschaften -der Gestalt gewisser geometrischer Strukturen zunächst mit Matrizen, -die kombinatorische Eigenschaften beschreiben, ausdrücken lassen. +\index{Homologiegruppe}% +der Gestalt gewisser geometrischer Strukturen zunächst mit Matrizen +ausdrücken lassen, +die kombinatorische Eigenschaften beschreiben. Anschliessend können daraus wieder algebraische Strukturen gewonnen werden. Gestalteigenschaften werden damit der rechnerischen Untersuchung zugänglich. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex index 56ef096..962dae4 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex @@ -11,7 +11,8 @@ Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen. Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen. -Wir wollen von diesen grundlegenden Bausteinen ausgehen. +Wir wollen von den bekannten Zahlmengen als grundlegenden +Bausteinen ausgehen. Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen mit Hilfe von Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die komplexen Zahlen machen werden. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index fab2dcb..7e0ec8c 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -31,6 +31,7 @@ Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert: Die Darstellung ganzer Zahlen als Paare von natürlichen Zahlen findet man auch in der Buchhaltung, wo man statt eines Vorzeichen {\em Soll} und {\em Haben} verwendet. +\index{Soll und Haben}% Dabei kommt es nur auf die Differenz der beiden Positionen an. Fügt man beiden Positionen den gleichen Betrag hinzu, ändert sich nichts. @@ -44,8 +45,8 @@ Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$. Die Paare $(u,u)$ müssen daher alle mit $0$ identifiziert werden. Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit ``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen, -allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz -noch gar nicht definiert ist. +allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja der Begriff +der Differenz noch gar nicht definiert ist. Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn \begin{equation} (a,b) \sim (c,d) @@ -66,8 +67,9 @@ Zahlen mit der Eigenschaft a+b' = a'+b. \] Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$. - +\index{Aquivalenzklasse@Äquivalenzklasse} Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen +\index{ganze Zahlen}% Äquivalenzklassen. Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der @@ -79,12 +81,16 @@ stellt das Paar $(b,a)$ eine ganze Zahl dar mit der Eigenschaft \begin{equation} z+(b,a) = -(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0. +(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0 \label{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} \end{equation} +dar. Die von $(b,a)$ dargestellte ganze Zahl wird mit $-z$ bezeichnet, die Rechnung~\eqref{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} lässt sich damit abgekürzt als $z+(-z)=0$ schreiben. +$-z$ heisst der $z$ {\em entgegengesetzte Wert} oder die +\index{entgegengesetzte Zahl}% +{\em entgegengesetzte Zahl} zu $z$. \subsubsection{Lösung von Gleichungen} Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen @@ -102,21 +108,27 @@ $a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt. \subsubsection{Ring} \index{Ring}% -Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten Ring, +Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten {\em Ring}, +\index{Ring}% eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und Multiplikation definiert sind. -Weitere Beispiel werden später vorgestellt, +Weitere Beispiele von Ringen werden später vorgestellt, +darunter der Ring der Polynome $\mathbb{Z}[X]$ in Kapitel~\ref{buch:chapter:polynome} +\index{Polynomring}% +\index{ZX@$\mathbb{Z}[X]$} und der Ring der $n\times n$-Matrizen in +\index{Matrizenring}% Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen}. In einem Ring wird nicht verlangt, dass die Multiplikation kommutativ -ist, Matrizenringe sind nicht kommutativ. -$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring ebenso sind die Polynomringe +ist, Matrizenringe zum Beispiel sind meistens nicht kommutativ, selbst +wenn die Matrixelemente Elemente eines kommutativen Rings sind. +$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring, ebenso sind die Polynomringe kommutativ. Die Theorie der nicht kommutativen Ringe ist sehr viel reichhaltiger und leider auch komplizierter als die kommutative Theorie. -\index{Ring!kommutativer}% +\index{Ring!kommutativ}% diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 4ccea89..17f6e16 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -6,7 +6,8 @@ \section{Komplexe Zahlen \label{buch:section:komplexe-zahlen}} \rhead{Komplexe Zahlen} -In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen. +In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen, +die in $\mathbb{Q}$ nicht lösbar waren. Andere, z.~B.~die Gleichung \begin{equation} x^2+1=0, @@ -15,6 +16,7 @@ x^2+1=0, haben weiterhin keine Lösung. Der Grund dafür ist das Bestreben bei der Konstruktion der reellen Zahlen, die Ordnungsrelation zu erhalten. +\index{Ordnungsrelation}% Diese ermöglicht, Näherungsintervall und Intervallschachtelungen zu definieren. @@ -37,16 +39,18 @@ Die erste Komponente soll die bekannten reellen Zahlen darstellen, deren Quadrat positiv ist. Die zweite Komponente soll für die Zahlen verwendet werden, deren Quadrat negativ ist. -Die Zahl, deren Quadrat $-1$ sein soll, bezeichnen wir auch mit dem +Die Zahl, deren Quadrat $-1$ sein soll, bezeichnen wir mit dem Paar $(0,1)$ und schreiben dafür auch $i=(0,1)$ mit $i^2=-1$. +Das Paar $i=(0,1)$ heisst auch die {\em imaginäre Einheit}. +\index{imaginäre Einheit}% Die Rechenregeln sollen weiterhin erhalten bleiben, sie müssen daher wie folgt definiert werden: \begin{equation} \begin{aligned} -(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) & (a+bi) + (c+di) &= (a+c) + (b+d)i +(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) &&& (a+bi) + (c+di) &= (a+c) + (b+d)i \\ -(a,b) \cdot (c,d) & (ad-bd, ad+bc) & (a+bi)\cdot(c+di) &= ac-bd + (ad+bc)i. +(a,b) \cdot (c,d) &= (ad-bd, ad+bc) &&& (a+bi)\cdot(c+di) &= ac-bd + (ad+bc)i. \end{aligned} \label{buch:zahlen:cregeln} \end{equation} @@ -65,8 +69,10 @@ Die Menge $\mathbb{C}$ verhält sich daher wie eine zweidimensionaler reeller Vektorraum. \subsubsection{Real- und Imaginärteil} -Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$ -und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$. +Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der {\em Realteil} $a=\Re z$ +\index{Realteil}% +und $b$ heisst der {\em Imaginärteil} $\Im z$. +\index{Imaginärteil}% Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$, sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend auch die reelle und die imaginäre Achse heissen. @@ -86,13 +92,43 @@ a \Re z. \] Zusätzlich kehrt das Vorzeichen der einen Komponente. -Wir kommen auf diese Eigenschaft zurück, wenn wir später in Abschnitt~XXX +Wir kommen auf diese Eigenschaft zurück, wenn wir später in +Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:ringe} komplexe Zahlen als Matrizen beschreiben. +\subsubsection{Gausssche Zahlenebene} +Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$ +zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum. +Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der +sogenannten {\em Gaussschen Ebene} betrachten (Abbildung~\ref{buch:zahlen:cfig}). +\index{Gaussche Zahlenebene}% +Die Addition von komplexen Zahlen ist in diesem Bild die vektorielle +Addition, die Multiplikation mit reellen Zahlen werden wir weiter unten +genauer untersuchen müssen. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf} +\caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der +Gaussschen Zahlenebene +\label{buch:zahlen:cfig}} +\end{figure}% + +Die Zahlenebene führt auf eine weitere mögliche Parametrisierung einer +komplexen Zahl. +Ein Punkt $z$ der Ebene kann in Polarkoordinaten auch durch den {\em Betrag} +\index{Betrag}% +\index{Polarkoordinaten}% +und den Winkel zwischen der reellen Achse und dem Radiusvektor zum Punkt, +dem sogenannten {\em Argument}, +charakterisiert werden. + \subsubsection{Komplexe Konjugation} Der komplexen Zahl $u=a+bi$ ordnen wir die sogenannte {\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$. Mit Hilfe der komplexen Konjugation kann man den Real- und Imaginärteil +\index{komplexe Konjugation}% +\index{Konjugation, komplexe}% algebraisch ausdrücken: \[ \Re z @@ -124,7 +160,8 @@ Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$. In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung. Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der Zahlenebene verschieden von $0$ ist. -Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als +Wir definieren daher den {\em Betrag} einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als +\index{Betrag} \[ |z|^2 = @@ -158,7 +195,7 @@ Produkt der komplexen Zahlen sein. Wie berechnet man den Quotienten $\frac{z}{w}$ für zwei beliebige komplexe Zahlen $z=a+bi$ und $w=c+di$ mit $w\ne 0$? -Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten des Nenners: +Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex Konjugierten des Nenners: \begin{align*} \frac{z}{w} &= @@ -169,7 +206,7 @@ Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten des Nenners: Da der Nenner $|w|^2>0$ eine reelle Zahl ist, ist die Division einfach, es ist die Multiplikation mit der reellen Zahl $1/|w|^2$. -Wir können den Quotienten auch in Komponenten ausdrücken: +Wir können den Quotienten auch durch Real- und Imaginärteil ausdrücken: \begin{align*} \frac{z}{w} &= @@ -180,38 +217,20 @@ Wir können den Quotienten auch in Komponenten ausdrücken: \frac{ac-bd +(ad+bc)i}{c^2+d^2}. \end{align*} -\subsubsection{Gausssche Zahlenebene} -Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$ -zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum. -Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der -sogenannten Gaussschen Ebene betrachten. -Die Addition von komplexen Zahlen ist in diesem Bild die vektorielle -Addition, die Multiplikation mit reellen Zahlen werden wir weiter unten -genauer untersuchen müssen. - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf} -\caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der -Gaussschen Zahlenebene -\label{buch:zahlen:cfig}} -\end{figure} -Die Zahlenebene führt auf eine weitere Parametrisierung einer -komplexen Zahl. -Ein Punkt $z$ der Ebene kann in Polarkoordinaten auch durch den Betrag -und den Winkel zwischen der reellen Achse und dem Radiusvektor zum Punkt -beschrieben werden. - \subsubsection{Geometrische Interpretation der Rechenoperationen} -Die Addition kompelxer Zahlen wurde bereits als Vektoraddition -in der Gausschen Zahlenebene. +Die Addition komplexer Zahlen wurde bereits als Vektoraddition +in der Gausschen Zahlenebene interpretiert. Die Multiplikation ist etwas komplizierter, wir berechnen Betrag und Argument von $zw$ separat. Für den Betrag erhalten wir \begin{align*} |zw|^2 &= +zw\overline{(zw)} += +zw\overline{z}\overline{w} += z\overline{z}w\overline{w} = |z|^2|w|^2 @@ -252,6 +271,7 @@ und $c\ne 0$, was uns ermöglicht, den Bruch durch $ac$ zu kürzen: \bigr). \end{align*} Im letzten Schritt haben wir die Additionsformel für den Tangens verwendet. +\index{Additionstheorem für Tangens}% Daraus liest man ab, dass das Argument eines Produkts die Summe der Argumente ist. Die Multiplikation mit einer festen komplexen Zahl führt also mit der ganzen @@ -263,17 +283,18 @@ wenn wir die komplexen Zahlen als Matrizen beschreiben wollen. Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ sind als Erweiterung von $\mathbb{R}$ so konstruiert worden, dass die Gleichung $x^2+1=0$ eine Lösung hat. Etwas überraschend ist dagegen, dass in dieser Erweiterung jetzt jede -beliebige algebraische Gleichung lösbar geworden. +beliebige algebraische Gleichung lösbar geworden ist. Dies ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. \begin{satz}[Fundamentalsatz der Algebra] +\label{buch:zahlen:satz:fundamentalsatz} \index{Fundamentalsatz der Algebra}% Jede algebraische Gleichung der Form \[ p(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0=0,\qquad a_k\in\mathbb{C} \] mit komplexen Koeffizienten hat $n$ möglicherweise mit Vielfachheit -gezähle Nullstellen $\alpha_1,\dots,\alpha_m$, d.~h.~das Polynom $p(x)$ +gezählte Nullstellen $\alpha_1,\dots,\alpha_m$, d.~h.~das Polynom $p(x)$ lässt sich in Linearfaktoren \[ p(x) @@ -281,12 +302,12 @@ p(x) (x-\alpha_1)^{k_1}(x-\alpha_2)^{k_2}\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_m)^{k_m} \] zerlegen, wobei $k_1+k_2+\dots+k_m=n$. -Die Zahlen $k_j$ heisst die {\em Vielfachheit} der Nullstelle $\alpha_j$. +Die Zahl $k_j$ heisst die {\em Vielfachheit} der Nullstelle $\alpha_j$. \end{satz} Der Fundamentalsatz der Algebra wurde erstmals von Carl Friedrich Gauss \index{Gauss, Carl Friedrich}% -bewiesen. +vollständig bewiesen. Seither sind viele alternative Beweise mit Methoden aus den verschiedensten Gebieten der Mathematik gegeben worden. Etwas salopp könnten man sagen, dass der Fundamentalsatz ausdrückt, dass @@ -304,10 +325,11 @@ Da Drehungen um verschiedene Achsen nicht vertauschen, kann eine solche Erweiterung nicht mehr kommutativ sein. William Rowan Hamilton propagierte ab 1843 eine Erweiterung von $\mathbb{C}$ +\index{Hamilton, William Rowan}% mit zwei zusätzlichen Einheiten $j$ und $k$ mit den nichtkommutativen Relationen \begin{equation} -i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. +i^2 = j^2 = k^2 = i\!jk = -1. \label{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln} \end{equation} Er nannte die Menge aller Linearkombinationen @@ -319,6 +341,9 @@ die {\em Quaternionen}, die Einheiten $i$, $j$ und $k$ heissen auch Einheitsquaternionen. \index{Einheitsquaternionen}% Konjugation, Betrag und Division können ganz ähnlich wie bei den +\index{Konjugation von Quaternionen}% +\index{Betrag einer Quaternion}% +\index{Division durch eine Quaternion}% komplexen Zahlen definiert werden und machen $\mathbb{H}$ zu einer sogenannten {\em Divisionsalgebra}. \index{Divisionsalgebra}% @@ -331,24 +356,24 @@ Aus den Regeln für die Quadrate der Einheiten in $i^{-1}=-i$, $j^{-1}=-j$ und $k^{-1}=-k$. Die letzte Bedingung liefert daraus \[ -ijk=-1 +i\!jk=-1 \qquad\Rightarrow\qquad \left\{ \quad \begin{aligned} -ij +i\!j &= -ijkk^{-1}=-1k^{-1}=k +i\!jkk^{-1}=-1k^{-1}=k \\ -i^2jk&=-i=-jk +i^2\!jk&=-i=-jk \\ -j^2k&=-ji=k \end{aligned} \right. \] Aus den Relationen~\eqref{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln} -folgt also insbesondere auch, dass $ij=-ji$. -Ebenso kann abgeleitet werden, dass $jk=-kj$ und $ik=-ki$. +folgt also insbesondere auch, dass $i\!j=-ji$. +Ebenso kann abgeleitet werden, dass $jk=-k\!j$ und $ik=-ki$. Man sagt, die Einheiten sind {\em antikommutativ}. \index{antikommutativ}% @@ -358,9 +383,15 @@ Komponenten $a_0,\dots,a_3$ vollständig beschrieben ist. Eine Transformationsmatrix des dreidimensionalen Raumes enthält dagegen neun Koeffizienten, die vergleichsweise komplizierte Abhängigkeiten erfüllen müssen. +Kapitel~\ref{chapter:clifford} behandelt nicht nur die Beschreibung +von Drehungen des dreidimensionalen Raumes sondern eine weitreichende +Verallgemeinerung dieser Idee, die sogenannte {\em geometrische Algebra}. +\index{geometrische Algebra}% Quaternionen haben auch in weiteren Gebieten interessante Anwendungen, zum Beispiel in der Quantenmechanik, wo antikommutierende Operatoren +\index{Quantenmechanik}% bei der Beschreibung von Fermionen eine zentrale Rolle spielen. +\index{Fermion}% Aus rein algebraischer Sicht kann man die Frage stellen, ob es eventuell auch noch grössere Divisionsalgebren gibt, die $\mathbb{H}$ erweitern. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index f378aaf..8c51346 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \rhead{Natürliche Zahlen} Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen. \index{natürliche Zahlen}% -\index{$\mathbb{N}$}% +\index{N@$\mathbb{N}$}% Sie abstrahieren das Konzept der Anzahl der Elemente einer endlichen Menge. Da die leere Menge keine Elemente hat, muss die Menge der natürlichen @@ -24,22 +24,25 @@ Wir schreiben \] \subsubsection{Peano-Axiome} -Man kann den Zählprozess durch die folgenden Axiome von Peano beschreiben: +\index{Peano}% +Man kann den Zählprozess durch die folgenden Axiome von Peano genauer fassen: \index{Peano-Axiome}% \begin{enumerate} -\item $0\in\mathbb N$. +\item $0$ ist eine natürliche Zahl: $0\in\mathbb N$. \item Jede Zahl $n\in \mathbb{N}$ hat einen {\em Nachfolger} $n'\in \mathbb{N}$. \index{Nachfolger}% \item $0$ ist nicht Nachfolger einer Zahl. \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben, -$n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$. +$n'=m'$, dann sind sie gleich: $n=m$. \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren Nachfolger, dann ist $\mathbb{N}\subset X$. \end{enumerate} \subsubsection{Vollständige Induktion} -Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion. +Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der {\em vollständigen Induktion}. +\index{vollständige Induktion}% +\index{Induktion, vollständige}% Um eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n$ mit vollständiger Induktion zu beweisen, bezeichnet man mit $X$ die Menge aller Zahlen, für die $P(n)$ wahr ist. @@ -77,11 +80,13 @@ Nach diesen Regeln ist (((5)')')'. \] Dies ist genau die Art und Weise, wie kleine Kinder Rechnen lernen. -Sie Zählen von $5$ ausgehend um $3$ weiter. +Sie zählen von $5$ ausgehend um $3$ weiter, manchmal unter Zuhilfenahme +ihrer Finger. Der dritte Nachfolger von $5$ heisst üblicherweise $8$. Die algebraische Struktur, die hier konstruiert worden ist, heisst -eine Halbgruppe. +ein {\em Monoid}. +\index{Monoid}% Allerdings kann man darin zum Beispiel nur selten Gleichungen lösen, zum Beispiel hat $3+x=1$ keine Lösung. Die Addition ist nicht immer umkehrbar. @@ -142,9 +147,9 @@ a+(b+c) \qquad\text{und}\qquad (a\cdot b)\cdot c = -a\cdot (b\cdot c) +a\cdot (b\cdot c), \] -dies ist das Assoziativgesetz. +dies ist das {\em Assoziativgesetz}. Es gestattet auch eine solche Summe oder ein solches Produkt einfach als $a+b+c$ bzw.~$a\cdot b\cdot c$ zu schreiben, da es ja keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge man die Teilprodukte berechnet. @@ -152,10 +157,11 @@ spielt, in welcher Reihenfolge man die Teilprodukte berechnet. Die Konstruktion der Multiplikation als iterierte Addition mit Hilfe der Rekursionsformel \eqref{buch:zahlen:multiplikation-rekursion} hat auch zur Folge, dass die {\em Distributivgesetze} +\index{Distributivgesetz}% \[ a\cdot(b+c) = ab+ac \qquad\text{und}\qquad -(a+b)c = ac+bc +(a+b)\cdot c = ac+bc \] gelten. Bei einem nicht-kommutativen Produkt ist es hierbei notwendig, @@ -175,7 +181,7 @@ Sie gelten immer für Matrizen. Die Lösbarkeit von Gleichungen der Form $ax=b$ mit $a,b\in\mathbb{N}$ gibt Anlass zum sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit. \index{Teilbarkeit}% -Die Zahl $b$ heisst teilbar durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine +Die Zahl $b$ heisst {\em teilbar} durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine Lösung in $\mathbb{N}$ hat. \index{teilbar}% Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ und durch sich selbst teilbar, @@ -236,11 +242,29 @@ n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\} \\ &\phantom{n}\vdots \end{align*} +Die Menge $n+1$ besteht also aus den $n+1$ Zahlen von $0$ bis $n$. + +Für spätere Verwendung in Kapitel~\ref{buch:chapter:permutationen} +definieren wir hier auch noch eine weiter Art von Standardteilmengen +von $\mathbb{N}$. + +\begin{definition} +\label{buch:zahlen:def:[n]} +Die Menge $[n]\subset \mathbb{N}$ ist definiert durch +\[ +[n] = \begin{cases} +\{1,2,\dots,n\}&\qquad \text{für $n>0$}\\ +\emptyset&\qquad\text{für $n=0$} +\end{cases} +\] +\end{definition} + +Jede der Mengen $[n]$ hat genau $n$ Elemente: $|[n]|=n$. \subsubsection{Natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen} Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die natürlichen Zahlen aus der leeren Menge schrittweise sozusagen ``von unten'' aufgebaut. -Wir können aber auch eine Sicht ``von oben'' einnehmen. +Wir können aber auch eine Sichtweise ``von oben'' einnehmen. Dazu definieren wir, was eine endliche Menge ist und was es heisst, dass endliche Mengen gleiche Mächtigkeit haben. @@ -258,6 +282,7 @@ Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert. Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$. +\index{Aquivalenzklasse@Äquivalenzklasse}% Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex index 9d2f59e..440cc73 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex @@ -14,8 +14,8 @@ die negativen Zahlen kennenlernen. Wir können hierbei denselben Trick anwenden, wie schon beim Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen. -Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente nennen wir \emph{Zähler} und -\emph{Nenner}, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$. +Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente wir \emph{Zähler} und +\emph{Nenner} nennen, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$. Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten \[ (a, b) + (c, d) @@ -27,8 +27,8 @@ Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten (ac, bd) . \] -Die ganzen Zahlen lassen sich als in dieser Darstellung als -$z \mapsto (z, 1)$ einbetten. +Die ganzen Zahlen $z\in\mathbb{Z}$ lassen sich in dieser Darstellung als +$z \mapsto (z, 1)$ in diese Menge von Paaren einbetten. Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung aber nicht eindeutig. @@ -67,6 +67,7 @@ Rationale Zahlen sind genau die Äquivalenzklassen dieser Paare $(a, b)$ von ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$. Da diese Schreibweise recht unhandlich ist, wird normalerweise die Notation als Bruch $\frac{a}{b}$ verwendet. +\index{Bruch}% Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten \[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} @@ -120,6 +121,7 @@ Kürzen und Erweitern ineinander übergeführt werden können. Die Menge der Äquivalenzklassen von Brüchen ist die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen. +\index{Q@$\mathbb{Q}$}% In $\mathbb{Q}$ sind Addition, Subtraktion und Multiplikation mit den gewohnten Rechenregeln, die bereits in $\mathbb{Z}$ gegolten haben, uneingeschränkt möglich. @@ -127,7 +129,7 @@ uneingeschränkt möglich. \subsubsection{Kehrwert} Zu jedem Bruch $\frac{a}{b}$ lässt sich der Bruch $\frac{b}{a}$, der sogenannte {\em Kehrwert} -\index{Kehrwert} +\index{Kehrwert}% konstruieren. Er hat die Eigenschaft, dass \[ @@ -139,7 +141,7 @@ Er hat die Eigenschaft, dass \] gilt. Der Kehrwert ist also das multiplikative Inverse, jede von $0$ verschiedene -rationale Zahl hat eine Inverse. +rationale Zahl hat eine solche Inverse. \subsubsection{Lösung von linearen Gleichungen} Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung lösen. @@ -165,13 +167,24 @@ und Division möglich sind mit der einzigen Einschränkung, dass nicht durch $0$ dividiert werden kann. Körper sind die natürliche Bühne für die lineare Algebra, da sich lineare Gleichungssysteme ausschliesslich mit den Grundoperation lösen lassen. +Eine formelle Definition eines Körpers werden wir in +Abschnitt~\ref{buch:subsection:koerper} geben. Wir werden im Folgenden für verschiedene Anwendungszwecke weitere Körper konstruieren, zum Beispiel die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die rationalen Zahlen $\mathbb{C}$. Wann immer die Wahl des Körpers keine Rolle spielt, werden wir den Körper mit $\Bbbk$ bezeichnen. -\index{$\Bbbk$}% +\index{k@$\Bbbk$}% +Ein Körper $\Bbbk$ zeichnet sich dadurch aus, dass alle ELemente ausser $0$ +invertierbar sind. +Diese wichtige Teilmenge wird mit $\Bbbk^* = \Bbbk \setminus\{0\}$ mit +bezeichnet. +\label{buch:zahlen:def:bbbk*} +In dieser Relation sind beliebige Multiplikationen ausführbar, das Element +$1\in\Bbbk^*$ ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation. +Die Menge $\Bbbk^*$ trägt die Struktur einer Gruppe, siehe dazu auch +den Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen}. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex index d5a193f..06eb7aa 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex @@ -10,6 +10,15 @@ In den rationalen Zahlen lassen sich algebraische Gleichungen höheren Grades immer noch nicht lösen. Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den Pythagoräern aufgefallen. +\index{Pythagoräer} +Ziel dieses Abschnitts ist, den Körper $\mathbb{Q}$ zu einem +Körper $\mathbb{R}$ zu erweitern, in dem die Gleichung +gelöst werden kann, ohne dabei Ordnungsrelation zu zerstören, die +die hilfreiche und anschauliche Vorstellung der Zahlengeraden +liefert. +\index{Zahlengerade}% + +\subsubsection{Intervallschachtelung} Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind. Wir können zwar keinen Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber @@ -29,16 +38,47 @@ Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen worden.}. Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und die intervalllänge konvergiert gegen 0. Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl, +\index{Intervallschachtelung}% aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt. +\subsubsection{Reelle Zahlen als Folgengrenzwerte} +Mit einer Intervallschachtelung lässt sich $\sqrt{2}$ zwar festlegen, +noch einfacher wäre aber eine Folge von rationalen Zahlen $a_n\in\mathbb{Q}$ +derart, die $\sqrt{2}$ beliebig genau approximiert. +In der Analysis definiert man zu diesem Zweck, dass $a$ der Grenzwert +einer Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ +ein $N$ gibt derart, dass $|a_n-a|<\varepsilon$ für $n>N$ ist. +Das Problem dieser wohlbekannten Definition für die Konstruktion +reeller Zahle ist, dass im Falle der Folge +\[ +(a_n)_{n\in\mathbb{N}}= +(1, +\frac75, +\frac{41}{29}, +\frac{239}{169},\dots) \to a=\sqrt{2} +\] +das Objekt $a$ noch gar nicht existiert. +Es gibt keine rationale Zahl, die als Grenzwert dieser Folge dienen +könnte. + +Folgen, die gegen Werte in $\mathbb{Q}$ konvergieren sind dagegen +nicht in der Lage, neue Zahlen zu approximieren. +Wir müssen also auszudrücken versuchen, dass eine Folge konvergiert, +ohne den zugehörigen Grenzwert zu kennen. + +\subsubsection{Cauchy-Folgen} Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge -aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ betrachten. +aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $a_n\in\mathbb{Q}$, +betrachten. +\index{Cauchy-Folge}% Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$ eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$ für $n,m>N(\varepsilon)$. Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar. + +\subsubsection{Relle Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen} Nicht jede Cauchy-Folge hat eine rationale Zahl als Grenzwert. Da wir für solche Folgen noch keine Zahlen als Grenzwerte haben, nehmen wir die Folge als eine mögliche Darstellung der Zahl. @@ -61,13 +101,14 @@ b_n&\colon&& \] beide Folgen, die die Zahl $\sqrt{2}$ approximieren. Im Allgemeinen tritt dieser Fall ein, wenn $|a_n-b_n|$ eine -Folge mit Grenzwert $0$ oder Nullfolge ist. +Folge mit Grenzwert $0$ oder {\em Nullfolge} ist. +\index{Nullfolge}% Eine reelle Zahl ist also die Menge aller rationalen Cauchy-Folgen, deren Differenzen Nullfolgen sind. Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man also ansehen -als bestehend aus Mengen von Folgen, die alle den gleichen Grenzwert -haben. +als bestehend aus Äquivalenzklassen von Folgen, die alle den gleichen +Grenzwert haben. Die Rechenregeln der Analysis \[ \lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex index 9e1d3dc..594b94e 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex @@ -10,10 +10,13 @@ vorhanden. Die Menge der Matrizen $M_n(\Bbbk)$ ist sowohl ein Ring als auch ein Vektorraum. Man nennt eine {\em $\Bbbk$-Algebra} oder {\em Algebra über $\Bbbk$} +\index{k-Algebra@$\Bbbk$-Algebra}% +\index{Algebra}% ein Ring $A$, der auch eine $\Bbbk$-Vektorraum ist. Die Multiplikation des Ringes muss dazu mit der Skalarmultiplikation verträglich sein. Dazu müssen Assoziativgesetze +\index{Assoziativgesetz} \[ \lambda(\mu a) = (\lambda \mu) a \qquad\text{und}\qquad @@ -42,7 +45,8 @@ beinhaltet aber auch das Distributivgesetz. $M_n(\Bbbk)$ ist eine Algebra. \subsubsection{Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$} -Sie $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$. +Sei $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$. +\index{kX@$\Bbbk^X$}% Auf $\Bbbk^X$ kann man Addition, Multiplikation mit Skalaren und Multiplikation von Funktionen punktweise definieren. Für zwei Funktion $f,g\in\Bbbk^X$ und $\lambda\in\Bbbk$ definiert man diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index cb37d05..741a871 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -8,20 +8,23 @@ Die kleinste sinnvolle Struktur ist die einer Gruppe. Eine solche besteht aus einer Menge $G$ mit einer Verknüpfung, die additiv +\index{additive Verknüpfung}% \begin{align*} -G\times G \to G&: (g,h) = gh -\intertext{oder multiplikativ } G\times G \to G&: (g,h) = g+h +\intertext{oder multiplikativ } +G\times G \to G&: (g,h) = gh \end{align*} +\index{multiplikative Verknüpfung}% geschrieben werden kann. Ein Element $0\in G$ heisst {\em neutrales Element} bezüglich der additiv +\index{neutrales Element}% geschriebenen Verknüpfung falls $0+x=x$ für alle $x\in G$. \index{neutrales Element}% Ein Element $e\in G$ heisst neutrales Element bezüglich der multiplikativ geschriebneen Verknüpfung, wenn $ex=x$ für alle $x\in G$. In den folgenden Definitionen werden wir immer die multiplikative -Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener siehe auch die -Beispiele weiter unten. +Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener Verknüpfungen +siehe auch die Beispiele weiter unten. \begin{definition} \index{Gruppe}% @@ -32,24 +35,28 @@ Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Die Verknüpfung ist assoziativ: $(ab)c=a(bc)$ für alle $a,b,c\in G$. +\index{assoziativ}% \item Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ \item Für jedes Element $g\in G$ gibt es ein Element $h\in G$ mit $hg=e$. \end{enumerate} -Das Element $h$ heisst auch das Inverse Element zu $g$. +Das Element $h$ heisst auch das inverse Element zu $g$. +\index{inverses Element}% \end{definition} Falls nicht jedes Element invertierbar ist, aber wenigstens ein neutrales Element vorhanden ist, spricht man von einem {\em Monoid}. \index{Monoid}% -Hat man nur eine Verknüpfung, spricht man oft von einer {\em Halbruppe}. +Hat man nur eine Verknüpfung, aber kein neutrales Element, +spricht man oft von einer {\em Halbruppe}. \index{Halbgruppe}% \begin{definition} Eine Gruppe $G$ heisst abelsch, wenn $ab=ba$ für alle $a,b\in G$. \end{definition} +\index{abelsch}% Additiv geschrieben Gruppen werden immer als abelsch angenommen, multiplikativ geschrieben Gruppen können abelsch oder nichtabelsch sein. @@ -63,7 +70,9 @@ Das additive Inverse eines Elementes $a$ ist $-a$. \end{beispiel} \begin{beispiel} -Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*$ eines Zahlekörpers bilden +Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*=\Bbbk\setminus\{0\}$ (definiert +auf Seite~\pageref{buch:zahlen:def:bbbk*}) +eines Zahlekörpers bilden bezüglich der Multiplikation eine Gruppe mit neutralem Element $1$. Das multiplikative Inverse eines Elementes $a\in \Bbbk$ mit $a\ne 0$ ist $a^{-1}=\frac1{a}$. @@ -75,7 +84,7 @@ dem Nullvektor als neutralem Element. Betrachtet man $\Bbbk^n$ als Gruppe, verliert man die Multiplikation mit Skalaren aus den Augen. $\Bbbk^n$ als Gruppe zu bezeichnen ist also nicht falsch, man -verliert dadurch aber +verliert dadurch aber den Blick auf die Multiplikation mit Skalaren. \end{beispiel} \begin{beispiel} @@ -115,6 +124,7 @@ Ist $G$ eine Gruppe mit neutralem Element $e$, dann gilt $xe=x$ für alle $x\in G$ \item Es gibt nur ein neutrales Element. +\index{neutrales Element}% Wenn also $f\in G$ mit $fx=x$ für alle $x\in G$, ist dann folgt $f=e$. \item Wenn $hg=e$ gilt, dann auch $gh=e$ und $h$ ist durch $g$ eindeutig bestimmt. @@ -171,16 +181,22 @@ f = fe = e \] aus der Eigenschaft~1. -Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$, dann ist -$xg=e$, dann folgt +Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$. +Dann ist $xg=e$ und es folgt $x=xe=x(gh)=(xg)h = eh = h$, es gibt also nur ein Inverses von $g$. \end{proof} -Diesem Problem sind wir zum Beispiel auch in +Der Frage, ob Linksinverse und Rechtsinverse übereinstimmen, +sind wir zum Beispiel bereits in Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gleichungssyteme} -begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist. -Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe -bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$. +begegnet. +Dort haben wir bereits gezeigt, dass nicht nur $AA^{-1}=I$, +sondern auch $A^{-1}A=I$. +Die dabei verwendete Methode war identisch mit dem hier gezeigten +Beweis. +Da die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden, stellt sich +dieses Resultat jetzt als Spezialfall des +Satzes~\ref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln} dar. \subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen} Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus, @@ -189,6 +205,7 @@ Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung, das neutrale Element und die Inverse respektiert werden müssen. \begin{definition} +\label{buch:gruppen:def:homomorphismus} Ein Abbildung $\varphi\colon G\to H$ zwischen Gruppen heisst ein {\em Homomorphismus}, wenn $\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)$ für alle $g_1,g_2\in G$ gilt. @@ -231,17 +248,20 @@ e ghg^{-1}\in\ker\varphi. \] Der Kern wird also von der Abbildung $h\mapsto ghg^{-1}$, -der {\em Konjugation} in sich abgebildet. +der {\em Konjugation}, in sich abgebildet. +\index{Konjugation in einer Gruppe} \begin{definition} Eine Untergruppe $H \subset G$ heisst ein {\em Normalteiler}, geschrieben $H \triangleleft G$ wenn $gHg^{-1}\subset H$ für jedes $g\in G$. -\index{Normalteiler} +\index{Normalteiler}% \end{definition} Die Konjugation selbst ist ebenfalls keine Unbekannte, sie ist uns -bei der Basistransformationsformel schon begegnet. +bei der Basistransformationsformel +\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselabb} +schon begegnet. Die Tatsache, dass $\ker\varphi$ unter Konjugation erhalten bleibt, kann man also interpretieren als eine Eigenschaft, die unter Basistransformation erhalten bleibt. @@ -312,7 +332,7 @@ auf einem geeigneten Vektorraum. \begin{definition} \label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung} -Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus +Eine {\em Darstellung} einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus $G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. \index{Darstellung} \end{definition} @@ -324,11 +344,12 @@ sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die {\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$. -\index{reguläre Darstellung} +\index{reguläre Darstellung}% +\index{Darstellung, reguläre}% \end{beispiel} In Kapitel~\ref{buch:chapter:permutationen} wird gezeigt, -dass Permutationen einer endlichen eine Gruppe bilden und wie +dass Permutationen einer endlichen Menge eine Gruppe bilden und wie sie durch Matrizen dargestellt werden können. diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex index 1fd0373..787b0f5 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex @@ -25,14 +25,16 @@ dies ist das Hadamard-Produkt. \begin{definition} Das {\em Hadamard-Produkt} zweier Matrizen +\index{Hadamard-Produkt}% $A,B\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ ist definiert als die Matrix $A\odot B$ mit den Komponenten \[ -(A\odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}. +(A\odot B)_{i\!j} = (A)_{i\!j} (B)_{i\!j}. \] Wir nennen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit der Multiplikation $\odot$ -auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$. +auch die {\em Hadamard-Algebra} $H_{m\times n}(\Bbbk)$. +\index{Hadamard-Algebra}% \end{definition} Dies ist jedoch nur interessant, wenn $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit diesem @@ -46,30 +48,30 @@ Es gilt \begin{align*} A\odot(B\odot C) &= (A\odot B)\odot C &&\Leftrightarrow& -a_{ij}(b_{ij}c_{ij}) &= (a_{ij}b_{ij})c_{ij} +a_{i\!j}(b_{i\!j}c_{i\!j}) &= (a_{i\!j}b_{i\!j})c_{i\!j} \\ A\odot(B+C) &= A\odot B + A\odot C &&\Leftrightarrow& -a_{ij}(b_{ij}+c_{ij}) &= a_{ij}b_{ij} + a_{ij}c_{ij} +a_{i\!j}(b_{i\!j}+c_{i\!j}) &= a_{i\!j}b_{i\!j} + a_{i\!j}c_{i\!j} \\ (A+B)\odot C&=A\odot C+B\odot C &&\Leftrightarrow& -(a_{ij}+b_{ij})c_{ij}&=a_{ij}c_{ij} + b_{ij}c_{ij} +(a_{i\!j}+b_{i\!j})c_{i\!j}&=a_{i\!j}c_{i\!j} + b_{i\!j}c_{i\!j} \\ (\lambda A)\odot B &= \lambda (A\odot B) &&\Leftrightarrow& -(\lambda a_{ij})b_{ij}&=\lambda(a_{ij}b_{ij}) +(\lambda a_{i\!j})b_{i\!j}&=\lambda(a_{i\!j}b_{i\!j}) \\ A\odot(\lambda B)&=\lambda(A\odot B) &&\Leftrightarrow& -a_{ij}(\lambda b_{ij})&=\lambda(a_{ij}b_{ij}) +a_{i\!j}(\lambda b_{i\!j})&=\lambda(a_{i\!j}b_{i\!j}) \end{align*} für alle $i,j$. Das Hadamard-Produkt ist kommutativ, da die Multiplikation in $\Bbbk$ kommuativ ist. Das Hadamard-Produkt kann auch für Matrizen mit Einträgen in einem -Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entsehende +Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entstehende Algebra nicht kommutativ ist. Die Hadamard-Algebra hat auch ein Eins-Elemente, nämlich die Matrix, @@ -77,6 +79,7 @@ die aus lauter Einsen besteht. \begin{definition} Die sogenannte {\em Einsmatrix} $U$ ist die Matrix +\index{Einsmatrix} \[ U=\begin{pmatrix} 1&1&\dots&1\\ @@ -106,7 +109,7 @@ Auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$ kann als Funktionenalgebra betrachtet werden. Einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\Bbbk)$ ordnet man die Funktion \[ -a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{ij} +a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{i\!j} \] zu. Dabei gehen die Algebraoperationen von $H_{m\times n}(\Bbbk)$ über @@ -131,7 +134,7 @@ A=\begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix} B=\begin{pmatrix}-5&4\\4&-3\end{pmatrix} \] sind inverse Matrizen bezüglich des Matrizenproduktes, also -$AB=E$. +$AB=I$. Für das Hadamard-Produkt gilt dagegen \[ A\odot B @@ -141,13 +144,15 @@ A\odot B 16&-15 \end{pmatrix}. \] -Die Inverse einer Matrix $A$ Bezüglich des Hadamard-Produktes hat -die Einträge $a_{ij}^{-1}$. -Die Matrix $E$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes +Die Inverse einer Matrix $A$ bezüglich des Hadamard-Produktes hat +die Einträge $a_{i\!j}^{-1}$. +Die Matrix $I$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes invertierbar, aber sie ist bezüglich des Hadamard-Produktes nicht invertierbar. +Umgekehrt ist die Einsmatrix $U$ invertierbar bezüglich des +Hadamard-Produktes, aber für $n>1$ nicht für das Matrizenprodukt. -\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra ein eine Matrizenalgebra} +\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra in eine Matrizenalgebra} Hadamard-Algebren können als Unteralgebren einer Matrizenalgebra betrachtet werden. Der Operator $\operatorname{diag}$ bildet Vektoren ab in Diagonalmatrizen @@ -224,36 +229,32 @@ a_{nn} Bei dieser Abbildung geht die Hadamard-Multiplikation wieder in das gewöhnliche Matrizenprodukt über. -% XXX Faltungsmatrizen und Fouriertheorie -\subsubsection{Beispiel: Faltung und Fourier-Theorie} - -\subsection{Weitere Verknüpfungen -\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:weitere}} - \subsubsection{Transposition} Das Hadamard-Produkt verträgt sich mit der Transposition: +\index{Transposition}% \[ (A\odot B)^t = A^t \odot B^t. \] Insbesondere ist das Hadamard-Produkt zweier symmetrischer Matrizen auch wieder symmetrisch. -\subsubsection{Frobeniusnorm} +\subsubsection{Frobenius-Norm} Das Hadamard-Produkt in der Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\mathbb{R})$ nimmt keine Rücksicht auf die Dimensionen einer Matrix und ist nicht unterscheidbar von $\mathbb{R}^{m\times n}$ mit dem Hadamard-Produkt. Daher darf auch der Begriff einer mit den algebraischen Operationen -verträglichen Norm nicht von von den Dimensionen abhängen. +verträglichen Norm nicht von den spezifischen Dimensionen $m$ und $n$ abhängen. Dies führt auf die folgende Definition einer Norm. \begin{definition} -Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}\mathbb{R})$ -mit den Einträgen $(a_{ij})=A$ ist +Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{R})$ +\index{Frobenius-Norm}% +mit den Einträgen $(a_{i\!j})=A$ ist \[ \| A\|_F = \sqrt{ -\sum_{i,j} a_{ij}^2 +\sum_{i,j} a_{i\!j}^2 }. \] Das {\em Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen @@ -262,14 +263,15 @@ ist \[ \langle A,B\rangle_F = -\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij} +\sum_{i,j} a_{i\!j} b_{i\!j} = \operatorname{Spur} A^t B \] und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$. \end{definition} -Für komplexe Matrizen muss +Für komplexe Matrizen muss die Definition angepasst werden, damit +das Skalarprodukt sesquilinear und positiv definit wird. \begin{definition} Die {\em komplexe Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ @@ -278,11 +280,11 @@ ist \| A\| = \sqrt{ -\sum_{i,j} |a_{ij}|^2 +\sum_{i,j} |a_{i\!j}|^2 } = \sqrt{ -\sum_{i,u} \overline{a}_{ij} a_{ij} +\sum_{i,u} \overline{a}_{i\!j} a_{i\!j} } \] das {\em komplexe Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen @@ -290,18 +292,10 @@ $A,B\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ ist das Produkt \[ \langle A,B\rangle_F = -\sum_{i,j}\overline{a}_{ij} b_{ij} +\sum_{i,j}\overline{a}_{i\!j} b_{i\!j} = \operatorname{Spur} (A^* B) \] und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$. \end{definition} -% XXX Frobeniusnorm - -\subsubsection{Skalarprodukt} - -% XXX Skalarprodukt - - - diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex index e1dda6d..1754ce6 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex @@ -11,10 +11,67 @@ sehr spezielle Algebren, man nennt sie Körper. In diesem Abschnitt sollen die wichtigsten Eigenschaften von Körpern zusammengetragen werden. +\begin{definition} +Ein Körper $K$ ist ein additive Gruppe mit einer multiplikativen +Verknüpfung derart, dass $K^* = K \setminus \{0\}$ eine Gruppe bezüglich +der Multiplikation ist. +Ausserdem gelten die Distributivgesetze +\[ +(a+b)c = ac+bc +\qquad a,b,c\in K. +\] +\end{definition} -XXX TODO +Ein Körper ist also ein Ring derart, dass die Einheitengruppe $K^*$ ist. +\begin{beispiel} +Die Menge $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ mit der Additions- und +Mutliplikationstabelle +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline ++&0&1\\ +\hline +0&0&1\\ +1&1&0\\ +\hline +\end{tabular} +\qquad +\qquad +\qquad +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +\cdot&0&1\\ +\hline +0&0&0\\ +1&0&1\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +ist der kleinste mögliche Körper. +\end{beispiel} +\begin{beispiel} +Die Menge der rationalen Funktionen +\[ +\mathbb{Q}(z) += +\biggl\{ +f(z) += +\frac{p(z)}{q(z)} +\, +\bigg| +\, +\begin{minipage}{5.5cm} +\raggedright +$p(z), q(z)$ sind Polynome mit rationalen Koeffizienten, $q(z)\ne 0$ +\end{minipage} +\, +\biggr\} +\] +ist ein Körper. +\end{beispiel} diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index 3ad51f1..70c1f9c 100755 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \rhead{Lineare Algebra} In diesem Abschnitt tragen wir die bekannten Resultate der linearen Algebra zusammen. -Meistens lernt man diese zuerst für Vektoren und Gleichungssyteme mit +Meistens lernt man diese zuerst für Vektoren und Gleichungssysteme mit reellen Variablen. In der linearen Algebra werden aber nur die arithmetischen Grundoperationen verwendet, es gibt also keinen Grund, warum sich @@ -16,7 +16,8 @@ die Theorie nicht über einem beliebigen Zahlenkörper entwickeln lassen sollte. Die in Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} untersuchten endlichen Körper sind zum Beispiel besser geeignet für Anwendungen in -der Kryptographie oder für die diskrete schnelle Fourier-Transformation. +der Kryptographie, der Codierungstheorie oder für die diskrete schnelle +Fourier-Transformation. Daher geht es in diesem Abschnitt weniger darum alles herzuleiten, sondern vor allem darum, die Konzepte in Erinnerung zu rufen und so zu formulieren, dass offensichtlich wird, dass alles mit einem @@ -28,27 +29,31 @@ beliebigen Zahlkörper $\Bbbk$ funktioniert. \subsection{Vektoren \label{buch:grundlagen:subsection:vektoren}} Koordinatensysteme haben ermöglicht, Punkte als Zahlenpaare zu beschreiben. -Dies ermöglicht, geometrische Eigenschaften als Gleichungen auszudrücken, -aber mit Punkten kann man trotzdem noch nicht rechnen. +Dies ermöglicht, geometrische Eigenschaften als Gleichungen auszudrücken. +Das bedeutet aber nur, dass man mit den Koordinaten rechnen kann, +mit den Punkten selbst kann man trotzdem noch nicht rechnen. Ein Vektor fasst die Koordinaten eines Punktes in einem Objekt zusammen, mit dem man auch rechnen und zum Beispiel Parallelverschiebungen algebraisieren kann. -Um auch Streckungen ausdrücken zu können, wird auch eine Menge von +Um auch Streckungen ausdrücken zu können, wird zudem eine Menge von Streckungsfaktoren benötigt, mit denen alle Komponenten eines Vektors multipliziert werden können. Sie heissen auch {\em Skalare} und liegen in $\Bbbk$. \subsubsection{Zeilen- und Spaltenvektoren} Vektoren sind Tupel von Elementen aus $\Bbbk$. +\index{Vektor}% \begin{definition} Ein $n$-dimensionaler {\em Spaltenvektor} ist ein $n$-Tupel von Zahlen aus +\index{Spaltenvektor}% $\Bbbk$ geschrieben als \[ v = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} \in \Bbbk^n. \] Ein $m$-dimensionaler {\em Zeilenvektor} wird geschrieben als +\index{Zeilenvektor}% \[ u = \begin{pmatrix}u_1&u_2&\dots&u_m\end{pmatrix} \in \Bbbk^m. \] @@ -56,6 +61,7 @@ u = \begin{pmatrix}u_1&u_2&\dots&u_m\end{pmatrix} \in \Bbbk^m. Für Vektoren gleicher Dimension sind zwei Rechenoperationen definiert. Die {\em Addition von Vektoren} $a,a\in\Bbbk^n$ und die Multiplikation +\index{Addition von Vektoren}% eines Vektors mit einem Skalar $\lambda\in\Bbbk$ erfolgt elementweise: \[ a+b @@ -75,6 +81,9 @@ a+b \] Die üblichen Rechenregeln sind erfüllt, nämlich \begin{equation} +\index{Kommutativgesetz}% +\index{Assoziativgesetz}% +\index{Distributivgesetz}% \begin{aligned} &\text{Kommutativität:} & @@ -105,12 +114,13 @@ man Skalare immer links von Vektoren schreiben muss. Die Distributivgesetze zum Beispiel sagen, dass man Ausmultipilizieren oder Ausklammern kann genauso wie in Ausdrücken, die nur Zahlen enthalten. -Man beachte, dass es im allgemeinen kein Produkt von Vektoren gibt. +Man beachte, dass es im Allgemeinen kein Produkt von Vektoren gibt. Das aus der Vektorgeometrie bekannte Vektorprodukt ist eine Spezialität des dreidimensionalen Raumes, es gibt keine Entsprechung dafür in anderen Dimensionen. \subsubsection{Standardbasisvektoren} +\index|{Standardbasisvektor}% In $\Bbbk^n$ findet man eine Menge von speziellen Vektoren, durch die man alle anderen Vektoren ausdrücken kann. Mit den sogenannten {\em Standardbasisvektoren} @@ -137,6 +147,10 @@ a_n \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix} a_1e_1+a_2e_2+\dots+a_ne_n \] ausgedrückt werden. +Dies ist ein Speziallfall des Begriffs der Linearkombination, der +weiter unten in +Definition~\ref{buch:vektoren-und-matrizen:def:linearkombination} +eingeführt wird. \subsubsection{Vektorraum} Die Rechnungen, die man gemäss der Rechengesetze @@ -147,7 +161,7 @@ Jede Art von mathematischem Objekt, mit dem man so rechen kann, kann als (abstrakter) Vektor betrachtet werden. \begin{definition} -Eine Menge $V$ von Objekten, auf der zwei Operationen definiert, +Eine Menge $V$ von Objekten, auf der zwei Operationen definiert sind, nämlich die Addition, geschrieben $a+b$ für $a,b\in V$ und die Multiplikation mit Skalaren, geschrieben $\lambda a$ für $a\in V$ und $\lambda\in \Bbbk$, heisst ein {\em $\Bbbk$-Vektorraum} oder {\em Vektorraum @@ -155,6 +169,8 @@ $\lambda\in \Bbbk$, heisst ein {\em $\Bbbk$-Vektorraum} oder {\em Vektorraum einfach nur {\em Vektorraum}, wenn $\Bbbk$ aus dem Kontext klar sind), wenn die Rechenregeln~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze} gelten +\index{Vektorraum}% +\index{k-Vektorraum@$\Bbbk$-Vektorraum}% \end{definition} Die Mengen von Spaltenvektoren $\Bbbk^n$ sind ganz offensichtlich @@ -164,6 +180,7 @@ Polynomen mit Koeffizienten in $\Bbbk$ sind ebenfalls Vektorräume. \begin{beispiel} Die Zahlenmenge $\mathbb{C}$ ist ein $\mathbb{R}$-Vektorraum. +\index{C als R-Vektorraum@$\mathbb{C}$ als $\mathbb{R}$-Vektorraum}% Elemente von $\mathbb{C}$ können addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden. Die Rechenregeln für die komplexen Zahlen umfassen auch alle Regeln @@ -174,6 +191,7 @@ $\mathbb{C}$ ein Vektorraum über $\mathbb{R}$. \begin{beispiel} Die Menge $C([a,b])$ der stetigen Funktionen $[a,b]\to\mathbb{Re}$ bildet ein Vektorraum. +\index{stetige Funktionen}% Funktionen können addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden: \[ (f+g)(x) = f(x) + g(x) @@ -190,13 +208,16 @@ Die Vektorraum-Rechenregeln Die Beispiele zeigen, dass der Begriff des Vektorraums die algebraischen Eigenschaften eine grosse Zahl sehr verschiedenartiger mathematischer Objekte beschreiben kann. -Alle Erkenntnisse, die man ausschliesslich aus Vekotorraumeigenschaften +Alle Erkenntnisse, die man ausschliesslich aus Vektorraumeigenschaften gewonnen hat, sind auf alle diese Objekte übertragbar. Im folgenden werden wir alle Aussagen für einen Vektorraum $V$ formulieren, wenn wir die Darstellung als Tupel $\Bbbk^n$ nicht brauchen. \subsubsection{Gleichungssysteme in Vektorform} Die Vektorraum-Operationen erlauben nun auch, lineare Gleichungssysteme +\index{lineares Gleichungssytem}% +\index{Gleichungssytem, lineares}% +\index{Vektorform}% in {\em Vektorform} zu schreiben: \index{Vektorform eines Gleichungssystems}% \begin{equation} @@ -222,11 +243,13 @@ x_n \begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix} \label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform} \end{equation} -Die rechte Seite von~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform} -ist eine Linearkombination der Spaltenvektoren. +Die linke Seite der Gleichung rechts in~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform} +\index{Linearkombination}% +ist, wie man sagt, eine Linearkombination der Spaltenvektoren. \begin{definition} -Eine Linearkombination der Vektoren $v_1,\dots,v_n\in V$ ist ein Ausdruck +\label{buch:vektoren-und-matrizen:def:linearkombination} +Eine {\em Linearkombination} der Vektoren $v_1,\dots,v_n\in V$ ist ein Ausdruck der Form \[ v @@ -249,7 +272,7 @@ Sind $a_1,\dots,a_n\in V$ Vektoren, dann heisst die Menge \] aller Vektoren, die sich durch Linearkombination aus den Vektoren $a_1,\dots,a_n$ gewinnen lassen, der von $a_1,\dots,a_n$ -aufgespannte Raum. +{\em aufgespannte Raum}. \end{definition} \subsubsection{Lineare Abhängigkeit} @@ -336,6 +359,7 @@ Skalaren immer noch möglich ist. \begin{definition} Eine Teilmenge $U\subset V$ heisst ein {\em Unterraum} von $V$, wenn +\index{Unterraum}% $U$ selbst ein $\Bbbk$-Vektorraum ist, also \[ \begin{aligned} @@ -359,7 +383,7 @@ Spaltenvektoren Spezialfälle sind. \subsubsection{Definition einer Matrix} \begin{definition} -Eine $m\times n$-Matrix $A$ (über $\Bbbk$) ist rechteckiges Schema +Eine {\em $m\times n$-Matrix} $A$ (über $\Bbbk$) ist ein rechteckiges Schema \index{Matrix}% \[ A @@ -371,10 +395,14 @@ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\\ \end{pmatrix} \] -mit $a_{ij}\in\Bbbk$. +mit $a_{i\!j}\in\Bbbk$. Die Menge aller $m\times n$-Matrizen wird mit \[ -M_{m\times n}(\Bbbk) = \{ A\;|\; \text{$A$ ist eine $m\times n$-Matrix}\}. +M_{m\times n}(\Bbbk) += +M_{m,n}(\Bbbk) += +\{ A\;|\; \text{$A$ ist eine $m\times n$-Matrix}\}. \] Falls $m=n$ gilt, heisst die Matrix $A$ auch {\em quadratisch} \index{quadratische Matrix}% @@ -385,7 +413,7 @@ $M_n(\Bbbk) = M_{n\times n}(\Bbbk)$ ab. Die $m$-dimensionalen Spaltenvektoren $v\in \Bbbk^m$ sind $m\times 1$-Matrizen $v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensionalen Zeilenvetoren $u\in\Bbbk^n$ sind $1\times n$-Matrizen $v\in M_{1\times n}(\Bbbk)$. -Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{ij}$ besteht aus +Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{i\!j}$ besteht aus den $n$ Spaltenvektoren \[ a_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix},\quad @@ -426,54 +454,57 @@ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\dots &a_{mn}+b_{mn} \end{definition} \subsubsection{Multiplikation} -Will man ein lineares Gleichungssystem mit Hilfe der Matrix $A$ der +Will man ein lineares Gleichungssystem +wie~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform} +mit Hilfe der Matrix $A$ der Koeffizienten schreiben, bekommt es die Form $Ax=b$, wobei der Vektor der rechten Seiten ist, und $x$ ein Vektor von unbekannten Zahlen. Dies ist jedoch nur sinnvoll, wenn das Produkt $Ax$ sinnvoll definiert werden kann. \begin{definition} +\label{buch:vektoren-und-matrizen:def:matrixmultiplikation} Eine $m\times n$-Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und eine $n\times l$-Matrix $B\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt eine $m\times l$-Matrix $C=AB\in M_{m\times l}(\Bbbk)$ mit den Koeffizienten \begin{equation} -c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. -\label{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation} +c_{i\!j} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. +\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:matrixmultiplikation} \end{equation} \end{definition} Die Koeffizienten $a_{ik}$ kommen aus der Zeile $i$ von $A$, die Koeffizienten $b_{kj}$ stehen in der Spalte $j$ von $B$, die Multiplikationsregel \eqref{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation} -besagt also, dass das Element $c_{ij}$ entsteht als das Produkt +besagt also, dass das Element $c_{i\!j}$ entsteht als das Produkt der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$. \subsubsection{Einheitsmatrix} Welche $m\times m$-Matrix $I\in M_{m}(\Bbbk)$ hat die Eigenschaft, dass $IA=A$ für jede beliebige Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$. -Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{ij}$. +Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{i\!j}$. Die Bedingung $IA=A$ bedeutet \[ -a_{ij} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj}, +a_{i\!j} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj}, \] -Da auf der linken Seite nur $a_{ij}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der -rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{ij}$, dessen +Da auf der linken Seite nur $a_{i\!j}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der +rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{i\!j}$, dessen Koeffizient $\delta_{ii}=1$ sein muss. Die Koeffizienten sind daher \[ -\delta_{ij} +\delta_{i\!j} = \begin{cases} 1&\qquad i=j\\ 0&\qquad\text{sonst} \end{cases} \] -Die Zahlen $\delta_{ij}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder +Die Zahlen $\delta_{i\!j}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder {\em Kronecker-Delta}. \index{Kronecker-$\delta$}% \index{Kronecker-Symbol}% -Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{ij}$ und heisst die +Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{i\!j}$ und heisst die {\em Einheitsmatrix} \index{Einheitsmatrix}% \[ @@ -487,7 +518,27 @@ I \end{pmatrix}. \] - +\subsubsection{Transponierte Matrix} +\index{transponierte Matrix}% +\index{Matrix, transponiert}% +Die zu einer $m\times n$-Matrix $A$ {\em transponierte} Matrix ist die +$n\times m$-Matrix +\[ +A^t=\begin{pmatrix} +a_{11}&a_{21}&\dots&a_{m1}\\ +a_{12}&a_{22}&\dots&a_{m2}\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +a_{1n}&a_{2n}&\dots&a_{mn} +\end{pmatrix}. +\] +Sie entsteht aus der Matrix $A$ durch Vertauschung von Zeilen und Spalten. +Aus der Definition~\ref{buch:vektoren-und-matrizen:def:matrixmultiplikation} +folgt unmittelbar die Rechenregel $(AB)^t = B^tA^t$. + +Eine Matrix $A$ heisst {\em symmetrisch}, wenn $A^t=A$ ist, sie heisst +{\em antisymmetrisch}, wenn $A^t=-A$ gilt. +\index{symmetrische Matrix}% +\index{antisymmetrische Matrix}% % % Gleichungssysteme % @@ -523,17 +574,21 @@ Ein Gleichungssystem mit rechter Seite $0$ heisst {\em homogen}. \index{homogenes Gleichungssystem}% Zu jedem {\em inhomogenen} Gleichungssystem $Ax=b$ mit $b\ne 0$ ist $Ax=0$ das zugehörige homogene Gleichungssystem. +\index{inhomogenes Gleichungssystem}% Ein homogenes Gleichungssytem $Ax=0$ hat immer mindestens die Lösung $x=0$, man nennt sie auch die {\em triviale} Lösung. +\index{triviale Lösung}% Eine Lösung $x\ne 0$ heisst auch eine nichttriviale Lösung. Die Lösungen eines inhomgenen Gleichungssystem $Ax=b$ ist also nur dann eindeutig, wenn das zugehörige homogene Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung hat. \subsubsection{Gauss-Algorithmus} -Der Gauss-Algorithmus oder genauer Gausssche Eliminations-Algorithmus -löst ein lineare Gleichungssystem der +Der Gauss-Algorithmus oder genauer Gausssche Eliminationsalgorithmus +löst ein lineares Gleichungssystem der +\index{Gauss-Algorithmus}% +\index{Gausscher Eliminationsalgorithmus}% Form~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}. Die Koeffizienten werden dazu in das Tableau \[ @@ -547,21 +602,22 @@ a_{m1}&\dots &a_{mn}&b_m \\ \] geschrieben. Die vertikale Linie erinnert an die Position des Gleichheitszeichens. -Es beinhaltet alle Informationen zur Durchführung des Algorithmus. +Das Tableau beinhaltet alle Informationen zur Durchführung des Algorithmus. Der Algorithmus is so gestaltet, dass er nicht mehr Speicher als das Tableau benötigt, alle Schritte operieren direkt auf den Daten des Tableaus. In jedem Schritt des Algorithmus wird zunächst eine Zeile $i$ und -Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{ij}$ heisst das Pivotelement. +Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{i\!j}$ heisst das {\em Pivotelement}. \index{Pivotelement}% Die {\em Pivotdivision} +\index{Pivotdivision} \[ \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} \hline a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1 \\[-2pt] \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ -a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{ij}}&\dots &a_{in}&b_i \\[-2pt] +a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{i\!j}}&\dots &a_{in}&b_i \\[-2pt] \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m \\ \hline @@ -571,7 +627,7 @@ a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m \\ \hline a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1 \\[-2pt] \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ -{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{ij}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{ij}}}\\[-2pt] +{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{i\!j}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{i\!j}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{i\!j}}}\\[-2pt] \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m \\ \hline @@ -581,7 +637,8 @@ stellt sicher, dass das Pivot-Element zu $1$ wird. \index{Pivotdivision} Dies ist gleichbedeutend mit der Auflösung der Gleichung $i$ noch der Variablen $x_j$. -Mit der {\em Zeilensubtraktion} auf Zeile $k\ne i$ können die Einträge in der +Mit der {\em Zeilensubtraktion} auf Zeile $k>i$ können die Einträge in der +\index{Zeilenoperation}% Spalte $j$ zu Null gemacht werden. Dazu wird das $a_{kj}$-fache der Zeile $i$ von Zeile $k$ subtrahiert: \[ @@ -611,8 +668,10 @@ Pivotelement zu $0$ zu machen. Beide Operationen können in einem Durchgang durchgeführt werden. Die beiden Operationen Pivotdivision und Zeilensubtraktion werden jetzt -kombiniert um im linken Teil des Tableaus möglichst viele Nullen und +kombiniert, um im linken Teil des Tableaus möglichst viele Nullen und Einsen zu erzeugen. +Dabei kann es nötig werden, Zeilen zu vertauschen, um ein von $0$ +verschiedenes Pivotelement zu finden. Im Idealfall wird ein Tableau der Form \[ \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} @@ -626,8 +685,9 @@ Im Idealfall wird ein Tableau der Form \] erreicht, was natürlich nur $m=n$ möglich ist. Interpretiert man die Zeilen dieses Tableaus wieder als Gleichungen, -dann liefert die Zeile $i$ den Wert $x_i=u_i$ für die Variable $i$. -Die Lösung kann also in der Spalte rechts abgelesen werden. +dann liefert die Zeile $i$ den Wert $x_i=u_i$ für die Variable +mit Nummer $i$. +Der Lösungsvektor kann also in der Spalte rechts abgelesen werden. \begin{figure} \centering @@ -652,7 +712,7 @@ Spalten über den Pivotelemnten frei zu räumen. \index{Rückwärtseinsetzen}% Wenn in einer Spalte kein von $0$ verschiedenes Element als Pivotelement zur Verfügung steht, wird diese Spalte übersprungen. -Die so erzeuge Tableau-Form heisst auch die {\em reduzierte Zeilenstufenform} +Die so erzeugte Tableau-Form heisst auch die {\em reduzierte Zeilenstufenform} ({\em reduced row echelon form}, RREF). \index{reduzierte Zeilenstufenform}% \index{reduced row echelon form}% @@ -699,6 +759,19 @@ $x_{j_1}, x_{j_2},\dots, x_{j_k}$ kann die Lösungsmenge als \left\{ \left. \begin{pmatrix} +x_1\\ +x_2\\ +\vdots\\ +{\color{darkgreen}x_{i_1}}\\ +x_{i_1+1}\\ +\vdots\\ +{\color{darkgreen}x_{i_2}}\\ +x_{i_2+1}\\ +\vdots\\ +x_m +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} d_1\\ d_2\\ \vdots\\ @@ -791,7 +864,7 @@ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}&0 &0 &\dots &1 \\ \end{tabular} \] Die Vektoren $c_k$ sind die Spaltenvektoren der Matrix $C$ mit den -Einträgen $c_{ij}$. +Einträgen $c_{i\!j}$. Mit den Vektoren $c_k$ können jetzt beliebige inhomogene Gleichungssysteme $Ax=b$ gelöst werden. @@ -812,7 +885,8 @@ b_1e_1 + b_2e_2 + \dots + b_ne_n b. \end{align*} Die Linearkombination $x=b_1c_1+\dots+b_nc_n$ kann in Vektorform als $x=Cb$ -geschrieben werden. +geschrieben werden, wenn die Vektoren $c_i$ als Spalten einer Matrix $C$ +interpretiert werden. Die Konstruktion von $C$ bedeutet auch, dass $AC=E$, daher heisst $C$ auch die zu $A$ {\em inverse Matrix}. @@ -824,7 +898,7 @@ daraus folgt aber noch nicht, dass auch $A^{-1}A=I$ ist. Diese Eigenschaft kann man jedoch wie folgt erhalten. Sei $C$ die inverse Matrix von $A$, also $AC=I$. Sei weiter $D$ die inverse Matrix von $C$, also $CD=I$. -Dann ist zunächst $A=AE=A(CD)=(AC)D=ID=D$ und weiter +Dann ist zunächst $A=AI=A(CD)=(AC)D=ID=D$ und weiter $CA=CD=I$. Mit der Bezeichnung $C=A^{-1}$ erhalten wir also auch $A^{-1}A=I$. @@ -848,7 +922,8 @@ lösbar ist. \label{buch:linear:determinate:def} Das Produkt der Pivot-Elemente bei der Durchführung des Gauss-Algorithmus für eine Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix $A$ -heisst die Determinante $\det(A)$ der Matrix $A$. +heisst die {\em Determinante} $\det(A)$ der Matrix $A$. +\index{Determinante}% \end{definition} Aus den Regeln für die Durchführung des Gauss-Algorithmus kann man die @@ -887,17 +962,19 @@ und \ref{buch:linear:determinante:asymetrisch} eindeutig bestimmt. \item -Der Entwicklungssatz von Laplace. +Der Entwicklungssatz von Laplace: \index{Entwicklungssatz Laplace}% Die Determinante der $n\times n$-Matrix $A$ kann mit der Formel \begin{equation} \det(A) = -\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(A_{ij}) +\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i\!j} \cdot \det(A_{i\!j}) \end{equation} -wobei die $(n-1)\times(n-1)$-Matrix $A_{ij}$ die Matrix $A$ ist, aus der +berechnet werden, +wobei die $(n-1)\times(n-1)$-Matrix $A_{i\!j}$ die Matrix $A$ ist, aus der man Zeile $i$ und Spalte $j$ entfernt hat. -$A_{ij}$ heisst ein {\em Minor} der Matrix $A$. +$A_{i\!j}$ heisst ein {\em Minor} der Matrix $A$. +\label{buch:linear:def:minor} \index{Minor einer Matrix}% \end{enumerate} @@ -925,6 +1002,9 @@ aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh. Die Determinanten ermöglicht auch, eine Formel für die Lösung eines Gleichungssystems zu geben. Dies ist bekannt als die {\em Regel von Cramer}. +\index{Cramer, Regel von}% +\index{Cramersche Regel}% +\index{Regel von Cramer}% \begin{satz} \label{buch:linear:determinante:cramer} @@ -967,13 +1047,13 @@ Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch \index{Formel für die inverse Matrix}% \index{inverse Matrix, Formel für}% \begin{equation} -(A^{-1})_{ij} +(A^{-1})_{i\!j} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} -\det(A_{11}) & -\det(A_{21}) & \dots & (-1)^{i+1}\det(A_{i1}) & \dots +\phantom{(-1)^{1+1}}\det(A_{11}) & \phantom{()^{1+1}}-\det(A_{21}) & \dots & (-1)^{i+1}\det(A_{i1}) & \dots & (-1)^{1+n} \det(A_{n1}) \\ --\det(A_{12}) & \det(A_{22}) & \dots & (-1)^{i+2}\det(A_{i2}) & \dots +\phantom{()^{1+1}}-\det(A_{12}) & \phantom{(-1)^{1+1}}\det(A_{22}) & \dots & (-1)^{i+2}\det(A_{i2}) & \dots & (-1)^{2+n} \det(A_{n2}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (-1)^{1+j}\det(A_{1j}) & (-1)^{2+j}\det(A_{2j}) & \dots @@ -982,7 +1062,7 @@ Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (-1)^{1+n}\det(A_{1n}) & (-1)^{2+n}\det(A_{2n}) & \dots & (-1)^{i+n}\det(A_{in}) - & \dots & \det(A_{nn}) + & \dots & \phantom{(-1)^{n+n}}\det(A_{nn}) \end{pmatrix} \label{buch:linalg:inverse:formel} \end{equation} @@ -992,7 +1072,7 @@ heisst die {\em Adjunkte} $\operatorname{adj}A$ von $A$. \index{Adjunkte}% \end{satz} -Der Satz~\ref{buch:linalg:inverse:adjoint} liefert eine algebraische +Der Satz~\ref{buch:linalg:inverse:adjunkte} liefert eine algebraische Formel für die Elemente der inversen Matrix. Für kleine Matrizen wie im nachfolgenden Beispiel ist die Formel~\eqref{buch:linalg:inverse:formel} oft einfachter anzuwenden. @@ -1011,7 +1091,7 @@ d&-b\\ erhält. \begin{beispiel} -Die Inverse der Matrix +Die Matrix \begin{equation} A=\begin{pmatrix} 1&a&a\\ @@ -1022,8 +1102,9 @@ a&a&1 \end{equation} ist mit Hilfe von Determinanten besonders einfach zu invertieren. Die Determinante von $A$ ist nach der Sarrus-Formel +Satz~\ref{buch:linear:determinate:sarrus} \[ -\operatorname{adj}A +\operatorname{det}A = 1 + 2a^3 - 3a^2. \] @@ -1048,13 +1129,13 @@ A^{-1} -\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right| & \left|\begin{matrix}a&a\\1&a\end{matrix}\right| -\\ +\\[10pt] -\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right| & \left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right| & -\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right| -\\ +\\[10pt] \left|\begin{matrix}a&1\\a&a\end{matrix}\right| & -\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right| @@ -1071,7 +1152,7 @@ a^2-a & a^2-a & 1-a^2 \end{pmatrix}. \end{align*} Mit $1-a^2=(1+a)(1-a)$ und $a^2-a=a(a-1)$ kann man dies noch etwas -vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammern. +vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammert. Man erhält so die Form \begin{equation} A^{-1} @@ -1091,6 +1172,7 @@ für die Inverse einer Matrix der Form \subsubsection{Produktregel für die Determinante} Aus der Charakterisierung der Determinanten kann man auch ableiten, dass die Produktregel +\index{Produktregel}% \[ \det (AB) = \det(A) \cdot \det(B) \] @@ -1114,8 +1196,9 @@ dass die Operationen des Vektorraums erhalten bleiben. Dies wird von der folgenden Definition erreicht. \begin{definition} +\index{lineare Abbildung}% Eine Abbildung $f\colon V\to U$ zwischen Vektorräumen $V$ und $U$ -heisst linear, wenn +heisst {\em linear}, wenn \[ \begin{aligned} f(v+w) &= f(v) + f(w)&&\forall v,w\in V @@ -1126,12 +1209,13 @@ f(\lambda v) &= \lambda f(v) &&\forall v\in V,\lambda \in \Bbbk gilt. \end{definition} -Lineare Abbildungen sind in der Mathematik sehr verbreitet. +Lineare Abbildungen sind in der Mathematik weit verbreitet, wie die +folgenden Beispiele zeigen. \begin{beispiel} Sie $V=C^1([a,b])$ die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ und $U=C([a,b])$ die Menge der -stetigen Funktion aif $[a,b]$. +stetigen Funktion auf $[a,b]$. Die Ableitung $\frac{d}{dx}$ macht aus einer Funktion $f(x)$ die Ableitung $f'(x)$. Die Rechenregeln für die Ableitung stellen sicher, dass @@ -1196,9 +1280,12 @@ x_n(a_{1n} c_1 + \dots + a_{mn} c_m) Die Koordinaten von $f(x)$ in der Basis $\mathcal{C}$ in $U$ sind also gegeben durch das Matrizenprodukt $Ax$, wenn $x$ der Spaltenvektor aus den Koordinaten in der Basis $\mathcal{B}$ in $V$ ist. +Die Matrix $A$ heisst die Matrix der linearen Abbildung $f$ in +den Basen $\mathcal{B}$ bzw.~$\mathcal{C}$. +\index{Matrix einer linearen Abbildung}% Die Matrix einer linearen Abbildung macht Aussagen über eine lineare -Abbilung der Rechnung zugänglich. +Abbilung der rechnerischen Untersuchung zugänglich. Allerdings hängt die Matrix einer linearen Abbildung von der Wahl der Basis ab. Gleichzeitig ist dies eine Chance, durch Wahl einer geeigneten Basis @@ -1208,10 +1295,10 @@ Problems optimal geeignet ist. \subsubsection{Basiswechsel} In einem Vektorraum $V$ seien zwei Basen $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ und $\mathcal{B}'=\{b_1',\dots,b_n'\}$ gegeben. -Ein Vektor $v\in V$ kann in beiden beiden Basen dargestellt werden. +Ein Vektor $v\in V$ kann in beiden Basen dargestellt werden. Wir bezeichnen mit dem Spaltenvektor $x$ die Koordinaten von $v$ in der Basis $\mathcal{B}$ und mit dem Spaltenvektor $x'$ die Koordinaten -in der Basisi $\mathcal{B}'$. +in der Basis $\mathcal{B}'$. Um die Koordinaten umzurechnen, muss man die Gleichung \begin{equation} x_1b_1 + \dots + x_nb_n = x_1'b_1' + \dots + x_n'b_n' @@ -1220,7 +1307,7 @@ x_1b_1 + \dots + x_nb_n = x_1'b_1' + \dots + x_n'b_n' lösen. Stellt man sich die Vektoren $b_i$ und $b_j'$ als $m$-dimensionale -Spaltenvektoren vor mit $m\ge n$, dann bekommt +Spaltenvektoren mit $m\ge n$ vor, dann bekommt \eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselgleichung} die Form eines Gleichungssystems \[ @@ -1231,7 +1318,8 @@ b_{m1}x_1&+& \dots &+&b_{mn}x_n&=&b_{m1}'x_1'&+& \dots &+&b_{mn}'x_n' \end{linsys} \] Dieses Gleichungssystem kann man mit Hilfe eines Gauss-Tableaus lösen. -Wir schreiben die zugehörigen Variablen +Wir schreiben die zugehörigen Variablen in die Kopfzeile der Tableaus. +Die Durchführung des Gauss-Algorithmus liefert \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.1} \begin{tabular}{|>{$}c<{$} >{$}c<{$} >{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} @@ -1267,12 +1355,28 @@ Vektor in $V$ sich in beiden Mengen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}'$ ausdrücken lässt. Dies folgt aber aus der Tatsache, dass $\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}'$ beide Basen sind, also insbesondere den gleichen Raum aufspannen. -Die $n\times n$-Matrix $T$ mit Komponenten $t_{ij}$ rechnet Koordinaten +Die $n\times n$-Matrix $T$ mit Komponenten $t_{i\!j}$ rechnet Koordinaten in der Basis $\mathcal{B}'$ um in Koordinaten in der Basis $\mathcal{B}$. +\subsubsection{Basiswechselformel für die Matrix einer linearen Abbildung} +Die Matrix einer linearen Abbildung $f\colon U\to V$ ist abhängig von den +in $U$ bzw.~$V$ gewählten Basen $\mathcal{B}$ bzw.~$\mathcal{C}$. +Wechselt man die Basis und verwendet in $U$ die Basis $\mathcal{B}'$ und +in $V$ die Basis $\mathcal{C}'$, dann gibt es Matrizen +$T_U$ und $T_V$, die die Koordinaten in $U$ bzw.~$V$ von der gestrichenen +Basis in die gestrichen umzurechnen gestattet. +Ist $A$ die Matrix von $A$ in den Basen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$, +dann ist Matrix der gleichen Abbildung in den Basen $\mathcal{B}'$ +und $\mathcal{C}'$ gegeben durch die Matrix +\begin{equation} +A' = T_VAT_U^{-1}. +\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselabb} +\end{equation} + \subsubsection{Umkehrabbbildung} Sei $f$ eine umkehrbare lineare Abbildung $U\to V$ und $g\colon V\to U$. die zugehörige Umkehrabbildung. +\index{Umkehrabbildung}% Für zwei Vektoren $u$ und $w$ in $U$ gibt es daher Vektoren $a=g(u)$ und $b=g(w)$ in $V$ derart, dass $f(a)=u$ und $f(b)=w$. Weil $f$ linear ist, folgt daraus $f(a+b)=u+w$ und $f(\lambda a)=\lambda a$ @@ -1305,6 +1409,8 @@ Ist $f$ eine lineare Abbildung $U\to V$, dann heisst die Menge \{x\in U\;|\; f(x)=0\} \] der {\em Kern} oder {\em Nullraum} der linearen Abbildung $f$. +\index{Kern}% +\index{Nullraum}% Ist $A \in M_{m\times n}(\Bbbk)$ Matrix, dann gehört dazu eine lineare Abbildung $f\colon\Bbbk^n\to\Bbbk^m$. Der Kern oder Nullraum der Matrix $A$ ist die Menge @@ -1326,8 +1432,9 @@ gilt. Ob ein Gleichungssystem $Ax=b$ überhaupt eine Lösung hat, hängt davon, ob der Vektor $b$ als Bild der durch $A$ beschriebenen linearen Abbildung -$\Bbbk^n \to \Bbbk^m$ enthalten ist. -Wir definieren daher das Bild einer linearen Abbildung oder Matrix. +$\Bbbk^n \to \Bbbk^m$ dargestellt werden kann. +Wir definieren daher das Bild einer linearen Abbildung oder Matrix +wie folgt. \begin{definition} Ist $f\colon V\to U$ eine lineare Abbildung dann ist das Bild von $f$ @@ -1336,25 +1443,26 @@ der Unterraum \operatorname{im}f = \{ f(v)\;|\;v\in V\} \subset U \] von $U$. -Das Bild einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge +Das {\em Bild} einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge \[ \operatorname{im}A = \{ Av \;|\; v\in\Bbbk^n\} \subset \Bbbk^m. \] \end{definition} +\index{Bild}% Zwei Vektoren $a,b\in\operatorname{im} f$ haben Urbilder $u,w\in V$ mit $f(u)=a$ und $f(w)=b$. Für Summe und Multiplikation mit Skalaren folgt \[ \begin{aligned} -a+b&= f(u)+f(v)=f(u+v) &&\Rightarrow a+b\in\operatorname{im}f\\ -\lambda a&=\lambda f(u) = f(\lambda u) &&\Rightarrow \lambda a&\in\operatorname{im}f, +a+b &= f(u)+f(v)=f(u+v) & \Rightarrow & a+b &\in\operatorname{im}f\\ +\lambda a &=\lambda f(u) = f(\lambda u) & \Rightarrow & \lambda a &\in\operatorname{im}f, \end{aligned} \] also ist auch das Bild $\operatorname{im}f$ ein Unterraum von $U$. Das Bild der Matrix $A$ ist der Unterraum \[ -\{ x_1f(b_1) + \dots x_n f(b_n) | x_i\in\Bbbk\} +\{ x_1f(b_1) + \dots x_n f(b_n) \,|\, x_i\in\Bbbk\} = \langle f(b_1),\dots,f(b_n)\rangle = @@ -1369,6 +1477,7 @@ Sei $A$ eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$. Der {\em Rang} der Matrix $A$ ist die Dimension des Bildraumes von $A$: $\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{im} A$. \index{Rang einer Matrix}% +\index{rank@$\operatorname{rank}A$}% Der {\em Defekt} der Matrix $A$ ist die Dimension des Kernes von $A$: $\operatorname{def}A=\dim\ker A$. \index{Defekt einer Matrix}% @@ -1389,5 +1498,94 @@ n-\operatorname{def}A. \] \end{satz} +\begin{proof}[Beweis] +Der Defekt der Matrix $A$ ist die Dimension des Kernes, also die +Dimension des Lösungsraumes des homogenen Gleichungssystems mit +Koeffizientenmatrix $A$. +Dies ist auch die Anzahl der frei wählbaren Variablen nach +der Durchführung des Gaussalgorithmus +Die behauptete Bezieung kann man jetzt unmittelbar aus dem +Schlusstableau +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.5] +\draw (0,0) rectangle (8,7); +\draw (0,3) -- (8,3); +\draw (4,0) -- (4,7); +\node at (0.5,6.5) {$1$}; +\node at (2,5.25) {$\ddots$}; +\node at (3.5,3.5) {$1$}; + +\node at (4.5,6.5) {$*$}; +\node at (4.5,3.5) {$*$}; +\node at (7.5,6.5) {$*$}; +\node at (7.5,3.5) {$*$}; +\node at (4.5,5.25) {$\vdots$}; +\node at (7.5,5.25) {$\vdots$}; +\node at (6,3.5) {$\cdots$}; +\node at (6,6.5) {$\cdots$}; +\node at (6,5.25) {$\ddots$}; + +\node at (2,1.5) {$0$}; +\node at (6,1.5) {$0$}; + +\draw[<->] (-0.3,7) -- (-0.3,3); +\node at (-0.3,5) [left] {$\operatorname{rank}A$}; +\draw[<->] (4,7.3) -- (8,7.3); +\node at (6,7.3) [above] {$\operatorname{def}A\mathstrut$}; +\node at (2,7.3) [above] {$n-\operatorname{def}A\mathstrut$}; +\draw[<->] (0,7.3) -- (4,7.3); +\draw[<->] (0,-0.3) -- (8,-0.3); +\node at (4,-0.3) [below] {$n$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} +ablesen. +\end{proof} + +\subsubsection{Gauss-Algorithmus und Basiswechsel} +Die Zeilenoperationen des Gauss-Algorithmus können durch Multiplikation +mit Matrizen der Form +\[ +\begin{pmatrix} +1& & & & & & & \\ + &\ddots& & & & & & \\ + & &1& & & & & \\ + & & &{\color{red}1} & & & & \\ + & & &{\color{blue}-a_{i+1,i}}&1& & & \\ + & & &{\color{blue}-a_{i+2,i}}& &1& & \\ + & & &\vdots & & &\ddots& \\ + & & &{\color{blue}-a_{n,i}} & & & &1 +\end{pmatrix} +\] +ausgedrückt werden. +Diese Matrizen sind alle invertiertbar. +Man kann die Zeilenoperationen also als ein Basiswechsel im Bildraum +verstehen. + \subsubsection{Quotient} -TODO: $\operatorname{im} A \simeq \Bbbk^m/\ker A$ +Ist $U\subset V$ ein Unterraum, dann kann man einen neuen Vektorraum +$V/U$ bilden, dessen Vektoren Äquivalenzklassen von Vektoren aus $V$ +sind, die sich nur um einen Vektor aus $U$ unterscheiden. +Wir können solche Vektoren als $v+U$ schreiben. +Diese abstrakte Definition des Quotienten kann im Falle +des Quotienten $\Bbbk^n / \ker A$ mit Hilfe des +Gauss-Algorithmus wesentlich anschaulicher realisiert werden, +wie im folgenden Abschnitt gezeigt wird. + +\subsubsection{Realisierung des Quotienten} +Der Quotient besteht aus den Vektoren, die ``übrig'' bleiben, wenn man die +Vektoren im Kern mit $0$ identifiziert. +Man kann ihn sich als das Bild vorstellen. + +Etwas konkreter erlaubt der Gauss-Algorithmus, +für das Bild $\operatorname{im}A$ eine Basis zu finden. +Aus dem Schlusstableau lässt sich zunächst eine Basis des Kernes +ablesen, dies sind die ``grünen'' Spalten. +Die Pivotspalten bilden dagegen eine Basis für den Bildraum +nach dem im vorangegangenen Abschnitt angesprochenen Basiswechsel. + +Die Pivotspalten beschreiben Vektoren, die durch die Abbildung {\em nicht} +zu $0$ gemacht werden. +Wendet man $A$ auf die Standardbasisvektoren ab, die zu den +Pivospalten gehören, erhält man also eine Basis für da Bild +von $A$. + diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex index 21b29c2..1149e29 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex @@ -13,6 +13,7 @@ Eine ähnliche Situation haben wir bei $M_n(\Bbbk)$ angetroffen. $M_n(\Bbbk)$ ist eine zunächst eine Gruppe bezüglich der Addition, hat aber auch noch eine Multiplikation, die nicht immer umkehrbar ist. Diese Art von Struktur nennt man einen Ring. +\index{Ring} \subsubsection{Definition eines Rings} @@ -21,6 +22,7 @@ Diese Art von Struktur nennt man einen Ring. Eine Menge $R$ mit einer additiven Operation $+$ mit neutralem Element $0$ und einer multiplikativ geschriebenen Operation $\cdot$ heisst ein {\em Ring}, wenn folgendes gilt. +\index{Ring}% \begin{enumerate} \item $R$ ist eine Gruppe bezüglich der Addition. @@ -56,14 +58,15 @@ kein neutrales Element hat oder beides. \begin{definition} \index{Ring mit Eins}% -Ein Ring $R$ heisst ein Ring mit Eins, wenn die Multiplikation ein +Ein Ring $R$ heisst ein {\em Ring mit Eins}, wenn die Multiplikation ein neutrales Element hat. +\index{Ring mit Eins}% \end{definition} \begin{definition} \index{Ring!kommutativ}% \index{kommutativer Ring}% -Ein Ring $R$ heisst kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ +Ein Ring $R$ heisst {\em kommutativ}, wenn die Multiplikation kommutativ ist. \end{definition} @@ -93,7 +96,7 @@ für $a,b\in c(\mathbb{Z})$. Die Algebra ist kommutativ und hat die konstante Folge $u_n = 1\;\forall n$ als Eins. -Wir betrachten jetzt ein Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$ +Wir betrachten jetzt den Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$ bestehend aus den Folgen, die nur für endlich viele Folgenglieder von $0$ verschieden sind. Für eine Folge $a\in c_0(\mathbb{Z})$ gibt es eine Zahl $N$ derart, dass @@ -138,8 +141,8 @@ Ebenso ist das Produkt dieser Zahlen weil Realteil $ac-bd\in\mathbb{Z}$ und der Imaginärteil $ad+bc\in\mathbb{Z}$ ganze Zahlen sind. Die Menge $\mathbb{Z}[i]$ ist also ein kommutative Ring mit Eins, er -heisst der Ring der ganzen {\em Gaussschen Zahlen}. -\index{Gausssche Zahlen}% +heisst der Ring der {\em ganzen Gaussschen Zahlen}. +\index{ganze Gausssche Zahlen}% \end{beispiel} \begin{beispiel} @@ -170,9 +173,9 @@ $M_2(\mathbb{Z})$. \subsubsection{Einheiten} In einem Ring mit Eins sind normalerweise nicht alle von $0$ verschiedenen Elemente intertierbar. -Die Menge der von $0$ verschiedenen Elemente in $R$ wir mit $R^*$ +Die Menge der von $0$ verschiedenen Elemente in $R$ wir mit $R^*=R\setminus\{0\}$ bezeichnet. -\index{$R^*$}% +\index{R*@$R^*$}% Die Menge der invertierbaren Elemente verdient einen besonderen Namen. \begin{definition} @@ -214,14 +217,17 @@ $U(M_n(\Bbbk))=\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$. \subsubsection{Nullteiler} Ein möglicher Grund, warum ein Element $r\in R$ nicht invertierbar -ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ gibt mit $rs=0$. +ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ mit $rs=0$ gibt. Wäre nämlich $t$ ein inverses Element, dann wäre $0=t0 = t(rs) = (tr)s=s$. \begin{definition} +\label{buch:grundlagen:def:nullteiler} Ein Element $r\in R^*$ heisst ein {\em Nullteiler} in $R$, wenn es ein $s\in R^*$ gibt mit $rs=0$ Ein Ring ohne Nullteiler heisst {\em nullteilerfrei}. \end{definition} +\index{Nullteiler}% +\index{nullteilerfrei}% In $\mathbb{R}$ ist man sich gewohnt zu argumentieren, dass wenn ein Produkt $ab=0$ ist, dann muss einer der Faktoren $a=0$ oder $b=0$ sein. diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex index 408bfeb..f89da33 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex @@ -17,8 +17,9 @@ der genau der geometrischen Intuition entspricht. \subsection{Bilinearformen und Skalarprodukte \label{buch:subsection:bilinearformen}} -Damit man mit einem Skalarprodukt rechnen kann wie mit jedem anderen -Produkt, müssen man auf beiden Seiten des Zeichesn ausmultiplizieren können: +Damit man mit einem Skalarprodukt wie mit jedem anderen Produkt +rechnen kann, müssen man auf beiden Seiten des Zeichesn ausmultiplizieren +können: \begin{align*} (\lambda x_1 + \mu x_2)\cdot y &= \lambda x_1\cdot y + \mu x_2\cdot y\\ x\cdot (\lambda y_1 + \mu y_2) &= \lambda x\cdot y_1 + \mu x\cdot y_2. @@ -48,7 +49,7 @@ Eine bilineare Funktion mit Werten in $\Bbbk$ heisst auch {\em Bilinearform}. Das Skalarprodukt hängt nicht von der Reihenfolge der Faktoren ab. In Frage dafür kommen daher nur Bilnearformen $f\colon V\times V\to\Bbbk$, die zusätzlich $f(x,y)=f(y,x)$ erfüllen. -Solche Bilinearformen heissen symmetrisch. +Solche Bilinearformen heissen {\em symmetrisch}. Für eine symmetrische Bilinearform gilt die binomische Formel \begin{align*} f(x+y,x+y) @@ -62,8 +63,19 @@ f(x,x)+2f(x,y)+f(y,y) \end{align*} wegen $f(x,y)=f(y,x)$. +Aus einer beliebigen bilinearen Funktion $g(x,y)$ kann immer eine +symmetrische bilineare Funktion $f(x,y)$ gewonnen werden, indem +man +\[ +f(x,y) = \frac12 \bigl(g(x,y)+g(x,y)\bigr) +\] +setzt. +Dieser Prozess heisst auch {\em Symmetrisieren}. +\index{symmetrisieren}% +Ist $g$ bereits symmetrische, dann ist $g(x,y)=f(x,y)$. + \subsubsection{Positiv definite Bilinearformen und Skalarprodukt} -Bilinearität alleine genügt nicht, um einen Vektorraum mit einem +Bilinearität allein genügt nicht, um einen Vektorraum mit einem nützlichen Abstandsbegriff auszustatten. Dazu müssen die berechneten Abstände vergleichbar sein, es muss also eine Ordnungsrelation definiert sein, wie wir sie nur in $\mathbb{R}$ @@ -75,15 +87,14 @@ Man lernt in der Vektorgeometrie, dass sich mit einer Bilinearform $f\colon V\times V\to\mathbb{R}$ die Länge eines Vektors $x$ definieren lässt, indem man $\|x\|^2 = f(x,x)$ setzt. -Ausserdem muss $f(x,x)\ge 0$ sein für alle $x$, was die Bilinearität +Dazu muss $f(x,x)\ge 0$ sein für alle $x$, was die Bilinearität allein nicht garantieren kann. Verschiedene Punkte in einem Vektorraum sollen in dem aus der Bilinearform abgeleiteten Abstandsbegriff immer unterscheidbar sein. Dazu muss jeder von $0$ verschiedene Vektor positive Länge haben. -% XXX Positiv definite Form \begin{definition} -Eine Bilinearform $f\colon V\times V\to\mathbb{R}$ +Eine symmetrische Bilinearform $f\colon V\times V\to\mathbb{R}$ heisst {\em positiv definit}, wenn \index{positiv definit}% \[ @@ -94,12 +105,14 @@ geschrieben. \index{Skalarprodukt}% Die {\em $l^2$-Norm} $\|x\|_2$ eines Vektors ist definiert durch $\|x\|_2^2 = \langle x,x\rangle$. +\index{l2-norm@$l^2$-Norm}% \end{definition} \subsubsection{Dreiecksungleichung} % XXX Dreiecksungleichung Damit man sinnvoll über Abstände sprechen kann, muss die Norm -$\|\;\cdot\;\|_2$ der geometrischen Intuition folgen, die durch +$\|\mathstrut\cdot\mathstrut\|_2$ +der geometrischen Intuition folgen, die durch die Dreiecksungleichung ausgedrückt wird. In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die $l^2$-Norm diese immer erfüllt. @@ -107,14 +120,17 @@ Dazu sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\langle\;,\;\rangle$. \begin{satz}[Cauchy-Schwarz-Ungleichung] +\label{buch:skalarprodukt:satz:cauchy-schwarz-ungleichung} Für $x,y\in V$ gilt -\[ +\begin{equation} |\langle x,y\rangle | \le \| x\|_2\cdot \|y\|_2 -\] +\label{buch:skalarprodukt:eqn:cauchy-schwarz-ungleichung} +\end{equation} mit Gleichheit genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind. \end{satz} +\index{Cauchy-Schwarz-Ungleichung}% \begin{proof}[Beweis] Wir die Norm von $z=x-ty$: @@ -152,7 +168,7 @@ x - \frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|_2^2}y }{ \|y\|_2^2 } -\ge 0 +\ge 0. \intertext{Es folgt} &&&\Rightarrow& \|x\|_2^2\cdot\|y\|_2^2 - (\langle x,y\rangle)^2 &\ge 0 @@ -164,14 +180,18 @@ mit Gleichheit genau dann, wenn es ein $t$ gibt mit $x=ty$. \end{proof} \begin{satz}[Dreiecksungleichung] +\label{buch:skalarprodukt:satz:dreiecksungleichung} Für $x,y\in V$ ist \[ \| x + y \|_2 \le \|x\|_2 + \|y\|_2 \] mit Gleichheit genau dann, wenn $x=ty$ ist für ein $t\ge 0$. \end{satz} +\index{Dreiecksungleichung}% \begin{proof}[Beweis] +Wir berechnen die Norm von $x+y$ und wenden die +Cauchy-Schwarz-Ungleichung darauf an: \begin{align*} \|x+y\|_2^2 &= @@ -189,20 +209,21 @@ mit Gleichheit genau dann, wenn $x=ty$ ist für ein $t\ge 0$. 2\langle x,y\rangle + \|y\|_2^2 -= -\|x\|_2^2 + 2\langle x,y\rangle + \|y\|_2^2 -\le +\\ +&\le \|x\|_2^2 + 2\|x\|_2\cdot\|y\|_2 + \|y\|_2^2 \\ &= (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2 \\ +\Rightarrow\qquad \|x + y\|_2 -&\le \|x\|_2 + \|y\|_2, +&\le \|x\|_2 + \|y\|_2. \end{align*} Gleichheit tritt genau dann ein, wenn $\langle x,y\rangle=\|x\|_2\cdot \|y\|_2$. -Dies tritt genau dann ein, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind. +Dies tritt nach Satz~\ref{buch:skalarprodukt:satz:cauchy-schwarz-ungleichung} +genau dann ein, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind. \end{proof} \subsubsection{Polarformel} @@ -215,6 +236,7 @@ Norm zurückgewinnen. Dies ist der Inhalt der sogenannte Polarformel. \begin{satz}[Polarformel] +\label{buch:skalarprodukt:satz:polarformel} Ist $\|\cdot\|_2$ eine Norm, die aus einer symmetrischen Bilinearform $\langle\;,\;\rangle$ hervorgegangen ist, dann kann die Bilinearform mit Hilfe der Formel @@ -232,6 +254,7 @@ mit Hilfe der Formel \end{equation} für $x,y\in V$ wiedergewonnen werden. \end{satz} +\index{Polarformel}% \begin{proof}[Beweis] Die binomischen Formel @@ -269,13 +292,14 @@ Seien $U,V,W$ komplexe Vektorräume. Eine Abbildung $f\colon U\times V\to W$ heisst {\em sesquilinear}\footnote{Das lateinische Wort {\em sesqui} bedeutet eineinhalb, eine Sesquilinearform ist also eine Form, die in einem -Faktor (dem zweiten) linear ist, und im anderen nur halb linear.} -\index{sesquilinear} +Faktor (dem zweiten) linear ist, und im anderen nur ``halb'' linear. +} +\index{sesquilinear}% wenn gilt \begin{align*} -f(\lambda x_1+\mu x_2,y) &= \overline{\lambda}f(x_1,y) + \overline{\mu}f(x_2,y) +f(\lambda x_1+\mu x_2,y) &= \overline{\lambda}f(x_1,y) + \overline{\mu}f(x_2,y), \\ -f(x,\lambda y_1+\mu y_2) &= \lambda f(x,y_1) + \mu f(x,y_2) +f(x,\lambda y_1+\mu y_2) &= \lambda f(x,y_1) + \mu f(x,y_2). \end{align*} \end{definition} @@ -295,6 +319,23 @@ Für die Norm $\|x\|_2^2=\langle x,x\rangle$ bedeutet dies jetzt \subsection{Orthognormalbasis \label{buch:subsection:orthonormalbasis}} \index{orthonormierte Basis}% +Sowohl die Berechnung von Skalarprodukten wie auch der Basis-Wechsel +werden besonders einfach, wenn die verwendeten Basisvektoren orthogonal +sind und Länge $1$ haben. + +\subsubsection{Orthogonale Vektoren} +In der Vektorgeometrie definiert man den Zwischenwinkel $\alpha$ +zwischen zwei von $0$ verschiedene Vektoren $u$ und $v$ mit Hilfe +des Skalarproduktes und er Formel +\[ +\cos\alpha = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|_2\cdot\|v\|_2}. +\] +Der Winkel ist $\alpha=90^\circ$ genau dann, wenn das Skalarprodukt +verschwindet. +Zwei Vektoren $u$ und $v$ heissen daher {\em orthogonal} genau dann, +wenn $\langle u,v\rangle=0$. +Wir schreiben dafür auch $u\perp v$. +\index{orthogonal}% \subsubsection{Gram-Matrix} Sei $V$ ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt und $\{b_1,\dots,b_n\}$ eine @@ -308,7 +349,7 @@ y = \sum_{i=1}^n \eta_i b_i \] berechnen? Setzt man $x$ und $y$ in das Skalarprodukt ein, erhält man -\begin{align*} +\begin{align} \langle x,y\rangle &= \biggl\langle @@ -317,31 +358,70 @@ Setzt man $x$ und $y$ in das Skalarprodukt ein, erhält man \biggr\rangle = \sum_{i,j=1}^n \xi_i\eta_j \langle b_i,b_j\rangle. -\end{align*} -Die Komponente $g_{ij}=\langle b_i,b_j\rangle$ bilden die sogenannte -Gram-Matrix $G$. +\label{buch:skalarprodukt:eqn:skalarproduktgram} +\end{align} +Die Komponente $g_{i\!j}=\langle b_i,b_j\rangle$ bilden die sogenannte +{\em Gram-Matrix} $G$. +\index{Gram-Matrix}% +Da das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist, ist die +Gram-Matrix symmetrisch. Mit ihr kann das Skalarprodukt auch in Vektorform geschrieben werden als $\langle x,y\rangle = \xi^t G\eta$. \subsubsection{Orthonormalbasis} -Eine Basis $\{a_1,\dots,a_n\}$ aus orthogonalen Einheitsvektoren, +Eine Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ aus orthonormierten Einheitsvektoren, also mit $ -\langle a_i,a_j\rangle=\delta_{ij} +\langle b_i,b_j\rangle=\delta_{i\!j}, $ heisst {\em Orthonormalbasis}. -In einer Orthonormalbasis ist die Bestimmung der Koordinaten eines -beliebigen Vektors besonders einfach, ist nämlich +\index{Orthonormalbasis}% +Die Gram-Matrix einer Orthonormalbasis ist die Einheitsmatrix. + +Eine Orthonormalbasis zeichnet sich dadurch aus, dass die Berechnung +des Skalarproduktes in einer solchen Basis besonders einfach ist. +Aus \eqref{buch:skalarprodukt:eqn:skalarproduktgram} kann man ablesen, +dass $\langle x,y\rangle = \xi^t G \eta = \xi^t I \eta = \xi^t\eta$. + +In einer Orthonormalbasis ist auch die Bestimmung der Koordinaten +eines beliebigen Vektors besonders einfach. +Sei also $\{b_1,\dots,b_n\}$ eine Orthonormalbasis und $v$ ein +Vektor, der in dieser Basis dargestellt werden soll. +Der Vektor \begin{equation} -v=\sum_{i=1}^n \langle v,a_i\rangle a_i. +v'=\sum_{i=1}^n \langle v,b_i\rangle b_i, \label{buch:grundlagen:eqn:koordinaten-in-orthonormalbasis} \end{equation} -Die Gram-Matrix einer Orthonormalbasis ist die Einheitsmatrix. +hat die Skalarprodukte +\[ +\langle v',b_j\rangle= +\biggl\langle \sum_{i=1}^n \langle v,b_i\rangle b_i,b_j\biggr\rangle += +\sum_{i=1}^n \bigl\langle \langle v,b_i\rangle b_i, b_j\bigr\rangle += +\sum_{i=1}^n \langle v,b_i\rangle \rangle b_i, b_j\rangle += +\sum_{i=1}^n \langle v,b_i\rangle \delta_{i\!j} += +\langle v,b_j\rangle. +\] +Insbesondere gilt +\[ +\langle v,b_j\rangle = \langle v',b_j\rangle +\qquad\Rightarrow\qquad +\langle v-v',b_j\rangle = 0 +\qquad\Rightarrow\qquad +v-v'=0 +\qquad\Rightarrow\qquad +v=v'. +\] +Die Koordinaten von $v$ in der Basis $\{b_i\,|\,1\le i\le n\}$ +sind also genau die Skalarprodukte $\langle v,b_i\rangle$. \subsubsection{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung} Mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsprozesses kann aus einer beliebige Basis $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\subset V$ eines Vektorraums -mit einem SKalarprodukt eine orthonormierte Basis +mit einem Skalarprodukt eine orthonormierte Basis $\{b_1,b_2,\dots,b_n\}$ gefunden werden derart, dass für alle $k$ $\langle b_1,\dots,b_k\rangle = \langle a_1,\dots ,a_k\rangle$. \index{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung}% @@ -392,7 +472,7 @@ a_n-b_1\langle b_1,a_n\rangle-b_2\langle b_2,a_n\rangle \end{align*} Die Basisvektoren $b_i$ sind orthogonal, aber $\|b_i\|_2$ kann auch von $1$ abweichen. -Damit ist es zwar nicht mehr so einfach +Damit ist es leider nicht mehr so einfach wie in \eqref{buch:grundlagen:eqn:koordinaten-in-orthonormalbasis}, einen Vektor in der Basis zu zerlegen. Ein Vektor $v$ hat nämlich in der Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ die Zerlegung @@ -403,10 +483,10 @@ v \frac{\langle b_i,v\rangle}{\|b_i\|_2^2} b_i, \label{buch:grundlagen:eqn:orthogonal-basiszerlegung} \end{equation} -Die Koordinaten bezüglich dieser Basis sind also +die Koordinaten bezüglich dieser Basis sind also $\langle b_i,v\rangle/\|b_i\|_2^2$. -Die Gram-Matrix einer Orthogonalen Basis ist immer noch diagonal, +Die Gram-Matrix einer orthogonalen Basis ist immer noch diagonal, auf der Diagonalen stehen die Normen der Basisvektoren. Die Nenner in der Zerlegung \eqref{buch:grundlagen:eqn:orthogonal-basiszerlegung} @@ -416,7 +496,7 @@ sind die Einträge der inverse Matrix der Gram-Matrix. Die Gram-Matrix einer Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ in einem komplexen Vektorraum hat die Eigenschaft \[ -g_{ij} +g_{i\!j} = \langle b_i,b_j\rangle = @@ -425,43 +505,46 @@ g_{ij} \overline{g}_{ji} \quad 1\le i,j\le n. \] -Sie ist nicht mehr symmetrisch, aber selbstadjungiert, gemäss +Sie ist nicht mehr symmetrisch, aber hermitesch, gemäss der folgenden Definition. \begin{definition} -\label{buch:grundlagen:definition:selstadjungiert} -Sei $A$ eine komplexe Matrix mit Einträgen $a_{ij}$, dann ist +\label{buch:grundlagen:definition:hermitesch} +Sei $A$ eine komplexe Matrix mit Einträgen $a_{i\!j}$, dann ist $\overline{A}$ die Matrix mit komplex konjugierten Elementen -$\overline{a}_{ij}$. +$\overline{a}_{i\!j}$. Die {\em adjungierte} Matrix ist $A^*=\overline{A}^t$. -Eine Matrix heisst selbstadjungiert, wenn $A^*=A$. +\index{adjungiert}% +Eine Matrix heisst {\em hermitesch}, wenn $A^*=A$. +\index{hermitesch}% +Sie heisst {\em antihermitesch}, wenn $A^*=-A$. \end{definition} -\subsection{Symmetrische und selbstadjungierte Abbilungen -\label{buch:subsection:symmetrisch-und-selbstadjungiert}} -In Definition~\ref{buch:grundlagen:definition:selstadjungiert} -wurde der Begriff der selbstadjungierten Matrix basierend +\subsection{Selbstadjungierte Abbilungen +\label{buch:subsection:selbstadjungiert}} +In Definition~\ref{buch:grundlagen:definition:hermitesch} +wurde der Begriff der hermiteschen Matrix basierend eingeführt. Als Eigenschaft einer Matrix ist diese Definition notwendigerweise abhängig von der Wahl der Basis. Es ist nicht unbedingt klar, dass derart definierte Eigenschaften als von der Basis unabhängige Eigenschaften betrachtet werden können. Ziel dieses Abschnitts ist, Eigenschaften wie Symmetrie oder -Selbstadjungiertheit auf basisunabhängige Eigenschaften von +hermitesch auf basisunabhängige Eigenschaften von linearen Abbildungen in einem Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt $\langle\;,\;\rangle$ zu verstehen. -\subsubsection{Symmetrische Abbildungen} +\subsubsection{Reelle selbstadjungierte Abbildungen} Sei $f\colon V\to V$ eine lineare Abbildung. In einer Basis $\{b_1,\dots,b_n\}\subset V$ wird $f$ durch eine Matrix $A$ beschrieben. Ist die Basis orthonormiert, dann kann man die Matrixelemente -mit $a_{ij}=\langle b_i,Ab_j\rangle$ berechnen. +mit $a_{i\!j}=\langle b_i,Ab_j\rangle$ berechnen. Die Matrix ist symmetrisch, wenn \[ \langle b_i,Ab_j\rangle = -a_{ij} +a_{i\!j} = a_{ji} = @@ -471,16 +554,17 @@ a_{ji} \] ist. Daraus leitet sich jetzt die basisunabhängige Definition einer -symmetrischen Abbildung ab. +selbstadjungierten Abbildung ab. \begin{definition} -Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ heisst {\em symmetrisch}, wenn +Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ heisst {\em selbstadjungiert}, wenn $\langle x,Ay\rangle=\langle Ax,y\rangle$ gilt für beliebige Vektoren $x,y\in V$. +\index{selbstadjungierte Abbildung}% \end{definition} Für $V=\mathbb{R}^n$ und das Skalarprodukt $\langle x,y\rangle=x^ty$ -erfüllt eine symmetrische Abbildung mit der Matrix $A$ die Gleichung +erfüllt eine selbstadjungierte Abbildung mit der Matrix $A$ die Gleichung \[ \left. \begin{aligned} @@ -497,16 +581,18 @@ x^tAy x^tA^ty = x^tAy\quad\forall x,y\in\mathbb{R}^n, \] was gleichbedeutend ist mit $A^t=A$. -Der Begriff der symmetrischen Abbildung ist also eine natürliche +Der Begriff der selbstadjungierten Abbildung ist also eine natürliche Verallgemeinerung des Begriffs der symmetrischen Matrix. -\subsubsection{Selbstadjungierte Abbildungen} +\subsubsection{Selbstadjungierte komplexe Abbildungen} In einem komplexen Vektorraum ist das Skalarprodukt nicht mehr bilinear und symmetrisch, sondern sesquilinear und konjugiert symmetrisch. \begin{definition} -Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ heisst {\em selbstadjungiert}, +Eine lineare Selbstabbildung $f\colon V\to V$ eines komplexen +Vektorraumes heisst {\em selbstadjungiert}, wenn $\langle x,fy\rangle=\langle fx,y\rangle$ für alle $x,y\in\mathbb{C}$. +\index{selbstadjungiert}% \end{definition} Im komplexen Vektorraum $\mathbb{C}^n$ ist das Standardskalarprodukt @@ -528,12 +614,13 @@ Die lineare Abbildung $f^*\colon V\to V$ definiert durch \langle f^*x,y\rangle = \langle x,fy\rangle,\qquad x,y\in V \] heisst die {\em Adjungierte} von $f$. +\index{Adjungierte}% \end{definition} Eine selbstadjungierte Abbildung ist also eine lineare Abbildung, die mit ihrer Adjungierte übereinstimmt, als $f^* = f$. In einer orthonormierten Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ hat die Abbildung -$f$ die Matrixelemente $a_{ij}=\langle b_i,fb_j\rangle$. +$f$ die Matrixelemente $a_{i\!j}=\langle b_i,fb_j\rangle$. Die adjungierte Abbildung hat dann die Matrixelemente \[ \langle b_i,f^*b_j \rangle @@ -560,6 +647,8 @@ Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ in einem reellen Vektorraum mit heisst {\em orthogonal}, wenn $\langle fx,fy\rangle = \langle x,y\rangle$ für alle $x,y\in V$ gilt. +\index{orthogonale Abbildung}% +\index{orthogonale Matrix}% \end{definition} Die adjungierte einer orthogonalen Abbildung erfüllt @@ -579,18 +668,101 @@ Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ eines komplexen Vektorraumes $V$ mit Skalarprodukt heisst unitär, wenn $\langle x,y\rangle = \langle fx,fy\rangle$ für alle Vektoren $x,y\in V$. Eine Matrix heisst unitär, wenn $U^*U=I$. +\index{unitäre Abbildung}% +\index{unitäre Matrix}% \end{definition} Die Matrix einer unitären Abbildung in einer orthonormierten Basis ist unitär. -% XXX Skalarprodukt und Lineare Abbildungen -% XXX Symmetrische Matrizen -% XXX Selbstadjungierte Matrizen - \subsection{Orthogonale Unterräume \label{buch:subsection:orthogonale-unterraeume}} -% XXX Invariante Unterräume -% XXX Kern und Bild orthogonaler Abbildungen +Die Orthogonalitätsrelation lässt sich auch auf Unterräume ausdehnen. +Zwei Unterräume $U\subset V$ und $W\subset V$ eines Vektorraums mit +Skalarprodukt heissen orthogonal, wenn gilt +\( +u\perp w\forall u\in U,w\in W +\). + +\subsubsection{Orthogonalkomplement} +Zu einem Unterraum $U$ kann man den Vektorraum +\[ +U^\perp = \{ v\in V\,|\, v\perp u\forall u\in U\} +\] +bilden. +$U^\perp$ ist ein Unterraum, denn für zwei Vektoren +$v_1,v_2\in U^\perp$ gilt +\[ +\langle \lambda v_1+\mu v_2,u\rangle += +\lambda \langle v_1,u\rangle + \mu \langle v_2,u\rangle += +0 +\] +für alle $u\in U$, also ist $\lambda v_1+\mu v_2\in U^\perp$. +Der Unterraum $U^\perp$ heisst das {\em Orthogonalkomplement} +von $U$. +\index{Orthogonalkomplement}% + +\subsubsection{Kern und Bild} +Die adjungierte Abbildung ermöglicht, eine Abbildung in einem +Skalarprodukt auf den anderen Faktor zu schieben und damit +einen Zusammenhang zwischen Bildern und Kernen mit Hilfe des +Orthogonalkomplements herzustellen. + +\begin{satz} +Sei $f\colon U\to V$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen +mit Skalarprodukt, und $f^*\colon V \to U$ die adjungierte Abbildung, +Dann gilt +\[ +\begin{aligned} +\ker f^* +&= +(\operatorname{im}f)^\perp +&& +& +\operatorname{im}f\phantom{\mathstrut^*} +&= +(\ker f^*)^\perp +\\ +\ker f\phantom{\mathstrut^*} +&= +(\operatorname{im}f^*)^\perp +& +&& +\operatorname{im}f^* +&= +(\ker f)^\perp. +\end{aligned} +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Es gilt $\langle fu,v\rangle = \langle u,f^*v\rangle$ für +alle $u\in U, v\in V$. +Das Orthogonalkomplement des Bildes von $f$ ist +\begin{align*} +(\operatorname{im} f)^\perp +&= +\{ +v\in V +\,|\, +\langle v, fu\rangle=0\forall u\in U +\} +\end{align*} +Ein Vektor $v$ ist genau dann in $(\operatorname{im}f)^\perp$ enthalten, +wenn für alle $u$ +\[ +0 += +\langle v,fu\rangle += +\langle f^*v,u\rangle +\] +gilt. +Das ist aber gleichbdeutend damit, dass $f^*v=0$ ist, dass also +$v\in\ker f^*$. +Dies beweist die erste Beziehung, alle anderen folgen auf analoge Weise. +\end{proof} \subsection{Andere Normen auf Vektorräumen \label{buch:subsection:andere-normen}} @@ -602,6 +774,7 @@ zusammen. \subsubsection{$l^1$-Norm} \begin{definition} Die $l^1$-Norm in $V=\mathbb{R}^n$ oder $V=\mathbb{C}^n$ ist definiert durch +\index{l1-Norm@$l^1$-Norm}% \[ \| v\|_1 = @@ -652,7 +825,6 @@ ein Widerspruch. \subsubsection{$l^\infty$-Norm} - \begin{definition} Die $l^\infty$-Norm in $V=\mathbb{R}^n$ und $V=\mathbb{C}^n$ ist definiert \[ @@ -662,6 +834,7 @@ Die $l^\infty$-Norm in $V=\mathbb{R}^n$ und $V=\mathbb{C}^n$ ist definiert \] Sie heisst auch die {\em Supremumnorm}. \index{Supremumnorm}% +\index{lunendlich-norm@$l^\infty$-Norm}% \end{definition} Auch diese Norm erfüllt die Dreiecksungleichung @@ -715,6 +888,7 @@ Norm ausgestattet werden, wenn $U$ und $V$ jeweils eine Norm haben. Seien $U$ und $V$ Vektorräume über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ und $f\colon U\to V$ eine lineare Abbildung. Die {\em Operatorname} der linearen Abbildung ist +\index{Operatornorm}% \[ \|f\| = @@ -736,7 +910,8 @@ l_y \colon V\to \mathbb{C}: x\mapsto \langle y,x\rangle. \] -Zur Berechnung der Operatorname von $l_y$ +Zur Berechnung der Operatorname von $l_y$ verwenden wir die +Cauchy-Schwarz-Ungleichung~\eqref{buch:skalarprodukt:eqn:cauchy-schwarz-ungleichung} \[ |l_y(x)|^2 = @@ -788,6 +963,7 @@ sich auf den Raum der stetigen Funktionen $[a,b]\to\mathbb{R}$ oder $[a,b]\to\mathbb{C}$ verallgemeinern. Die Supremumnorm auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen ist +\index{Supremumnorm}% \[ \|f\|_\infty = \sup_{x\in[a,b]} |f(x)| \] @@ -796,6 +972,8 @@ für $f\in C([a,b],\mathbb{R})$ oder $f\in C([a,b],\mathbb{C})$. Für die anderen beiden Normen wird zusätzlich das bestimmte Integral von Funktionen auf $[a,b]$ benötigt. Die $L^2$-Norm wird erzeugt von dem Skalarprodukt +\index{L2-norm@$L^2$-Norm}% +\index{Skalarprodukt}% \[ \langle f,g\rangle = @@ -804,10 +982,38 @@ Die $L^2$-Norm wird erzeugt von dem Skalarprodukt \qquad\Rightarrow\qquad \|f\|_2^2 = \frac{1}{b-a}\int_a^b |f(x)|^2\,dx. \] -Die $L^2$-Norm ist dagegen +Die $L^1$-Norm ist dagegen definiert als. \[ \|f\|_1 = \int_a^b |f(x)|\,dx. \] +Die drei Normen stimmen nicht überein. +Beschränkte Funktionen sind zwar immer integrierbar und quadratintegrierbar. +Es gibt integrierbare Funktionen, die nicht quadratintegrierbar sind, zum +Beispiel ist die Funktion $f(x)=1/\sqrt{x}$ auf dem Interval $[0,1]$ +\begin{align*} +\|f\|_1 +&= +\int_0^1 \frac 1{\sqrt{x}}\,dx += +[2\sqrt{x}]_0^1 += +2 +< +\infty +&&\Rightarrow& \|f\|_1&<\infty +\\ +\|f\|_2^2 +&= +\int_0^1 \biggl(\frac1{\sqrt{x}}\biggr)^2\,dx += +\int_0^1 \frac1x\,dx += +\lim_{t\to 0} [\log x]_t^1 = \infty +&&\Rightarrow& +\|f\|_2 &= \infty. +\end{align*} +Die Vektorräume der integrierbaren und der quadratintegrierbaren Funktionen +sind also verschieden. diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex index a2afa37..2ad7b88 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex @@ -17,9 +17,10 @@ werden. Im Laufe der Definition der Vektorräume $\Bbbk^n$ und der Operationen für die Matrizen in $M_{m\times n}(\Bbbk)$ haben wir eine ganze Reihe von algebraischen Strukturen kennengelernt. -Nicht immer sind alle Operationen verfügbar, in einem Vektorraum -gibt es normalerweise kein Produkt. -Und bei der Konstruktion des Zahlensystems wurde gezeigt, dass +Nicht immer sind alle Operationen verfügbar, die uns von der Diskussion +der Zahlenmengen her vertraut sind, zum Beispiel gibt es in einem +Vektorraum normalerweise kein Produkt. +Bei der Konstruktion des Zahlensystems wurde gezeigt, dass additive oder multiplikative Inverse nicht selbstverständlich sind. Sinnvolle Mathematik lässt sich aber erst betreiben, wenn zusammen diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex index c7fc9e9..fd72a59 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex @@ -38,7 +38,7 @@ verwendet werden, warum also diese Beschränkung. Für die nachfolgenden Betrachtungen stellen wir uns $X$ daher nicht mehr einfach als einen Platzhalter für eine Zahl vor, sondern als ein neues algebraisches Objekt, für das man die Rechenregeln erst noch definieren muss. -In diesem Kapteil sollen die Regeln zum Beispiel sicherstellen, +In diesem Kapitel sollen die Regeln zum Beispiel sicherstellen, dass man mit Polynomen so rechnen kann, wie wenn $X$ eine Zahl wäre. Es sollen also zum Beispiel die Regeln \begin{align} @@ -120,7 +120,7 @@ Elemente einer Algebra sind. \input{chapters/20-polynome/definitionen.tex} \input{chapters/20-polynome/vektoren.tex} -\input{chapters/20-polynome/matrizen.tex} -\input{chapters/20-polynome/minimalpolynom.tex} +%\input{chapters/20-polynome/matrizen.tex} +%\input{chapters/20-polynome/minimalpolynom.tex} diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex index 135ebf6..3c541d8 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex @@ -12,8 +12,8 @@ Rechnen mit Polynomen zusammen. % % Skalare % -\subsection{Skalare -\label{buch:subsection:polynome:skalare}} +\subsection{Polynome +\label{buch:subsection:polynome:polynome}} Wie schon in der Einleitung angedeutet sind Polynome nur dann sinnvoll, wenn man mit den Koeffizienten gewisse Rechenoperationen durchführen kann. Wir brauchen mindestens die Möglichkeit, Koeffizienten zu addieren. @@ -31,7 +31,7 @@ in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu Multiplizieren und zu Addieren, und es müssen die üblichen Rechenregeln der Algebra gelten, $R$ muss also ein Ring sein. \index{Ring}% -Wir werden im folgenden meistens voraussetzen, dass $R$ sogar kommutativ +Wir werden im folgenden zusätzlich voraussetzen, dass $R$ sogar kommutativ ist und eine $1$ hat. \begin{definition} @@ -85,6 +85,7 @@ X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n} \] machen. Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert. +Wenn $R$ ein Körper ist, ist die Normierung immer möglich. Die Tatsache, dass zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen, verkompliziert die Beschreibung der Rechenoperationen ein wenig. @@ -109,42 +110,10 @@ dass nur über diejenigen Indizes $k$ summiert wird, für die $a_k$ definiert ist. \label{summenzeichenkonvention} -% -% Abschnitt über Polynomring Definition -% -\subsection{Der Polynomring -\label{buch:subsection:polynome:ring}} -Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ wird zu einem Ring, wenn man die -Rechenoperationen Addition und Multiplikation so definiert, wie man das -in der Schule gelernt hat. -Die Summe von zwei Polynomen -\begin{align*} -p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0\\ -q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0 -\end{align*} -ist -\[ -p(X)+q(X) -= -\sum_{k} (a_k+b_k)X^k, -\] -wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme -summiert wird, für die mindestens einer der Summanden von $0$ -verschieden ist. - -Für das Produkt verwenden wir die Definition -\[ -p(X)q(X) -= -\sum_{k}\sum_{l} a_kb_l X^{k+l}, -\] -die natürlich mit Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} -gleichbedeutend ist. -Die Polynom-Multiplikation und Addition sind nur eine natürliche -Erweiterung der Rechenregeln, die man schon in der Schule lernt, -es ist daher nicht überraschend, dass die bekannten Rechenregeln -auch für Polynome gelten. +Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ mit den beschriebenen +Operationen ist ein Ring. Das Distributivgesetz +\index{Distributivgesetz}% \[ p(X)(u(X)+v(X)) = p(X)u(X) + p(X)v(X) \qquad @@ -152,6 +121,7 @@ p(X)(u(X)+v(X)) = p(X)u(X) + p(X)v(X) \] zum Beispiel sagt ja nichts anderes, als dass man ausmultiplizieren kann. +\index{ausmultiplizieren}% Oder die Assoziativgesetze \begin{align*} p(X)+q(X)+r(X) @@ -178,6 +148,7 @@ Reihenfolge man die Additionen oder Multiplikationen ausführt. \begin{definition} Der {\em Grad} eines Polynoms $p(X)$ ist die höchste Potenz von $X$, die im Polynom vorkommt. +\index{Grad eines Polynoms}% Das Polynom \[ p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots a_1X + a_0 @@ -219,10 +190,12 @@ $\deg(\lambda p) \le \deg\lambda + \deg p$. \begin{proof}[Beweis] Wir schreiben die Polynome wieder in der Form -\begin{align*} +\[ +\begin{aligned} p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0&&\Rightarrow&\deg p&=n\\ q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0&&\Rightarrow&\deg q&=m. -\end{align*} +\end{aligned} +\] Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht weiter oben sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}. @@ -230,48 +203,15 @@ Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht weiter oben als bei $n+m$ liegen, dies beweist beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}. -Es könnte aber passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich, +In einem Ring mit Nullteilern +(Siehe Definition~\ref{buch:grundlagen:def:nullteiler}) +könnte es passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich, dass der Grad kleiner ist. Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist. \end{proof} -Etwas enttäuschend an diesen Rechenregeln ist, dass der Grad eines -Produktes nicht exakt die Summe der Grade hat. -Der Grund ist natürlich, dass es in gewissen Ringen $R$ passieren kann, -dass das Produkt $a_n\cdot b_m=0$ ist. -Zum Beispiel ist im Ring der $2\times 2$ Matrizen das Produkt der Elemente -\begin{equation} -a_n = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} -\quad\text{und}\quad -b_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} -\qquad\Rightarrow\qquad -a_nb_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. -\label{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel} -\end{equation} -Diese unangehme Situation tritt immer ein, wenn es von Null verschiedene -Elemente gibt, deren Produkt $0$ ist. -In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen Fall also nicht -einfach ausschliessen. -In den Zahlenmengen wie $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ passiert -das natürlich nie. - -\begin{definition} -Ein Ring $R$ heisst {\em nullteilerfrei}, wenn für zwei Elemente -$a,b\in R$ aus $ab=0$ immer geschlossen werden kann, dass -$a=0$ oder $b=0$. -Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst Nullteiler, -wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $ab=0$. -\index{Nullteiler} -\index{nullteilerfrei} -\end{definition} - -Die beiden Matrizen in -\eqref{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel} -sind Nullteiler im Ring $M_2(\mathbb{Z})$ der $2\times 2$-Matrizen. -Der Matrizenring $M_2(\mathbb{Z})$ ist also nicht nullteilerfrei. - In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad jetzt exakt: @@ -381,6 +321,7 @@ R^{(k+l)}[X]. Im Ring der ganzen Zahlen sind nicht alle Divisionen ohne Rest ausführbar, so entsteht das Konzept der Teilbarkeit. Der Divisionsalgorithmus, den man in der Schule lernt, liefert +\index{Divisionsalgorithmus}% zu beliebigen ganzen Zahlen $a,b\in\mathbb{Z}$ den Quotienten $q$ und den Rest $r$ derart, dass $a=qb+r$. Der Algorithmus basiert auf der Zehnersystemdarstellung @@ -399,11 +340,12 @@ b &= b_mX^{n} + b_{m-1}X^{n-1} + \dots + b_1X^{1} + b_0, \end{align*} mit dem einzigen Unterschied, dass statt $X$ mit der festen Zahl $X=10$ gearbeitet wird. -Der Teilungsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht +Der Divisionsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht rekonstruieren. \subsubsection{Polynomdivision} Wir zeigen den Polynomdivisionsalgorithmus an einem konkreten Beispiel. +\index{Polynomdivision}% Gesucht sind Quotient $q\in \mathbb{Z}[X]$ und Rest $r\in\mathbb{Z}[X]$ der beiden Polynome \begin{equation} @@ -427,7 +369,7 @@ X^4&-& X^3&-&7X^2&+& X&+&6&:&X^2&+&X&+&1&=&X^2&-&2X&-&6=q\\ & & & & & &9X&+&12\rlap{$\mathstrut=r$}& & & & & & & & & & & & \\ \cline{7-9} \end{array} \] -Durch nachrechnen kann man überprüfen, dass tatsächlich +Durch Nachrechnen kann man überprüfen, dass tatsächlich \begin{align*} bq &= @@ -445,7 +387,7 @@ Jedes für $q$ in Frage kommende Polynom vom Grad $2$ muss von der Form $q=q_2X^2+q_1X+q_0$ sein. Multipliziert man mit $b$, erhält man $bq=2q_2X^4 + (2q_1+q_2)X^3+\dots$. Insbesondere ist es nicht möglich mit ganzzahligen Quotienten -$q_k\in\mathbb{Z}$ auch nur der ersten Koeffizienten von $a$ zu +$q_k\in\mathbb{Z}$ auch nur den ersten Koeffizienten von $a$ zu erhalten. Dazu müsste nämlich $a_n = 1 = 2q_2$ oder $q_2 = \frac12\not\in\mathbb{Z}$ sein. @@ -454,7 +396,7 @@ Division durch den führenden Koeffizienten des Divisorpolynomes $b$ immer ausführbar ist. Im Beispiel~\eqref{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe} war das der Fall, weil der führende Koeffizient $1$ war. -Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist das aber nur der Fall, +Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist dies aber nur dann immer der Fall, wenn die Koeffizienten in Tat und Wahrheit einem Körper entstammen. Im Folgenden betrachten wir daher nur noch Polynomringe mit Koeffizienten @@ -494,6 +436,7 @@ $f=qg+r$, wobei ausserdem $\deg r<\deg g$ ist. \begin{definition} Ein {\em euklidischer Ring} $R$ ist ein nullteilerfreier Ring mit einer +\index{euklischer Ring}% Gradfunktion $\deg\colon R\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$ mit folgenden Eigenschaften \begin{enumerate} @@ -520,10 +463,12 @@ zerlegt werden. \subsubsection{Irreduzible Polynome} Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in den Polynomring übertragen. +\index{Primzahl}% \begin{definition} -Ein Polynom $f\in R[X]$ heisst irreduzibel, es keine Faktorisierung $f=gh$ -in Faktoren $g,h\in R[X]$ mit $\deg(g)>0$ und $\deg(h) >0$. +Ein Polynom $f\in R[X]$ heisst irreduzibel, wenn es keine Faktorisierung $f=gh$ +in Faktoren $g,h\in R[X]$ mit $\deg(g)>0$ und $\deg(h) >0$ gibt. +\index{irreduzibles Polynom}% \end{definition} \begin{beispiel} @@ -540,7 +485,7 @@ x_i = -\frac{b}2\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c} \] gefunden werden. Die Faktorisierung ist also genau dann möglich, wenn $b^2/4-c$ ein -Quadrat in $\mathbb{Q}$. +Quadrat in $\mathbb{Q}$ ist. In $\mathbb{R}$ ist das Polynom faktorisierbar, wenn $b^2-4c\ge 0$ ist. In $\mathbb{C}$ gibt es keine Einschränkung, die Wurzel zu ziehen, in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome im Grad $2$. @@ -572,12 +517,3 @@ eindeutig sind. \end{satz} -% -% Abschnitt über formale Potenzreihen -% -\subsection{Formale Potenzreihen -\label{buch:subsection:polynome:potenzreihen}} -XXX TODO - - - diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex index 408587d..0743592 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex @@ -25,14 +25,14 @@ a_{n-1}\\ a_{n} \end{pmatrix} \in -R^n. +R^{n+1}. \] Diese Darstellung eines Polynoms gibt auch die Addition von Polynomen und die Multiplikation von Polynomen mit Skalaren aus $R$ korrekt wieder. Die Abbildung von Vektoren auf Polynome \[ \varphi -\colon R^n \to R[X] +\colon R^{n+1} \to R[X] : \begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} \mapsto @@ -52,7 +52,7 @@ Die Abbildung $\varphi$ ist also ein Isomorphismus \varphi \colon \{p\in R[X]\;|\; \deg(p) \le n\} -\overset{\equiv}{\to} +\overset{\cong}{\to} R^{n+1} \] zwischen der Menge @@ -93,7 +93,7 @@ mit der Eigenschaft, dass die Komponenten mit Indizes $m+1,\dots n$ verschwinden. Polynome vom Grad $m<n$ bilden einen Unterraum der Polynome vom Grad $n$. Wir können auch die $m+1$-dimensionalen Vektoren in den $n+1$-dimensionalen -Vektoren einbetten, indem wir die Vektoren durch ``auffüllen'' mit Nullen +Vektoren einbetten, indem wir die Vektoren durch ``Auffüllen'' mit Nullen auf die richtige Länge bringen. Es gibt also eine lineare Abbildung \[ @@ -108,25 +108,25 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots \end{pmatrix} . \] -Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber +Die Moduln $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring $R[X]$ abgebildet werden. \begin{center} -\begin{tikzcd} -\{0\}\ar[r] %\arrow[d,"\varphi"] - &R \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] - &R^2 \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] +\begin{tikzcd}[>=latex] +R \ar[r] \arrow[d, "\varphi"] + &R^2 \ar[r] \arrow[d, "\varphi"] + &R^3 \ar[r] \arrow[d, "\varphi"] &\dots \ar[r] - &R^k \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] - &R^{k+1} \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] + &R^k \ar[r] \arrow[d, "\varphi"] + &R^{k+1} \ar[r] \arrow[d, "\varphi"] &\dots \\ R^{(0)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drrr,hook] &R^{(1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drr,hook] &R^{(2)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dr,hook] &\dots\arrow[r,hook] - &R^{(k)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dl,hook] - &R^{(k+1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dll,hook] + &R^{(k-1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dl,hook] + &R^{(k)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dll,hook] &\dots \\ & @@ -137,10 +137,115 @@ R^{(0)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drrr,hook] & \end{tikzcd} \end{center} +In diesem Sinne können wir $R^m$ für $m<n$ als Teilmenge von $R^n$ betrachten +und $R^\infty$ als deren Vereinigung definieren. +Polynome in $R[X]$ sind also Vektoren beliebiger Länge mit Kompoenten +in $R$. + \subsection{Multiplikative Struktur \label{buch:subsection:polynome:multiplikativestruktur}} +Den Polynomring $R[X]$ aus den Vektoren $R^{k}$ aufzubauen, bedeutet, +dass wir die multiplikative Struktur ignorieren. +Augrund der Rechenregeln für das Symbol $X$ können wir $X$ als einen +Multiplikationsoperator +\[ +{X\cdot} +\colon R^{m} \to R^{n} +: +\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\\vdots\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix}0\\a_0\\a_1\\\vdots\end{pmatrix} +\] +betrachten. +Diese Operatoren setzen sich zusammen zu einem Operator +\[ +{X\cdot} \colon R^\infty \to \infty, +\] +der die Multiplikation mit $X$ beschreibt. +Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation +in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben. +Die Potenz $X^k$ wird durch $k$-fache Iteration des Operators +$X\cdot$. +Das Polynom $p(X)$ wird durch Linearkombination, entspricht +also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$ +in das Polynom erhalten kann: +\[ +p(X\cdot) += +a_n(X\cdot)^n + a_{n-1}(X\cdot)^{n+1} + \dots + a_1(X\cdot) + a_0 +\colon +R^\infty \to R^\infty +: +q(X) +\mapsto +p(X)q(X). +\] +Man kann den Operator $X\cdot$ oder den iterierten Operator +$(X\cdot)^k$ auch in Matrixform darstellen: +\begin{align*} +{X\cdot} +&= +\begin{pmatrix} +0&0&0&0&\dots\\ +1&0&0&0&\dots\\ +0&1&0&0&\dots\\ +0&0&1&0&\dots\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots +\end{pmatrix} +& +(X\cdot)^k +&= +\begin{pmatrix} + 0 & 0 & 0 & 0 &\dots\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\ + 0 & 0 & 0 & 0 &\dots\\ + 1 & 0 & 0 & 0 &\dots\\ + 0 & 1 & 0 & 0 &\dots\\ + 0 & 0 & 1 & 0 &\dots\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots +\end{pmatrix}. +\end{align*} +In der Matrix für $(X\cdot)^k$ steht die erste $1$ auf der +$k+1$-ten Zeile. +Der zum Polynom $p(X)$ gehörige Operator $p(X\cdot)$ bekommt +damit die Matrix +\[ +p(X\cdot) += +\begin{pmatrix} +a_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ +a_1 &a_0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ +a_2 &a_1 & a_0 & 0 & 0 & \dots \\ +a_3 &a_2 & a_1 & a_0 & 0 & \dots \\ +a_4 &a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & \dots \\ +\vdots &\vdots &\vdots&\vdots&\vdots&\ddots +\end{pmatrix}. +\] +Da die Matrix-Operation als Produkt +$\text{Zeile}\times\text{Spalte}$ ausgeführt wird, +kann man erkennen, dass das Polynomprodukt auch auf +eine Faltung hinausläuft. +Die wichtigste Lehre aus obigen Ausführungen aber ist +die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra +wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise auf +abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem +geeigneten Vektorraum. +Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche'' +Matrizen, in zukünftigen Beispielen werden wir das +selbe Prinzip jedoch in Aktion sehen in Situationen, +wo eine Operation auf einem endlichen Vektorraum +und ``gewöhnliche'' Matrizen entstehen. +Die Möglichkeit, beliebige Polynome solcher Operatoren +zu berechnen, erlaubt uns, mehr über den Operator +herauszufinden - +Dies eröffnet vielfältige Möglichkeiten, auf einfachere +Art mit den Operatoren zu rechnen. +In Kapitel~\ref{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren} +wird sich daraus eine Reihe von Normalformen einer Matrix +ergeben sowie die Möglichkeit, für viele Matrizen $A$ +die Matrix $f(A)$ für eine grosse Zahl von praktisch +interessanten Funktionen $f(z)$ zu berechnen. diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex index 1a0a323..b4c602e 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex @@ -8,13 +8,14 @@ \lhead{Endliche Körper} \rhead{} Aus den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ entsteht ein Körper, indem wir Brüche -bilden alle von $0$ verschiedenen Nenner zulassen. +bilden und dabei alle von $0$ verschiedenen Nenner zulassen. Der Körper der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ enthält unendliche viele Zahlen und hat zusätzlich die sogenannte archimedische Eigenschaft, nämliche dass es zu zwei positiven rationalen Zahlen $a$ und $b$ immer eine ganze Zahl $n$ gibt derart, dass $na>b$. Dies bedeutet auch, dass es in den rationalen Zahlen beliebig grosse Zahlen gibt. + Man kann aus den ganzen Zahlen aber auch eine Reihe von Körpern ableiten, die diese Eigenschaft nicht haben. Nicht überraschend werden die ersten derartigen Körper, die wir diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex index 0bf3016..a75046f 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex @@ -8,18 +8,33 @@ \rhead{Der euklidische Algorithmus} Der euklidische Algorithmus bestimmt zu zwei gegebenen ganzen Zahlen $a$ und $b$ den grössten gemeinsamen Teiler $g$. -Zusätzlich findet er ganze Zahlen $s$ und $t$ derart, dass + +\begin{definition} +\label{buch:endliche-koerper:def:ggt} +Der grösste gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ ist die grösste +ganze Zahl $g$, die sowohl $a$ als auch $b$ teilt: $g|a$ und +$g|b$. +\index{grösster gemeinsamer Teiler}% +\index{ggT}% +\end{definition} + +Zusätzlich findet der euklidische Algorithmus ganze Zahlen $s$ +\index{euklidischer Algorithmus}% +und $t$ derart, dass \[ sa + tb = g. \] In diesem Abschnitt soll der Algorithmus zunächst für ganze Zahlen vorgestellt werden, bevor er auf Polynome verallgemeinert und dann in Matrixform niedergeschrieben wird. +Die Matrixform ermöglicht, einfach zu implementierende iterative +Algorithmen für die Zahlen $s$ und $t$ un später auch für die +Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu finden. % % Der euklidische Algorithmus für ganze Zahlen % -\subsection{Ganze Zahlen} +\subsection{Grösster gemeinsamer Teiler ganzer Zahlen} Gegeben sind zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ und wir dürfen annehmen, dass $a\ge b$. Gesucht ist der grösste gemeinsame Teiler $g$ von $a$ und $b$. @@ -55,11 +70,11 @@ neuen Quotienten $q_1$ und einen neuen Rest $r_1$ liefert mit $a_1-q_1b_1=r_1$. So entstehen vier Folgen von Zahlen $a_k$, $b_k$, $q_k$ und $r_k$ derart, dass in jedem Schritt gilt \begin{align*} -a_k - q_kb_k &= r_k & g&|a_k & g&|b_k & a_k &= b_{k-1} & b_k = r_{k-1} +a_k - q_kb_k &= r_k & g&|a_k & g&|b_k & a_k &= b_{k-1} & b_k = r_{k-1}. \end{align*} Der Algorithmus bricht im Schritt $n$ ab, wenn $r_{n+1}=0$. Der letzte nicht verschwindende Rest $r_n$ muss daher der grösste gemeinsame -Teiler sein: $g=r_n$. +Teiler $g$ von $a$ und $b$ sein: $g=r_n$. \begin{beispiel} \label{buch:endlichekoerper:beispiel1} @@ -131,7 +146,7 @@ In jedem Schritt arbeitet man mit zwei ganzen Zahlen $a_k$ und $b_k$, die wir als zweidimensionalen Spaltenvektor betrachten können. Der Algorithmus macht aus $a_k$ und $b_k$ die neuen Zahlen $a_{k+1} = b_k$ und $b_{k+1} = r_k = a_k - q_kb_k$, dies -kann man als +kann man als die Matrixoperation \[ \begin{pmatrix} a_{k+1} \\ b_{k+1} \end{pmatrix} = @@ -143,7 +158,7 @@ kann man als schreiben. Der Algorithmus bricht ab, wenn die zweite Komponente des Vektors $=0$ ist, in der ersten steht dann der grösste gemeinsame Teiler. -Hier ist die Durchführung des Algorithmus in Matrix-Schreibweise: +Hier die Durchführung des Algorithmus in Matrix-Schreibweise: \begin{align*} \begin{pmatrix} 23205 \\ 6800 \end{pmatrix} &= @@ -196,16 +211,16 @@ beschreiben. \begin{algorithmus}[Euklid] \label{lifting:euklid} -Der Algorithmus operiert auf zweidimensionalen Zustandsvektoren +Der Algorithmus operiert auf zweidimensionalen Vektoren $x\in\mathbb Z^2$ wie folgt: \begin{enumerate} -\item Initialisiere den Zustandsvektor mit den ganzen Zahlen $a$ und $b$: -$\displaystyle x = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ +\item Initialisiere den Vektor mit den ganzen Zahlen $a$ und $b$: +$\displaystyle x = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ \item Bestimme den Quotienten $q$ als die grösste ganze Zahl, für die $qx_2\le x_1$ gilt. -\item Berechne den neuen Zustandsvektor als $Q(q)x$. -\item Wiederhole Schritte 2 und 3 bis die zweite Komponente des Zustandsvektors +\item Berechne den neuen Vektor als $Q(q)x$. +\item Wiederhole Schritte 2 und 3 bis die zweite Komponente des Vektors verschwindet. Die erste Komponente ist dann der gesuchte grösste gemeinsame Teiler. \end{enumerate} @@ -319,13 +334,11 @@ Q(q) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -q \end{pmatrix} \] lässt sich mit genau einer Multiplikation und einer Addition berechnen. -Dies ist die Art von Matrix, die wir für die Implementation der -Wavelet-Transformation anstreben. % % Vereinfachte Durchführung des euklidischen Algorithmus % -\subsection{Vereinfachte Durchführung +\subsection{Iterative Durchführung des erweiterten euklidischen Algorithmus \label{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise}} Die Durchführung des euklidischen Algorithmus mit Hilfe der Matrizen $Q(q_k)$ ist etwas unhandlich. @@ -334,7 +347,7 @@ dargestellt werden, die leichter als Programm zu implementieren ist. In Abschnitt~\ref{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise} wurde gezeigt, dass das Produkt der aus den Quotienten $q_k$ gebildeten -Matrizen $Q(q_k)$ berechnet werden müssen. +Matrizen $Q(q_k)$ berechnet werden muss. Dazu beachten wir zunächst, dass die Multiplikation mit der Matrix $Q(q_k)$ die zweite Zeile in die erste Zeile verschiebt: \[ @@ -357,7 +370,7 @@ u-q_kc&v-q_kd \] Die Matrizen \[ -Q_k = Q(q_k)Q(q_{k-1})\dots Q(q_0) +Q_k = Q(q_k)Q(q_{k-1})\cdots Q(q_0) \] haben daher jeweils für aufeinanderfolgende Werte vo $k$ eine Zeile gemeinsam. @@ -419,7 +432,7 @@ gesetzt werden muss. Mit diesen Notationen kann man den Algorithmus jetzt in der früher verwendeten Tabelle durchführen, die man um die zwei -Spalten $c_k$ und $d_k$ hinzufügt und die Werte in dieser +Spalten $c_k$ und $d_k$ erweitert und die Werte in dieser Spalte mit Hilfe der Rekursionsformeln~\eqref{buch:endlichekoerper:eqn:cdrekursion} aus den initialen Werten~\eqref{buch:endlichekoerper:eqn:cdinitial} @@ -428,7 +441,7 @@ berechnet. \begin{beispiel} Wir erweitern das Beispiel von Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel1} zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers von $76415$ und $23205$ -zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$ +um die Spalten zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$ Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle: \begin{center} \label{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert} @@ -503,7 +516,7 @@ Tabelle vertauscht wurden. % % Der euklidische Algorithmus für Polynome % -\subsection{Polynome} +\subsection{Grösster gemeinsare Teiler von Polynomen} Der Ring $\mathbb{Q}[X]$ der Polynome in der Variablen $X$ mit rationalen Koeffizienten\footnote{Es kann auch ein beliebiger anderer Körper für die Koeffizienten verwendet werden. @@ -579,7 +592,7 @@ ta+sb (X^4+X^3-7X^2-X+6) \\ &= --4X^2+4X+8 +-4X^2+4X+8, \end{align*} und dies ist tatsächlich der gefundene grösste gemeinsame Teiler. Die zweite Zeile von $Q$ gibt uns die Polynomfaktoren, mit denen @@ -621,6 +634,8 @@ $ua-vb = ab/g - ab/g = 0$, wie erwartet. % \subsection{Das kleinste gemeinsame Vielfache \label{buch:subsection:daskgv}} +\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches}% +\index{kgV}% Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen $a$ und $b$ ist \[ \operatorname{kgV}(a,b) @@ -631,8 +646,8 @@ Wir suchen nach einen Algorithmus, mit dem man das kleinste gemeinsame Vielfache effizient berechnen kann. Die Zahlen $a$ und $b$ sind beide Vielfache des grössten gemeinsamen -Teilers $g=\operatorname{ggT}(a,b)$, es gibt also Zahlen $u$ und $v$ derart, -dass $a=ug$ und $b=vg$. +Teilers $g=\operatorname{ggT}(a,b)$. +Es gibt daher Zahlen $u$ und $v$ derart, dass $a=ug$ und $b=vg$. Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $u$ und $v$ ist, dann ist $tg$ ein grösserer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$. Dies kann nicht sein, also müssen $u$ und $v$ teilerfremd sein. @@ -641,6 +656,7 @@ Die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist also gleichbedeutend mit der Bestimmung der Zahlen $u$ und $v$. Die definierende Eigenschaften von $u$ und $v$ kann man in Matrixform als +\index{Matrixform des kgV-Algorithmus}% \begin{equation} \begin{pmatrix} a\\b @@ -669,7 +685,7 @@ Algorithmus beschreiben, ergeben ihn als \operatorname{ggT}(a,b)\\0 \end{pmatrix} = -Q(q_n)Q(q_{n-1}) \dots Q(q_1)Q(q_0) +Q(q_n)Q(q_{n-1}) \cdots Q(q_1)Q(q_0) \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}. \] Indem wir die Matrizen $Q(q_n)$ bis $Q(q_0)$ auf die linke Seite der @@ -679,7 +695,7 @@ Gleichung schaffen, erhalten wir = Q(q_0)^{-1} Q(q_1)^{-1} -\dots +\cdots Q(q_{n-1})^{-1} Q(q_n)^{-1} \begin{pmatrix}\operatorname{ggT}(a,b)\\0\end{pmatrix}. @@ -692,15 +708,14 @@ K = Q(q_0)^{-1} Q(q_1)^{-1} -\dots +\cdots Q(q_{n-1})^{-1} Q(q_n). \] Insbesondere ist die Matrix $K$ die Inverse der früher gefundenen Matrix $Q$. -Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht sehr -effizient. +Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht schwierig. Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen $Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben. @@ -709,7 +724,7 @@ Schreiben wir die gesuchte Matrix \[ K_k = -Q(q_0)^{-1}\dots Q(q_{k-1})^{-1} +Q(q_0)^{-1}\cdots Q(q_{k-1})^{-1} = \begin{pmatrix} e_k & e_{k-1}\\ @@ -825,13 +840,12 @@ va \] \end{beispiel} +\subsection{Kleinstes gemeinsames Vielfaches von Polynomen} Der erweiterte Algorithmus kann auch dazu verwendet werden, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Polynome zu berechnen. Dies wird zum Beispiel bei der Decodierung des Reed-Solomon-Codes in Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} verwendet. -\subsubsection{Polynome -\label{buch:endlichekoerper:eqn:polynomkgv}} Im Beispiel auf Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:eqn:polynomggt} wird der grösste gemeinsame Teiler der Polynome \[ @@ -844,6 +858,8 @@ b = X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6 berechnet. Dies kann jetzt erweitert werden für die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. +\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches von Polynomen}% +\index{kgV von Polynomen}% \begin{beispiel} Die Berechnungstabelle nur für die Spalten $e_k$ und $f_k$ ergibt @@ -890,8 +906,9 @@ Daraus ergibt sich das kleinste gemeinsame Vielfache auf zwei verschiedene Weise Die beiden Berechnungsmöglichkeiten stimmen wie erwartet überein. \end{beispiel} -\subsubsection{Anwendung: Decodierung des Reed-Solomon-Codes} +\subsection{Anwendung: Decodierung des Reed-Solomon-Codes} Der Reed-Solomon-Code verwendet Polynome zur Codierung der Daten, +\index{Reed-Solomon-Code}% dies wird in Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} im Detail beschrieben. Bei der Decodierung muss der Faktor $u$ für zwei gegebene Polynome $n(X)$ und $r(X)$ bestimmt werden. @@ -902,6 +919,7 @@ Algorithmus braucht. Daraus lässt sich genügend Information gewinnen, um die Faktoren $u$ und $v$ zu bestimmen. Das Video \url{https://youtu.be/uOLW43OIZJ0} von Edmund Weitz +\index{Weitz, Edmund} erklärt die Theorie hinter dieser Teilaufgabe anhand von Beispielen. \begin{beispiel} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex index c7147bf..7ffef0b 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex @@ -9,11 +9,11 @@ \rhead{Galois-Körper} Ein Körper $\Bbbk$ enthält mindestens die Zahlen $0$ und $1$. Die Null ist nötig, damit $\Bbbk$ eine Gruppe bezüglich der -Addition ist, die immer ein neutrales Element, geschrieben $0$ +Addition ist, die immer ein neutrales Element, geschrieben $0$, enthält. Die Eins ist nötig, damit $\Bbbk^*=\Bbbk\setminus\{0\}$ eine Gruppe bezüglich der Multiplikation ist, die immer eine neutrales -Element, geschrieben $1$ enthält. +Element, geschrieben $1$, enthält. Durch wiederholte Addition entstehen auch die Zahlen $2=1+1$, $3=2+1$ und so weiter. Es sieht also so aus, als ob ein Körper immer unendliche viele @@ -21,6 +21,8 @@ Elemente enthalten müsste. Wie können also endliche Körper entstehen? In diesem Abschnitt sollen die sogenannten Galois-Körper $\mathbb{F}_p$ +\index{Galois-Körper}% +\index{Fp@$\mathbb{F}_p$}% mit genau $p$ Elementen konstruiert werden, die es für jede Primzahl $p$ gibt. Sie sind die Basis für weitere endliche Körper, die eine beliebige Primzahlpotenz $p^n$ von Elementen haben und die die Basis wichtiger @@ -51,6 +53,7 @@ Zahlen $\{0,1,2,\dots,n-1\}$ identifiziert werden kann. \begin{definition} Die Zahlen $a,b\in\mathbb{Z}$ heissen {\em kongruent modulo $n$}, +\index{kongruent modulo $n$}% geschrieben \[ a\equiv b\mod n, @@ -60,6 +63,7 @@ wenn $a-b$ durch $n$ teilbar ist, also $n|(a-b)$. Die Zahlen mit gleichem Rest sind Äquivalenzklassen der Kongruenz modulo $n$. Die Zahlen mit Rest $k$ modulo $n$ bilden die {\em Restklasse} +\index{Restklasse}% \[ \llbracket k\rrbracket=\{\dots,k-2n,k-n,k,k+n,k+2n,\dots\} \subset\mathbb{Z}. \] @@ -90,7 +94,7 @@ Tatsächlich kann man auf den Restklassen eine Ringstruktur definieren. Dazu muss man sicherstellen, dass die Auswahl eines Repräsentanten keinen Einfluss auf den Rest hat. Der Rest $a$ kann jede Zahl der Form $a+kn$ darstellen. -Ebenso kann der Rest $b$ jede zahl der Form $b+ln$ darstellen. +Ebenso kann der Rest $b$ jede Zahl der Form $b+ln$ darstellen. Deren Summe ist $a+b+(k+l)n\equiv a+b\mod n$. Der Repräsentant des Restes hat also keinen Einfluss auf die Summe. @@ -121,8 +125,9 @@ Insbesondere darf kein Produkt $a\cdot b$ mit Faktoren in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \setminus \{\llbracket0\rrbracket\}$ zu Null werden. Für $n=15$ funktioniert dies nicht, das Produkt $3\cdot 5\equiv 0\mod 15$. -Man nennt von Null verschiedene Faktoren, deren Produkt Null ist, einen -{\em Nullteiler}. +Wir kommen daher zu der Forderung, dass der Ring $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ +nur dann ein Körper sein kann, wenn er nullteilerfrei ist. + Falls sich $n=p_1\cdot p_2$ in zwei Faktoren zerlegen lässt, dann sind $p_1$ und $p_2$ Nullteiler in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Ein Körper kann also nur entstehen, wenn $n$ eine Primzahl ist. @@ -130,7 +135,9 @@ Ein Körper kann also nur entstehen, wenn $n$ eine Primzahl ist. \begin{definition} \label{buch:endlichekoerper:def:galois-koerper} Ist $p$ eine Primzahl, dann heisst $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ +\index{Primzahl}% der Galois-Körper der Ordnung $p$. +\index{Galois-Körper}% \end{definition} Diese Definition ist nur gerechtfertigt, wenn $\mathbb{F}_p^*$ tatsächlich @@ -152,6 +159,7 @@ lösen kann, wenn die beiden gegebenen Zahlen $a$ und $p$ teilerfremd sind. Dies ist aber dadurch garantiert, dass $p$ eine Primzahl ist und $1\le a <p$. Die multiplikative Inverse von $a$ in $\mathbb{F}_p^*$ kann also mit Hilfe des euklidischen Algorithmus effizient gefunden werden. +\index{multiplikative Inverse in $\mathbb{F}_p$}% \begin{beispiel} Die kleinste Primzahl grösser als $2021$ ist $p=2063$. @@ -210,6 +218,8 @@ Inverse von $2021$ in $\mathbb{F}_{2063}$. \end{beispiel} \subsubsection{Der kleine Satz von Fermat} +\index{Fermat, kleiner Satz von}% +\index{kleiner Satz von Fermat}% In $\mathbb{Z}$ wachsen die Potenzen einer Zahl immer weiter an. In einem endlichen Körper kann dies nicht gelten, da nur endlich viele Werte zur Verfügung stehen. @@ -221,6 +231,22 @@ die Potenz mit Exponent $p$ muss also mit einer früheren Potenz Der kleine Satz von Fermat sagt etwas genauer: die $p$-te Potenz von $a$ ist genau die Zahl $a$: +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.pdf} +\caption{$G$ ist die Menge aller verschiedenfarbigen geschlossenen +Perlenketten mit $p$ Perlen und $a$ Farben. +$A$ ist die Menge aller linearen verschiedenfarbigen Ketten. +Die Abbildung $s_i$ schneidet die Ketten an der Stelle $i$ auf, +dadurch entstehen die Menge $A_i$, verschiedenfarbigen linearen +Ketten der Länge $p$ mit $a$ Farben. +Die Abbildungen $s_i$ sind injektiv, die Mengen $A_i$ haben alle +die gleiche Anzahl Elemente. +Genau dann ist $|A|$ durch $p$ teilbar, wenn die Mengen $A_i$ +disjunkt sind. +\label{buch:endliche-koerper:fig:fermat}} +\end{figure} + \begin{satz}[Kleiner Satz von Fermat] \label{buch:endliche-koerper:satz:fermat} In $\mathbb{F}_p$ gilt $a^p=a$ für alle $a\in\mathbb{F}_p^*$. @@ -237,10 +263,10 @@ $p$ eine Primzahl ist. \begin{proof}[Beweis] Wir müssen zeigen, dass $p$ ein Teiler ist von $a^p-a$. Das nachfolgende kombinatorische Argument wird zum Beispiel -von Mathologor auf seinem Youtube-Kanal im Video +von Mathologer auf seinem Youtube-Kanal im Video \url{https://youtu.be/_9fbBSxhkuA} illustriert. -Zum Beiweis interpretieren wir die vorkommenden Zahlen kombinatorisch. +Zum Beweis interpretieren wir die vorkommenden Zahlen kombinatorisch. Die Zahl $a^p$ ist die Anzahl der verschiedenen Perlenketten der Länge $p$, die sich aus Glasperlen mit $a$ verschiedenen Farben herstellen lassen. @@ -248,26 +274,52 @@ Davon bestehen $a$ Perlenketten aus nur einer einzigen Farbe. Die Zahl $a^p-a$ ist also die Anzahl der Perlenketten der Länge $p$ aus Glasperlen mit $a$ verschiedenen Farben, die mindestens zwei verschiedene Farben verwenden. +Wir bezeichnen die Menge der nicht einfarbigen Perlenketten der +Länge $p$ mit $a$ Farben mit $A$. +Es ist $|A|=a^p-a$. + +Zu sagen, dass $a^p-a$ durch $p$ teilbar ist, ist gleichbedeutend +damit, dass die Menge der Perlenkette in $p$ +disjunkte, gleichmächtige Mengen aufgeteilt werden kann. +Es ist also zu zeigen, dass sich die Menge $A$ genau dann in +disjunkte gleichmächtige Mengen zerlegen lässt, wenn $p$ eine +Primzahl ist. + +Wir betrachten dazu die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen +Perlenketten der Länge $p$ mit $a$ Farben. +Einge dieser Perlenketten unterscheiden sich nur durch eine +Drehung um einzelne Perlen. +Sei $G$ die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen +Perlenketten, die sich nicht nur um eine Drehung unterscheiden. + +Die Abbildung $s_i\colon G\to A$ +in Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:satz:fermat} +schneidet die Perlenkette in $G$ an der Stelle $i$ auf. +Diese Abbildungen sind ganz offensichtlich injektiv. +Die Bildmengen $A_i = s_i(G)$ haben daher alle gleich +viele Elemente wie $G$: $|A_i|=|G|$. + +Da jede lineare Perlenkette in $A$ durch geeignetes Aufschneiden +einer geschlossenen Perlenkette in $G$ entsteht, ist +\[ +A=\bigcup_{i=1}^p A_i. +\] -Wir stellen jetzt die Frage nach der Anzahl der geschlossenen -Perlenketten der Länge $p$ als Glasperlen in $a$ verschiedenen Farben. -Aus jeder geschlossenen Perlenkette lassen sich $p$ Perlenketten machen, -indem man sie an einer der $p$ Trennstellen zwischen Perlen aufteilt. - -Wir müssen uns noch überlegen, unter welchen Voraussetzungen -alle diese möglichen Auftrennungen zu verschiedenen Perlenketten -führen. -Zwei Trennstellen, die $k$-Perlen auseinander liegen, führen nur dann -zur gleichen Perlenkette, wenn die geschlossenen Ketten durch Drehung -um $k$ Perlen ineinander übergehen. -Dies bedeutet aber auch, dass sich das Farbmuster alle $k$-Perlen -wiederholen muss. -Folglich ist $k$ ein Teiler von $p$. -$p$ verschiedene Perlenketten entstehen also immer genau dann, wenn $p$ +Wir müssen jetzt nur noch untersuchen, unter welchen Bedingungen +die Mengen $A_i$ disjunkt sind. +Zwei Mengen $A_i$ und $A_j$ enthalten genau dann eine +gemeinsame Perlenkette, wenn es eine geschlossene Kette in $G$ +gibt, die beim Aufschneiden an den Stellen $i$ und $j$ die +gleiche Kette ergeben. +Dies bedeutet, dass sich die Farben zwischen $i$ und $j$ nach +der Stelle $j$ wiederholen. +Die Mengen sind also genau dann nicht disjunkt, wenn es +peridische Ketten gibt mit einer Periode $k<p$. + +Da die Periode einer periodischen Kette ein Teiler von $p$ +ist, gibt es genau dann keine periodischen Ketten, wenn $p$ eine Primzahl ist. - -Wir schliessen daraus, dass $a^p-a$ durch $p$ teilbar ist, genau dann, -wenn $p$ eine Primzahl ist. +Damit ist die Behauptung gezeigt. \end{proof} Der kleine Satz von Fermat kann auch dazu verwendet werden, Potenzen @@ -302,6 +354,8 @@ Sie ist zwar nicht unbedingt einfacher, aber manchmal nützlich für theoretische Überlegungen. \begin{satz}[Wilson] +\index{Wilson, Satz von}% +\index{Satz von Wilson}% Die ganze Zahl $p\ge 2$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $(p-1)!\equiv -1\mod p$. \end{satz} @@ -341,7 +395,7 @@ die Behauptung des Satzes. \end{proof} Mit dem Satz von Wilson kann man die Inverse einer beliebigen Zahl -$a\in\mathbb{F}_p$ finden. +$a\in\mathbb{F}_p$ wie folgt finden. Dazu verwendet man, dass $a$ einer der Faktoren in $(p-1)!$ ist. Lässt man diesen Faktor weg, erhält man eine Zahl \[ @@ -390,6 +444,7 @@ der Körper $\mathbb{F}_p$ in $\Bbbk$ enthalten sein muss. Dies ist der kleinste Teilkörper, der in $\Bbbk$ enthalten ist. \begin{definition} +\index{Primkörper} Der kleinste Teilkörper eines Körpers $\Bbbk$ heisst der {\em Primkörper} von $\Bbbk$. \end{definition} @@ -398,7 +453,8 @@ Der Primkörper erlaubt jetzt, die Charakteristik eines Körpers $\Bbbk$ zu definieren. \begin{definition} -Die Charakteristik eines Körpers $\Bbbk$ ist $p$, wenn der Primkörper +\index{Charakteristik}% +Die {\em Charakteristik} eines Körpers $\Bbbk$ ist $p$, wenn der Primkörper $\mathbb{F}_p$ ist. Falls der Primkörper $\mathbb{Q}$ ist, ist die Charakteristik $0$. \end{definition} @@ -411,6 +467,10 @@ Ein Körper mit Charakteristik $0$ enthält immer unendliche viele Elemente. \subsubsection{Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten} +Als Beispiel für die Auswrikung der Charakteristik auf die Arithmetik +in einem endlichen Körper betrachten wir die Teilbarkeitseigenschaften +der Binomialkoeffizienten. + \begin{figure} \centering \includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf} @@ -437,11 +497,14 @@ sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $5$ teilbar. \egroup Die Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial2} zeigt den Rest bei Teilung durch $2$ der Binomialkoeffizienten. +\index{Binomialkoeffizient}% Man kann daraus ablesen, dass $\binom{n}{m}\equiv 0\mod 2$ für $n=2^k$ und $0<m<n$. Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial5} zeigt das Pascal-Dreieck auch noch für $p=5$. Hier ist auch schön die Selbstähnlichkeit des Pascal-Dreiecks erkennbar. +\index{Selbstähnlichkeit}% +\index{Pascal-Dreieck}% Ersetzt man die ``5er-Dreiecke'' durch ein volles Dreieck mit der Farbe des kleinen Dreiecks an seiner Spitze, entsteht wieder das ursprüngliche Pascal-Dreieck. @@ -454,6 +517,10 @@ Sei $p$ eine Primzahl, dann ist \binom{p}{m} \equiv 0\mod p \] für $0<m<n$. +Für $a,b\in\mathbb{Z}$ bedeutet dies +\[ +(a+b)^p \equiv a^p + b^p\mod p. +\] \end{satz} \begin{proof}[Beweis] @@ -466,6 +533,30 @@ Für den Binomialkoeffizienten gilt Für $m<p$ kann keiner der Faktoren im Nenner $p$ sein, der Faktor $p$ im Zähler kann also nicht weggekürzt werden, so dass der Binomialkoeffizient durch $p$ teilbar sein muss. + +In der binomischen Formel +\[ +(a+b)^p += +a^p ++ +\binom{p}{1} a^{p-1}b ++ +\binom{p}{2} a^{p-2}b^2 ++ +\dots ++ +\binom{p}{p-1} ab^{p-1} ++ +b^p +\] +sind alle ``inneren'' Terme auf der rechten Seite durch $p$ teilbar, +weil der Binomialkoeffizient durch $p$ teilbar ist. +Modulo $p$ ergibt sich daher +\[ +(a+b)^p \equiv a^p + b^p \mod p. +\] +Damit ist alles bewiesen. \end{proof} \begin{satz} @@ -544,6 +635,7 @@ Binomialkoeffizienten der Zwischenterme der Summe \eqref{buch:endliche-koerper:fig:binomischeformel} als Elemente von $\mathbb{F}_p$. Daher gilt +\index{Frobenius-Automorphismus}% \begin{satz}[Frobenius-Automorphismus] In einem Körper $\Bbbk$ der Charakteristik $p$ ist die Abbildung diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile index c49fe56..bf53c29 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile @@ -3,10 +3,14 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: binomial2.pdf binomial5.pdf +all: binomial2.pdf binomial5.pdf fermat.pdf binomial2.pdf: binomial2.tex pdflatex binomial2.tex binomial5.pdf: binomial5.tex farben.tex pdflatex binomial5.tex + +fermat.pdf: fermat.tex + pdflatex fermat.tex + diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4513e62 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.pdf diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.tex new file mode 100644 index 0000000..6cdafaa --- /dev/null +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.tex @@ -0,0 +1,138 @@ +% +% fermat.tex -- Illustration zum kleinen Satz von Fermat +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\s{34} + +\definecolor{farbe1}{rgb}{0.0,0.4,0.0} +\definecolor{farbe2}{rgb}{0.0,1.0,1.0} +\definecolor{farbe3}{rgb}{0.0,0.4,0.6} +\definecolor{farbe4}{rgb}{0.0,0.0,0.8} +\definecolor{farbe5}{rgb}{0.4,0.0,1.0} +\definecolor{farbe6}{rgb}{0.8,0.0,0.0} +\definecolor{farbe7}{rgb}{0.8,0.4,0.4} +\definecolor{farbe8}{rgb}{1.0,0.8,0.0} + +\def\perle#1#2#3{ + \fill[color=#3] ($#1+({#2*0.15},0)$) circle[radius=0.075]; +} + +\def\perlena#1#2#3#4#5#6{ + \draw #1 -- ($#1+({0.15*9},0)$); + \perle{#1}{0}{#2} + \perle{#1}{1}{#3} + \perle{#1}{2}{#4} + \perle{#1}{3}{#5} + \perle{#1}{4}{#6} +} +\def\perlenb#1#2#3#4#5#6{ + \perle{#1}{5}{#2} + \perle{#1}{6}{#3} + \perle{#1}{7}{#4} + \perle{#1}{8}{#5} + \perle{#1}{9}{#6} +} + +\begin{scope}[xshift=3cm] +\draw (0,0) circle[radius=4]; +\foreach \k in {-1,...,8}{ + \draw (0,0) -- ({90+\k*\s}:4); +} +\foreach \k in {1,...,8}{ + \node at ({90+\s*(\k-0.5)}:3.7) {$A_{\k\mathstrut}$}; +} + +\pgfmathparse{90-(360-9*\s)/2-\s} +\xdef\b{\pgfmathresult} +\foreach \d in {-10,-5,...,10}{ + \fill ({\b+\d}:2.8) circle[radius=0.04]; +} +\node at ({90-(\s/2)}:3.7) {$A_{p\mathstrut}$}; + +\node at (-4,4) {$s_1$}; +\node at (-3.8,2.6) {$s_2$}; +\node at (-4.8,0.6) {$s_3$}; +\node at (-4.2,-2) {$s_4$}; +\node at (-4,-4) {$s_5$}; + +\perlena{({-3*sin(-0.5*\s)-0.54},{3*cos(-0.5*\s)})}{farbe8}{farbe1}{farbe2}{farbe3}{farbe4} +\perlenb{({-3*sin(-0.5*\s)-0.54},{3*cos(-0.5*\s)})}{farbe5}{farbe6}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0} + +\perlena{({-3*sin(0.5*\s)-0.74},{3*cos(0.5*\s)})}{farbe1}{farbe2}{farbe3}{farbe4}{farbe5} +\perlenb{({-3*sin(0.5*\s)-0.74},{3*cos(0.5*\s)})}{farbe6}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8} + +\perlena{({-3*sin(1.5*\s)-0.74},{3*cos(1.5*\s)-0.2})}{farbe2}{farbe3}{farbe4}{farbe5}{farbe6} +\perlenb{({-3*sin(1.5*\s)-0.74},{3*cos(1.5*\s)-0.2})}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8}{farbe1} + +\perlena{({-3*sin(2.5*\s)-0.0},{3*cos(2.5*\s)-0.0})}{farbe3}{farbe4}{farbe5}{farbe6}{farbe7} +\perlenb{({-3*sin(2.5*\s)-0.0},{3*cos(2.5*\s)-0.0})}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8}{farbe1}{farbe2} + +\perlena{({-3*sin(3.5*\s)-0.74},{3*cos(3.5*\s)+0.2})}{farbe4}{farbe5}{farbe6}{farbe7}{black,opacity=0} +\perlenb{({-3*sin(3.5*\s)-0.74},{3*cos(3.5*\s)+0.2})}{black,opacity=0}{farbe8}{farbe1}{farbe2}{farbe3} + +\perlena{({-3*sin(4.5*\s)-0.74},{3*cos(4.5*\s)})}{farbe5}{farbe6}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0} +\perlenb{({-3*sin(4.5*\s)-0.74},{3*cos(4.5*\s)})}{farbe8}{farbe1}{farbe2}{farbe3}{farbe4} + +\perlena{({-3*sin(5.5*\s)-0.64},{3*cos(5.5*\s)})}{farbe6}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8} +\perlenb{({-3*sin(5.5*\s)-0.64},{3*cos(5.5*\s)})}{farbe1}{farbe2}{farbe3}{farbe4}{farbe5} + +\perlena{({-3*sin(6.5*\s)-0.64},{3*cos(6.5*\s)})}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8}{farbe1} +\perlenb{({-3*sin(6.5*\s)-0.64},{3*cos(6.5*\s)})}{farbe2}{farbe3}{farbe4}{farbe5}{farbe6} + +\perlena{({-3*sin(7.5*\s)-1.14},{3*cos(7.5*\s)+0.1})}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8}{farbe1}{farbe2} +\perlenb{({-3*sin(7.5*\s)-1.14},{3*cos(7.5*\s)+0.1})}{farbe3}{farbe4}{farbe5}{farbe6}{farbe7} + +\node at (45:4) [above right] {$A$}; + +\clip (-7,-4.4) rectangle (0,4.8); +\foreach \k in {1,...,5}{ + \pgfmathparse{20*(3-\k)} + \xdef\c{\pgfmathresult} + \pgfmathparse{90+(\k-0.5)*\s} + \xdef\a{\pgfmathresult} + \pgfmathparse{\a-180} + \xdef\b{\pgfmathresult} + \draw[->] (-7.5,0) to[out={\c},in={180+\b}] (\a:4); + %\node at (\a:4) [left] {$\b$}; +} +\end{scope} + +\def\pearl#1#2{ + \fill[color=#2] ($({90+(#1-0.5)*\s}:0.6)$) circle[radius=0.12]; + \draw[line width=0.1pt] ($({90+(#1-0.5)*\s}:0.6)$) circle[radius=0.12]; +} + +\def\kette{ + \draw (0,0) circle[radius=0.6]; + \pearl{1}{farbe1} + \pearl{2}{farbe2} + \pearl{3}{farbe3} + \pearl{4}{farbe4} + \pearl{5}{farbe5} + \pearl{6}{farbe6} + \pearl{7}{farbe7} + \pearl{0}{farbe8} +} + +\begin{scope}[xshift=-4.5cm] +\fill[color=white] (-1.5,-2.5) rectangle (1.5,2.5); +\draw (-1.5,-2.5) rectangle (1.5,2.5); +\kette +\node at (-1.5,2.5) [below right] {$G$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex index 600336c..b066969 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex @@ -52,10 +52,10 @@ Inverse kann zum Beispiel als die inverse Matrix mit dem Gauss-Algorithmus berechnet werden. In einem zweiten Schritt zeigen wir dann, dass man die Rechnung noch etwas vereinfachen kann, wenn man in Polynomringen arbeitet. -Schliesslich zeigen wir dann im -Abschnitt~\ref{buch:subsection:zerfaellungskoerper}, wie man -den Prozess iterieren kann und so für beliebige Polynome immer einen -Körper finden kann, der alle Nullstellen enthält. +%Schliesslich zeigen wir dann im +%Abschnitt~\ref{buch:subsection:zerfaellungskoerper}, wie man +%den Prozess iterieren kann und so für beliebige Polynome immer einen +%Körper finden kann, der alle Nullstellen enthält. Wir beginnen in Abschnitt~\ref{buch:subsection:irreduziblepolynome} damit, die Polynome, die für die Konstruktion in Frage kommen, etwas genauer zu charakterisieren. @@ -608,7 +608,17 @@ $J$ mit $I\subset J\subset R$ entweder $I=J$ oder $J=R$ gilt. Die Ideale $p\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}$ sind maximal genau dann, wenn $p$ eine Primzahl ist. -TODO: XXX Begründung +Ist nämlich $p=n_1n_2$ eine Faktorisierung, dann ist +$\mathbb{Z}\supset n_1\mathbb{Z} \supset p\mathbb{Z}$ +und $n_1\mathbb{Z}$ ist ein grössers Ideal als $p\mathbb{Z}$, +d.~h.~$p\mathbb{Z}$ ist nicht maximal. + +In $\mathbb{Z}$ sind alle Ideale von der Form $n\mathbb{Z}$. +Wenn es also ein Ideal $I\supset p\mathbb{Z}$ gibt, welches +$p\mathbb{Z}$ echt enthält, dann gibt es $n\in\mathbb{Z}$ derart, +dass $n\mathbb{Z} \subset p\mathbb{Z}$. +Dies ist gleichbedeutend damit, dass $n$ ein echter Teiler von $p$ +ist, also ist $p$ keine Primzahl. \end{beispiel} \begin{satz} @@ -616,6 +626,23 @@ Der Ring $R/I$ ist genau dann ein Körper, wenn $I$ ein maximales Ideal ist. \end{satz} \begin{proof}[Beweis] +Nehmen wir zunächst an, dass $I$ ein maximales Ideal ist. +Damit $R/I$ ein Körper ist, muss jedes von $0$ verschiedene Element +eine multiplikatives Inverses haben. +Sei als $a\in R\setminus I$, dann ist $a+I$ ein von $0$ verschiedenes +Körperelement. +Die Menge $Ra+I$ ist dann ein Ideal von $R$, welches $I$ echt enthält. +Weil $I$ maximal ist, ist $Ra+I=R$, also gibt es ein Element $b\in I$ +derart, dass $ab+I=1+I$, d.~h.~$b+I$ ist das gesuchte multiplikative +Inverse. + +Sei nun umgekehrt $R/I$ ein Körper und $J\supset I$ sei ein Ideal, +welches $I$ echt enhält. +Sei $a\in J\setminus I$. +Da $R/I$ ein Körper ist, ist $a+I$ invertierbar, es gibt also ein +$b\in R$ mit $ab+I=1+I$. +Da $a\in J$ folgt $Ra\subset J$. +Andererseits ist $1\in Ra$, also ist $J=R$ und das Ideal $J$ ist maximal. \end{proof} Ein irreduzibles Polynom $m\in\Bbbk[X]$ erzeugt ein maximales Ideal, @@ -894,10 +921,3 @@ Dieser Spezialfall ist für die praktische Anwendung in der Kryptographie von besonderer Bedeutung, daher wird er im In Kapitel~\ref{buch:chapter:kryptographie} genauer untersucht. -\subsection{Zerfällungskörper -\label{buch:subsection:zerfaellungskoerper}} -XXX TODO - - - - diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc index 5f30ab5..9ca0a97 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc @@ -8,6 +8,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex \ chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex \ chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex \ + chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex \ chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex \ chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex \ chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex \ diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex index 24ea57d..65cf608 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex @@ -8,30 +8,56 @@ \lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren} \rhead{} Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der -Frage nach linearen Beziehungen unter den Potenzen von $A^k$ verbunden. +Frage nach linearen Beziehungen zwischen den Potenzen $A^k$ von $A$ verbunden. Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich, es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form. Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente potenziert. +\index{Diagonalmatrix}% Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente von $A^k$ einfach. +\index{Dreiecksmatrix}% Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in -eine solche besonders einfache Form zu bringen. +\index{Eigenwert}% +\index{Eigenvektor} +eine solche besonders einfache sogenannte Normalform zu bringen. +\index{Normalform}% +Ziel ist, einen Algorithmus zu finden, mit dem sich für jede lineare +Abbildung eine Basis finden lässt, in der ihre Matrix eine besonders +einfach Form hat, in der auch die Berechnung von Potenzen leicht +möglich ist. -In Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} werden die grundlegenden -Definitionen der Eigenwerttheorie in Erinnerung gerufen. +Die Untersuchungen beginnen in +Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} mit Betrachtungen über +Potenzen von Matrizen und ihren invarianten Unterräumen. +\index{Matrixpotenz}% +\index{invarianter Unterraum}% +\index{Unterraum, invarianter}% +Es ergibt sich bereits eine Normalform für nilpotente Matrizen. +\index{nilpotent}% +In Abschnitt~\ref{buch:section:eigenwerte-eigenvektoren} wird daraus die +allgemeine Eigenwerttheorie entwickelt. Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen} -gezeigt werden, wie Matrizen in besonders einfache Form gebracht -werden können. -Die Eigenwerte bestimmen auch die Eigenschaften von numerischen -Algorithmen, wie in den Abschnitten~\ref{buch:section:spektralradius} -und \ref{buch:section:numerisch} dargestellt wird. -Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen, unter -geeigneten Voraussetzungen an den Spektralradius. -Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben. +gezeigt werden, wie Matrizen in Normalform gebracht werden können. +Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen. +In Abschnitt~\ref{buch:section:analytische-funktionen-einer-matrix} wird +gezeigt, wie dies für analytische Funktionen und für Funktionen möglich +\index{analytische Funktion}% +ist, die durch Polynome approximiert werden. +Es zeigt sich, dass dazu geeigneten Voraussetzungen an den sogenannten +Spektralradius gestelltw erden müssen. +\index{Spektralradius}% +Es stellt sich heraus, dass man nicht für alle Matrizen $A$ eine +sinnvolle Definition von $f(A)$ für beliebige stetige Funktionen $f$ +erwarten kann. +Möglich ist dies nur für sogenannte normale Matrizen, wie in +der Spektraltheorie in +Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} dargestellt wird. +\index{Spektraltheorie} \input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex} +\input{chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex new file mode 100644 index 0000000..563b58a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex @@ -0,0 +1,593 @@ +% +% eigenwerte.tex +% +% Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors +% +\section{Eigenwerte und Eigenvektoren +\label{buch:section:eigenwerte-und-eigenvektoren}} +In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume $V=\Bbbk^n$ über einem +beliebigen Körper $\Bbbk$ und quadratische Matrizen +$A\in M_n(\Bbbk)$. +In den meisten Anwendungen wird $\Bbbk=\mathbb{R}$ sein. +Da aber in $\mathbb{R}$ nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar sind, +ist es manchmal notwendig, den Vektorraum zu erweitern um zum Beispiel +auf dem Umweg über komplexe Zahlen +Eigenschaften der Matrix $A$ abzuleiten. + +\begin{definition} +\label{buch:eigenwerte:def:evew} +\label{buch:eigenwerte:def:spektrum} +Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum {\em Eigenwert} +\index{Eigenwert}% +\index{Eigenvekor}% +$\lambda\in\Bbbk$, wenn $v\ne 0$ und $Av=\lambda v$ gilt. +Die Menge +\[ +\operatorname{Sp}(A) += +\{\lambda\in\mathbb{C}\,|\, \text{$\lambda$ ist Eigenwert von $A$}\} +\] +heisst das {\em Spektrum} von $A$. +\index{Spektrum}% +\end{definition} + +Die Bedingung $v\ne 0$ dient dazu, pathologische Situationen auszuschliessen. +Für den Nullvektor gilt $A0=\lambda 0$ für jeden beliebigen Wert von +$\lambda\in\Bbbk$. +Würde man $v=0$ zulassen, wäre jede Zahl in $\Bbbk$ ein Eigenwert, +ein Eigenwert von $A$ wäre nichts besonderes. +Ausserdem wäre $0$ ein Eigenvektor zu jedem beliebigen Eigenwert. + +Eigenvektoren sind nicht eindeutig bestimmt, jedes von $0$ verschiedene +Vielfache von $v$ ist ebenfalls ein Eigenvektor. +Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor mit +geeigneten Eigenschaften finden, zum Beispiel kann man für $\Bbbk = \mathbb{R}$ +Eigenvektoren auf Länge $1$ normieren. +Im Folgenden werden wir oft die abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren +einfach als ``verschiedene'' Eigenvektoren bezeichnen. + +Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann kann +man ihn mit zusätzlichen Vektoren $v_2,\dots,v_n$ zu einer Basis +$\mathcal{B}=\{v,v_2,\dots,v_n\}$ +von $V$ ergänzen. +Die Vektoren $v_k$ mit $k=2,\dots,n$ werden von $A$ natürlich auch +in den Vektorraum $V$ abgebildet, können also als Linearkombinationen +\[ +Av = a_{1k}v + a_{2k}v_2 + a_{3k}v_3 + \dots a_{nk}v_n +\] +dargestellt werden. +In der Basis $\mathcal{B}$ bekommt die Matrix $A$ daher die Form +\[ +A' += +\begin{pmatrix} +\lambda&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\ + 0 &a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\ + 0 &a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\ +\vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ + 0 &a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn} +\end{pmatrix}. +\] +Bereits ein einzelner Eigenwert und ein zugehöriger Eigenvektor +ermöglichen uns also, die Matrix in eine etwas einfachere Form +zu bringen. + +\begin{definition} +Für $\lambda\in\Bbbk$ heisst +\[ +E_\lambda += +\{ v\;|\; Av=\lambda v\} +\] +der {\em Eigenraum} zum Eigenwert $\lambda$. +\index{Eigenraum}% +\end{definition} + +Der Eigenraum $E_\lambda$ ist ein Unterraum von $V$, denn wenn +$u,v\in E_\lambda$, dann ist +\[ +A(su+tv) += +sAu+tAv += +s\lambda u + t\lambda v += +\lambda(su+tv), +\] +also ist auch $su+tv\in E_\lambda$. +Der Spezialfall $E_\lambda = \{0\}=0$ bedeutet natürlich, dass $\lambda$ gar kein +Eigenwert ist. + +\begin{satz} +Wenn $\dim E_\lambda=n$ ist, dann ist $A=\lambda I$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Da $V$ ein $n$-dimensionaler Vektoraum ist, ist $E_\lambda=V$. +Jeder Vektor $v\in V$ erfüllt also die Bedingung $Av=\lambda v$, +oder $A=\lambda I$. +\end{proof} + +Wenn man die Eigenräume von $A$ kennt, dann kann man auch die Eigenräume +von $A+\mu E$ berechnen. +Ein Vektor $v\in E_\lambda$ erfüllt +\[ +Av=\lambda v +\qquad\Rightarrow\qquad +(A+\mu)v = \lambda v + \mu v += +(\lambda+\mu)v, +\] +somit ist $v$ ein Eigenvektor von $A+\mu I$ zum Eigenwert $\lambda+\mu$. +Insbesondere können wir statt die Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ +zu studieren, auch die Eigenvektoren zum Eigenwert $0$ von $A-\lambda I$ +untersuchen. + +% +% Invariante Räume +% +\subsection{Verallgemeinerte Eigenräume +\label{buch:subsection:verallgemeinerte-eigenraeume}} +Wenn $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ ist, dann ist +ist $A-\lambda I$ injektiv und $\ker(A-\lambda I)\ne 0$. +Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda I)$ +und $\mathcal{J}(A-\lambda I)$ bilden. + +\begin{beispiel} +Wir untersuchen die Matrix +\[ +A += +\begin{pmatrix} +1&1&-1&0\\ +0&3&-1&1\\ +0&2& 0&1\\ +0&0& 0&2 +\end{pmatrix} +\] +Man kann zeigen, dass $\lambda=1$ ein Eigenwert ist. +Wir suchen die Zerlegung des Vektorraums $\mathbb{R}^4$ in invariante +Unterräume $\mathcal{K}(A-I)$ und $\mathcal{J}(A-I)$. +Die Matrix $B=A-I$ ist +\[ +B += +\begin{pmatrix} +0&1&-1&0\\ +0&2&-1&1\\ +0&2&-1&1\\ +0&0& 0&2 +\end{pmatrix} +\] +und wir berechnen davon die vierte Potenz +\[ +D=B^4=(A-E)^4 += +\begin{pmatrix} +0&0& 0&0\\ +0&2&-1&4\\ +0&2&-1&4\\ +0&0& 0&1 +\end{pmatrix}. +\] +Daraus kann man ablesen, dass das Bild $\operatorname{im}D$ +von $D$ die Basis +\[ +b_1 += +\begin{pmatrix} +0\\0\\0\\1 +\end{pmatrix} +, \qquad +b_2 += +\begin{pmatrix} +0\\1\\1\\0 +\end{pmatrix} +\] +hat. +Für den Kern von $D$ können wir zum Beispiel die Basisvektoren +\[ +b_3 += +\begin{pmatrix} +0\\1\\2\\0 +\end{pmatrix} +,\qquad +b_4 += +\begin{pmatrix} +1\\0\\0\\0 +\end{pmatrix} +\] +verwenden. + +Als erstes überprüfen wir, ob diese Basisvektoren tatsächlich invariante +Unterräume sind. +Für $\mathcal{J}(A-I) = \langle b_1,b_2\rangle$ +berechnen wir +\begin{align*} +(A-I)b_1 +&= +\begin{pmatrix} 0\\4\\4\\1 \end{pmatrix} += +4b_2+b_1, +\\ +(A-I)b_2 +&= +\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix} += +b_2. +\end{align*} +Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-I)$ invariant ist. +In dieser Basis hat die von $A-I$ beschriebene lineare Abbildung +auf $\mathcal{J}(A-I)$ die Matrix +\[ +A_{\mathcal{J}(A-I)} += +\begin{pmatrix} +1&4\\ +0&1 +\end{pmatrix}. +\] + +Für den Kern $\mathcal{K}(A-I)$ findet man analog +\[ +\left. +\begin{aligned} +Ab_3 +&= +-b_4 +\\ +Ab_4 +&=0 +\end{aligned} +\quad\right\} +\qquad\Rightarrow\qquad +A_{\mathcal{K}(A-I)} += +\begin{pmatrix} +0&-1\\ +0& 0 +\end{pmatrix}. +\] +In der Basis $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ hat $A$ die Matrix +in Blockform +\[ +A' += +\left( +\begin{array}{cc|cr} +2&4& & \\ +0&2& & \\ +\hline + & &1&-1\\ + & &0& 1 +\end{array}\right), +\] +die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-I)$ +und $\mathcal{K}(A-I)$. +Die aus $A-E$ gewonnen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante +Unterräume für $A$. +\end{beispiel} + +\begin{definition} +Ist $A$ eine Matrix mit Eigenwert $\lambda$, dann heisst der invariante +Unterraum +\[ +\mathcal{E}_{\lambda}(A) += +\mathcal{K}(A-\lambda I) +\] +der {\em verallgemeinerte Eigenraum} von $A$. +\index{verallgemeinerter Eigenraum}% +\index{Eigenraum, verallgemeinerter}% +\end{definition} + +Es ist klar, dass +$E_\lambda(A)=\ker (A-\lambda I)\subset\mathcal{E}_{\lambda}(A)$. + +\subsection{Zerlegung in invariante Unterräume +\label{buch:subsection:zerlegung-in-invariante-unterraeume}} +Wenn $\lambda$ kein Eigenwert von $A$ ist, dann ist $A-\lambda I$ +injektiv und damit $\ker(A-\lambda I)=0$. +Es folgt, dass $\mathcal{K}^i(A-\lambda I)=0$ und daher auch +$\mathcal{J}^i(A-\lambda I)=V$. +Die Zerlegung in invariante Unterräume $\mathcal{J}(A-\lambda I)$ und +$\mathcal{E}_\lambda(A)=\mathcal{K}(A-\lambda I)$ liefert in diesem Falle also nichts Neues. + +Für einen Eigenwert $\lambda_1$ von $A$ dagegen erhalten wir die Zerlegung +\[ +V += +\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) +\oplus +\underbrace{\mathcal{J}(A-\lambda_1 I)}_{\displaystyle =V_2}, +\] +wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist. +Die Matrix $A-\lambda_1 I$ eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ ist +nilpotent. +Man kann sagen, auf dem Unterraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ hat +$A$ die Form $\lambda_1 I + N$, wobei $N$ nilpotent ist. + +Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1I$ +gewonnen worden, ist aber natürlich auch eine Zerlegung in invariante +Unterräume für $A$. +Wir können daher das Problem auf $V_2$ einschränken und nach einem weiteren +Eigenwert $\lambda_2$ von $A$ in $V_2$ suchen. +Dieser neue Eigenwert liefert eine Zerlegung von $V_2$ +in invariante Unterräume. +Indem wir so weiterarbeiten, bis wir den ganzen Raum ausgeschöpft haben, +können wir eine Zerlegung des ganzen Raumes $V$ finden, so dass $A$ auf +jedem einzelnen Summanden die sehr einfach Form +``$\lambda I + \text{nilpotent}$'' hat: + +\begin{satz} +\label{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} +Sei $V$ ein $\Bbbk$-Vektorraum und $f$ eine lineare Abbildung mit Matrix +$A$ derart, dass alle Eigenwerte $\lambda_1,\dots,\lambda_l$ von $A$ +in $\Bbbk$ sind. +Dann gibt es eine Zerlegung von $V$ in verallgemeinerte Eigenräume +\[ +V += +\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) +\oplus +\mathcal{E}_{\lambda_2}(A) +\oplus +\dots +\oplus +\mathcal{E}_{\lambda_l}(A). +\] +Die Einschränkung von $A-\lambda_{i}I$ auf den Eigenraum +$\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ ist nilpotent. +\end{satz} + +\subsection{Das charakteristische Polynom +\label{buch:subsection:das-charakteristische-polynom}} +Ein Eigenvektor von $A$ erfüllt $Av=\lambda v$ oder gleichbedeutend +$(A-\lambda I)v=0$, er ist also eine nichttriviale Lösung des homogenen +Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda I$. +Ein Eigenwert ist also ein Skalar derart, dass $A-\lambda I$ +singulär ist. +Ob eine Matrix singulär ist, kann mit der Determinante festgestellt +werden. +Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind daher die Nullstellen +von $\det(A-\lambda I)$. + +\begin{definition} +Das {\em charakteristische Polynom} +\[ +\chi_A(x) += +\det (A-x I) += +\left| +\begin{matrix} +a_{11}-x & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ +a_{21} & a_{22}-x & \dots & a_{2n} \\ +\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ +a_{n1} & a_{n2} &\dots & a_{nn}-x +\end{matrix} +\right|. +\] +der Matrix $A$ ist ein Polynom vom Grad $n$ mit Koeffizienten in $\Bbbk$. +\index{charakteristisches Polynom}% +\index{Polynome, charakteristisches}% +\end{definition} + +Findet man eine Nullstelle $\lambda\in\Bbbk$ von $\chi_A(x)$, +dann ist die Matrix $A-\lambda I\in M_n(\Bbbk)$ und mit dem Gauss-Algorithmus +kann man auch mindestens einen Vektor $v\in \Bbbk^n$ finden, +der $Av=\lambda v$ erfüllt. +Eine Dreiecksmatrix der Form +\[ +A=\begin{pmatrix} +\lambda& * & * & * &\dots &*\\ + 0 &\lambda& * & * &\dots &*\\ + 0 & 0 &\lambda& * &\dots &*\\ + 0 & 0 & 0 &\lambda&\dots &*\\ +\vdots &\vdots &\vdots & &\ddots&\vdots\\ + 0 & 0 & 0 & 0 &\dots &\lambda +\end{pmatrix} +\] +hat +\[ +\chi_A(x) += +\left| +\begin{matrix} +\lambda-x & * & * & & * & * \\ + & \lambda-x & * & & * & * \\ + & & \lambda-x & & * & * \\ + & & &\ddots& * & * \\ + & & & &\lambda-x& * \\ + & & & & &\lambda-x +\end{matrix} +\right| += +(\lambda-x)^n += +(-1)^n (x-\lambda)^n +\] +als charakteristisches Polynom, welches $\lambda$ als einzige +Nullstelle hat. +Wenn die Einträge oberhalb der Diagonalen nicht alle 0 sind, +dann hat der Eigenraum der Matrix Dimension, die keiner ist als +$n$. +Man kann also im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen +Polynoms nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen +Eigenraum) erwarten. + +Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat, +dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben. +Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten +des Vektors von $0$ verschieden sein. +Wir nehmen an, dass es die Komponente in Zeile $k$ ist. +Die Komponente $v_k$ kann man auf zwei Arten berechnen, einmal als +die $k$-Komponenten von $Av$ und einmal als $k$-Komponente von $\lambda v$: +\[ +a_{k1}v_1+\dots+a_{kn}v_n = \lambda v_k. +\] +Da $v_k\ne 0$ kann man nach $\lambda$ auflösen und erhält +\[ +\lambda = \frac{a_{k1}v_1+\dots + a_{kn}v_n}{v_k}. +\] +Alle Terme auf der rechten Seite sind in $\Bbbk$ und werden nur mit +Körperoperationen in $\Bbbk$ verknüpft, also muss auch $\lambda\in\Bbbk$ +sein, im Widerspruch zur Annahme. + +Durch Hinzufügen von geeigneten Elementen können wir immer zu einem +Körper $\Bbbk'$ übergehen, in dem das charakteristische Polynom +in Linearfaktoren zerfällt. +\index{Linearfaktor}% +Für reelle Matrizen kann man zum Beispiel zu $\mathbb{C}$ übergehen, +da ein reelles Polynom alle Nullstellen in $\mathbb{C}$ hat. +In diesem Körper $\Bbbk'$ kann man jetzt das homogene lineare Gleichungssystem +mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda I$ lösen und damit mindestens +einen Eigenvektor $v$ für jeden Eigenwert finden. +Die Komponenten von $v$ liegen in $\Bbbk'$, und mindestens eine davon kann +nicht in $\Bbbk$ liegen. +Das bedeutet aber nicht, dass man diese Vektoren nicht für theoretische +Überlegungen über von $\Bbbk'$ unabhängige Eigenschaften der Matrix $A$ machen. +Das folgende Beispiel soll diese Idee illustrieren. + +\begin{beispiel} +Wir arbeiten in diesem Beispiel über dem Körper $\Bbbk=\mathbb{Q}$. +Die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +-4&7\\ +-2&4 +\end{pmatrix} +\in +M_2(\mathbb{Q}) +\] +hat das charakteristische Polynom +\[ +\chi_A(x) += +\left| +\begin{matrix} +-4-x&7\\-2&4-x +\end{matrix} +\right| += +(-4-x)(4-x)-7\cdot(-2) += +-16+x^2+14 += +x^2-2. +\] +Die Nullstellen sind $\pm\sqrt{2}$ und damit nicht in $\mathbb{Q}$. +Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, in dem +sich zwei Nullstellen $\lambda=\pm\sqrt{2}$ finden lassen. +Zu jedem Eigenwert lässt sich auch ein Eigenvektor +$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser +Basis bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform. +Die Transformationsmatrix $T$ enthält Matrixelemente aus +$\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen. +Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ +diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$. + +Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt +$A^{\prime 2} = 2I$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung +\begin{equation} +A^{\prime 2}-I= \chi_{A}(A) = 0. +\label{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} +\end{equation} +Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} +wurde zwar in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen +keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch +in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte. +Sie gilt daher ganz allgemein, also $A^2-I=0$. +Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton +\index{Cayley-Hamilton, Satz von}% +\index{Satz von Cayley-Hamilton}% +(Satz~\ref{buch:normalformen:satz:cayley-hamilton}) +welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres +charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +32&-41\\ +24&-32 +\end{pmatrix} +\in +M_2(\mathbb{R}) +\] +über dem Körper $\Bbbk = \mathbb{R}$ +hat das charakteristische Polynom +\[ +\det(A-xI) += +\left| +\begin{matrix} +32-x&-41 \\ +25 &-32-x +\end{matrix} +\right| += +(32-x)(-32-x)-25\cdot(-41) += +x^2-32^2 + 1025 += +x^2+1. +\] +Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$ +keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über, +in dem dank dem Fundamentalsatz \ref{buch:zahlen:satz:fundamentalsatz} +der Algebra alle Nullstellen zu finden sind, sie sind $\pm i$. +In $\mathbb C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die +folgenden homogenen linearen Gleichungssyteme in Tableauform lösen: +\begin{align*} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +32-i&-41\\ +25 &-32-i\\ +\hline +\end{tabular} +& +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1 & t\\ +0 & 0 \\ +\hline +\end{tabular} +& +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +32+i&-41\\ +25 &-32+i\\ +\hline +\end{tabular} +& +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1 & \overline{t}\\ +0 & 0 \\ +\hline +\end{tabular}, +\intertext{wobei wir $t=-41/(32-i) =-41(32+i)/1025= -1.28 -0.04i = (64-1)/50$ +abgekürzt haben. +Die zugehörigen Eigenvektoren sind} +v_i&=\begin{pmatrix}t\\-1\end{pmatrix} +& +v_{-i}&=\begin{pmatrix}\overline{t}\\-1\end{pmatrix}. +\end{align*} +Mit den Vektoren $v_i$ und $v_{-i}$ als Basis kann die Matrix $A$ als +komplexe Matrix, also mit komplexem $T$ in die komplexe Diagonalmatrix +$A'=\operatorname{diag}(i,-i)$ transformiert werden. +Wieder kann man sofort ablesen, dass $A^{\prime2}+I=0$, und wieder kann +man schliessen, dass für die relle Matrix $A$ ebenfalls $\chi_A(A)=0$ +gelten muss. +\end{beispiel} + + + + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex index 69618a9..91294f1 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -3,18 +3,23 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Grundlagen +\section{Matrixpotenzen \label{buch:section:grundlagen}} -\rhead{Grundlagen} -Die Potenzen $A^k$ sind besonders einfach zu berechnen, wenn die Matrix -Diagonalform hat, wenn also $A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ -ist. -In diesem Fall ist $Ae_k=\lambda_k e_k$ für jeden Standardbasisvektor $e_k$. -Statt sich auf Diagonalmatrizen zu beschränken könnten man also auch -Vektoren $v$ suchen, für die gilt $Av=\lambda v$, die also von $A$ nur -gestreckt werden. -Gelingt es, eine Basis aus solchen sogenanten {\em Eigenvektoren} zu finden, -dann kann man die Matrix $A$ durch Basiswechsel in diese Form bringen. +\rhead{Matrixpotenzen} +Die Zerlegung einer Matrix in einfachere Blöcke ist gleichbedeutend +damit, Basen für Unterräume zu finden, die sich unter der Abbildung +nicht ändern. +Im Allgemeinen wird der ganze Raum $\Bbbk^n$ kein solcher invarianter +Unterraum sein. +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man durch Iteration +der Abbildung, also durch Betrachtung von Matrixpotenzen, immer zu +\index{Matrixpotenz}% +einer Zerlegung in invariante Unterräume kommen kann. +\index{invarianter Unterraum}% +\index{Unterraum, invarianter}% +Daraus ergibt sich dann in Abschnitt~\ref{buch:subsection:nilpotente-matrizen} +bereits eine Normalform für nilpotente Matrizen. +\index{nilpotent}% \begin{figure} \centering @@ -53,8 +58,7 @@ ist. \label{buch:subsection:kern-und-bild}} In diesem Abschnitt ist $A\in M_n(\Bbbk)$, $A$ beschreibt eine lineare Abbildung $f\colon\Bbbk^n\to \Bbbk^n$. -In diesem Abschnitt sollen Kern und Bild der Potenzen $A^k$ untersucht -werden. +Im Folgenden sollen Kern und Bild der Potenzen $A^k$ untersucht werden. \begin{definition} Wir bezeichnen Kern und Bild der iterierten Abbildung $A^k$ mit \[ @@ -66,6 +70,8 @@ Wir bezeichnen Kern und Bild der iterierten Abbildung $A^k$ mit = \operatorname{im} A^k. \] +\index{KkA@$\mathcal{K}^k(A)$}% +\index{JkA@$\mathcal{J}^k(A)$}% \end{definition} Durch Iteration wird das Bild immer kleiner. @@ -106,7 +112,7 @@ folgt \{0\}. \label{buch:eigenwerte:eqn:Jkchain} \end{equation} -Für die Kerne gilt etwas Ähnliches. +Für die Kerne gilt etwas Ähnliches, sie werden immer grösser. Ein Vektor $x\in \mathcal{K}^k(A)$ erfüllt $A^kx=0$. Dann erfüllt er aber erst recht auch \[ @@ -181,7 +187,7 @@ bestimmten $\mathcal{J}^{i+2}(A)$. $\mathcal{J}^{i+2}(A)$ besteht aus all jenen Vektoren, die als $Ax$ mit $x\in\mathcal{J}^{i+1}(A)=\mathcal{J}^i(A)$ erhalten werden können. -Es gibt also insbesondere ein $y\in\Bbbk^i$ mit $x=A^iy$. +Es gibt also insbesondere ein $y\in\Bbbk^n$ mit $x=A^iy$. Dann ist $Ax=A^{i+1}y\in\mathcal{J}^{i+1}(A)$. Insbesondere besteht $\mathcal{J}^{i+2}(A)$ genau aus den Vektoren von $\mathcal{J}^{i+1}(A)$. @@ -238,11 +244,13 @@ $\mathcal{K}^i(A)$ für $i\ge k$ und die identischen Unterräume $\mathcal{J}^i(A)$ für $i\ge k$ werden mit \[ \begin{aligned} -\mathcal{K} &= \mathcal{K}^i(A)&&\forall i\ge k \qquad\text{und} +\mathcal{K}(A) &= \mathcal{K}^i(A)&&\forall i\ge k \qquad\text{und} \\ -\mathcal{J} &= \mathcal{J}^i(A)&&\forall i\ge k +\mathcal{J}(A) &= \mathcal{J}^i(A)&&\forall i\ge k \end{aligned} \] +\index{KA@$\mathcal{K}(A)$} +\index{JA@$\mathcal{J}(A)$} bezeichnet. \end{definition} @@ -259,6 +267,7 @@ Abbildungen zwischen ``kleineren'' Räumen zu zerlegen, wo sie leichter analysiert werden können. \begin{definition} +\label{buch:eigenwerte:def:invarianter-unterraum} Sei $f\colon V\to V$ eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich selbst. Ein Unterraum $U\subset V$ heisst {\em invarianter Unterraum}, @@ -267,6 +276,8 @@ wenn f(U) = \{ f(x)\;|\; x\in U\} \subset U \] gilt. +\index{invarianter Unterraum}% +\index{Unterraum, invarianter}% \end{definition} Der Kern $\ker A$ einer linearen Abbildung ist trivialerweise ein @@ -337,11 +348,11 @@ A' \left( \begin{array}{ccc|ccc} &&&&&\\ -&A_{\mathcal{K}'}&&&&\\ +&A'_{\mathcal{K}}&&&&\\ &&&&&\\ \hline &&&&&\\ -&&&&A_{\mathcal{J}'}&\\ +&&&&A'_{\mathcal{J}}&\\ &&&&&\\ \end{array} \right) @@ -361,21 +372,24 @@ und $\mathcal{K}(A)$ reduziert die lineare Abbildung auf zwei Abbildungen mit speziellen Eigenschaften. Es wurde bereits in Satz~\label{buch:eigenwerte:satz:fJinj} gezeigt, dass die Einschränkung auf $\mathcal{J}(A)$ injektiv ist. -Die Einschränkung auf $\mathcal{K}(A)$ bildet nach Definition alle +Die Einschränkung auf $\mathcal{K}(A)$ bildet nach +Definition~\ref{buch:eigenwerte:def:KundJ} alle Vektoren nach $k$-facher Iteration auf $0$ ab, $A^k\mathcal{K}(A)=0$. Solche Abbildungen haben eine speziellen Namen. \begin{definition} \label{buch:eigenwerte:def:nilpotent} -Eine Matrix $A$ heisst nilpotent, wenn es eine Zahl $k$ gibt, so dass +Eine Matrix $A$ heisst {\em nilpotent}, wenn es eine Zahl $k$ gibt, so dass $A^k=0$. +\index{nilpotent}% \end{definition} \begin{beispiel} Obere (oder untere) Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Diagonalen sind nilpotent. +\index{Dreicksmatrix}% Wir rechnen dies wie folgt nach. -Die Matrix $A$ mit Einträgen $a_{ij}$ +Die Matrix $A$ mit Einträgen $a_{i\!j}$ \[ A=\begin{pmatrix} 0 &a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1,n-1}&a_{1n} \\ @@ -386,35 +400,35 @@ A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &\dots & 0 & 0 \end{pmatrix} \] -erfüllt $a_{ij}=0$ für $i\ge j$. +erfüllt $a_{i\!j}=0$ für $i\ge j$. Wir zeigen jetzt, dass sich bei der Multiplikation die nicht verschwinden Elemente bei der Multiplikation noch rechts oben verschieben. Dazu multiplizieren wir zwei Matrizen $B$ und $C$ mit -$b_{ij}=0$ für $i+k>j$ und $c_{ij}=0$ für $i+l>j$. +$b_{i\!j}=0$ für $i+k>j$ und $c_{i\!j}=0$ für $i+l>j$. In der folgenden graphischen Darstellung der Matrizen sind die Bereiche, wo die Matrixelemente verschwinden, weiss. \begin{center} \includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/nilpotent.pdf} \end{center} -Bei der Berechnung des Elementes $d_{ij}$ wird die Zeile $i$ von $B$ +Bei der Berechnung des Elementes $d_{i\!j}$ wird die Zeile $i$ von $B$ mit der Spalte $j$ von $C$ multipliziert. Die blau eingefärbten Elemente in dieser Zeile und Spalte sind $0$. Aus der Darstellung ist abzulesen, dass das Produkt verschwindet, -die roten, von $0$ verschiedenen Elemente von den blauen Elementen -annihiliert werden. +wenn die roten, von $0$ verschiedenen Elemente von den blauen +Elementen annihiliert werden. Dies passiert immer, wenn $i+k>j-l$ ist, oder $i+(k+l)> j$. Wir wenden diese Beobachtung jetzt auf die Potenzen $A^s$ an. -Für die Matrixelemente von $A^s$ schreiben wir $a^s_{ij}$. -Wir behaupten, dass die Matrixelemente $A^s$ die Bedingung -$a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$ erfüllen. +Für die Matrixelemente von $A^s$ schreiben wir $a^s_{i\!j}$. +Wir behaupten, dass die Matrixelemente von $A^s$ die Bedingung +$a_{i\!j}^s=0$ für $i+s>j$ erfüllen. Dies ist für $s=1$ nach Voraussetzung richtig, dies ist die -Induktionsvoraussetzung. -Nehmen wir jetzt an, dass $a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$, dann folgt -aus obiger Rechnung, dass $a_{ij}^{s+1}=0$ für $i+s+1>j$, so +Induktionsverankerung. +Nehmen wir jetzt an, dass $a_{i\!j}^s=0$ für $i+s>j$, dann folgt +aus obiger Rechnung, dass $a_{i\!j}^{s+1}=0$ für $i+s+1>j$, so dass die Bedingung auch für $A^s$ gilt (Induktionsschritt). -Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$. +Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{i\!j}^s=0$ für $i+s>j$. Insbesondere ist $A^n=0$, die Matrix $A$ ist nilpotent. \end{beispiel} @@ -468,6 +482,9 @@ Wir bezeichnen mit $N_n$ eine Matrix der Form Mit etwas mehr Sorgfalt kann man auch die Bedingung, dass $A^{n-1}\ne 0$ sein muss, im Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:nnilpotent} loswerden. +Sie bedeutet nämlich dass sich die Matrix in mehrere kleinere Blöcke +der Form~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent} zerlegen lässt, wie +der folgende Satz zeigt. \begin{satz} \label{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent} @@ -492,11 +509,18 @@ A' & & &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$N_{k_l}$}\phantom{x}}\\ \cline{4-4} \end{array} -\right) +\right). \label{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} \end{equation} \end{satz} +Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:normalform-einer-nilpotenten-matrix} +wird ein Algorithmus zur Bestimmung einer geeigneten Basis für die +Normalform~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} in etwas mehr +Detail dargestellt. + +Aus Satz lässt sich für eine beliebige lineare Abbildung auch bereits eine +partielle Normalform finden. Die Einschränkung von $f$ auf den invarianten Unterraum $\mathcal{K}(A)$ ist nilpotent. Die Zerlegung $V=\mathcal{J}(A)\oplus \mathcal{K}(A)$ führt also zu einer @@ -508,7 +532,6 @@ $\mathcal{K}(A)$ eine Basis so wählen, dass die Matrix die Blockform \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} erhält. - \begin{figure} \centering \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf} @@ -602,7 +625,7 @@ ist ein Block der Form $N_k$. Für $0\le k\le l-1$ sind die Vektoren $A^kb_i$, solange sie von $0$ verschieden sind, alle nach Konstruktion linear unabhängig, sie bilden eine Basis -von $\mathcal{K}^l(A)=\mathbb{R}^n$. +von $\mathcal{K}^l(A)=\Bbbk^n$. \begin{beispiel} Die Basis für die Zerlegung der Matrix @@ -618,7 +641,7 @@ A in Blockform soll nach der oben beschriebenen Methode ermittelt werden. Zunächst kann man nachrechnen, dass $A^2=0$ ist. Der Kern von $A$ ist der Lösungsraum der Gleichung $Ax=0$, da alle Zeilen -Vielfache der ersten Zeile sind, recht es zu verlangen, dass die +Vielfache der ersten Zeile sind, reicht es zu verlangen, dass die Komponenten $x_i$ der Lösung die Gleichung \[ 3x_1+x_2-2x_3=0 @@ -631,9 +654,10 @@ Wir verwenden daher die beiden Vektoren \[ b_3=e_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} ,\qquad -b_2=Ab_3=\begin{pmatrix*}[r] 3\\-21\\-6 \end{pmatrix*}, +b_2=Ab_3=\begin{pmatrix*}[r] 3\\-21\\-6 \end{pmatrix*}. \] -in dieser Basis hat $A$ die Matrix $N_2$. +In einem Unterraum mit +dieser Basis hat $A$ die Matrix $N_2$. Jetzt muss noch ein Basisvektor $b_1$ gefunden werden, der in $\ker A=\mathbb{L}$ liegt und so, dass $b_1$ und $b_2$ linear unabhängig sind. @@ -641,7 +665,7 @@ Die zweite Bedingung kann leicht dadurch sichergestellt werden, dass man die erste Komponente von $b_1$ als $0$ wählt. Eine mögliche Lösung ist dann \[ -b_1=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} +b_1=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}. \] Die Matrix \[ @@ -668,557 +692,17 @@ B^{-1}\begin{pmatrix*}[r] 0&0& -6 \end{pmatrix*} = -\begin{pmatrix} -0&0&0\\ -0&0&1\\ -0&0&0 -\end{pmatrix} -= -N_3. -\qedhere -\] -\end{beispiel} - -% -% Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors -% -\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren -\label{buch:subsection:eigenwerte-und-eigenvektoren}} -In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume $V=\Bbbk^n$ über einem -beliebigen Körper $\Bbbk$ und quadratische Matrizen -$A\in M_n(\Bbbk)$. -In den meisten Anwendungen wird $\Bbbk=\mathbb{R}$ sein. -Da aber in $\mathbb{R}$ nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar sind, -ist es manchmal notwendig, den Vektorraum zu erweitern um zum Beispiel -Eigenschaften der Matrix $A$ abzuleiten. - -\begin{definition} -Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum Eigenwert -$\lambda\in\Bbbk$, wenn $v\ne 0$ und $Av=\lambda v$ gilt. -\end{definition} - -Die Bedingung $v\ne 0$ dient dazu, pathologische Situationen auszuschliessen. -Für den Nullvektor gilt $A0=\lambda 0$ für jeden beliebigen Wert von -$\lambda\in\Bbbk$. -Würde man $v=0$ zulassen, wäre jede Zahl in $\Bbbk$ ein Eigenwert, -ein Eigenwert von $A$ wäre nichts besonderes. -Ausserdem wäre $0$ ein Eigenvektor zu jedem beliebigen Eigenwert. - -Eigenvektoren sind nicht eindeutig bestimmt, jedes von $0$ verschiedene -Vielfache von $v$ ist ebenfalls ein Eigenvektor. -Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor jeweils mit -geeigneten Eigenschaften finden, zum Beispiel kann man für $\Bbbk = \mathbb{R}$ -Eigenvektoren auf Länge $1$ normieren. -Im Folgenden werden wir oft die abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren -einfach als ``verschiedene'' Eigenvektoren bezeichnen. - -Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann kann -man ihn mit zusätzlichen Vektoren $v_2,\dots,v_n$ zu einer Basis -$\mathcal{B}=\{v,v_2,\dots,v_n\}$ -von $V$ ergänzen. -Die Vektoren $v_k$ mit $k=2,\dots,n$ werden von $A$ natürlich auch -in den Vektorraum $V$ abgebildet, können also als Linearkombinationen -\[ -Av = a_{1k}v + a_{2k}v_2 + a_{3k}v_3 + \dots a_{nk}v_n -\] -dargestellt werden. -In der Basis $\mathcal{B}$ bekommt die Matrix $A$ daher die Form -\[ -A' -= -\begin{pmatrix} -\lambda&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\ - 0 &a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\ - 0 &a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\ -\vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ - 0 &a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn} -\end{pmatrix}. -\] -Bereits ein einzelner Eigenwert und ein zugehöriger Eigenvektor -ermöglichen uns also, die Matrix in eine etwas einfachere Form -zu bringen. - -\begin{definition} -Für $\lambda\in\Bbbk$ heisst -\[ -E_\lambda -= -\{ v\;|\; Av=\lambda v\} -\] -der {\em Eigenraum} zum Eigenwert $\lambda$. -\index{Eigenraum}% -\end{definition} - -Der Eigenraum $E_\lambda$ ist ein Unterraum von $V$, denn wenn -$u,v\in E_\lambda$, dann ist -\[ -A(su+tv) -= -sAu+tAv -= -s\lambda u + t\lambda v -= -\lambda(su+tv), -\] -also ist auch $su+tv\in E_\lambda$. -Der Fall $E_\lambda = \{0\}=0$ bedeutet natürlich, dass $\lambda$ gar kein -Eigenwert ist. - -\begin{satz} -Wenn $\dim E_\lambda=n$, dann ist $A=\lambda E$. -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Da $V$ ein $n$-dimensionaler Vektoraum ist, ist $E_\lambda=V$. -Jeder Vektor $v\in V$ erfüllt also die Bedingung $Av=\lambda v$, -oder $A=\lambda E$. -\end{proof} - -Wenn man die Eigenräume von $A$ kennt, dann kann man auch die Eigenräume -von $A+\mu E$ berechnen. -Ein Vektor $v\in E_\lambda$ erfüllt -\[ -Av=\lambda v -\qquad\Rightarrow\qquad -(A+\mu)v = \lambda v + \mu v -= -(\lambda+\mu)v, -\] -somit ist $v$ ein Eigenvektor von $A+\mu E$ zum Eigenwert $\lambda+\mu$. -Insbesondere können wir statt die Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ -zu studieren, auch die Eigenvektoren zum Eigenwert $0$ von $A-\lambda E$ -untersuchen. - -% -% Invariante Räume -% -\subsection{Verallgemeinerte Eigenräume -\label{buch:subsection:verallgemeinerte-eigenraeume}} -Wenn $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ ist, dann ist -ist $A-\lambda E$ injektiv und $\ker(A-\lambda E)\ne 0$. -Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda E)$ -und $\mathcal{J}(A-\lambda E)$. - -\begin{beispiel} -Wir untersuchen die Matrix -\[ -A -= -\begin{pmatrix} -1&1&-1&0\\ -0&3&-1&1\\ -0&2& 0&1\\ -0&0& 0&2 -\end{pmatrix} -\] -Man kann zeigen, dass $\lambda=1$ ein Eigenwert ist. -Wir suchen die Zerlegung des Vektorraums $\mathbb{R}^4$ in invariante -Unterräume $\mathcal{K}(A-E)$ und $\mathcal{J}(A-E)$. -Die Matrix $B=A-E$ ist -\[ -B -= -\begin{pmatrix} -0&1&-1&0\\ -0&2&-1&1\\ -0&2&-1&1\\ -0&0& 0&2 -\end{pmatrix} -\] -und wir berechnen davon die Potenz -\[ -D=B^4=(A-E)^4 -= -\begin{pmatrix} -0&0& 0&0\\ -0&2&-1&4\\ -0&2&-1&4\\ -0&0& 0&1 -\end{pmatrix}. -\] -Daraus kann man ablesen, dass das Bild $\operatorname{im}D$ -von $D$ die Basis -\[ -b_1 -= -\begin{pmatrix} -0\\0\\0\\1 -\end{pmatrix} -, \qquad -b_2 -= -\begin{pmatrix} -0\\1\\1\\0 -\end{pmatrix} -\] -hat. -Für den Kern von $D$ können wir zum Beispiel die Basisvektoren -\[ -b_3 -= -\begin{pmatrix} -0\\1\\2\\0 -\end{pmatrix} -,\qquad -b_4 -= -\begin{pmatrix} -1\\0\\0\\0 -\end{pmatrix} -\] -verwenden. - -Als erstes überprüfen wir, ob diese Basisvektoren tatsächlich invariante -Unterräume sind. -Für $\mathcal{J}(A-E) = \langle b_1,b_2\rangle$ -berechnen wir -\begin{align*} -(A-E)b_1 -&= -\begin{pmatrix} 0\\4\\4\\1 \end{pmatrix} -= -4b_2+b_1, -\\ -(A-E)b_2 -&= -\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix} -= -b_2. -\end{align*} -Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist. -In dieser Basis hat die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung -auf $\mathcal{J}(A-E)$ die Matrix -\[ -A_{\mathcal{J}(A-E)} -= -\begin{pmatrix} -1&4\\ -0&1 -\end{pmatrix}. -\] - -Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ findet man analog -\[ -\left. -\begin{aligned} -Ab_3 -&= --b_4 -\\ -Ab_4 -&=0 -\end{aligned} -\quad\right\} -\qquad\Rightarrow\qquad -A_{\mathcal{K}(A-E)} -= -\begin{pmatrix} -0&-1\\ -0& 0 -\end{pmatrix}. -\] -In der Basis $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ hat $A$ die Matrix -in Blockform -\[ -A' -= \left( -\begin{array}{cc|cr} -2&4& & \\ -0&2& & \\ +\begin{array}{c|cc} +0& & \\ \hline - & &1&-1\\ - & &0& 1 -\end{array}\right), -\] -die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-E)$ -und $\mathcal{K}(A-E)$. -Die aus $A-E$ gewonnen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante -Unterräume für $A$. -\end{beispiel} - -\begin{definition} -Ist $A$ eine Matrix mit Eigenwert $\lambda$, dann heisst der invariante -Unterraum -\[ -\mathcal{E}_{\lambda}(A) -= -\mathcal{K}(A-\lambda E) -\] -der verallgemeinerte Eigenraum von $A$. -\end{definition} - -Es ist klar, dass -$E_\lambda(A)=\ker (A-\lambda E)\subset\mathcal{E}_{\lambda}(A)$. - -\subsection{Zerlegung in invariante Unterräume -\label{buch:subsection:zerlegung-in-invariante-unterraeume}} -Wenn $\lambda$ kein Eigenwert von $A$ ist, dann ist $A-\lambda E$ -injektiv und damit $\ker(A-\lambda E)=0$. -Es folgt, dass $\mathcal{K}^i(A-\lambda E)=0$ und daher auch -$\mathcal{J}^i(A-\lambda E)=V$. -Die Zerlegung in invariante Unterräume $\mathcal{J}(A-\lambda E)$ und -$\mathcal{K}(A-\lambda E)$ liefert in diesem Falle also nichts Neues. - -Für einen Eigenwert $\lambda_1$ von $A$ dagegen, erhalten wir die Zerlegung -\[ -V -= -\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) -\oplus -\underbrace{\mathcal{J}(A-\lambda_1 E)}_{\displaystyle =V_2}, -\] -wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist. -Die Matrix $A-\lambda_1 E$ ist eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ -nilpotent. -Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1E$ -gewonnen worden, ist aber natürlich auch eine Zerlegung in invariante -Unterräume für $A$. -Wir können daher das Problem auf $V_2$ einschränken und nach einem weiteren -Eigenwert $\lambda_2$ von $A$ in $V_2$ suchen, was wieder eine Zerlegung -in invariante Unterräume liefert. -Indem wir so weiterarbeiten, bis wir den ganzen Raum ausgeschöpft haben, -können wir eine Zerlegung des ganzen Raumes $V$ finden, so dass $A$ auf -jedem einzelnen Summanden eine sehr einfach Form hat: - -\begin{satz} -\label{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} -Sei $V$ ein $\Bbbk$-Vektorraum und $f$ eine lineare Abbildung mit Matrix -$A$ derart, dass alle Eigenwerte $\lambda_1,\dots,\lambda_l$ von $A$ -in $\Bbbk$ sind. -Dann gibt es eine Zerlegung von $V$ in verallgemeinerte Eigenräume -\[ -V -= -\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) -\oplus -\mathcal{E}_{\lambda_2}(A) -\oplus -\dots -\oplus -\mathcal{E}_{\lambda_l}(A). -\] -Die Einschränkung von $A-\lambda_{i}E$ auf den Eigenraum -$\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ ist nilpotent. -\end{satz} - -\subsection{Das charakteristische Polynom -\label{buch:subsection:das-charakteristische-polynom}} -Ein Eigenvektor von $A$ erfüllt $Av=\lambda v$ oder gleichbedeutend -$(A-\lambda E)v=0$, er ist also eine nichttriviale Lösung des homogenen -Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$. -Ein Eigenwert ist also ein Skalar derart, dass $A-\lambda E$ -singulär ist. -Ob eine Matrix singulär ist, kann mit der Determinante festgestellt -werden. -Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind daher die Nullstellen -von $\det(A-\lambda E)$. - -\begin{definition} -Das {\em charakteristische Polynom} -\[ -\chi_A(x) -= -\det (A-x E) -= -\left| -\begin{matrix} -a_{11}-x & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ -a_{21} & a_{22}-x & \dots & a_{2n} \\ -\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ -a_{n1} & a_{n2} &\dots & a_{nn}-x -\end{matrix} -\right|. -\] -der Matrix $A$ ist ein Polynom vom Grad $n$ mit Koeffizienten in $\Bbbk$. -\end{definition} - -Findet man eine Nullstelle $\lambda\in\Bbbk$ von $\chi_A(x)$, -dann ist die Matrix $A-\lambda E\in M_n(\Bbbk)$ und mit dem Gauss-Algorithmus -kann man auch mindestens einen Vektor $v\in \Bbbk^n$ finden, -der $Av=\lambda v$ erfüllt. -Eine Matrix der Form wie in Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:jordanblock} -hat -\[ -\chi_A(x) -= -\left| -\begin{matrix} -\lambda-x & 1 & & & & \\ - & \lambda-x & 1 & & & \\ - & & \lambda-x & & & \\ - & & &\ddots& & \\ - & & & &\lambda-x& 1 \\ - & & & & &\lambda-x -\end{matrix} -\right| -= -(\lambda-x)^n -= -(-1)^n (x-\lambda)^n -\] -als charakteristisches Polynom, welches $\lambda$ als einzige -Nullstelle hat. -Der Eigenraum der Matrix ist aber nur eindimensional, man kann also -im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms -nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen Eigenraum) -erwarten. - -Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat, -dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben. -Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten -des Vektors von $0$ verschieden sein, wir nehmen an, dass es die Komponente -in Zeile $k$ ist. -Die Komponente $v_k$ kann man auf zwei Arten berechnen, einmal als -die $k$-Komponenten von $Av$ und einmal als $k$-Komponente von $\lambda v$: -\[ -a_{k1}v_1+\dots+a_{kn}v_n = \lambda v_k. -\] -Da $v_k\ne 0$ kann man nach $\lambda$ auflösen und erhält -\[ -\lambda = \frac{a_{k1}v_1+\dots + a_{kn}v_n}{v_k}. -\] -Alle Terme auf der rechten Seite sind in $\Bbbk$ und werden nur mit -Körperoperationen in $\Bbbk$ verknüpft, also muss auch $\lambda\in\Bbbk$ -sein, im Widerspruch zur Annahme. - -Durch Hinzufügen von geeigneten Elementen können wir immer zu einem -Körper $\Bbbk'$ übergehen, in dem das charakteristische Polynom -in Linearfaktoren zerfällt. -In diesem Körper kann man jetzt das homogene lineare Gleichungssystem -mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$ lösen und damit mindestens -einen Eigenvektor $v$ für jeden Eigenwert finden. -Die Komponenten von $v$ liegen in $\Bbbk'$, und mindestens eine davon kann -nicht in $\Bbbk$ liegen. -Das bedeutet aber nicht, dass man diese Vektoren nicht für theoretische -Überlegungen über von $\Bbbk'$ unabhängige Eigenschaften der Matrix $A$ machen. -Das folgende Beispiel soll diese Idee illustrieren. - -\begin{beispiel} -Wir arbeiten in diesem Beispiel über dem Körper $\Bbbk=\mathbb{Q}$. -Die Matrix -\[ -A=\begin{pmatrix} --4&7\\ --2&4 -\end{pmatrix} -\in -M_2(\mathbb{Q}) -\] -hat das charakteristische Polynom -\[ -\chi_A(x) -= -\left| -\begin{matrix} --4-x&7\\-2&4-x -\end{matrix} -\right| -= -(-4-x)(4-x)-7\cdot(-2) -= --16+x^2+14 -= -x^2-2. -\] -Die Nullstellen sind $\pm\sqrt{2}$ und damit nicht in $\mathbb{Q}$. -Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, in dem -sich zwei Nullstellen $\lambda=\pm\sqrt{2}$ finden lassen. -Zu jedem Eigenwert lässt sich auch ein Eigenvektor -$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser -Basis bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform. -Die Transformationsmatrix $T$ enthält Matrixelemente aus -$\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen. -Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ -diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$. - -Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt -$A^{\prime 2} = 2E$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung -\begin{equation} -A^{\prime 2}-E= \chi_{A}(A) = 0. -\label{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} -\end{equation} -Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton~\ref{XXX} -welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres -charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$. -Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} -wurde zwar in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen -keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch -in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte. -Sie gilt daher ganz allgemein. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Die Matrix -\[ -A=\begin{pmatrix} -32&-41\\ -24&-32 -\end{pmatrix} -\in -M_2(\mathbb{R}) -\] -über dem Körper $\Bbbk = \mathbb{R}$ -hat das charakteristische Polynom -\[ -\det(A-xE) -= -\left| -\begin{matrix} -32-x&-41 \\ -25 &-32-x -\end{matrix} -\right| -= -(32-x)(-32-x)-25\cdot(-41) -= -x^2-32^2 + 1025 + &0&1\\ + &0&0 +\end{array} +\right) = -x^2+1. +N_3. +\qedhere \] -Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$ -keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über, -in dem dank dem Fundamentalsatz der Algebra alle Nullstellen zu finden -sind, sie sind $\pm i$. -In $\mathbb C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die -folgenden linearen Gleichungssyteme lösen: -\begin{align*} -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -32-i&-41\\ -25 &-32-i -\end{tabular} -& -\rightarrow -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -1 & t\\ -0 & 0 -\end{tabular} -& -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -32+i&-41\\ -25 &-32+i -\end{tabular} -& -\rightarrow -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -1 & \overline{t}\\ -0 & 0 -\end{tabular}, -\intertext{wobei wir $t=-41/(32-i) =-41(32+i)/1025= -1.28 -0.04i = (64-1)/50$ -abgekürzt haben. -Die zugehörigen Eigenvektoren sind} -v_i&=\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix} -& -v_{-i}&=\begin{pmatrix}\overline{t}\\i\end{pmatrix} -\end{align*} -Mit den Vektoren $v_i$ und $v_{-i}$ als Basis kann die Matrix $A$ als -komplexe Matrix, also mit komplexem $T$ in die komplexe Diagonalmatrix -$A'=\operatorname{diag}(i,-i)$ transformiert werden. -Wieder kann man sofort ablesen, dass $A^{\prime2}+E=0$, und wieder kann -man schliessen, dass für die relle Matrix $A$ ebenfalls $\chi_A(A)=0$ -gelten muss. \end{beispiel} - - - diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/jnorm.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/jnorm.maxima new file mode 100644 index 0000000..d4c349b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/jnorm.maxima @@ -0,0 +1,6 @@ +J: matrix([a+b*%i, 1], [0, a+b*%i]); +v: matrix([cos(t)],[sin(t)]); +w: J.v; +n: expand(transpose(conjugate(w)).w); +d: expand(diff(n,t)); + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index 9169f65..e59f1dc 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -6,23 +6,27 @@ \section{Normalformen \label{buch:section:normalformen}} \rhead{Normalformen} -In den Beispielen im vorangegangenen wurde wiederholt der Trick +In den Beispielen im vorangegangenen Abschnitt wurde wiederholt der Trick verwendet, den Koeffizientenkörper so zu erweitern, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und für jeden Eigenwert Eigenvektoren gefunden werden können. Diese Idee ermöglicht, eine Matrix in einer geeigneten Körpererweiterung -in eine besonders einfache Form zu bringen, das Problem dort zu lösen. -Anschliessend kann man sich darum kümmern in welchem Mass die gewonnenen +in eine besonders einfache Form zu bringen und das Problem dort zu lösen. +Anschliessend kann man sich darum kümmern, in welchem Mass die gewonnenen Resultate wieder in den ursprünglichen Körper transportiert werden können. +Die dabei verwendete ``einfache Form'' war jeweils etwas ad hoc. +In diesem Abschnitt sollen jetzt etwas systematischer geeignete Normalformen +zusammengestellt werden. \subsection{Diagonalform} +\index{Diagonalform}% Sei $A$ eine beliebige Matrix mit Koeffizienten in $\Bbbk$ und sei $\Bbbk'$ eine Körpererweiterung von $\Bbbk$ derart, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren \[ \chi_A(x) = -(x-\lambda_1)^{k_1}\cdot (x-\lambda_2)^{k_2}\cdot\dots\cdot (x-\lambda_m)^{k_m} +(x-\lambda_1)^{k_1}\cdot (x-\lambda_2)^{k_2}\dots(x-\lambda_m)^{k_m} \] mit Vielfachheiten $k_1$ bis $k_m$ zerfällt, $\lambda_i\in\Bbbk'$. Zu jedem Eigenwert $\lambda_i$ gibt es sicher einen Eigenvektor, wir @@ -31,35 +35,35 @@ aus Eigenvektoren gibt. In dieser Basis bekommt die Matrix Diagonalform, wobei auf der Diagonalen nur Eigenwerte vorkommen können. Man kann die Vektoren so anordnen, dass die Diagonalmatrix in Blöcke -der Form $\lambda_iE$ zerfällt +der Form $\lambda_iI$ zerfällt \[ \def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{\raisebox{0pt}[12pt][7pt]{\phantom{x}$#1$}\phantom{x}}} A' =\left( \begin{array}{cccc} \cline{1-1} -\temp{\lambda_1E} &\multicolumn{1}{|c}{}& & \\ +\temp{\lambda_1I} &\multicolumn{1}{|c}{}& & \\ \cline{1-2} - &\temp{\lambda_2E}&\multicolumn{1}{|c}{}& \\ + &\temp{\lambda_2I}&\multicolumn{1}{|c}{}& \\ \cline{2-3} & &\temp{\ddots}&\multicolumn{1}{|c}{}\\ \cline{3-4} - & & &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[12pt][7pt]{\phantom{x}$\lambda_mE$}\phantom{x}}\\ + & & &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[12pt][7pt]{\phantom{x}$\lambda_mI$}\phantom{x}}\\ \cline{4-4} \end{array} \right) \] -Über die Grösse eines solchen $\lambda_iE$-Blockes können wir zum jetzigen +Über die Grösse eines solchen $\lambda_iI$-Blockes können wir zum jetzigen Zeitpunkt noch keine Aussagen machen. -Die Matrizen $A-\lambda_kE$ enthalten jeweils einen Block aus lauter +Die Matrizen $A-\lambda_kI$ enthalten jeweils einen Block aus lauter Nullen. Das Produkt all dieser Matrizen ist daher \[ -(A-\lambda_1E) -(A-\lambda_2E) +(A-\lambda_1I) +(A-\lambda_2I) \cdots -(A-\lambda_mE) +(A-\lambda_mI) = 0. \] @@ -69,6 +73,7 @@ $m(A)=0$. Dies ist auch das Polynom von kleinstmöglichem Grad, denn für jeden Eigenwert muss ein entsprechender Linearfaktor in so einem Polynom vorkommen. Das Polynom $m(x)$ ist daher das Minimalpolynom der Matrix $A$. +\index{Minimalpolynome}% Da jeder Faktor in $m(x)$ auch ein Faktor von $\chi_A(x)$ ist, folgt wieder $\chi_A(A)=0$. Ausserdem ist über dem Körper $\Bbbk'$ das Polynom $m(x)$ ein Teiler @@ -76,6 +81,7 @@ des charakteristischen Polynoms $\chi_A(x)$. \subsection{Jordan-Normalform \label{buch:subsection:jordan-normalform}} +\index{Jordan-Normalform}% Die Eigenwerte einer Matrix $A$ können als Nullstellen des charakteristischen Polynoms gefunden werden. Da der Körper $\Bbbk$ nicht unbedingt algebraische abgeschlossen ist, @@ -90,9 +96,7 @@ Wir nehmen im Folgenden an, dass (x-\lambda_1)^{k_1} \cdot (x-\lambda_2)^{k_2} -\cdot -\dots -\cdot +\cdots (x-\lambda_l)^{k_l} \] ist mit $\lambda_i\in\Bbbk'$. @@ -101,9 +105,9 @@ Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} liefern die verallgemeinerten Eigenräume $V_i=\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ eine Zerlegung von $V$ in invariante Eigenräume \[ -V=V_1\oplus V_2\oplus \dots\oplus V_l, +V=V_1\oplus V_2\oplus \dots\oplus V_l \] -derart, dass $A-\lambda_iE$ auf $V_i$ nilpotent ist. +derart, dass $A-\lambda_iI$ auf $V_i$ nilpotent ist. Wählt man in jedem der Unterräume $V_i$ eine Basis, dann zerfällt die Matrix $A$ in Blockmatrizen \begin{equation} @@ -122,17 +126,17 @@ A' \cline{4-4} \end{array} \right) -\label{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} +\label{buch:eigenwerte:eqn:allgjordan} \end{equation} wobei, $A_i$ Matrizen mit dem einzigen Eigenwert $\lambda_i$ sind. Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent} kann man in den Unterräume die Basis zusätzlich so wählen, dass -die entstehenden Blöcke $A_i-\lambda_i E$ spezielle nilpotente Matrizen -aus lauter Null sind, die höchstens unmittelbar über der Diagonalen -Einträge $1$ haben kann. +die entstehenden Blöcke $A_i-\lambda_i I$ spezielle nilpotente Matrizen sind, +die lauter Nullen als Einträge haben mit Ausnahme +höchstens der Einträge unmittelbar über der Diagonalen, die $1$ sein können. Dies bedeutet, dass sich immer eine Basis so wählen lässt, dass die -Matrix $A_i$ zerfällt in sogenannte Jordan-Blöcke. +Matrix $A_i$ in sogenannte Jordan-Blöcke zerfällt. \begin{definition} Ein $m$-dimensionaler {\em Jordan-Block} ist eine $m\times m$-Matrix @@ -150,7 +154,7 @@ J_m(\lambda) & & & & & \lambda \end{pmatrix}. \] -Eine {\em Jordan-Matrix} ist eine Blockmatrix Matrix +Eine {\em Jordan-Matrix} ist eine Blockmatrix der Form \[ J = @@ -180,7 +184,7 @@ Es gilt \[ \chi_{J_m(\lambda)}(x) = -\det (J_m(\lambda) - xE) +\det (J_m(\lambda) - xI) = (\lambda-x)^m \] @@ -192,14 +196,12 @@ bis $J_{m_p}(\lambda)$ ist = \chi_{J_{m_1}(\lambda)}(x) \chi_{J_{m_2}(\lambda)}(x) -\cdot -\dots -\cdot +\cdots \chi_{J_{m_p}(\lambda)}(x) = (\lambda-x)^{m_1} (\lambda-x)^{m_2} -\cdot\dots\cdot +\cdots (\lambda-x)^{m_p} = (\lambda-x)^m. @@ -240,6 +242,7 @@ charakteristischen Polynom $\chi_A(x)$. \begin{satz}[Cayley-Hamilton] +\label{buch:normalformen:satz:cayley-hamilton} Ist $A$ eine $n\times n$-Matrix über dem Körper $\Bbbk$, dann gilt $\chi_A(A)=0$. \end{satz} @@ -264,17 +267,13 @@ $\chi_A(x)$ ein, erhält man \[ \chi_A(J_i) = -(\lambda_1E - J_1)^{m_1} -\cdot -\ldots -\cdot +(\lambda_1I - J_1)^{m_1} +\cdots \underbrace{ -(\lambda_iE - J_i)^{m_i} +(\lambda_iI - J_i)^{m_i} }_{\displaystyle=0} -\cdot -\ldots -\cdot -(\lambda_iE - J_p)^{m_p} +\cdots +(\lambda_iI - J_p)^{m_p} = 0. \] @@ -289,7 +288,7 @@ $\chi_A(A)$ kann in $\Bbbk$ ausgeführt werden, also ist $\chi_A(A)=0$. Aus dem Beweis kann man auch noch eine strengere Bedingung ableiten. Auf jedem verallgemeinerten Eigenraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ ist $A_i-\lambda_i$ nilpotent, es gibt also einen minimalen Exponenten -$q_i$ derart, dass $(A_i-\lambda_iE)^{q_i}=0$ ist. +$q_i$ derart, dass $(A_i-\lambda_iI)^{q_i}=0$ ist. Wählt man eine Basis in jedem verallgemeinerten Eigenraum derart, dass $A_i$ eine Jordan-Matrix ist, kann man wieder zeigen, dass für das Polynom @@ -298,9 +297,7 @@ m_A(x) = (x-\lambda_1x)^{q_1} (x-\lambda_2x)^{q_2} -\cdot -\ldots -\cdot +\cdots (x-\lambda_px)^{q_p} \] gilt $m_A(A)=0$. @@ -312,17 +309,17 @@ $m_A(x)$ ist das {\em Minimalpolynom} der Matrix $A$. Polynom $\chi_A(x)$ in Linearfaktoren zerfällt, ist das Minimalpolynom von $A$ das Polynom \[ +m_A(x) += m(x) = (x-\lambda_1)^{q_1} (x-\lambda_2)^{q_2} \cdots -\ldots -\cdots (x-\lambda_p)^{q_p} \] wobei $q_i$ der kleinste Index ist, für den die $q_i$-te Potenz -derEinschränkung von $A-\lambda_i E$ auf den verallgemeinerten Eigenraum +der Einschränkung von $A-\lambda_i I$ auf den verallgemeinerten Eigenraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ verschwindet. Es ist das Polynom geringsten Grades über $\Bbbk'$, welches $m(A)=0$ erfüllt. \end{satz} @@ -465,6 +462,8 @@ d_{k-1}. Für $k=1$ fallen die Terme $c_{k-1}$ und $d_{k-1}$ weg. In der Basis $\mathcal{D}=\{c_1,d_1,\dots,c_n,d_n\}$ hat die Matrix also die {\em reelle Normalform} +\index{relle Normalform}% +\index{Normalform, reelle}% \begin{equation} \def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{#1\mathstrut}} \def\semp#1{\multicolumn{1}{c|}{#1\mathstrut}} @@ -478,12 +477,12 @@ A_{\text{reell}} \cline{1-6} & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{ 1}& 0&\temp{} & & & &&\\ & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{ 0}& 1&\temp{} & & & &&\\ -\cline{3-6} - & & & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{} & & & &&\\ - & & & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{} & & & &&\\ -\cline{5-8} - & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &&\\ - & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &&\\ +\cline{3-8} + & & & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{} & &\temp{}& &&\\ + & & & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{} & &\temp{}& &&\\ +\cline{5-10} + & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &\temp{}&\\ + & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &\temp{}&\\ \cline{7-12} & & & & & & & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{ 1}&\semp{ 0}\\ & & & & & & & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{ 0}&\semp{ 1}\\ diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex index a36dc33..1cdaf35 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex @@ -21,23 +21,28 @@ Funktionen $f$ berechnen zu können. % \subsection{Polynom-Funktionen \label{buch:subsection:polynom-funktionen}} +Die einfachsten Funktionen $f(x)$, für die der Wert $f(A)$ +auf offensichtliche Weise berechnet werden kann, sind Polynome. +Die Jordan-Normalform kann dabei helfen, die Potenzen von $A$ +zu berechnen. + In diesem Abschnitt ist $B\in M_n(\Bbbk)$ und $\Bbbk'\supset\Bbbk$ ein -Körper, über dem das charakteristische Polynome $\chi_A(x)$ in +Körper, über dem das charakteristische Polynome $\chi_A(X)$ in Linearfaktoren \[ -\chi_A(x) +\chi_A(X) = -(\lambda_1-x)^{m_1}(\lambda_2-x)^{m_2}\cdot\ldots\cdot(\lambda_p-x)^{m_p} +(\lambda_1-X)^{m_1}(\lambda_2-X)^{m_2}\cdots(\lambda_p-X)^{m_p} \] zerfällt. -Für jedes beliebige Polynome $p(X)\in\Bbbk[X]$ der Form +Für jedes beliebige Polynom $p(X)\in\Bbbk[X]$ der Form \[ -p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1x + a_0 +p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \] kann man auch \[ -p(A) = a_nA^n + a_{n-1}A^{n-1} + \dots a_1A + a_0E +p(A) = a_nA^n + a_{n-1}A^{n-1} + \dots + a_1A + a_0I \] berechnen. In der Jordan-Normalform können die Potenzen $A^k$ leicht zusammengstellt @@ -48,6 +53,7 @@ Die $k$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ ist die Matrix mit \begin{equation} J_n(\lambda)^k = +\renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{pmatrix} \lambda^k & \binom{k}{1}\lambda^{k-1} @@ -70,6 +76,13 @@ J_n(\lambda)^k & \dots &\binom{k}{n-3}\lambda^{k-n+3} \\ +0 + & 0 + & 0 + & \lambda^k + & \dots + &\binom{k}{n-4}\lambda^{k-n+4} +\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda^k @@ -78,7 +91,7 @@ J_n(\lambda)^k \end{equation} mit den Matrixelementen \[ -(J_n(\lambda)^k)_{ij} +(J_n(\lambda)^k)_{i\!j} = \binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i}. \] @@ -88,12 +101,12 @@ Die Binomialkoeffizienten verschwinden für $j<i$ und $j>i+k$. \begin{proof}[Beweis] Die Herkunft der Binomialkoeffizienten wird klar, wenn man \[ -J_n(\lambda) = \lambda E + N_n +J_n(\lambda) = \lambda I + N_n \] schreibt, wobei $N_n$ die Matrix \eqref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent} ist. Die Potenzen von $N_n$ haben die Matrix-Elemente \[ -(N_n^k)_{ij} +(N_n^k)_{i\!j} = \delta_{i,j-k} = @@ -104,7 +117,7 @@ Die Potenzen von $N_n$ haben die Matrix-Elemente \] sie haben also Einsen genau dort, wo in der \label{buch:eigenwerte:eqn:Jnkpotenz} die Potenz $\lambda^{k}$ steht. -Die $kt$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ kann dann mit dem binomischen +Die $k$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ kann dann mit dem binomischen Satz berechnet werden: \[ J_n(\lambda)^k @@ -114,7 +127,8 @@ J_n(\lambda)^k dies ist genau die Form \eqref{buch:eigenwerte:eqn:Jnkpotenz}. \end{proof} -Wir haben bereits gesehen, dass $\chi_A(A)=0$, ersetzt man also das +Wir haben bereits gesehen, dass $\chi_A(A)=0$. +Ersetzt man also das Polynom $p(X)$ durch $p(X)+\chi_A(X)$, dann ändert sich am Wert \[ (p+\chi_A)(A) @@ -126,7 +140,8 @@ p(A) nichts. Man kann also nicht erwarten, dass verschiedene Polynome $p(X)$ zu verschiedenen Matrizen $p(A)$ führen. -Doch welche Unterschiede zwischen Polynomen wirken sich genau aus? +Doch genau welche Unterschiede zwischen Polynomen wirken sich +auf den Wert $p(A)$ aus? \begin{satz} Für zwei Polynome $p(X)$ und $q(X)$ ist genau dann $p(A)=q(A)$, wenn @@ -149,13 +164,13 @@ m(X) = (\lambda_1-X)^{q_1} (\lambda_2-X)^{q_2} -\cdot\ldots -\cdot +\cdots (\lambda_p-X)^{q_p}, \] wobei $q_i$ die Dimension des grössten Jordan-Blocks ist, der in der Jordan-Normalform vorkommt. -Zwei Polynome $p_1(X)$ und $p_2(X)$ haben genau dann den gleichen Wert, +Zwei Polynome $p_1(X)$ und $p_2(X)$ ergeben genau dann den gleichen Wert +auf $A$, wenn die Differenz $p_1(X)-p_2(X)$ genau die Nullstellen $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ mit Vielfachheiten $q_1,\dots,q_p$ hat. @@ -172,18 +187,18 @@ A \] mit dem charakteristischen Polynom \[ -\chi_A(x) +\chi_A(X) = --x^3+7x^2-16 x+12 +-X^3+7X^2-16 X+12 = --(x-3)(x-2)^2. +-(X-3)(X-2)^2. \] Daraus kann man bereits ablesen, dass das Minimalpolynom $m(X)$ von $A$ entweder $(X-2)(X-3)$ oder $(X-2)^2(X-3)$ ist. Es genügt also nachzuprüfen, ob $p(A)=0$ für das Polynom $p(X)=(X-2)(X-3) = X^2-5X+6$ ist. Tatsächlich sind die Potenzen von $A$: -\[ +\begin{equation} A^2= \begin{pmatrix} 0& 36& -16 \\ @@ -197,8 +212,9 @@ A^3= -12& -36& 28\\ -24&-126& 83 \end{pmatrix} -\] -und daraus kann man jetzt $P(A)$ berechnen: +\label{buch:eigenwerte:eqn:A2A3} +\end{equation} +und daraus kann man jetzt $p(A)$ berechnen: \begin{equation} p(A) = @@ -229,9 +245,11 @@ p(A) = \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-9&4\end{pmatrix} +\ne 0 \label{buch:eigenwerte:eqn:nichtminimalpolynom} \end{equation} -Also ist tatsächlich $(X-2)^2(X-3)$ das Minimalpolynom. +Daher kann $p(X)$ nicht das Minimalpolynom $A$ +sein, daher muss $(X-2)^2(X-3)$ das Minimalpolynom sein. Das Quadrat des Polynoms $p(X)$ ist $p(X)^2 = (X-2)^2(X-3)^2$, es hat das Minimalpolynom als Teiler, also muss $p(A)^2=0$ sein. @@ -254,11 +272,12 @@ wie zu erwarten war. Wenn sich zwei Polynome nur um das charakteristische Polynom unterscheiden, dann haben sie den gleichen Wert auf $A$. -Das Polynom $p_1(X)=X^3$ unterschiedet sich vom Polynom $p_2(X)=7X^2-16X+12$ +Das Polynom $p_1(X)=X^3$ unterschiedet sich vom Polynom +$p_2(X)=7X^2-16X+12=\chi_A(X)+X^3=p_1(X)+\chi_A(X)$ um das charakteristische Polynom, welches wir bereits als das Minimalpolynom von $A$ erkannt haben. -Die dritte Potenz $A^3$ von $A$ muss sich daher auch mit $p_2(X)$ berechnen -lassen: +Die dritte Potenz $A^3=p_1(A)$ von $A$ muss sich daher auch als $p_2(A)$ +berechnen lassen: \[ 7 \begin{pmatrix} @@ -285,9 +304,9 @@ lassen: -24&-126& 83 \end{pmatrix} = -A^3. -\qedhere +A^3, \] +wie in \eqref{buch:eigenwerte:eqn:A2A3} vorsorglich berechnet worden ist. \end{beispiel} \begin{satz} @@ -299,9 +318,11 @@ für alle Eigenwerte $\lambda$ von $A$. Über dem Körper der komplexen Zahlen ist die Bedingung, dass die Differenz $d(X)=p_1(X)-p_2(X)$ vom Minimalpolynom geteilt werden muss, gleichbedeutend -damit, dass $p_1(X)$ und $p_2(X)$ den gleichen Wert und gleiche Ableitungen -bis zur Ordnung $q_i-1$ haben in allen Eigenwerten $\lambda_i$, wobei -$q_i$ der Exponent von $\lambda_i-X$ im Minimalpolynom von $A$ ist. +damit, dass $p_1(X)$ und $p_2(X)$ die gleichen Nullstellen mit den gleichen +Vielfachheiten haben. +Eine andere Art, dies auszudrücken, ist, dass $p_1(x)$ und $p_2(X)$ +die gleichen Werte und Ableitungen bis zur Ordnung $q_i-1$ haben, wenn +$q_i$ der Exponente von $\lambda_I-X$ im Minimalpolynom von $A$ ist. Das Beispiel illustriert auch noch ein weiteres wichtiges Prinzip. Schreiben wir das Minimalpolynom von $A$ in der Form @@ -317,10 +338,10 @@ A^i = A^{i-k}A^k = -A^{i-k}(-a_{k-1}A^{k-1}+ \dots + a_1 A + a_0E) +A^{i-k}(-a_{k-1}A^{k-1}+ \dots + a_1 A + a_0I) \] in einer Linearkombination kleinerer Potenzen reduzieren. -Jedes Polynom vom Grad $\ge k$ kann also reduizert werden in +Jedes Polynom vom Grad $\ge k$ kann also reduziert werden in ein Polynom vom Grad $<k$ mit dem gleichen Wert auf $A$. \begin{satz} @@ -336,6 +357,7 @@ vom Grad $\deg q<\deg m$ mit $p(A)=q(A)$. \subsection{Approximation von $f(A)$ \label{buch:subsection:approximation}} Die Quadratwurzelfunktion $x\mapsto\sqrt{x}$ lässt sich nicht durch ein +\index{Quadratwurzelfunktion}% Polynom darstellen, es gibt also keine direkte Möglichkeit, $\sqrt{A}$ für eine beliebige Matrix zu definieren. Wir können versuchen, die Funktion durch ein Polynom zu approximieren. @@ -358,9 +380,19 @@ Solche Polynome gibt es dank dem Satz von Stone-Weierstrass immer: \begin{satz}[Stone-Weierstrass] Ist $I\subset\mathbb{R}$ kompakt, dann lässt sich jede stetige Funktion +$f(x)$ durch eine Folge $p_n(x)$ beliebig genau approximieren. \end{satz} +Die Hoffnung ist, $f(A)$ als Grenzwert der Approximationen $p_n(A)$ +zu definieren. +Dazu muss sichergestellt sein, dass verschiedene Approximationen +der Funktion $f$ den gleichen Grenzwert $\lim_{n\to\infty}p_n(A)$ +ergeben. +Im Folgenden soll genauer untersucht werden, ob sich von der +Konvergenz einer Folge $p_n(x)$ auf die Konvergenz von $p_n(A)$ +geschlossen werden kann. + Wir haben schon gezeigt, dass es dabei auf die höheren Potenzen gar nicht ankommt, nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:reduktion} kann man ein approximierendes Polynom immer durch ein Polynom von kleinerem Grad @@ -407,8 +439,99 @@ Faktor $\frac23$ kleiner geworden ist. \end{beispiel} \begin{beispiel} -Wir berechnen die Norm eines Jordan-Blocks. - +Wir berechnen die Norm eines $2\times2$-Jordan-Blocks. +Ein $2$-dimensionaler Einheitsvektor kann als +\[ +v\colon +t\mapsto v(t)= +\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix} +\] +parametrisiert werden. +Für die Zahl $\lambda=a+bi$ bildet der +Jordanblock $J_2(\lambda)$ den Vektor $v(t)$ auf den Vektor +\[ +J_2(\lambda)v(t) += +\begin{pmatrix} +\lambda&1\\ +0&\lambda +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\lambda\cos t + \sin t\\ +\lambda\sin t +\end{pmatrix} +\] +ab +mit der Länge +\begin{align*} +|J_2(\lambda)v(t)|^2 +&= +|\lambda\cos t + \sin t|^2 + |\lambda\sin t|^2 += +(\Re\lambda \cos t + \sin t)^2 ++ +(\Im\lambda \cos t)^2 ++ +|\lambda|^2 \sin^2t +\\ +&= +a^2\cos^2 t ++ +2a\cos t\sin t + \sin^2 t + b^2\cos^2t + (a^2+b^2) \sin^2 t +\\ +&= +(a^2+b^2)(\cos^2t + \sin^2t) + \sin^2t + 2a\cos t\sin t += +|\lambda|^2+2a\cos t\sin t + \sin^2 t +\\ +&= +|\lambda|^2 + a\sin 2t + \frac12(1-\cos 2t). +\end{align*} +Um den maximalen Wert zu finden, leiten wir nach $t$ ab und finden +\begin{align*} +\frac{d}{dt} +|J_2(\lambda)v(t)|^2 +&= +2a\cos 2t ++ +\sin 2t += +0. +\end{align*} +Dividieren wir durch $\cos t$, ergibt sich die Gleichung +\[ +\tan 2t = -2a +\quad\Rightarrow\quad +2t += +\arctan(-2a) +\quad\Rightarrow\quad +\left\{ +\renewcommand{\arraystretch}{2.1} +\setlength\arraycolsep{1pt} +\begin{array}{ccc} +\cos 2t &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+4a^2}}\phantom{.}\\ +\sin 2t &=& \displaystyle\frac{-2a}{\sqrt{1+4a^2}}. +\end{array} +\right. +\] +Setzt man dies in die ursprüngliche Formel für die Länge des +Bildvektors ein, erhält man +\begin{align*} +\|J_2\|^2 += +|J_2(\lambda)v(t)|^2 +&= +|\lambda|^2 + \frac{-2a}{\sqrt{1+4a^2}} + \frac12\biggl(1-\frac{1}{\sqrt{1+4a^2}}\biggr) +\\ +&= +|\lambda|^2 ++ \frac12 +-\frac{1+4a}{2\sqrt{1+4a^2}}. +\end{align*} +Für $a\to\infty$ wächst dies asymptotisch wie $a^2-1$. \end{beispiel} % @@ -416,57 +539,111 @@ Wir berechnen die Norm eines Jordan-Blocks. % \subsection{Potenzreihen \label{buch:subsection:potenzreihen}} +Funktionen, die eine konvergente Potenzreihenentwicklung +\begin{equation} +f(z) += +\sum_{k=0}^\infty a_kz^k +\label{buch:eigenwerte:eqn:potenzreihe} +\end{equation} +\index{Potenzreihe} +haben, wie +zum Beispiel $e^x$, $\sin x$ oder $\cos x$, haben eine in der Folge +der Partialsummen +\[ +p_n(z) = \sum_{k=0}^n a_kz^k +\] +eine Approximation mit Polynomen. +Nach dem {\em Wurzelkriterium} ist die +Reihe~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:potenzreihe} +konvergent, wenn +\[ +\limsup_{k\to\infty} \sqrt[n]{|a_kz^k|} < 1 +\] +ist. +\index{Wurzelkriterium}% +Dies führt auf die Formel $1/\varrho = \limsup_{k\to\infty}|a_k|^{\frac1k}$ +für den Konvergenzradius der Potenzreihe. - - +Setzt man die Matrix $M\in M_r(\Bbbk)$ in die Potenzreihe ein, +folgt, dass +\[ +\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|a_kM^n\|} +\le +\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} +\cdot +\limsup_{n\to\infty} \|M^k\|^{\frac1k} += +\frac{1}{\varrho} +\limsup_{n\to\infty} \|M^k\|^{\frac1k} +\] +sein muss. Dies führt uns auf die Grösse \begin{equation} \pi(M) = -\limsup_{n\to\infty} \|M^n\|^\frac1n. +\limsup_{n\to\infty} \|M^n\|^\frac1n, \label{buch:eqn:gelfand-grenzwert} \end{equation} +die +darüber entscheidet, ob die Potenzreihe $f(A)$ konvergiert. + +Die Zahl $\pi(M)$ erlaubt zunächst einmal zu bestimmen, wie +sich die Potenzen $M^k$ entwickeln. +Für Zahlen ist diese Frage sehr einfach zu entscheiden: wenn $q>1$ ist, +dann geht $q^n\to\infty$, wenn $|q|<1$ ist, dann geht $q^n\to 0$. +Für Matrizen ist die Frage etwas schieriger. +Man kann sich vorstellen, dass eine Streckung in einer Richtung +von einer Stauchung in eine andere Richtung kompensiert wird, wenn +dazwischen eine Drehung stattfindet. +Es ist also durchaus möglich, dass $\|M\|>1$ ist, die +Iterierten $M^k$ aber trotzdem gegen $0$ gehen. + Ist $\pi(M) > 1$, dann gibt es Anfangsvektoren $v$ für die Iteration, für die $M^kv$ über alle Grenzen wächst. Ist $\pi(M) < 1$, dann wird jeder Anfangsvektor $v$ zu einer Iterationsfolge $M^kv$ führen, die gegen $0$ konvergiert. -Die Kennzahl $\pi(M)$ erlaubt also zu entscheiden, ob ein -Iterationsverfahren konvergent ist. +Die Kennzahl $\pi(M)$ erlaubt also zu entscheiden, ob die +Iteration konvergent ist. \index{Konvergenzbedingung}% -Die Berechnung von $\pi(M)$ als Grenzwert ist sehr unhandlich. +\begin{definition} +\label{buch:eigenwerte:def:gelfand-radius} +Der Grenzwert +\[ +\pi(M) += +\limsup_{n\to\infty} \|M^k\|^{\frac1k} +\] +heisst {\em Gelfand-Radius} der Matrix $M$. +\index{Gelfand-Radius}% +\end{definition} + + +% +% Gelfand-Radius und Eigenwerte +% +\subsection{Gelfand-Radius und Eigenwerte +\label{buch:subsection:potenzreihen}} +Die Berechnung des Gelfand-Radius als Grenzwert ist sehr unhandlich. Viel einfacher ist der Begriff des Spektralradius. \index{Spektralradius}% \begin{definition} \label{buch:definition:spektralradius} Der {\em Spektralradius} der Matrix $M$ ist der Betrag des betragsgrössten +\index{Spektralradius}% Eigenwertes. \end{definition} -% -% Gelfand-Radius und Eigenwerte -% -\subsection{Gelfand-Radius und Eigenwerte -\label{buch:subsection:spektralradius}} -In Abschnitt~\ref{buch:subsection:konvergenzbedingung} -ist der Gelfand-Radius mit Hilfe eines Grenzwertes definiert worden. -\index{Gelfand-Radius}% -Nur dieser Grenzwert ist in der Lage, über die Konvergenz eines -Iterationsverfahrens Auskunft zu geben. -Der Grenzwert ist aber sehr mühsam zu berechnen. -\index{Grenzwert}% -Es wurde angedeutet, dass der Gelfand-Radius mit dem Spektralradius -übereinstimmt, dem Betrag des betragsgrössten Eigenwertes. -Dies hat uns ein vergleichsweise einfach auszuwertendes Konvergenzkriterium -geliefert. +Wir wollen in diesem Abschnitt zeigen, dass der Gelfand-Radius mit +dem Spektralradius übereinstimmt. +Dies liefert uns ein vergleichsweise einfach auszuwertendes Konvergenzkriterium. \index{Konvergenzkriterium}% -In diesem Abschnitt soll diese Identität zunächst an Spezialfällen -und später ganz allgemein gezeigt werden. \subsubsection{Spezialfall: Diagonalisierbare Matrizen} Ist eine Matrix $A$ diagonalisierbar, dann kann Sie durch eine Wahl -einer geeigneten Basis in Diagonalform +einer geeigneten Basis in die Diagonalform \index{diagonalisierbar}% \index{Diagonalform}% \[ @@ -576,8 +753,8 @@ Ihre Potenzen haben ebenfalls Blockform: \[ A^k = \begin{pmatrix} B^k & 0 \\ 0 & C^k\end{pmatrix}. \] -Ein Vektor $v$ kann in die zwei Summanden $v_1$ bestehen aus den -ersten $n$ Komponenten und $v_2$ bestehen aus den letzten $m$ +Ein Vektor $v$ kann in die zwei Summanden $v_1$ bestehend aus den +ersten $n$ Komponenten und $v_2$ bestehend aus den letzten $m$ Komponenten zerlegen. Dann ist \[ @@ -613,11 +790,11 @@ Polynom der Blockmatrix $A$ natürlich \index{charakteristisches Polynom}% \index{Polynom!charakteristisch}% \[ -\chi_A(\lambda) = \chi_B(\lambda)\chi_C(\lambda), +\chi_A(\lambda) = \chi_B(\lambda)\chi_C(\lambda). \] -woraus folgt, dass die Eigenwerte von $A$ die Vereinigung der Eigenwerte +Es folgt, dass die Eigenwerte von $A$ die Vereinigung der Eigenwerte von $B$ und $C$ sind. -Daher gilt auch für die Spektralradius die Formel +Daher gilt auch für den Spektralradius die Formel \[ \varrho(A) = \max(\varrho(B) , \varrho(C)). \] @@ -625,7 +802,7 @@ Daher gilt auch für die Spektralradius die Formel \subsubsection{Jordan-Blöcke} \index{Jordan-Block}% Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar, die bekanntesten Beispiele sind -die Matrizen +die Jordan-Blöcke \begin{equation} J_n(\lambda) = @@ -640,12 +817,12 @@ J_n(\lambda) \label{buch:spektralradius:eqn:jordan} \end{equation} wobei $\lambda\in\mathbb C$ eine beliebige komplexe Zahl ist. -Wir nennen diese Matrizen {\em Jordan-Matrizen}. Es ist klar, dass $J_n(\lambda)$ nur den $n$-fachen Eigenwert $\lambda$ hat und dass der erste Standardbasisvektor ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert ist. -In der linearen Algebra lernt man, dass jede Matrix durch Wahl +In Abschnitt~\ref{buch:subsection:jordan-normalform} +haben wir gesehen, dass jede Matrix durch die Wahl \index{lineare!Algebra}% einer geeigneten Basis als Blockmatrix der Form \[ @@ -658,14 +835,13 @@ J_{n_1}(\lambda_1) & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots &J_{n_l}(\lambda_l) \end{pmatrix} \] -geschrieben werden kann\footnote{Sofern die Matrix komplexe Eigenwerte -hat muss man auch komplexe Basisvektoren zulassen.}. +geschrieben werden kann. Die früheren Beobachtungen über den Spektralradius und den -Gelfand-Radius von Blockmatrizen zeigen uns daher, dass +Gelfand-Radius von Blockmatrizen führen uns dazu, dass nur gezeigt werden muss, dass nur die Gleichheit des Gelfand-Radius und des Spektral-Radius von Jordan-Blöcken gezeigt werden muss. -\subsubsection{Iterationsfolgen} +\subsubsection{Potenzen von Jordan-Blöcken} \begin{satz} \label{buch:spektralradius:satz:grenzwert} Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix mit Spektralradius $\varrho(A)$. @@ -773,7 +949,7 @@ es im Fall $\varepsilon > 0$ eine Konstante $M$ gibt mit \|A(\varepsilon) ^k\|^\frac1k\le M^\frac1k\varrho(A(\varepsilon)) \\ &\Rightarrow\quad -\pi(A) \le \varrho(A(\varepsilon)) +\pi(A(\varepsilon)) \le \varrho(A(\varepsilon)) \underbrace{\lim_{k\to\infty} M^\frac1k}_{\displaystyle=1} = \varrho(A(\varepsilon)) @@ -790,7 +966,7 @@ Andererseits gibt es für $\varepsilon <0$ eine Konstante $m$ mit \|A(\varepsilon) ^k\|^\frac1k\ge m^\frac1k\varrho(A(\varepsilon)) \\ &\Rightarrow\quad -\pi(A) \ge \varrho(A(\varepsilon)) +\pi(A(\varepsilon)) \ge \varrho(A(\varepsilon)) \underbrace{\lim_{k\to\infty} m^\frac1k}_{\displaystyle=1} = \varrho(A(\varepsilon)) diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex index 466b99e..94a64e1 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex @@ -6,11 +6,12 @@ \section{Spektraltheorie \label{buch:section:spektraltheorie}} Aufgabe der Spektraltheorie ist, Bedingungen an eine Matrix $A$ und eine +\index{Spektraltheorie} Funktion $f(z)$ zu finden, unter denen es möglich ist, $f(A)$ auf konsistente Art und Weise zu definieren. Weiter müssen Methoden entwickelt werden, mit denen $f(A)$ berechnet werden kann. -Für ein Polynom $p(z)$ ist $p(A)$ durch einsetzen definiert. +Für ein Polynom $p(z)$ ist $p(A)$ durch Einsetzen definiert. Für Funktionen, die sich nicht durch ein Polynom darstellen lassen, muss eine Approximation der Funktion durch Polynome verwendet werden. Sei also $p_n(z)$ eine Folge von Polynomen, die als Approximation der @@ -41,7 +42,10 @@ konvergente Folge von Polynomen $p_n(z)$ auch die Matrizenfolge $p_n(A)$ konvergiert. Es wird sich zeigen, dass die Menge $K$ das Spektrum von $A$ ist, +$K=\operatorname{Sp}(A)$, +(Definition~\ref{buch:eigenwerte:def:spektrum}), also eine endliche Teilmenge von $\mathbb{C}$. +\index{Spektrum} Jede Funktion kann auf so einer Menge durch Polynome exakt wiedergegeben werden. Es gibt insbesondere Folgen von Polynomen, die eingeschränkt @@ -70,9 +74,11 @@ lassen, woraus sich dann Approximationen von $f(A)$ für diagonalisierbare Matrizen mit reellen Eigenwerten ergeben. Der Satz von Stone-Weierstrass, der in +\index{Stone-Weierstrass, Satz von}% +\index{Satz von Stone-Weierstrass}% Abschnitt~\ref{buch:subsetion:stone-weierstrass} dargestellt wird, ist ein sehr allgemeines Approximationsresultat, welches nicht nur -zeigt, dass die Approximation unter sehr natürlichen Voraussetzungen +zeigt, dass die Approximation unter einigermassen natürlichen Voraussetzungen beliebig genau möglich ist, sondern uns im komplexen Fall auch weitere Einsicht dafür geben kann, welche Voraussetzungen an eine komplexe Matrix gestellt werden müssen, damit man damit rechnen kann, @@ -91,8 +97,10 @@ Approximationsverfahren entwickelt, wovon zwei kurz (ohne Beweise) vorgestellt werden sollen. \subsubsection{Das Legendre-Interpolationspolynom} +\index{Legendre-Interpolationspolynom}% Zu vorgegebenen, verschiedenen Zahlen $z_i\in\mathbb{C}$, $0\le i\le n$, die auch die {\em Stützstellen} genannt werden, +\index{Stützstelle}% gibt es immer ein Polynom vom Grade $n$, welches in den $z_i$ vorgegebene Werte $f(z_i)$ annimmt. Ein solches Polynom lässt sich im Prinzip mit Hilfe eines linearen @@ -100,9 +108,9 @@ Gleichungssystems finden, man kann aber auch direkt eine Lösung konstruieren. Dazu bildet man erst die Polynome \begin{align*} -l(z) &= (z-z_0)(z-z_1)\dots (z-z_n) \qquad\text{und} +l(z) &= (z-z_0)(z-z_1)\cdots (z-z_n) \qquad\text{und} \\ -l_i(z) &= (z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n). +l_i(z) &= (z-z_0)\cdots \widehat{(z-z_i)}\cdots (z-z_n). \end{align*} Darin bedeutet der Hut, dass dieser Term weggelassen werden soll. Für $z\ne z_i$ ist $l_i(z)=l(z)/(z-z_i)$. @@ -112,10 +120,10 @@ k_i(z) = \frac{l_i(z)}{l_i(z_i)} = -\frac{(z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n)}{(z_i-z_0)\dots \widehat{(z_i-z_i)}\dots (z_i-z_n)} +\frac{(z-z_0)\cdots \widehat{(z-z_i)}\cdots (z-z_n)}{(z_i-z_0)\cdots \widehat{(z_i-z_i)}\cdots (z_i-z_n)} \] haben die Eigenschaft -$k_i(z_j)=\delta_{ij}$. +$k_i(z_j)=\delta_{i\!j}$. Damit lässt sich jetzt ein Polynom \[ p(z) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z)}{l_j(z_j)} @@ -126,7 +134,7 @@ p(z_i) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z_i)}{l_j(z_j)} = -\sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{ij} +\sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{i\!j} = f_(z_i) \] @@ -139,17 +147,19 @@ annimmt, doch ist die Stabilität für grosse $n$ eher beschränkt. \subsubsection{Gleichmassige Approximation mit Bernstein-Polynomen} +\index{Bernstein-Polynom}% Das Legendre-Interpolationspolynom nimmt in den Stützstellen die verlangten Werte an, aber ausserhalb der Stützstellen ist nicht garantiert, dass man eine gute Approximation einer Funktion $f(z)$ erhält. - Für die Approximation auf einem reellen Interval $[a,b]$ hat -Sergei Natanowitsch Bernstein ein +Sergei Natanowitsch Bernstein eine Methode zur expliziten +Konstruktion eines Approximationspolynoms formuliert. + Dazu werden zuerst die reellen Bernsteinpolynome vom Grad $n$ durch \begin{align*} -B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i(1-t)^{n-i}. +B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i(1-t)^{n-i} \end{align*} definiert. Als Approximationspolynom für die auf dem Interval @@ -179,6 +189,8 @@ verwendet. % \subsection{Der Satz von Stone-Weierstrasss \label{buch:subsetion:stone-weierstrass}} +\index{Stone-Weierstrass, Satz von}% +\index{Satz von Stone-Weierstrass}% Der Satz von Stone-Weierstrass behandelt im Gegensatz zu den in Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome} besprochenen Approximationsmethoden nicht nur Funktionen von @@ -207,8 +219,8 @@ erst ermöglichen werden. Aus den konstanten Funktionen lassen sich durch algebraische Operationen nur weitere konstante Funktionen erzeugen. Die konstanten Funktionen sind also nur dann eine genügend -reichhaltige Menge, wenn die Menge $K$ nur einen einzigen Punkt -enthält. +reichhaltige Menge für die Approximation von Funktionen auf $K$, +wenn die Menge $K$ nur einen einzigen Punkt enthält. Damit sich Funktionen approximieren lassen, die in zwei Punkten verschiedene Werte haben, muss es auch unter den zur Approximation zur Verfügung stehenden Funktionen solche haben, deren Werte sich @@ -263,6 +275,8 @@ nicht widerspricht aber ein Hindernis für spätere Anwendungen ist. \subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für reelle Funktionen} +\index{Satz von Stone-Weierstrass}% +\index{Stone-Weierstrass, Satz von}% Die Beispiele von Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome} haben bezeigt, dass sich reellwertige Funktionen einer reellen Variable durch Polynome beliebig genau approximieren lassen. @@ -308,6 +322,7 @@ in $A$. Für den Beweis des Satzes wird ein Hilfsresultat benötigt, welches wir zunächst ableiten. Es besagt, dass sich die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$ +\index{Wurzelfunktion}% auf dem Interval $[0,1]$ gleichmässig von unten durch Polynome approximieren lässt, die in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation} dargestellt @@ -365,6 +380,8 @@ Folge, die gegen $\sqrt{a}$ konvergiert. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Satzes von Stone-Weierstrass] +\index{Stone-Weierstrass, Beweis}% +\index{Satz von Stone-Weierstrasse, Beweis}% Da $A$ eine Algebra ist, ist mit jeder Funktion $f\in A$ für jedes Polynome $p\in\mathbb{R}[X]$ auch $p(f)$ eine Funktion in $A$. \begin{enumerate} @@ -377,12 +394,12 @@ Sei ausserdem $m^2=\sup \{f(x)^2\;|\;x\in K\}$, so dass $f^2/m^2$ eine Funktion mit Werten im Intervall $[0,1]$ ist. Die Funktionen $f_n(x)=mu_n(f(x)^2/m^2)$ sind ebenfalls in $A$ und approximieren gleichmässig $\sqrt{f(x)^2}=|f(x)|$. + \item Schritt: Für zwei Funktionen $f,g\in A$ gibt es eine monoton wachsende Folge, die $\max(f,g)$ gleichmässig beliebig genau approximiert und eine monoton fallende Folge, die $\min(f,g)$ gleichmässig beliebig genau approximiert. - Diese Folgen können aus der Approximationsfolge für den Betrag einer Funktion und den Identitäten \begin{equation} @@ -394,6 +411,7 @@ Funktion und den Identitäten \end{equation} gefunden werden, die in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:minmax} graphisch erklärt werden. + \item Schritt: Zu zwei beliebigen Punkten $x,y\in K$ und Werten $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es immer eine Funktion in $A$, die in den Punkten $x,y$ die vorgegebenen Werte $\alpha$ bzw.~$\beta$ @@ -405,12 +423,13 @@ f(t) = \beta + \frac{f_0(t)-f_0(y)}{f_0(x)-f_0(y)}(\alpha-\beta) \] -wohldefiniert und nimmt die verlangten Werte an. +wohldefiniert, liegt in $A$ und nimmt die verlangten Werte an. + \item Schritt: Zu jeder stetigen Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$, jedem Punkt $x\in K$ und jedem $\varepsilon>0$ gibt es eine Funktion $g\in A$ derart, dass $g(x)=f(x)$ und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für alle $y\in K$. -Zu jedem $z\in K$ gibt es eine Funktion in $A$ mit +Zu jedem $z\in K$ gibt es eine Funktion $h_z\in A$ mit $h_z(x)=f(x)$ und $h_z(z) \le f(z)+\frac12\varepsilon$. Wegen der Stetigkeit von $h_z$ gibt es eine Umgebung $V_z$ von $z$, in der immer noch gilt $h_z(y)\le f(y)+\varepsilon$ für $y\in V_z$. @@ -428,8 +447,8 @@ Ausserdem ist $g(z)$ nach dem zweiten Schritt beliebig genau durch Funktionen in $A$ approximierbar. \item Schritt: Jede stetige Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$ kann beliebig genau durch Funktionen in $A$ approximiert werden. -Sei $\varepsilon > 0$. +Sei $\varepsilon > 0$. Nach dem vierten Schritt gibt es für jedes $y\in K$ eine Funktion $g_y$ derart, dass $g_y(y)=f(y)$ und $g_y(x) \le f(x) + \varepsilon$ für $x\in K$. @@ -501,13 +520,21 @@ f(\lambda_1)& & & \\ \end{pmatrix}. \] -\begin{satz} +Insgesamt haben wir damit den folgenden {\em Spektralsatz } für symmetrische +und hermitesche Matrizen erhalten. +\index{Spektralsatz}% + +\begin{satz}[Spektralsatz] \label{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz} -Ist $A$ symmetrische oder selbstadjungiert Matrix und $f$ eine Funktion +\index{symmetrische Matrix}% +\index{Matrix, symmetrisch}% +\index{hermitesche Matrix}% +\index{Matrix, hermitesche}% +Ist $A$ symmetrische oder hermitesche Matrix und $f$ eine Funktion auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$. Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen -Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig -gegen $f$ konvergieren. +Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die auf $\operatorname{Sp}(A)$ +gleichmässig gegen $f$ konvergieren. \end{satz} \subsubsection{Unmöglichkeit der Approximation von $z\mapsto \overline{z}$ @@ -518,15 +545,10 @@ In diesem Abschnitt zeigen wir, dass sich die Funktion $z\mapsto\overline{z}$ auf der Einheitskreisscheibe $K=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|\le 1\}$ nicht gleichmässig durch Polynome $p(z)$ mit komplexen Koeffizienten approximieren lässt. +Sei also $p_n(z)$ eine Folge von Polynomen, die auf der Einheitskreisscheibe +gleichmässig gegen $\overline{z}$ konvergieren, also +$\overline{z}=\lim_{n\to\infty}p_n(z)$. -Wäre eine solche Approximation möglich, dann könnte man $\overline{z}$ -auch durch eine Potenzreihe -\[ -\overline{z} -= -\sum_{k=0}^\infty a_kz^k -\] -darstellen. Das Wegintegral beider Seiten über den Pfad $\gamma(t) = e^{it}$ in der komplexen Ebene ist \begin{align*} @@ -541,12 +563,12 @@ i\biggl[ \frac{1}{i(k+1)} e^{it(k+1)}\biggr]_0^{2\pi} 0 \\ \oint_\gamma -\sum_{k=0}^\infty a_kz^k +p(z) \,dz &= -\sum_{k=0}^\infty a_k \oint_\gamma z^k\,dz +\sum_{k=0}^\infty a_{n,k} \oint_\gamma z^k\,dz = -\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot 0 +\sum_{k=0}^\infty a_{n,k}\cdot 0 = 0 \\ @@ -558,12 +580,13 @@ i\int_0^{2\pi} \,dt = 2\pi i, \end{align*} dabei wurde $\overline{\gamma}(t)=e^{-it}$ verwendet. Insbesondere widersprechen sich die beiden Integrale. -Die ursprüngliche Annahmen, $\overline{z}$ lasse sich durch Polynome +Die ursprüngliche Annahme, $\overline{z}$ lasse sich durch Polynome gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden. \subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen} Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt -also nicht gelten. +also für komplexe Funktionen nicht gelten, wir haben eine Funktion +gefunden, die sich nicht approximieren lässt. Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg gefunden werden, den Betrag einer Funktion zu approximieren. @@ -585,6 +608,8 @@ nur dann bestimmen kann, wenn mit jeder Funktion aus $A$ auch die komplex konjugierte Funktion zur Verfügung steht. \begin{satz}[Stone-Weierstrass] +\index{Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen} +\index{Stone-Weierstrass, Satz für komplexe Funktionen} Enthält eine $\mathbb{C}$-Algebra $A$ von stetigen, komplexwertigen Funktionen auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen, trennt sie Punkte und ist ausserdem mit jeder Funktion $f\in A$ auch @@ -603,7 +628,8 @@ Beweis des reellen Satzes von Stone-Weierstrass übertragen lässt. \subsection{Normale Matrizen \label{buch:subsection:normale-matrizen}} Aus dem Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Matrizen kann man -jetzt einen Spektralsätze für eine etwas grössere Klasse von Matrizen +jetzt einen Spektralsatz für eine etwas grössere Klasse von Matrizen +\index{Spektralsatz}% ableiten, als im Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz} möglich war. Der Satz besagt, dass für eine beliebige Funktion $f$ auf dem Spektrum @@ -621,7 +647,7 @@ $\overline{z}$ eingesetzt werden. Dies erklärt aber noch nicht, wie für $n\times n$-Matrizen vorzugehen ist, wenn $n>1$ ist. -Die Notwendigkeit, die Variable $\overline{z}$ hinzuzunehmen +Die Notwendigkeit, die Variable $\overline{z}$ hinzuzunehmen, ergab sich aus der Anforderung, dass der Betrag aus $|z|^2=z\overline{z}$ konstruiert werden können muss. Insbesondere muss beim Einsetzen eine Matrix entstehen, die nur @@ -660,6 +686,7 @@ $AA^* = A^*A$ ist. \begin{definition} Eine Matrix $A\in M_n(\mathbb{C})$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$ gilt. +\index{normal}% \end{definition} \subsubsection{Beispiele normaler Matrizen} @@ -667,12 +694,16 @@ Eine Matrix $A\in M_n(\mathbb{C})$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$ gilt. \begin{enumerate} \item Hermitesche und Antihermitesche Matrizen sind normal, denn solche +\index{hermitesch}% +\index{anithermitesch}% Matrizen erfüllen $A^*=\pm A$ und damit \( AA^* = \pm A^2 = A^*A. \) \item Symmetrische und antisymmetrische Matrizen sind normal, +\index{symmetrisch}% +\index{antisymmetrisch}% denn aus $A=A^t$ folgt $A^*=\overline{A}^t$ und damit \begin{align*} AA^* &= A\overline{A}^t = @@ -681,8 +712,10 @@ A^*A &= \end{align*} \item Unitäre Matrizen $U$ sind normal, das $UU^*=I=U^*U$ gilt. +\index{unitär}% \item Orthogonale Matrizen sind normal wegen $O(n) = U(n) \cap M_n(\mathbb{R})$. +\index{orthogonal}% \end{enumerate} Jede Matrix lässt sich durch Wahl einer geeigneten Basis in Jordansche @@ -692,6 +725,7 @@ Satz zeigt. \begin{satz} Eine Dreiecksmatrix ist genau dann normal, wenn sie diagonal ist. +\index{Dreiecksmatrix}% \end{satz} \begin{proof}[Beweis] @@ -699,15 +733,15 @@ Sei $A$ eine obere Dreiecksmatrix, das Argument für eine untere Dreiecksmatrix funktioniert gleich. Wir berechnen ein Diagonalelement für beide Produkte $AA^*$ und $A^*A$. Dazu brauchen wir die Matrixelemente von $A$ und $A^*$. -Bezeichnen wir die Matrixelemente von $A$ mit $a_{ij}$, dann hat $A^*$ -die Matrixelemente $(A^*)_{ij}=\overline{a}_{ji}$. +Bezeichnen wir die Matrixelemente von $A$ mit $a_{i\!j}$, dann hat $A^*$ +die Matrixelemente $(A^*)_{i\!j}=\overline{a}_{ji}$. Damit kann man die Diagonalelemente der Produkte als \begin{align*} (AA^*)_{ii} &= -\sum_{j=1}^n a_{ij}\overline{a}_{ij} +\sum_{j=1}^n a_{i\!j}\overline{a}_{i\!j} = -\sum_{j=i}^n |a_{ij}|^2 +\sum_{j=i}^n |a_{i\!j}|^2 \\ (A^*A)_{ii} &= @@ -716,11 +750,12 @@ Damit kann man die Diagonalelemente der Produkte als \sum_{j=1}^i |a_{ji}|^2 \end{align*} ausrechnen. -Der obere Ausdruck ist die quadrierte Länge der Zeile $i$ der Matrix $A$, -der untere ist die quadrierte Länge der Spalte $i$. +Der obere Ausdruck ist die quadrierte Länge des Zeilenvektors $i$ der Matrix $A$, +der untere ist die quadrierte Länge des Spaltenvektors $i$. Da die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist, hat die erste Spalte höchstens ein einziges von $0$ verschiedenes Element. -Daher kann auch die erste Zeile höchstens dieses eine Elemente haben. +Da die erste Spalte die gleiche Länge hat, +kann auch die erste Zeile höchstens dieses eine Element haben. Die Matrix hat daher Blockstruktur mit einem $1\times 1$-Block in der linken obere Ecke und einem $n-1$-dimensionalen Block für den Rest. Durch Wiederholen des Arguments für den $(n-1)\times (n-1)$-Block @@ -764,6 +799,27 @@ B^*A^*AB was zeigt, dass auch $AB$ normal ist. \end{proof} +\subsubsection{Spektralsatz für normale Matrizen} +Mit dem Begriff der normalen Matrix lässt sich der Spektralsatz nun +abschliessen formulieren. +Die vorangegangene Diskussion hat gezeigt, dass man einen solchen +Satz für nicht normale Matrizen nicht erwarten kann. + +\begin{satz} +\label{buch:eigenwerte:satz:spektralnormal} +Ist $A$ eine normale Matrix und $f$ eine Funktion auf dem Spektrum +$\operatorname{Sp}(A)$ von $A$. +Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die der Grenzwert +\[ +f(A) += +\lim_{n\to\infty} p_n(A,A^*) +\] +jeder beliebigen +Folge $p_n(z,\overline{z})$ von Polynomen in $z$ und $\overline{z}$ ist, +die auf $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig gegen $f$ konvergieren. +\end{satz} + \subsubsection{Äquivalente Bedingungen} Es gibt eine grosse Zahl äquivalenter Eigenschaften für normale Matrizen. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent: @@ -775,24 +831,30 @@ Es gibt eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von $A$ für $\mathbb{C}^n$ \item Für jeden Vektor $x\in\mathbb{C}^n$ gilt $\|Ax\|=\|A^*x\|$ \item -Die Forbenius-Norm der Matrix $A$ kann mit den Eigenwerten $\lambda_i$ +Die Frobenius-Norm der Matrix $A$ kann mit den Eigenwerten $\lambda_i$ +\index{Frobenius-Norm}% von $A$ berechnet werden: $\operatorname{Spur}(A^*A) = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2$ \item Der hermitesche Teil $\frac12(A+A^*)$ und der antihermitesche Teil $\frac12(A-A^*)$ von $A$ vertauschen. +\index{hermitesch}% +\index{antihermitesch}% \item $A^*$ ist ein Polynom vom Grad $n-1$ in $A$. \item Es gibt eine unitäre Matrix $U$ derart, dass $A^*=AU$ +\index{unitär}% \item -Es gibt eine Polarzerlegugn $A=UP$ mit einer unitären Matrix $U$ und +Es gibt eine Polarzerlegung $A=UP$ mit einer unitären Matrix $U$ und +\index{Polarzerlegung} einer postiv semidefiniten Matrix $P$, die untereinander vertauschen. \item Es gibt eine Matrix $N$ mit verschiedenen Eigenwerten, mit denen $A$ vertauscht. \item -Wenn $A$ die (absteigend geordneten) singulärwerte $\sigma_i$ und +Wenn $A$ die (absteigend geordneten) Singulärwerte $\sigma_i$ und +\index{Singulärwert}% die absteigend geordneten Eigenwerte $\lambda_i$ hat, dann it $\sigma_i=|\lambda_i|$. \end{enumerate} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex index cf3f2ab..e3b6742 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex @@ -8,13 +8,17 @@ \lhead{Permutationen} \rhead{} Die Berechnung der Determinante einer Matrix macht ausgedehnten +\index{Determinante}% Gebrauch von der Tatsache, dass die Vertauschung von zwei Zeilen oder Spalten das Vorzeichen des Wertes der Determinanten dreht. In diesem Kapitel sollen die Permutationen der Zeilen abstrakt +\index{Permutation}% untersucht werden. Wir erhalten so eine abstrakte Permutationsgruppe. +\index{Permutationsgruppe}% Ihre Elemente lassen sich auch durch spezielle Matrizen beschreiben, eine Darstellung dieser Gruppe, die auch unmittelbar zu einer +\index{Darstellung}% Formel für die Determinante einer Matrix führt. \input{chapters/50-permutationen/endlich.tex} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex index 805235d..b30f9a2 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex @@ -17,12 +17,16 @@ Entwicklungssatz \begin{equation} \det(A) = -\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(A_{ij}) +\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i\!j} \cdot \det(A_{i\!j}) \label{buch:permutationen:entwicklungssatz} \end{equation} von Laplace für die Determinante. -In den Produkten $a_{ij}\cdot\det(A_{ij})$ enthält -die Untermatrix $A_{ij}$ weder Elemente der Zeile $i$ noch der +\index{Entwicklungssatz}% +\index{Laplace, Entwicklungssatz von}% +Die Matrizen $A_{i\!j}$ sind die Minoren der Matrix $A$ +(siehe auch Seite~\pageref{buch:linear:def:minor}). +In den Produkten $a_{i\!j}\cdot\det(A_{i\!j})$ enthält +die Untermatrix $A_{i\!j}$ weder Elemente der Zeile $i$ noch der Zeile $j$. Die Summanden auf der rechten Seite von \eqref{buch:permutationen:entwicklungssatz} @@ -31,7 +35,7 @@ sind daher Produkte der Form a_{1i_1} a_{2i_2} a_{3i_3} -\dots +\cdots a_{ni_n}, \] in denen nur Faktoren aus verschiedenen Spalten der Matrix $A$ @@ -55,9 +59,10 @@ in der Form = \sum_{\sigma\in S_n} c(\sigma) +\, a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} -\dots +\cdots a_{n\sigma(n)} \label{buch:permutationen:cformel} \end{equation} @@ -73,13 +78,15 @@ also = \sum_{\sigma \in S_n} c(\sigma) +\, (P_\tau)_{1\sigma(1)} (P_\tau)_{2\sigma(2)} -\dots +\cdots (P_\tau)_{n\sigma(n)} = c(\tau) -1\cdot 1\cdot\dots\cdot 1 +\, +1\cdot 1\cdots 1 = c(\tau). \] @@ -96,14 +103,14 @@ Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $A$ kann berechnet werden als \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} -\dots +\cdots a_{n\sigma(n)} = \sum_{\tau\in S_n} \operatorname{sgn}(\tau) a_{\tau(1)1} a_{\tau(2)2} -\dots +\cdots a_{\tau(n)n}. \] Insbesondere folgt auch $\det(A)=\det(A^t)$. diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex index 700c0f2..2577b48 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex @@ -8,15 +8,24 @@ \rhead{Permutationen} Eine endliche Anzahl $n$ von Objekten können auf $n!$ Arten angeordnet werden. -Als Objektmenge nehmen wir $[n] = \{ 1,\dots,n\}$. +Da es in dieser Diskussion nicht auf die Art der Objekte ankommt, +nehmen wir als Objektmenge die Zahlen $[n] = \{ 1,\dots,n\}$ +(siehe auch Definition~\ref{buch:zahlen:def:[n]}). Die Operation, die die Objekte in eine bestimmte Reihenfolge bringt, ist eine Abbildung $\sigma\colon[n]\to[n]$. -Eine Permutation ist eine umkehrbare Abbildung $[n]\to[n]$. + +\begin{definition} +\label{buch:permutationen:def:permutation} +Eine {\em Permutation} ist eine umkehrbare Abbildung $[n]\to[n]$. +\index{Permutation} Die Menge $S_n$ aller umkehrbaren Abbildungen $[n]\to[n]$ mit der Verknüpfung von Abbildungen als Operation heisst die die {\em symmetrische Gruppe}. +\index{symmetrische Gruppe}% Die identische Abbildung $\sigma(x)=x$ ist das {\em neutrale Element} der Gruppe $S_n$ und wir auch mit $e$ bezeichnet. +\index{neutrales Element}% +\end{definition} \subsection{Permutationen als $2\times n$-Matrizen} Eine Permutation kann als $2\times n$-Matrix geschrieben werden: @@ -67,24 +76,28 @@ dass die Zahlen in der ersten Zeile ansteigend sind: \subsection{Zyklenzerlegung \label{buch:subsection:zyklenzerlegung}} Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit sogenanten Zyklenzerlegung +\index{Zyklenzerlegung}% analysiert werden. -Zum Beispiel: -\begin{center} -\includegraphics{chapters/50-permutationen/images/zyklenzerlegung.pdf} -\end{center} \begin{definition} Ein Zyklus $Z$ ist eine unter $\sigma$ invariante Teilmenge von $[n]$ minimaler Grösse. +\index{Zyklus}% +\index{invariante Teilmenge}% +\index{minimale Grösse}% Die Zyklenzerlegung ist eine Zerlegung von $[n]$ in Zyklen \[ [n] = -\cup_{i=1}^k Z_i, +\bigcup_{i=1}^k Z_i, \] wobei jede Menge $Z_i$ ein Zyklus ist. \end{definition} +Zum Beispiel: +\begin{center} +\includegraphics{chapters/50-permutationen/images/zyklenzerlegung.pdf} +\end{center} Der folgende Algorithmus findet die Zyklenzerlegung einer Permutation. \begin{satz} @@ -116,18 +129,21 @@ weiter bei 2. Mit Hilfe der Zyklenzerlegung von $\sigma$ lassen sich auch gewisse Eigenschaften von $\sigma$ ableiten. -Sei also $[n] = Z_1\cup\dots\cup Z_k$ die Zyklenzerlegung. -Für jedes Element $x\in S_i$ gilt $\sigma^{|S_i|}(x) = x$. +Sei also $[n] = Z_1\cup\dots\cup Z_k$ die Zyklenzerlegung von $\sigma$. +Für jedes Element $x\in Z_i$ gilt $\sigma^{|Z_i|}(x) = x$. Die kleinste Zahl $m$, für die $\sigma^m=e$ ist, das kleinste gemeinsame Vielfache der Zyklenlängen: \[ m = \operatorname{kgV} (|Z_1|,|Z_2|,\dots,|Z_k|). \] +\index{kgV} +\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches} \subsection{Konjugierte Elemente in $S_n$} -Zwei Elemente $g_1,g_2\in G$ einer Gruppe heissen konjugiert, wenn +Zwei Elemente $g_1,g_2\in G$ einer Gruppe heissen {\em konjugiert}, wenn +\index{konjugiert} es ein Element $c\in G$ gibt derart, dass $cg_1c^{-1}=g_2$. -Bei Matrizen hat dies bedeutet, dass die beiden Matrizen durch +Bei Matrizen bedeutet dies bedeutet, dass die beiden Matrizen durch Basiswechsel auseinander hervorgehen. Dasselbe lässt sich auch im Kontext der symmetrischen Gruppe sagen. @@ -136,7 +152,18 @@ Es gibt also eine Permutation $\gamma\in S_n$ derart, dass $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$ oder $\gamma^{-1}\sigma_1\gamma=\sigma_2$. Dann gilt auch für die Potenzen \begin{equation} -\sigma_1^k = \gamma\sigma_2^k\gamma^{-1}. +\sigma_1^k += +(\gamma\sigma_2\gamma^{-1})^k += +\gamma\sigma_2\underbrace{\gamma^{-1} +\gamma}_{\displaystyle=e}\sigma_2\underbrace{\gamma^{-1} +\gamma}_{\displaystyle=e}\sigma_2\underbrace{\gamma^{-1}\gamma}_{\displaystyle=e} +\cdots +\underbrace{\gamma^{-1} +\gamma}_{\displaystyle=e}\sigma_2\gamma^{-1} += +\gamma\sigma_2^k\gamma^{-1}. \label{buch:permutationen:eqn:konjpot} \end{equation} Ist $Z_i$ ein Zyklus von $\sigma_2$ und $x\in Z_i$, dann ist @@ -156,18 +183,21 @@ von $\sigma_1$ ab. Es folgt daher der folgende Satz: \begin{satz} -Sind $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ konjugiert $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$ +Seien $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ konjugiert $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$ mit dem $\gamma\in S_n$. Wenn $Z_1,\dots,Z_k$ die Zyklen von $\sigma_2$ sind, dann sind $\gamma(Z_1),\dots,\gamma(Z_k)$ die Zyklen von $\sigma_1$. \end{satz} -Die Zyklenzerlegung kann mit der Jordan-Normalform \ref{XXX} +Die Zyklenzerlegung kann mit der Jordan-Normalform +\index{Jordan-Normalform}% +(Abschnitt~\ref{buch:subsection:jordan-normalform}) einer Matrix verglichen werden. Durch einen Basiswechsel, welcher durch eine ``Konjugation'' +\index{Basiswechsel}% von Matrizen ausgedrückt wir, kann die Matrix in eine besonders übersichtliche Form gebracht werden. -Wenn $\sigma$ die Zyklenzerlegung $Z_1,\dots,Z_k$ mit Zyklenlängen +Wenn $\sigma$ die Zyklenzerlegung $Z_1,\dots,Z_k$ hat mit Zyklenlängen $l_i=|Z_i|$, dann kann man die Menge $[n]$ wie folgt in Teilmengen \begin{align*} X_1 &= \{1,\dots, l_1\}, diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.pdf b/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.pdf Binary files differindex 9e532bf..3922096 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.pdf +++ b/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.pdf diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.tex b/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.tex index ef3ec65..2b73227 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.tex @@ -10,39 +10,71 @@ \usepackage{pgfplots} \usepackage{csvsimple} \usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing} \begin{document} \def\skala{1} \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] -\begin{scope}[xshift=-4.5cm] +\begin{scope}[xshift=-4.0cm] + +\def\s{0.527} +\def\o{0.133} + +\def\verbindung#1{ +\fill[color=red!20] ({\o+(#1*\s)},-1.0) rectangle ({\o+(#1*\s)+0.3},0.0); +} + +\verbindung{1} +\verbindung{2} +\verbindung{3} +\verbindung{4} +\verbindung{5} +\verbindung{6} + + \node at (0,0) {$\displaystyle \sigma_1=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 2&1&3&5&6&4 +\end{pmatrix} +%$}; +=\begin{pmatrix} +1&2&3&4&5&6\\ +2&1&3&5&6&4 \end{pmatrix}$}; \node at (0,-1) {$\displaystyle \sigma_2=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 3&4&5&6&1&2 \end{pmatrix} -$}; -\end{scope} -\begin{scope} -\node at (0,0) {$\displaystyle -\begin{pmatrix} -1&2&3&4&5&6\\ -2&1&3&5&6&4 -\end{pmatrix}$}; -\node at (0,-1) {$\displaystyle += \begin{pmatrix} 2&1&3&5&6&4\\ 4&3&5&1&2&6 \end{pmatrix} $}; - \end{scope} -\begin{scope}[xshift=4.5cm] + +%\begin{scope} +%\node at (0,0) {$\displaystyle +%\begin{pmatrix} +%1&2&3&4&5&6\\ +%2&1&3&5&6&4 +%\end{pmatrix}$}; +%\node at (0,-1) {$\displaystyle +%\begin{pmatrix} +%2&1&3&5&6&4\\ +%4&3&5&1&2&6 +%\end{pmatrix} +%$}; +%\end{scope} + +\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] +(0,0.4) -- (0,-1.4); + +\begin{scope}[xshift=3.1cm] \node at (0,-0.5) {$\displaystyle +\Rightarrow\quad \sigma_2\sigma_1=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 4&3&5&1&2&6 diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex index f7e9e31..037c441 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex @@ -7,11 +7,12 @@ \label{buch:section:permutationsmatrizen}} \rhead{Permutationsmatrizen} Die Eigenschaft, dass eine Vertauschung das Vorzeichen kehrt, ist -eine wohlebekannte Eigenschaft der Determinanten. +eine wohlbekannte Eigenschaft der Determinanten. In diesem Abschnitt soll daher eine Darstellung von Permutationen als Matrizen gezeigt werden und die Verbindung zwischen dem Vorzeichen einer Permutation und der Determinanten hergestellt werden. +\index{Determinante}% \subsection{Matrizen} Gegeben sei jetzt eine Permutation $\sigma\in S_n$. @@ -33,7 +34,7 @@ e_n&\mapsto e_{\sigma(n)} Die Matrix $P_\sigma$ der linearen Abbildung $f_{\sigma}$ hat in Spalte $i$ genau eine $1$ in der Zeile $\sigma(i)$, also \[ -(P_\sigma)_{ij} = \delta_{j\sigma(i)}. +(P_\sigma)_{i\!j} = \delta_{j\sigma(i)}. \] \begin{beispiel} @@ -61,27 +62,35 @@ A_\sigma \end{beispiel} \begin{definition} -Eine Permutationsmatrix ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$ +\label{buch:permutationen:def:permutationsmatrix} +\index{Permutationsmatrix}% +Eine {\em Permutationsmatrix} ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$ derart, die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enthalten ist, während alle anderen Matrixelemente $0$ sind. \end{definition} Es ist klar, dass aus einer Permutationsmatrix auch die Permutation der Standardbasisvektoren abgelesen werden kann. +\index{Standardbasisvektor}% Die Verknüpfung von Permutationen wird zur Matrixmultiplikation +\index{Matrixmultiplikation}% von Permutationsmatrizen, die Zuordnung $\sigma\mapsto P_\sigma$ ist also ein Homomorphismus -$ -S_n \to M_n(\Bbbk^n), -$ -es ist $P_{\sigma_1\sigma_2}=P_{\sigma_1}P_{\sigma_2}$. +\index{Homomorphismus}% +$S_n \to M_n(\Bbbk^n)$, +es ist +$P_{\sigma_1\sigma_2}=P_{\sigma_1}P_{\sigma_2}$. +$\sigma$ heisst gemäss Definition~\ref{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung} +auch Darstellung der Gruppe $S_n$. +\index{Darstellung}% \subsection{Transpositionen} Transpositionen sind Permutationen, die genau zwei Elemente von $[n]$ vertauschen. -Wir ermitteln jetzt die Permutationsmatrix der Transposition $\tau=\tau_{ij}$ +Wir ermitteln jetzt die Permutationsmatrix der Transposition $\tau=\tau_{i\!j}$. +Sie ist \[ -P_{\tau_{ij}} +P_{\tau_{i\!j}} = \begin{pmatrix} 1& & & & & & & & \\ @@ -93,8 +102,7 @@ P_{\tau_{ij}} & & & & & &1& & \\ & & & & & & &\ddots& \\ & & & & & & & &1 -\end{pmatrix} -\qedhere +\end{pmatrix}. \] Die Permutation $\sigma$ mit dem Zyklus $1\to 2\to\dots\to l-1\to l\to 1$ @@ -148,7 +156,7 @@ P_{\tau_{l-1,l}} 0&0&1&0&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix} -\dots +\cdots \\ &= \begin{pmatrix} @@ -159,7 +167,7 @@ P_{\tau_{l-1,l}} \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix} \\ -&\vdots\\ +&\quad\vdots\\ &= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&\dots&0&1\\ @@ -168,15 +176,17 @@ P_{\tau_{l-1,l}} 0&0&1&0&\dots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&0&\dots&1&0 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \end{align*} \subsection{Determinante und Vorzeichen} Die Transpositionen haben Permutationsmatrizen, die aus der Einheitsmatrix +\index{Einheitsmatrix}% +\index{Determinante}% entstehen, indem genau zwei Zeilen vertauscht werden. Die Determinante einer solchen Permutationsmatrix ist \[ -\det P_{\tau} = - \det E = -1 = \operatorname{sgn}(\tau). +\det P_{\tau} = - \det I = -1 = \operatorname{sgn}(\tau). \] Nach der Produktregel für die Determinante folgt für eine Darstellung der Permutation $\sigma=\tau_1\dots\tau_l$ als Produkt von Transpositionen, @@ -184,7 +194,7 @@ dass \begin{equation} \det P_{\sigma} = -\det P_{\tau_1} \dots \det P_{\tau_l} +\det P_{\tau_1} \cdots \det P_{\tau_l} = (-1)^l = diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex index 748b2e9..b8f3d41 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex @@ -12,11 +12,12 @@ Es zeigt sich aber, dass sich eine Permutation in noch elementarere Bausteine zerlegen lässt, die Transpositionen. \begin{definition} -Einen Transposition $\tau\in S_n$ ist ein Permutation, die genau +Eine {\em Transposition} $\tau\in S_n$ ist ein Permutation, die genau zwei Elemente vertauscht. -Die Transposition $\tau_{ij}$ ist definiert durch +\index{Transposition}% +Die Transposition $\tau_{i\!j}$ ist definiert durch \[ -\tau_{ij}(x) +\tau_{i\!j}(x) = \begin{cases} i&\qquad x=j\\ @@ -41,7 +42,7 @@ Es ist also \[ \sigma = -\tau_{12} \tau_{23} \tau_{34} \dots \tau_{k-3,k-2} \tau_{k-2,k-1} \tau_{k-1,k}. +\tau_{12} \tau_{23} \tau_{34} \cdots \tau_{k-3,k-2} \tau_{k-2,k-1} \tau_{k-1,k}. \] \begin{satz} Jede Permutation $\sigma\in S_n$ lässt sich als ein Produkt von @@ -66,6 +67,8 @@ die Anzahl gerade ist oder nicht, ist sehr wohl eine charkterisierende Eigenschaft einer Permutation. \begin{definition} +\index{Vorzeichen}% +\index{Signum}% Das {\em Vorzeichen} oder {\em Signum} einer Permutation $\sigma$ ist die Zahl $\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^k$, wenn $\sigma$ als Produkt von $k$ Transpositionen geschrieben werden kann. @@ -77,16 +80,18 @@ dann ist $\sigma^{-1}=\tau_k\dots\tau_2\tau_1$, sowohl $\sigma$ wie $\sigma^{-1}$ können also mit der gleichen Zahl von Transpositionen geschrieben werden, sie haben also auch das gleiche Vorzeichen. -Die Abbildung $S_n\to\{\pm\}$, die einer Permutation das Signum zuordnet, -ist ein Homomorphismus von Gruppen, +Die Abbildung $S_n\to\{\pm1\}$, die einer Permutation das Signum zuordnet, +ist ein Homomorphismus von Gruppen +(siehe Definition~\ref{buch:gruppen:def:homomorphismus}), +\index{Homomorphismus}% d.~h. \[ \operatorname{sgn}(\sigma_1\sigma_2) = \operatorname{sgn}(\sigma_1) -\operatorname{sgn}(\sigma_2) +\operatorname{sgn}(\sigma_2). \] -da ganz offensichtlich $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen +Da ganz offensichtlich $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen geschrieben kann, wenn $\sigma_i$ mit $k_i$ Transpositionen geschrieben werden kann. @@ -101,16 +106,24 @@ A_n \{ \sigma\in S_n\;|\; \operatorname{sgn}(\sigma)=1 \} -\subset S_n. += +\ker \operatorname{sgn} +\subset +S_n. \] +\index{Kern}% +\index{alterniernde Gruppe}% heisst die {\em alternierende Gruppe} der Ordnung $n$ Die Elemente von $A_n$ heissen auch die {\em geraden} Permutationen, +\index{gerade Permutation}% +\index{ungerade Permutation}% die Elemente von $S_n\setminus A_n$ heissen auch die {\em ungeraden} Permutationen. \end{definition} Die alternierende Gruppe $A_n$ ist tatsächlich eine Untergruppe. +\index{Untergruppe}% Zunächst ist $\operatorname{sgn}(e)=(-1)^0=1$, also ist $e\in A_n$. Es wurde schon gezeigt, dass mit jedem Element $\sigma\in A_n$ auch das inverse Element $\sigma^{-1}\in A_n$ ist. |