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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 2a9b4a9..4ccea89 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -149,7 +149,10 @@ Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist. Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden -kann, sind $2$, $4$ und $8$. +kann\footnote{Der Beweis dieser Aussage ist ziemlich schwierig und wurde +erst im 20.~Jahrhundert mit Hilfe der Methoden der algebraischen Topologie +erbracht. Eine Übersicht über den Beweis kann in Kapitel~10 von +\cite{buch:ebbinghaus} gefunden werden.}, sind $2$, $4$ und $8$. Nur in Dimension $2$ ist ein kommutatives Produkt möglich, dies muss das Produkt der komplexen Zahlen sein. diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index cdd1693..2fcf199 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -256,7 +256,7 @@ aufgespannte Raum. Die Gleichung~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform} drückt aus, dass sich der Vektor $b$ auf der rechten Seite als Linearkombination der Spaltenvektoren ausdrücken lässt. -Oft ist eine solche Darstellung auf nur eine Art und Weise. +Oft ist eine solche Darstellung auf nur eine Art und Weise möglich. Betrachten wir daher jetzt den Fall, dass es zwei verschiedene Linearkombinationen der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ gibt, die beide den Vektor $b$ ergeben. @@ -1084,7 +1084,7 @@ Das Bild einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge \] \end{definition} -Zwei Vektoren $a,b\in\operatorname{im}$ haben Urbilder $u,w\in V$ mit +Zwei Vektoren $a,b\in\operatorname{im} f$ haben Urbilder $u,w\in V$ mit $f(u)=a$ und $f(w)=b$. Für Summe und Multiplikation mit Skalaren folgt \[ diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex index afe64f7..d951221 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex @@ -21,7 +21,7 @@ Damit man mit einem Skalarprodukt rechnen kann wie mit jedem anderen Produkt, müssen man auf beiden Seiten des Zeichesn ausmultiplizieren können: \begin{align*} (\lambda x_1 + \mu x_2)\cdot y &= \lambda x_1\cdot y + \mu x_2\cdot y\\ -x\cdot (\lambda y_1 + \mu x_2) &= \lambda x\cdot y_1 + \mu x\cdot y_2. +x\cdot (\lambda y_1 + \mu y_2) &= \lambda x\cdot y_1 + \mu x\cdot y_2. \end{align*} Man kann dies interpretieren als Linearität der Abbildungen $x\mapsto x\cdot y$ und $y\mapsto x\cdot y$. @@ -73,7 +73,7 @@ $\mathbb{Q}$-Vektorräume zu beschränken. Man lernt in der Vektorgeometrie, dass sich mit einer Bilinearform $f\colon V\times V\to\mathbb{R}$ -die Länge eines definieren lässt, indem man $\|x\|^2 = f(x,x)$ +die Länge eines Vektors $x$ definieren lässt, indem man $\|x\|^2 = f(x,x)$ setzt. Ausserdem muss $f(x,x)\ge 0$ sein für alle $x$, was die Bilinearität allein nicht garantieren kann. diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib index 35d3c47..b58af7d 100644 --- a/buch/chapters/references.bib +++ b/buch/chapters/references.bib @@ -105,3 +105,13 @@ abstract = "In this paper, we present Google, a prototype of a large-scale searc year={1960}, publisher={Academic Press} } + +@book{buch:ebbinghaus, + title = {Zahlen}, + year = 1983, + inseries = {Grundwissen Mathematik}, + volume = 1, + publisher = {Springer-Verlag}, + author = { Hans-Dieter Ebbinghaus et al }, + isbn = { 3-540-12666-X } +} |