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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index 2607856..e59f1dc 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -6,23 +6,27 @@ \section{Normalformen \label{buch:section:normalformen}} \rhead{Normalformen} -In den Beispielen im vorangegangenen wurde wiederholt der Trick +In den Beispielen im vorangegangenen Abschnitt wurde wiederholt der Trick verwendet, den Koeffizientenkörper so zu erweitern, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und für jeden Eigenwert Eigenvektoren gefunden werden können. Diese Idee ermöglicht, eine Matrix in einer geeigneten Körpererweiterung -in eine besonders einfache Form zu bringen, das Problem dort zu lösen. -Anschliessend kann man sich darum kümmern in welchem Mass die gewonnenen +in eine besonders einfache Form zu bringen und das Problem dort zu lösen. +Anschliessend kann man sich darum kümmern, in welchem Mass die gewonnenen Resultate wieder in den ursprünglichen Körper transportiert werden können. +Die dabei verwendete ``einfache Form'' war jeweils etwas ad hoc. +In diesem Abschnitt sollen jetzt etwas systematischer geeignete Normalformen +zusammengestellt werden. \subsection{Diagonalform} +\index{Diagonalform}% Sei $A$ eine beliebige Matrix mit Koeffizienten in $\Bbbk$ und sei $\Bbbk'$ eine Körpererweiterung von $\Bbbk$ derart, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren \[ \chi_A(x) = -(x-\lambda_1)^{k_1}\cdot (x-\lambda_2)^{k_2}\cdot\dots\cdot (x-\lambda_m)^{k_m} +(x-\lambda_1)^{k_1}\cdot (x-\lambda_2)^{k_2}\dots(x-\lambda_m)^{k_m} \] mit Vielfachheiten $k_1$ bis $k_m$ zerfällt, $\lambda_i\in\Bbbk'$. Zu jedem Eigenwert $\lambda_i$ gibt es sicher einen Eigenvektor, wir @@ -31,35 +35,35 @@ aus Eigenvektoren gibt. In dieser Basis bekommt die Matrix Diagonalform, wobei auf der Diagonalen nur Eigenwerte vorkommen können. Man kann die Vektoren so anordnen, dass die Diagonalmatrix in Blöcke -der Form $\lambda_iE$ zerfällt +der Form $\lambda_iI$ zerfällt \[ \def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{\raisebox{0pt}[12pt][7pt]{\phantom{x}$#1$}\phantom{x}}} A' =\left( \begin{array}{cccc} \cline{1-1} -\temp{\lambda_1E} &\multicolumn{1}{|c}{}& & \\ +\temp{\lambda_1I} &\multicolumn{1}{|c}{}& & \\ \cline{1-2} - &\temp{\lambda_2E}&\multicolumn{1}{|c}{}& \\ + &\temp{\lambda_2I}&\multicolumn{1}{|c}{}& \\ \cline{2-3} & &\temp{\ddots}&\multicolumn{1}{|c}{}\\ \cline{3-4} - & & &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[12pt][7pt]{\phantom{x}$\lambda_mE$}\phantom{x}}\\ + & & &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[12pt][7pt]{\phantom{x}$\lambda_mI$}\phantom{x}}\\ \cline{4-4} \end{array} \right) \] -Über die Grösse eines solchen $\lambda_iE$-Blockes können wir zum jetzigen +Über die Grösse eines solchen $\lambda_iI$-Blockes können wir zum jetzigen Zeitpunkt noch keine Aussagen machen. -Die Matrizen $A-\lambda_kE$ enthalten jeweils einen Block aus lauter +Die Matrizen $A-\lambda_kI$ enthalten jeweils einen Block aus lauter Nullen. Das Produkt all dieser Matrizen ist daher \[ -(A-\lambda_1E) -(A-\lambda_2E) +(A-\lambda_1I) +(A-\lambda_2I) \cdots -(A-\lambda_mE) +(A-\lambda_mI) = 0. \] @@ -69,6 +73,7 @@ $m(A)=0$. Dies ist auch das Polynom von kleinstmöglichem Grad, denn für jeden Eigenwert muss ein entsprechender Linearfaktor in so einem Polynom vorkommen. Das Polynom $m(x)$ ist daher das Minimalpolynom der Matrix $A$. +\index{Minimalpolynome}% Da jeder Faktor in $m(x)$ auch ein Faktor von $\chi_A(x)$ ist, folgt wieder $\chi_A(A)=0$. Ausserdem ist über dem Körper $\Bbbk'$ das Polynom $m(x)$ ein Teiler @@ -76,6 +81,7 @@ des charakteristischen Polynoms $\chi_A(x)$. \subsection{Jordan-Normalform \label{buch:subsection:jordan-normalform}} +\index{Jordan-Normalform}% Die Eigenwerte einer Matrix $A$ können als Nullstellen des charakteristischen Polynoms gefunden werden. Da der Körper $\Bbbk$ nicht unbedingt algebraische abgeschlossen ist, @@ -90,9 +96,7 @@ Wir nehmen im Folgenden an, dass (x-\lambda_1)^{k_1} \cdot (x-\lambda_2)^{k_2} -\cdot -\dots -\cdot +\cdots (x-\lambda_l)^{k_l} \] ist mit $\lambda_i\in\Bbbk'$. @@ -101,9 +105,9 @@ Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} liefern die verallgemeinerten Eigenräume $V_i=\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ eine Zerlegung von $V$ in invariante Eigenräume \[ -V=V_1\oplus V_2\oplus \dots\oplus V_l, +V=V_1\oplus V_2\oplus \dots\oplus V_l \] -derart, dass $A-\lambda_iE$ auf $V_i$ nilpotent ist. +derart, dass $A-\lambda_iI$ auf $V_i$ nilpotent ist. Wählt man in jedem der Unterräume $V_i$ eine Basis, dann zerfällt die Matrix $A$ in Blockmatrizen \begin{equation} @@ -128,11 +132,11 @@ wobei, $A_i$ Matrizen mit dem einzigen Eigenwert $\lambda_i$ sind. Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent} kann man in den Unterräume die Basis zusätzlich so wählen, dass -die entstehenden Blöcke $A_i-\lambda_i E$ spezielle nilpotente Matrizen -aus lauter Null sind, die höchstens unmittelbar über der Diagonalen -Einträge $1$ haben kann. +die entstehenden Blöcke $A_i-\lambda_i I$ spezielle nilpotente Matrizen sind, +die lauter Nullen als Einträge haben mit Ausnahme +höchstens der Einträge unmittelbar über der Diagonalen, die $1$ sein können. Dies bedeutet, dass sich immer eine Basis so wählen lässt, dass die -Matrix $A_i$ zerfällt in sogenannte Jordan-Blöcke. +Matrix $A_i$ in sogenannte Jordan-Blöcke zerfällt. \begin{definition} Ein $m$-dimensionaler {\em Jordan-Block} ist eine $m\times m$-Matrix @@ -150,7 +154,7 @@ J_m(\lambda) & & & & & \lambda \end{pmatrix}. \] -Eine {\em Jordan-Matrix} ist eine Blockmatrix Matrix +Eine {\em Jordan-Matrix} ist eine Blockmatrix der Form \[ J = @@ -180,7 +184,7 @@ Es gilt \[ \chi_{J_m(\lambda)}(x) = -\det (J_m(\lambda) - xE) +\det (J_m(\lambda) - xI) = (\lambda-x)^m \] @@ -192,14 +196,12 @@ bis $J_{m_p}(\lambda)$ ist = \chi_{J_{m_1}(\lambda)}(x) \chi_{J_{m_2}(\lambda)}(x) -\cdot -\dots -\cdot +\cdots \chi_{J_{m_p}(\lambda)}(x) = (\lambda-x)^{m_1} (\lambda-x)^{m_2} -\cdot\dots\cdot +\cdots (\lambda-x)^{m_p} = (\lambda-x)^m. @@ -265,17 +267,13 @@ $\chi_A(x)$ ein, erhält man \[ \chi_A(J_i) = -(\lambda_1E - J_1)^{m_1} -\cdot -\ldots -\cdot +(\lambda_1I - J_1)^{m_1} +\cdots \underbrace{ -(\lambda_iE - J_i)^{m_i} +(\lambda_iI - J_i)^{m_i} }_{\displaystyle=0} -\cdot -\ldots -\cdot -(\lambda_iE - J_p)^{m_p} +\cdots +(\lambda_iI - J_p)^{m_p} = 0. \] @@ -290,7 +288,7 @@ $\chi_A(A)$ kann in $\Bbbk$ ausgeführt werden, also ist $\chi_A(A)=0$. Aus dem Beweis kann man auch noch eine strengere Bedingung ableiten. Auf jedem verallgemeinerten Eigenraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ ist $A_i-\lambda_i$ nilpotent, es gibt also einen minimalen Exponenten -$q_i$ derart, dass $(A_i-\lambda_iE)^{q_i}=0$ ist. +$q_i$ derart, dass $(A_i-\lambda_iI)^{q_i}=0$ ist. Wählt man eine Basis in jedem verallgemeinerten Eigenraum derart, dass $A_i$ eine Jordan-Matrix ist, kann man wieder zeigen, dass für das Polynom @@ -299,9 +297,7 @@ m_A(x) = (x-\lambda_1x)^{q_1} (x-\lambda_2x)^{q_2} -\cdot -\ldots -\cdot +\cdots (x-\lambda_px)^{q_p} \] gilt $m_A(A)=0$. @@ -313,17 +309,17 @@ $m_A(x)$ ist das {\em Minimalpolynom} der Matrix $A$. Polynom $\chi_A(x)$ in Linearfaktoren zerfällt, ist das Minimalpolynom von $A$ das Polynom \[ +m_A(x) += m(x) = (x-\lambda_1)^{q_1} (x-\lambda_2)^{q_2} \cdots -\ldots -\cdots (x-\lambda_p)^{q_p} \] wobei $q_i$ der kleinste Index ist, für den die $q_i$-te Potenz -derEinschränkung von $A-\lambda_i E$ auf den verallgemeinerten Eigenraum +der Einschränkung von $A-\lambda_i I$ auf den verallgemeinerten Eigenraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ verschwindet. Es ist das Polynom geringsten Grades über $\Bbbk'$, welches $m(A)=0$ erfüllt. \end{satz} @@ -466,6 +462,8 @@ d_{k-1}. Für $k=1$ fallen die Terme $c_{k-1}$ und $d_{k-1}$ weg. In der Basis $\mathcal{D}=\{c_1,d_1,\dots,c_n,d_n\}$ hat die Matrix also die {\em reelle Normalform} +\index{relle Normalform}% +\index{Normalform, reelle}% \begin{equation} \def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{#1\mathstrut}} \def\semp#1{\multicolumn{1}{c|}{#1\mathstrut}} @@ -479,12 +477,12 @@ A_{\text{reell}} \cline{1-6} & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{ 1}& 0&\temp{} & & & &&\\ & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{ 0}& 1&\temp{} & & & &&\\ -\cline{3-6} - & & & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{} & & & &&\\ - & & & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{} & & & &&\\ -\cline{5-8} - & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &&\\ - & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &&\\ +\cline{3-8} + & & & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{} & &\temp{}& &&\\ + & & & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{} & &\temp{}& &&\\ +\cline{5-10} + & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &\temp{}&\\ + & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &\temp{}&\\ \cline{7-12} & & & & & & & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{ 1}&\semp{ 0}\\ & & & & & & & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{ 0}&\semp{ 1}\\ |