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Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex2
-rw-r--r--buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex61
-rw-r--r--buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex71
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18 files changed, 689 insertions, 183 deletions
diff --git a/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex b/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex
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index 0000000..0db5617
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex
@@ -0,0 +1,2 @@
+TODO...
+GA [Geometric Algebra i.a.W. Clifford Algebra] provides a unified language for the whole of physics and for much of mathematics and its applications that is conceptually and computationally superior to alternative mathematical systems in many application domains. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
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index 0000000..8945ba8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
@@ -0,0 +1,61 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Quaternionen}
+\rhead{Quaternionen}
+Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den 3 dimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine dreh-streckende Eigenschaft.
+Sie finden beispielsweise in der Computergraphik und in der Robotik Anwendung.
+Die Quaternionen werden so definiert.
+\begin{align}
+ q = w + xi + yj + zk; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace q \in \mathbb{H}
+\end{align}
+Eine Drehstreckung wird dabei mit dieser Formel erreicht.
+\begin{align} \label{QuatRot}
+ \begin{split}
+ &v'' = qvq^{-1};\quad q,v,q^{-1} \in \mathbb{H}\\
+ &Re(q) = Re(q^{-1});\enspace Im(q) = -Im(q^-1)
+ \end{split}
+\end{align}
+Die Quaternionen besitzen im Gegensatz zu dem komplexen Zahlen 3 imaginäre Einheiten $i,j,k$. Wieso 3? Weil es in der dritten Dimension 3 Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Nun haben wir ein kleines Problem. Wie sollen wir die Quaternionen darstellen? Wir bräuchten 4 Achsen für die 3 Imaginären Einheiten und die eine reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht.
+
+\subsection{geometrischen Algebra}
+Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Quaternionen können, wie schon im 2 dimensionalen Fall durch die gerade Grade $\mathbb{G}_3^+ \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $\mathbb{G}_3$ befinden haben wir 3 Basisvektoren $e_1, e_2, e_3$ und können somit 3 Bivektoren bilden $e_{12}, e_{23}, e_{31}$.
+\begin{align}
+ \mathbf{q} = w + x\mathbf{e_{12}} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}}; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace q \in \mathbb{G}_3^+
+\end{align}
+Die Probleme werden dadurch gelöst, da wir die Bivektoren im Raum nicht durch einzelne Achsen darstellen müssen, sondern sie als eine orientiere Fläche darstellen können. Anstatt die Vektoren in Quaternionen umzurechnen, können wir jetzt die Vektoren separat im gleichen Raum darstellen.
+\\BILD VEKTOR, QUATERNION IN G3\\
+Wie schon im 2 dimensionalen Fall beschreibt ein Bivektor, um wie viel der um 90 grad gedrehte orginale Vektor gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse.
+\\BILD?\\
+In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternion, welche den Betrag $|q|=1$ haben. Sie rotieren die Objekte bzw. Vektoren lediglich.
+\begin{align}
+ \mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(x\mathbf{e_{12}} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}})
+\end{align}
+wobei definiert ist, dass $x^2+y^2+z^2=1$. Somit beträgt der Betrag immer 1.
+\begin{align}
+ |q| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(x^2+y^2+z^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1
+\end{align}
+Man verwendet um einen Vektor zu drehen wieder die gleiche Formel, wie auch schon im 2 dimensionalen Fall.
+\begin{align} \label{QuatRot}
+ \begin{split}
+ &v'' = qvq^{-1}\\
+ &Re(q) = Re(q^{-1});\enspace Im(q) = -Im(q^-1)
+ \end{split}
+\end{align}
+Es ist wichtig bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $q$ und $q^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann
+
+\subsection{Gimbal-Lock und Interpolation}
+
+\subsection{Fazit}
+andere Darstellungsweise. Besser für Verständnis => komplexe Zahlen erscheinen ähnlicher zu Quaternionen? Eine Sprache für alle Geometrische Probleme
+
+
+\begin{tikzpicture}
+ \draw[thin,gray!40] (-3,-3) grid (3,3);
+ \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$x$};
+ \draw[<->] (0,-3)--(0,3) node[above]{$y$};
+ \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(1,1) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{u}$};
+ \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(-1,-1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{-u}$};
+\end{tikzpicture} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
new file mode 100644
index 0000000..88a5789
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
@@ -0,0 +1,71 @@
+\section{Vektoroperationen\label{clifford:section:Vektoroperationen}}
+\rhead{Vektoroperationen}
+\subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}}
+Vektoren können neben der üblichen Darstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren dargestellt werden
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ \textbf{a}
+ &=
+ \begin{pmatrix}
+ a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n
+ \end{pmatrix}
+ =
+ a_1 \begin{pmatrix}
+ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
+ \end{pmatrix}
+ +
+ a_2\begin{pmatrix}
+ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0
+ \end{pmatrix} + \dots
+ +
+ a_n\begin{pmatrix}
+ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
+ \end{pmatrix} \\\
+ &=
+ a_1\textbf{e}_1
+ +
+ a_2\textbf{e}_2
+ +
+ \dots + a_n\textbf{e}_n
+ =
+ \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
+ \qquad
+ a_i \in \mathbb{R}
+ , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n.
+ \end{split}
+\end{equation}
+Diese Basisvektoren sollen orthonormal sein und um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, ...$ ersetzt.
+\begin{beispiel}
+Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$
+ \begin{equation}
+ \begin{pmatrix}
+ 42 \\ 2 \\ 1291 \\ 4
+ \end{pmatrix}
+ =
+ 42 \begin{pmatrix}
+ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0
+ \end{pmatrix}
+ +
+ 2 \begin{pmatrix}
+ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0
+ \end{pmatrix}
+ +
+ 1291
+ \begin{pmatrix}
+ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0
+ \end{pmatrix}
+ +
+ 4 \begin{pmatrix}
+ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1
+ \end{pmatrix}
+ =
+ 42\textbf{e}_1
+ +
+ 2\textbf{e}_2
+ +
+ 1291\textbf{e}_3
+ +
+ 4\textbf{e}_4
+ \end{equation}
+\end{beispiel}
+Wobei Beispiel für einen vier dimensionalen Vektor ist, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
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index 0000000..cfb05d6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
@@ -0,0 +1,110 @@
+\subsection{Quadrat von Vektoren}
+Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen, was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken.
+Was soll es schon heissen zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren?
+\newline
+Im Folgenden werden wir versuchen diese Operation ähnlich intuitiv darzustellen.
+\newline
+Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem Fall Vektoren, zu definieren, muss man überlegen, was das Ziel dieser Operation ist.
+Als grundsätzliches Ziel wird definiert, dass das Quadrat eines Vektor dessen Länge im Quadrat ergibt, da dies auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik,zum Beispiel bei komplexen Zahlen, auch so definiert ist.
+\newline
+Zusätzlich wollen wir auch das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz für Skalare beibehalten. Wobei das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, in der geometrischen Algebra im generellen nicht mehr gilt. Das heisst wir dürfen ausklammern \ref{eq:assoziativ} und die Position von Skalaren im Produkt ändern \ref{eq:kommSkalar}, allerdings nicht die Position der Vektoren \ref{eq:kommVector}.
+\begin{equation}
+ \label{eq:assoziativ}
+ \textbf{e}_i(\textbf{e}_j + \textbf{e}_k)
+ =
+ \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ \label{eq:kommSkalar}
+ a\textbf{e}_ib\textbf{e}_j
+ =
+ ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ \label{eq:kommVector}
+ \textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \neq
+ \textbf{e}_j\textbf{e}_i
+\end{equation}
+Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors.
+\begin{align}
+ \textbf{a}^2 &=
+ \left (
+ \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
+ \right )
+ \left (
+ \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
+ \right )
+ \label{eq:quad_a_1}
+ \\
+ &=
+ \textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2\textbf{e}_i^2}
+ +
+ \textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j }
+ \label{eq:quad_a_2}
+ \\
+ &= \textcolor{cyan}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{orange}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}.
+ \label{eq:quad_a_3}
+\end{align}
+
+\begin{beispiel}
+Quadrat eines Vektors in $\mathbb{R}^2$
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ \textbf{a}^2
+ &= (a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2) \\\
+ &= \textcolor{red}{a_1^2\textbf{e}_1^2 + a_2^2\textbf{e}_2^2}
+ + \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2} \\\
+ & = \textcolor{cyan}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{orange}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}
+ \end{split}
+\end{equation}
+
+\end{beispiel}
+Der Vektor wird in \ref{eq:quad_a_1} als Linearkombination geschrieben.
+Das Quadrat kann, wie in \ref{eq:quad_a_2} gezeigt, in zwei Summen aufteilen werden , wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet.
+\newline
+Da $\textbf{e}_i^2 = 1$ gilt, da zuvor vorausgesetzt wurde, dass man mit orthonormalen Einheitsvektoren arbeitet, wird dies nun eingesetzt ergibt sich \ref{eq:quad_a_3}
+\newline
+Die hellblaue Teil ist nun bereits Länge im Quadrat eines Vektors, also das Ziel der Multiplikation.
+Daher muss der restliche Teil dieser Gleichung null ergeben.
+Aus dieser Erkenntnis leiten wir in \ref{eq:Mischterme_Null} weitere Eigenschaften für die Multiplikation her.
+\begin{equation}
+ \label{eq:Mischterme_Null}
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots = 0
+\end{equation}
+Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. Somit fallen alle Terme bis auf den blauen weg. Wird dies weiter vereinfacht ergibt sich
+\begin{equation}
+\begin{split}
+ a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1) &= 0 \\
+ a_1a_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -a_1a_2\textbf{e}_2\textbf{e}_1 \\
+ \textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -\textbf{e}_2\textbf{e}_1.
+\end{split}
+\end{equation}
+\begin{satz}
+ Die Multiplikation von Vektoren ist antikommutativ, wenn die multiplizierten Vektoren orthogonal sind.
+ \begin{equation}
+ \textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \qquad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j
+ \end{equation}
+\end{satz}
+Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde.
+\begin{table}
+\caption{Multiplikationstabelle für Vektoren}
+\label{tab:multip_vec}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c| }
+ \hline
+ & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & $\dots$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_2$ & 1 & $\dots$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$ & $\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n-1}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n-1}$ & $\dots$ & $1$ & $\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_1\textbf{e}_{n}$ & $-\textbf{e}_2\textbf{e}_{n}$ & $\dots$ & $-\textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_{n}$ & 1 \\
+ \hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{table} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
new file mode 100644
index 0000000..841dde4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
@@ -0,0 +1,175 @@
+\subsection{Multiplikation von Vektoren}
+Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren,$u$ und $v$, miteinander multipliziert werden?
+\begin{equation}
+ \textbf{u} =
+ \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i
+ \qquad
+ \textbf{v} = \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ \textbf{u}\textbf{v}
+ =
+ \left (
+ \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i
+ \right )
+ \left (
+ \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i
+ \right)
+ =
+ \sum_{i=1}^n u_iv_i\underbrace{\textbf{e}_i^2}_{1}
+ + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \end{split}
+\end{equation}
+\begin{beispiel}
+ Multiplikation von Vektoren in $\mathbb{R}^2$
+\end{beispiel}
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ \textbf{u}\textbf{v}
+ &=
+ (u_1\textbf{e}_1 + u_2\textbf{e}_2)(v_1\textbf{e}_1 + v_2\textbf{e}_2)
+ =
+ u_1v_1\textbf{e}_1^2
+ +
+ u_2v_2\textbf{e}_2^2
+ +
+ u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2
+ +
+ u_2v_1\underbrace{\textbf{e}_2\textbf{e}_1}_{-\textbf{e}_1\textbf{e}_2}
+ \\\
+ &=
+ \underbrace{(u_1v_1 + u_2v_2)}_{\text{Skalarprodukt}}
+ +
+ \underbrace{(u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2}_{\text{Äusseres Produkt}}
+ \end{split}
+\end{equation}
+Der linke Teil dieser Multiplikation ergibt das Skalarprodukt der zwei Vektoren, der rechte Term ergibt etwas neues das sich das äussere Produkt der zwei Vektoren nennt.
+\subsubsection{Äusseres Produkt}
+Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt
+\begin{equation}
+ \textbf{u}\wedge \textbf{v}
+ =
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{equation}
+\begin{beispiel}
+Äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$
+\end{beispiel}
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ u \wedge v
+ &=
+ u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2
+ +
+ u_1v_3\textbf{e}_1\textbf{e}_3
+ +
+ u_2v_2\textbf{e}_2\textbf{e}_3
+ +
+ u_2v_1\textbf{e}_2\textbf{e}_1
+ +
+ u_3v_1\textbf{e}_3\textbf{e}_1
+ +
+ u_3v_2\textbf{e}_3\textbf{e}_2 \\\
+ &=
+ (u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2
+ +
+ (u_1v_3 - v_3u_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_3
+ +
+ (u_2v_3 - u_3v_2)\textbf{e}_2\textbf{e}_3
+ \end{split}
+\end{equation}
+Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität des Produkts, die Vektorprodukte, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten, zusammengefasst. Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den Gleichungen \ref{eq:u_wedge_v}-\ref{eq:u_wedge_v_5} hergeleitet.
+\begin{align}
+ \textbf{u}\wedge \textbf{v}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n
+ u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \label{eq:u_wedge_v}
+ \\
+ \label{eq:u_wedge_v_1}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ +
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \\
+ \label{eq:u_wedge_v_2}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ +
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i
+ \\
+ \label{eq:u_wedge_v_3}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ -
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \\
+ \label{eq:u_wedge_v_4}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ \\
+ \label{eq:u_wedge_v_5}
+ &=
+ \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n \begin{vmatrix}
+ u_i & v_i \\
+ u_j & v_j
+ \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{align}
+Die Summe aus \ref{eq:u_wedge_v_1} wird in \ref{eq:u_wedge_v} in zwei verschiedene Summen aufgeteilt.
+Wobei die linke Summe jeweils den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle hat.
+\newline
+Bei \ref{eq:u_wedge_v_2} werden die Indexe der zweiten Summe vertauscht, damit man nun bei beiden Teilen die gleiche Summe hat.
+Danach werden in \ref{eq:u_wedge_v_3}, mit Hilfe der Antikommutativität, die Einheitsvektoren der zweiten Summe vertauscht.
+\newline
+Nun können die Summen, wie in \ref{eq:u_wedge_v_4} wieder in eine Summe zusammengefasst werden.
+\newline
+Der Term in der Klammer in \ref{eq:u_wedge_v_4} kann auch als Determinante einer 2x2 Matrix dargestellt werden, was in \ref{eq:u_wedge_v_5} gemacht wird.
+\newline
+Die Determinante einer Matrix beschreibt welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+ \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
+ \draw[<->] (0,0)--(4,0) ;
+ \draw[<->] (0,0)--(0,4) ;
+ \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2);
+ \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north
+ west]{$\boldsymbol{u}$};
+ \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+ \draw[black] (2,1.5)--(-0.5,2.5) node[anchor = east]{$\begin{vmatrix}
+ u_i & v_i \\
+ u_j & v_j
+ \end{vmatrix} = u_iv_j - v_iu_j$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Geometrische Interpretation der Determinante einer 2x2 Matrix\label{figure:det}}
+\end{figure}
+\newline
+Das äussere Produkt besteht nun also aus der Summe
+ $\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n$
+ von Flächen
+ $\begin{vmatrix}
+ u_i & v_i \\
+ u_j & v_j
+ \end{vmatrix}$, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \ref{eq:u_wedge_v_5} sieht.
+Dieses Produkt $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ der Basisvektoren interpretiert man als Umlaufrichtung.
+Wobei die gebildete Fläche in Richtung des ersten Vektors umschritten wird.
+Dies ist in \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung u umschritten wird.
+Diese Fläche mit einer Richtung nennt man in der geometrischen Algebra einen Bivektor, da er eine Art zwei dimensionaler Vektor ist.
+\begin{figure}
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+ \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
+ \draw[<->] (0,0)--(4,0) node[right]{$x$};
+ \draw[<->] (0,0)--(0,4) node[above]{$y$};
+ \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2);
+ \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north
+ west]{$\boldsymbol{u}$};
+ \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+ \draw[->] (2.15,1.5) arc (0:310:0.3);
+ \draw[black] (2,1.5)--(-0.5,2.5) node[anchor = east]{$u\wedge v = \begin{vmatrix}
+ u_i & v_i \\
+ u_j & v_j
+ \end{vmatrix} e_1e_2 = (u_iv_j - v_iu_j)\textbf{e}_1\textbf{e}_2$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Geometrische Interpretation des äusseren Produkt in $\mathbb{R}^2$\label{figure:wedge}}
+\end{figure} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
new file mode 100644
index 0000000..a19e983
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+\subsection{Geometrisches Produkt}
+Die Multiplikation von zwei Vektoren nennt man in der Clifford Algebra das geometrische Produkt, dieses können wir nun als Summe aus dem Skalar- und dem äusseren Produkt darstellen
+\begin{equation}
+ \textbf{u}\textbf{v} = \textbf{u}\cdot \textbf{v} + \textbf{u} \wedge \textbf{v}.
+\end{equation}
+Dieses Additionszeichen zwischen diesen zwei Produkten mag vielleicht ein wenig eigenartig wirken, da uns das Skalarprodukt ein Skalar und das äussere Produkt einen Bivektor zurück gibt. Was bedeutet es nun also diese beiden Elemente zu addieren?
+Man kann sich die Addition wie bei den komplexen Zahlen vorstellen, wobei die imaginäre Einheit auch nicht explizit zu dem reelen Teil addiert werden kann, sondern die zwei Teile zusammen ein Objekt, eine komplexe Zahl bilden.
+Dieses Objekt, also die Summe von verschiedenen Elemente der Clifford Algebra, wird Multivektor genannt.
+\begin{definition}
+Ein Multivektor besteht aus den verschiedenen Bauteilen, wie zum Beispiel Vektoren, Bivektoren oder Trivektoren (Volumen mit einer Richtung), der Clifford Algebra.
+\begin{equation}
+ M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right)
+\end{equation}
+\end{definition}
+Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $\mathbb{G}^n$ beschrieben.
+\begin{beispiel}
+Allgemeiner Multivektor in $\mathbb{G}^3$
+\begin{equation}
+ M = a
+ +
+ \underbrace{b\textbf{e}_1 + c\textbf{e}_2 + d\textbf{e}_3}_{\text{Vektorteil}}
+ +
+ \underbrace{f\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + g\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + h\textbf{e}_2\textbf{e}_3 }_{\text{Bivektorteil}}
+ +
+ \underbrace{k\textbf{e}_1\textbf{e}_2\textbf{e}_3}_{\text{Trivektorteil}}
+\end{equation}
+\end{beispiel}
+\begin{definition}
+Um das Produkt von Basisvektoren in Zukunft darzustellen wird folgende Notation definiert
+ \begin{equation}
+ e_ie_j = e_{ij}
+ \end{equation}
+\end{definition}
+Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $\mathbb{G}^n$ erstellt werden. In \ref{tab:multip} ist dies für $\mathbb{G}^3$ gemacht.
+\begin{table}
+ \caption{Multiplikationstabelle für $\mathbb{G^3}$}
+ \label{tab:multip}
+ \begin{center}
+ \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c|c|c| }
+ \hline
+ 1 & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & 1 & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & 1 & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & -1 & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & -1 & $-\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{2}$\\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & -1 & $-\textbf{e}_{1}$ \\
+ \hline
+ $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & -1 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+\end{table}
diff --git a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
new file mode 100644
index 0000000..80fb49f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+\subsection{Polare Darstellung des geometrischen Produktes}
+Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme beschreiben. Das Skalarprodukt kann als
+\begin{equation}
+ \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{\alpha}
+\end{equation}
+beschrieben werden. Wobei $\alpha$ den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt.
+\newline
+Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term beschreiben
+\begin{equation}
+ \textbf{u} \wedge \textbf{v}
+ =
+ \begin{vmatrix}
+ u_i & v_i \\
+ u_j & v_j
+ \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ =
+ \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+\end{equation}
+Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{e}_i$ und $\textbf{e}_j$ aufgespannten Ebene liegen.\newline
+Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen
+\begin{equation}
+ \textbf{u}\textbf{v}
+ =
+ |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{(\alpha)}
+ +
+ |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{e}_i\textbf{e}_j
+ =
+ |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{e}_i\textbf{e}_j)
+\end{equation} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex
new file mode 100644
index 0000000..6417bb3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex
@@ -0,0 +1,7 @@
+%
+% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
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+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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+\section{Dirac-Matrizen}
+\rhead{Dirac-Matrizen}
diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
new file mode 100644
index 0000000..d4942e0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
@@ -0,0 +1,33 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Reflektion/ Spiegelung}
+\rhead{Reflektion/ Spiegelung}
+Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflektion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \\HIER BILD
+\subsection{linearen Algebra}
+Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Reflektion wie folgt beschreiben kann.
+\begin{align} \label{RefLinAlg}
+ \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}
+\end{align}
+Dabei stellt $\mathbf{u}$ die Spiegelachse dar.
+Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Reflektionen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann die Abbildung des Vektors auf den Reflektierten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des zu der Spiegelachse orthonormalen Vektors $\mathbf{\hat{n}}$ besteht.
+\\MATRIZEN O(2) und O(3) zeigen\\
+Diese Matrizen gehören der Matrizengruppe $O(n)$ an....
+\subsection{geometrischen Algebra}
+Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel (\ref{RefLinAlg}) eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen einfach erweitert werden kann.
+\begin{align}
+ \mathbf{v'} = \mathbf{uvu^{-1}}
+\end{align}
+wobei die Inverse eines Vektors so definiert ist, dass multipliziert mit sich selbst das neutrale Element 1 ergibt.
+\begin{align}
+ u^{-1} = \dfrac{u}{|u|^2} \Rightarrow uu^{-1} = 1
+\end{align}
+verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird somit die Formel reduziert zu einer beidseitigen Multiplikation von $\mathbf{\hat{u}}$.
+\begin{align}
+ \mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
+\end{align}
+Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise.
+Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da keine Multiplikation von Vektoren definiert ist.
+\\BEISPIEL? \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
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index 0000000..c2928bf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
@@ -0,0 +1,100 @@
+%
+% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Rotation}
+\rhead{Rotation}
+Eine Rotation kann man aus zwei, aufeinanderfolgende Reflektionen bilden. Das war für mich zuerst eine verwirrende Aussage, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Reflektion schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Reflektion, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Reflektion invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt in 3D vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zwei mal invertiert wurde.
+\\BILD
+
+\subsection{linearen Algebra}
+In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $SO(n)$ beschrieben. Die SO(2) werden beispielsweise auf diese Weise gebildet.
+\begin{align}
+ D =
+ \begin{pmatrix}
+ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\
+ -sin(\alpha) & cos(\alpha)
+ \end{pmatrix}
+\end{align}
+
+\subsection{geometrischen Algebra}
+Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Reflektionen gebildet werden kann, können wir die Rotation einfach herleiten.
+\begin{align} \label{rotGA}
+ v'' = wv'w^{-1} = w(uvu^{-1})w^{-1}
+\end{align}
+Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese versuchen wir jetzt noch zu verbessern. Dazu leiten wir zuerst die bekannte Polarform her. (Anmerkung: Hier wird eine Rotation auf der $\mathbf{e_{12}}$ Ebene hergeleitet. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e_{ij}}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden)
+\begin{align}
+ \mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_2\right]
+\end{align}
+Dabei können wir ausnützen, dass $e_1^2 = 1$ ist. Was nichts ändert wenn wir es einfügen. Zudem klammern wir dann $e_1$ aus.
+\begin{align}
+ \mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_1e_1e_2\right]
+\end{align}
+\begin{align} \label{e1ausklammern}
+ \mathbf{w} = |w|e_1\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) e_{12}\right]
+\end{align}
+Durch die Reihenentwicklung ist es uns jetzt möglich den Term in eckigen Klammern mit der e-Funktion zu schreiben.
+\begin{align}
+ \mathbf{w} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Man kann es so interpretieren, dass der Einheitsvektor $e_1$ um die Länge w gestreckt und um $theta_w$ gedreht wird.
+Nun werden wir den Effekt von zwei aneinandergereihten Vektoren $(wu)$ betrachten.
+\begin{align}
+ \mathbf{wu} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}}||u||\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Um die beiden $\mathbf{e_1}$ zu kürzen, können wir die Reihenfolge des exponential Terms mit $\mathbf{e_1}$ wechseln, indem man bei der Gleichung (\ref{e1ausklammern}), anstatt mit $\mathbf{e_1e_1e_2}$ mit $\mathbf{e_2e_1e_1}$ erweitert.
+\begin{align}
+ \mathbf{w} = |w|\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e_2e_1}\right]\mathbf{e_1}
+\end{align}
+Da $\mathbf{e_2e_1 = -e_{12}}$ können wir einfach den Winkel negieren.
+Jetzt können wir wieder $e_1e_1 = 1$ kürzen. Die Längen können als Skalare beliebig verschoben werden und die exponential Terme zusammengefasst werden.
+\begin{align}
+ \mathbf{wu} = |w||u|e^{-\theta_w \mathbf{e_{12}}}\mathbf{e_1}\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+\begin{align}
+ \mathbf{wu} = |w||u|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+der Term $\mathbf{u^{-1}w^{-1}}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden.
+\begin{align}
+ \mathbf{u^{-1}w^{-1}} = \dfrac{1}{|w||u|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Dabei definieren wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$. Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung (\ref{rotGA}) ein.
+\begin{align}
+ \mathbf{v''} = |w||u|e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v \dfrac{1}{|w||u|}e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+HIER DEFINITION/IST WICHTIGE FORMEL
+\begin{align}
+ \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht.
+\begin{align} \label{RotAufPerpPar}
+ \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+\begin{align}
+ \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so vertauscht werden kann. Der Winkel wird dabei beim parallelen Term negiert.
+\begin{align}
+ \mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e_{12}}} e^{\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+\begin{align}
+ \mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} + \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e_{12}}}
+\end{align}
+Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle.
+\\BEISPIEL
+\begin{align}
+ \begin{split}
+ &\mathbf{v} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2}; \quad \mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e_3}\\ &\mathbf{wu} = 1e^{(-\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = 1[\cos(-\pi/2)\mathbf{e_1}+\sin(-\pi/2)\mathbf{e_2}] = -\mathbf{e_2}; \\ &\mathbf{u^{-1}w^{-1}} = 1e^{(\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = \mathbf{e_2}
+ \end{split}
+\end{align}
+\begin{align}
+ \begin{split}
+ \mathbf{v''} = &\mathbf{(wu)v(u^{-1}w^{-1})} \\
+ &-\mathbf{e_2} (1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}) \mathbf{e_2} \\
+ & -1\mathbf{e_2e_1e_2} - 2\mathbf{e_2e_2e_2} - 3\mathbf{e_2e_3e_2} \\
+ & 1\mathbf{e_2e_2e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_2e_2e_3} \\
+ & 1\mathbf{e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}
+ \end{split}
+\end{align}
+Man sieht, dass sich der Vektor $\mathbf{v_\parallel}$ sich um $2\cdot90^\circ$ gedreht hat und der Vektor $\mathbf{v_\perp}$ unverändert blieb. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
new file mode 100644
index 0000000..4dbab2c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex
@@ -0,0 +1,28 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{komplexe Zahlen}
+\rhead{komplexe Zahlen}
+Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nachdem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist Komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbb{G}_2^+ \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grade 0) und einem Bivektor (Grade 2) dargestellt werden. Als Abkürzung nehme ich die Bezeichnung $g_n \in \mathbb{G}_2^+$.
+\begin{align}
+ a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 e_{12} = g_n;\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}
+\end{align}
+oder in Polarform.
+\begin{align}
+ |r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta e_{12}} = g_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R}
+\end{align}
+Man beachte, dass wenn wir, wie bei den komplexen Zahlen, Elemente von $\mathbb{G}_2^+$ miteinander Multiplizieren, ist es nicht, wie im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{rotGA})beschrieben, eine Multiplikation von zwei $g_n$ mit einem Vektor. Im 2 dimensionalen bewirken beide Multiplikationen grundsätzlich das Gleiche (eine Drehstreckung), aber die Multiplikation von mehreren $g_n$ ist kommutativ, wie wir es von den komplexen zahlen kennen.
+\begin{align}
+ \begin{split}
+ &(a + b \mathbf{e_{12}})(c + d \mathbf{e_{12}}) = (c + d \mathbf{e_{12}})(a + b \mathbf{e_{12}})\\
+ &(a + b \mathbf{e_{12}})(x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2})(c + d \mathbf{e_{12}}) \not= (a + b \mathbf{e_{12}})(c + d \mathbf{e_{12}})(x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2})
+ \end{split}
+\end{align}
+Um später die Auswirkung der Quaternionen besser zu verstehen, möchte ich kurz darauf eingehen, was ein $g_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat.
+Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=c+dj$ multipliziert wird, dann kann man diese so aufteilen.
+\begin{align}
+ c = (a + bj)(c + dj) = c\cdot(a+bj) + dj\cdot(a+bj)
+\end{align}
+Wobei $c\cdot(a+bj)$ die jetzige komplexe Zahl $c_1$ um den Faktor $c$ steckt und $dj\cdot(a+bj)$ die um 90° im gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_1$ um den Faktor $d$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben, dann den um $c_2$ drehgestreckten Vektor $c_1$. Die wirklichen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen.
diff --git a/buch/papers/clifford/main.tex b/buch/papers/clifford/main.tex
index 5533c55..46d04bd 100644
--- a/buch/papers/clifford/main.tex
+++ b/buch/papers/clifford/main.tex
@@ -3,34 +3,23 @@
%
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
-\chapter{Thema\label{chapter:clifford}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Clifford Algebra\label{chapter:clifford}}
+\lhead{Clifford Algebra}
\begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Thierry Schwaller, Marius Baumann}
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht.
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile.
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt
-anzuwenden.
-\item
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
-\input{papers/clifford/teil0.tex}
-\input{papers/clifford/teil1.tex}
-\input{papers/clifford/teil2.tex}
-\input{papers/clifford/teil3.tex}
+\input{papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex}
+\input{papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex}
+\input{papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex}
+\input{papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex}
+\input{papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex}
+\input{papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex}
+\input{papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex}
+\input{papers/clifford/7_Reflektion.tex}
+\input{papers/clifford/8_Rotation.tex}
+\input{papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex}
+\input{papers/clifford/10_Quaternionen.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/clifford/packages.tex b/buch/papers/clifford/packages.tex
index 8abcef1..8fb4bd9 100644
--- a/buch/papers/clifford/packages.tex
+++ b/buch/papers/clifford/packages.tex
@@ -7,4 +7,3 @@
% if your paper needs special packages, add package commands as in the
% following example
%\usepackage{packagename}
-
diff --git a/buch/papers/clifford/papers/clifford/teil0.tex b/buch/papers/clifford/papers/clifford/teil0.tex
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/clifford/papers/clifford/teil0.tex
diff --git a/buch/papers/clifford/teil0.tex b/buch/papers/clifford/teil0.tex
deleted file mode 100644
index ac943f4..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{clifford:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{clifford:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
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diff --git a/buch/papers/clifford/teil1.tex b/buch/papers/clifford/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 0674afb..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{clifford:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{clifford:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{clifford:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{clifford:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{clifford:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/clifford/teil2.tex b/buch/papers/clifford/teil2.tex
deleted file mode 100644
index bbcefb0..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2
-\label{clifford:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{clifford:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/clifford/teil3.tex b/buch/papers/clifford/teil3.tex
deleted file mode 100644
index f50d42d..0000000
--- a/buch/papers/clifford/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{clifford:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{clifford:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
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