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diff --git a/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex b/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex index 0db5617..ad9bcc2 100644 --- a/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex +++ b/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex @@ -1,2 +1,6 @@ -TODO... -GA [Geometric Algebra i.a.W. Clifford Algebra] provides a unified language for the whole of physics and for much of mathematics and its applications that is conceptually and computationally superior to alternative mathematical systems in many application domains.
\ No newline at end of file + +Der Nutzen, welche die Clifford Algebra hat, lässt sich am besten mit den Worten des modernen Begründers dieser erläutern. + +"GA [Geometric Algebra i.a.W. Clifford Algebra] provides a unified language for the whole of physics and for much of mathematics and its applications that is conceptually and computationally superior to alternative mathematical systems in many application domains." \cite{clifford:hestenes_GA} + +Im folgenden hoffen wir den Leser von der Nützlichkeit und der geometrischen Schönheit der Clifford Algebra zu überzeugen.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex index 8945ba8..375c6e7 100644 --- a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex +++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex @@ -5,57 +5,223 @@ % \section{Quaternionen} \rhead{Quaternionen} -Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den 3 dimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine dreh-streckende Eigenschaft. + +Wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind, sind die Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen für den dreidimensionalen Raum. Sie haben, wie die komplexen Zahlen, eine dreh-streckende Eigenschaft. Sie finden beispielsweise in der Computergraphik und in der Robotik Anwendung. -Die Quaternionen werden so definiert. +Die Quaternionen \begin{align} - q = w + xi + yj + zk; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace q \in \mathbb{H} + q = w + xi + yj + zk \quad w,x,y,z \in \mathbb{R}\enspace q \in \mathbb{H} \end{align} -Eine Drehstreckung wird dabei mit dieser Formel erreicht. +können dabei eine Drehstreckung mit dieser Formel erreichen \begin{align} \label{QuatRot} \begin{split} &v'' = qvq^{-1};\quad q,v,q^{-1} \in \mathbb{H}\\ - &Re(q) = Re(q^{-1});\enspace Im(q) = -Im(q^-1) + &\operatorname{Re}(q) = \operatorname{Re}(q^{-1})\quad \operatorname{Im}(q) = -\operatorname{Im}(q^{-1}) \end{split} \end{align} -Die Quaternionen besitzen im Gegensatz zu dem komplexen Zahlen 3 imaginäre Einheiten $i,j,k$. Wieso 3? Weil es in der dritten Dimension 3 Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Nun haben wir ein kleines Problem. Wie sollen wir die Quaternionen darstellen? Wir bräuchten 4 Achsen für die 3 Imaginären Einheiten und die eine reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht. +Auffallend ist hier schon die Ähnlichkeit zu dem Kapitel Rotation. Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in der dritten Dimension drei Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Wie im Kapitel Rotation beschrieben können wir auch hier die drei Drehungen durch Linearkombinationen von drei Bivektoren beschreiben. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In der vierten Dimension würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind). + +Ohne die geometrische Algebra, haben wir jetzt aber leider ein kleines Problem. Für die Darstellung der Quaternionen bräuchten wir insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst ineinander umgewandelt werden, um damit zu rechnen, wie man bei $v \in \mathbb{H}$ in der Formel (\ref{QuatRot}) sieht. + +\subsection{Geometrische Algebra} +Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Quaternionen können, wie schon im 2 dimensionalen Fall durch die gerade Grade $G_3^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $G_3(\mathbb{R})$ befinden haben wir drei Basisvektoren $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ und können somit drei Bivektoren bilden $\mathbf{e}_{12}, \mathbf{e}_{23}, \mathbf{e}_{31}$. +\begin{definition} + Multivektoren mit Drehstreckenden Eigenschaften in $G_3(\mathbb{R})$ (gleichbedeutend zu Quaternionen) + \begin{align} + \mathbf{q} = w + x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}}; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace \mathbf{q} \in \mathbb{G}_3^+ + \end{align} +\end{definition} -\subsection{geometrischen Algebra} -Die geometrische Algebra besitzt die Fähigkeit beide Probleme zu lösen. Die Quaternionen können, wie schon im 2 dimensionalen Fall durch die gerade Grade $\mathbb{G}_3^+ \cong \mathbb{H}$ dargestellt werden. Da wir uns jetzt aber in $\mathbb{G}_3$ befinden haben wir 3 Basisvektoren $e_1, e_2, e_3$ und können somit 3 Bivektoren bilden $e_{12}, e_{23}, e_{31}$. -\begin{align} - \mathbf{q} = w + x\mathbf{e_{12}} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}}; \quad w,x,y,z \in \mathbb{R};\enspace q \in \mathbb{G}_3^+ -\end{align} Die Probleme werden dadurch gelöst, da wir die Bivektoren im Raum nicht durch einzelne Achsen darstellen müssen, sondern sie als eine orientiere Fläche darstellen können. Anstatt die Vektoren in Quaternionen umzurechnen, können wir jetzt die Vektoren separat im gleichen Raum darstellen. -\\BILD VEKTOR, QUATERNION IN G3\\ +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + % Koordinatensystem + \draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$}; + + % v Vektor + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,-1) node[anchor=north]{$\boldsymbol{v}$}; + + % q Quaternion + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(0.75,0)--(0.75,0.75)--(0,0.75) + node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$x\boldsymbol{e_{12}}$}; + \draw[->] (0.7,0.55) arc (0:310:0.15); + + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-1,-1)--(-1,0.71)--(0,1.71) + node[xshift=-0.5cm, yshift=-1.5cm, blue]{$y\boldsymbol{e_{23}}$}; + \draw[->] (-0.1,1.1) arc (0:310:0.15); + + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-0.71,-0.71)--(0.29,-0.71)--(1,0) + node[xshift=-0.7cm, yshift=-0.2cm, blue]{$z\boldsymbol{e_{31}}$}; + \draw[->] (0,-0.5) arc (0:310:0.15); + + % Basisvektoren + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-0.71,-0.71) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Darstellung eines Quaternion $\mathbf{q}$ und eines Vektors $\mathbf{v}$ im selben Raum} + \label{BildQuaternionen} +\end{figure} Wie schon im 2 dimensionalen Fall beschreibt ein Bivektor, um wie viel der um 90 grad gedrehte orginale Vektor gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse. \\BILD?\\ -In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternion, welche den Betrag $|q|=1$ haben. Sie rotieren die Objekte bzw. Vektoren lediglich. -\begin{align} - \mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(x\mathbf{e_{12}} + y\mathbf{e_{23}} + z\mathbf{e_{31}}) -\end{align} -wobei definiert ist, dass $x^2+y^2+z^2=1$. Somit beträgt der Betrag immer 1. +In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternionen, welche den Betrag $|q|=1$ haben. Sie rotieren die Objekte bzw. Vektoren lediglich. +\begin{definition} + Einheitsquaternionen + \begin{align} + \mathbf{q} = \cos(\alpha) + sin(\alpha)(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31}) + \end{align} +\end{definition} +Dabei ist definiert, dass $\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2=1$. Somit beträgt der Betrag von $\mathbf{q}$ immer 1. \begin{align} - |q| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(x^2+y^2+z^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1 + |\mathbf{q}| = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2) } = \sqrt{cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2} = 1 \end{align} -Man verwendet um einen Vektor zu drehen wieder die gleiche Formel, wie auch schon im 2 dimensionalen Fall. -\begin{align} \label{QuatRot} +Der Winkel $\alpha$ beschreibt dabei, wie im Bild (...) gezeigt den halben Winkel, um welchen der parallelen Anteil $\mathbf{v_{\perp}}$ des Vektors $\mathbf{v}$ zur kombinierten Bivektorebene $sin(\alpha)^2(\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2)$ gedreht wird. + +Um einen Vektor zu drehen, verwendet man wieder die gleiche Formel, wie auch schon im zweidimensionalen Fall. +\begin{align} \label{QuatRotGA} \begin{split} - &v'' = qvq^{-1}\\ - &Re(q) = Re(q^{-1});\enspace Im(q) = -Im(q^-1) + &\mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1}\\ + &\operatorname{Re}(\mathbf{q}) = \operatorname{Re}(\mathbf{q}^{-1});\enspace \operatorname{Im}(\mathbf{q}) = -\operatorname{Im}(\mathbf{q}^-1) \end{split} \end{align} -Es ist wichtig bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $q$ und $q^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann +Es ist wichtig bei Quaternionen für eine reine Drehstreckung mit $q$ und $q^{-1}$ beidseitig zu multiplizieren, sonst werden die senkrechten Anteile zu den Bivektorebenen ebenfalls beeinflusst, wie man im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{RotAufPerpPar}) sehen kann. +\begin{beispiel} + Eine Drehung eines Vektors $\mathbf{v}= 1\mathbf{e}_2$ um 90 Grad um die $\mathbf{e}_1$-Achse und danach 90 Grad um die $\mathbf{e}_2$-Achse. Dafür nehmen wir zuerst einen Einheitsquaternion welcher um die Orientierte Ebene $\mathbf{e}_{23}$ um 90 Grad dreht + \begin{align} + \mathbf{q}_{23} &= \cos(\pi/4) + sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} &= 0.71 + 0.71\mathbf{e}_{23}\\ + \mathbf{q}_{23}^{-1} &&= 0.71 - 0.71\mathbf{e}_{23} + \end{align} + und danach Einheitsquaternion welcher um die Orientierte Ebene $\mathbf{e}_{31}$ um 90 Grad dreht + \begin{align} + \mathbf{q}_{31} &= \cos(\pi/4) + sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} &= 0.71 + 0.71\mathbf{e}_{31}\\ + \mathbf{q}_{31}^{-1} &&= 0.71 - 0.71\mathbf{e}_{31} + \end{align} + Um die vollständige Rotation zu beschreiben können die Einheitsquaternion multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss + \begin{align} \label{FormelBeispielQuaternion} + \mathbf{q} &= \mathbf{q}_{31}\mathbf{q}_{23} = (0.71 + 0.71\mathbf{e}_{31})(0.71 + 0.71\mathbf{e}_{23}) &= 0.5 + 0.5\mathbf{e}_{31} + 0.5 \mathbf{e}_{23} + 0.5 \mathbf{e}_{12}\\ + \mathbf{q}^{-1} &= \mathbf{q}_{23}^{-1}\mathbf{q}_{31}^{-1} = (0.71 - 0.71\mathbf{e}_{23})(0.71 - 0.71\mathbf{e}_{31}) &= 0.5 - 0.5\mathbf{e}_{31} - 0.5 \mathbf{e}_{23} - 0.5 \mathbf{e}_{12} + \end{align} + Wenn wir nun den Quaternion $\mathbf{q}$ auf den Vektor $\mathbf{v}$ anwenden + \begin{align} + \mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1} &= (0.5 + 0.5\mathbf{e}_{31} + 0.5 \mathbf{e}_{23} + 0.5 \mathbf{e}_{12})(1\mathbf{e}_2)(0.5 - 0.5\mathbf{e}_{31} - 0.5 \mathbf{e}_{23} - 0.5 \mathbf{e}_{12})\\ + &= (0.5\mathbf{e}_2 + 0.5 \mathbf{e}_{123} - 0.5 \mathbf{e}_3 + 0.5 \mathbf{e}_1)(0.5 - 0.5\mathbf{e}_{31} - 0.5 \mathbf{e}_{23} - 0.5 \mathbf{e}_{12})\\ + &= (0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25)\mathbf{e}_1 + (0.25 + 0.25 - 0.25 - 0.25)\mathbf{e}_2 +\\ &(-0.25 + 0.25 - 0.25 + 0.25)\mathbf{e}_3 + (0.25 - 0.25 - 0.25 + 0.25)\mathbf{e}_{123}\\ + &= 1e_1 + \end{align} + Anders betrachtet könnte man von der Formel \eqref{FormelBeispielQuaternion} sehen, dass der Drehwinkel + \begin{align} + \alpha = \arccos(w) = \arccos(0.5) = 60° + \end{align} + und die Ebene der kombinierten Bivektoren wie in Abbildung \ref{BildQuaternionBeispiel2} aussieht. + Somit kann man sich ebenfalls Vorstellen, wie der parallele Anteil zur Ebene insgesamt um 120° rotiert wird während der senkrechte Anteil unverändert bleibt +\end{beispiel} -\subsection{Gimbal-Lock und Interpolation} - -\subsection{Fazit} -andere Darstellungsweise. Besser für Verständnis => komplexe Zahlen erscheinen ähnlicher zu Quaternionen? Eine Sprache für alle Geometrische Probleme +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + % Koordinatensystem + \draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$}; + + % q Quaternion + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(1.41,0)--(1.41,1.41)--(0,1.41) + node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$x\boldsymbol{e_{12}}$}; + \draw[->] (1.35, 1.2) arc (0:310:0.15); + + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-1,-1)--(-1,0.41)--(0,1.41) + node[xshift=-0.5cm, yshift=-1.5cm, blue]{$y\boldsymbol{e_{23}}$}; + \draw[->] (-0.65,-0.5) arc (0:310:0.15); + + \draw[line width=0,fill=blue!40] (0,0)--(-1,-1)--(0.41,-1)--(1.41,0) + node[xshift=-0.7cm, yshift=-0.2cm, blue]{$z\boldsymbol{e_{31}}$}; + \draw[->] (0.4,-0.8) arc (0:310:0.15); + + % Basisvektoren + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(2,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,2) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-1.41,-1.41) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$}; + + % v Vektor + \draw[line width=2pt,black,-stealth](-0.05,0)--(-0.05,2) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v}$}; + % v'' Vektor + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0.05)--(2,0.05) node[anchor=north]{$\boldsymbol{v}''$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Beispiel für Drehung um 90 Grad je um die $\mathbf{e}_1$- und $\mathbf{e}_2$-Achse.} + \label{BildQuaternionBeispiel} +\end{figure} +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + % q Quaternion + \draw[line width=0,fill=blue!40] (-0.75,-1)--(1.5,-0.5)--(0.55,1.35)--(-1.5,1) + node[xshift=0.375cm, yshift=-0.5cm, blue]{$\boldsymbol{q}$}; + \draw[->] (-0.7, 0.5) arc (310:0:0.15); + + % Koordinatensystem + \draw[thin,gray!40] (-3,-2) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-2)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[<->] (3,3)--(-2,-2) node[left]{$a_3$}; + + % Basisvektoren + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(2,0) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,2) node[anchor=north west, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_2}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(-1.41,-1.41) node[anchor=south, yshift=0.2cm]{$\boldsymbol{e_3}$}; + + % v Vektor + \draw[line width=2pt,black,-stealth](-0.05,0)--(-0.05,2) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v}$}; + % vpar Vektor + \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(-0.33,1.25) node[anchor=east]{$\boldsymbol{v_{\parallel}}$}; + % vperp Vektor + \draw[line width=2pt,green,-stealth](-0.33,1.25)--(0,2) node[anchor=east, xshift = -0.05, yshift = -0.3cm]{$\boldsymbol{v_{\perp}}$}; + % v'' Vektor + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0.05)--(2,0.05) node[anchor=north, xshift = 0.25cm]{$\boldsymbol{v}''$}; + % vpar'' Vektor + \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1.66,-0.75) node[anchor=east, yshift = -0.2cm, xshift = -0.1cm]{$\boldsymbol{v_{\parallel}''}$}; + % vperp'' Vektor + \draw[line width=2pt,green,-stealth](1.66,-0.75)--(2,0) node[anchor=east, xshift = 0.5cm, yshift = -0.65cm]{$\boldsymbol{v_{\perp}''}$}; + + \coordinate (A) at (0,0); + \coordinate (B) at (-0.33,1.25); + \coordinate (C) at (1.66,-0.75); + \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=2, draw, thick, angle radius=0.75cm, purple}} + \draw pic ["120° $=2\alpha$", anglestyle] {angle = C--A--B}; + \end{tikzpicture} + \caption{Beim Beispiel wird der parallele Anteil um 120° gedreht während der senkrechte Anteil zur kombinierten Ebene (Bivektoraddition) gleich bleibt} + \label{BildQuaternionBeispiel2} +\end{figure} -\begin{tikzpicture} - \draw[thin,gray!40] (-3,-3) grid (3,3); - \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$x$}; - \draw[<->] (0,-3)--(0,3) node[above]{$y$}; - \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(1,1) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{u}$}; - \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(-1,-1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{-u}$}; -\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file +\subsection{Interpolation} +In der Computergrafik wird Interpolation verwendet, um eine flüssige Drehbewegung zu erreichen. Dabei wird die gewünschte Drehbewegungen des Objektes in kleinere aufgeteilt. Man kann dabei mit zwei verschiedenen Systemen arbeiten. +\begin{itemize} + \item Mit den Eulerschen Winkeln, welche für die Meisten zwar intuitiver sind, aber dafür Nachteile haben, worauf ich in diesem Abschnitt eingehen werde. Dabei kann eine ganze Drehbewegung $\mathbf{v}'' = R\mathbf{v}$ durch die Drehmatrix $R$ dargestellt werden. + \begin{align} + \begin{split} + &R = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_x(\alpha)\\ + &R = + \begin{pmatrix} + \cos(\gamma) & -\sin(\gamma) & 0\\ \sin(\gamma) & \cos(\gamma) & 0 \\ 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + \cos(\beta) & 0 & \sin(\beta)\\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\beta) & 0 & \cos(\beta) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) + \end{pmatrix} + \end{split} + \end{align} + Wichtig dabei zu sehen ist, dass die Drehbewegungen durch die einzelnen Matrizen nacheinander ausgeführt werden. Das bedeutet, wenn man die Reihenfolge vertauscht, bekommt man eine völlig andere Drehung. Man kann die Auswirkungen der Reihenfolge gut bei einem Gimbal (REF zu BILD) sehen. Die Matrix ganz links ist die, welche als letztes Angewendet wird. Somit bildet sie die Drehung des äusseren Rings, welche auch die zwei inneren Ringe und das Objekt mitdreht. Die Matrix ganz rechts hingegen bildet nur die Drehung des inneren Rings, welche nur das Objekt selber dreht. Man kann dabei erkennen, dass vorgehen dabei sehr intuitiv ist, aber es kompliziert sein kann eine gewünschte Drehbewegung auszuführen, da sich beim Drehen der äusseren Achse, sich auch die Inneren drehen. Das bedeutet, wenn man sich eine Drehbewegung um die anfängliche x Achse mit $R_x(\alpha_2)$ wünscht, und vorher eine beliebige Drehung $R = R_z(\gamma_1) R_y(\beta_1) R_x(\alpha_1)$ ausgeführt hat, bekommt man nicht das richtige Ergebnis, da die anfängliche x-Achse durch die Drehmatrizen $R_z(\gamma_1)$ und $R_y(\beta_1)$ zu einer neuen, lokalen x-Achse wurde. + \item Andererseits mit den Quaternionen, welche die besondere Eigenschaft haben, dass eine Drehung immer um die globale Achsen ausgeführt wird, egal in welcher Rotationsposition sich das Objekt befindet. +\end{itemize} +Für Spielentwickler ist es darum meist sinnvoller Quaternionen für Drehbewegungen anzuwenden, als sich mit komplizierten Berechnungen mit Eulerschen Winkeln herumzuschlagen. +\subsection{Gimbal-Lock} +Ein weiterer Nachteil der Eulerschen Winkel ist das Gimbal-Lock. Es entsteht dann, wenn der äussere Ring Deckungsgleich über denn Inneren gedreht wird. Dabei verliert das Gimbal eine Drehrichtung, da der äussere und Innere Ring nun die gleiche Drehrichtung besitzen. Dies kann beispielsweise Probleme bei Spielen bei der Berechnung der Interpolation führen. Man hat das bei älteren Spielen dann gesehen, wenn plötzlich Gliedmassen bei den Spielermodellen in unnatürlichen Richtungen gesprungen sind. +\subsection{Fazit} +andere Darstellungsweise. Besser für Verständnis => komplexe Zahlen erscheinen ähnlicher zu Quaternionen? Eine Sprache für alle Geometrische Probleme
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex index 88a5789..ac00a33 100644 --- a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex +++ b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section{Vektoroperationen\label{clifford:section:Vektoroperationen}} \rhead{Vektoroperationen} \subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}} -Vektoren können neben der üblichen Darstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren dargestellt werden +Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren \begin{equation} \begin{split} \textbf{a} @@ -31,12 +31,14 @@ Vektoren können neben der üblichen Darstellung, auch als Linearkombination aus \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i \qquad a_i \in \mathbb{R} - , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n. + , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n \end{split} \end{equation} -Diese Basisvektoren sollen orthonormal sein und um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, ...$ ersetzt. +dargestellt werden. +Diese Basisvektoren werden so gewählt, dass sie orthonormal sind. +Um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, \dots$ ersetzt. \begin{beispiel} -Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ +Eine Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ könnte wie folgt aussehen \begin{equation} \begin{pmatrix} 42 \\ 2 \\ 1291 \\ 4 @@ -65,7 +67,7 @@ Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ + 1291\textbf{e}_3 + - 4\textbf{e}_4 + 4\textbf{e}_4. \end{equation} +Dieses Beispiel ist für einen vier dimensionalen Vektor, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden. \end{beispiel} -Wobei Beispiel für einen vier dimensionalen Vektor ist, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex index cfb05d6..6c6fb7d 100644 --- a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex +++ b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex @@ -1,54 +1,71 @@ \subsection{Quadrat von Vektoren} -Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen, was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken. +\subsubsection{Ziel der Multiplikation} +Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen wie in Abbildung \ref{figure:addition}, was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken. +\begin{figure}[htb] + \centering + \begin{tikzpicture} + \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4); + \draw[blue,thick,->] (0,0)--(3.5,2) node[midway,above,sloped] {$\textbf{a}$}; + \draw[red,thick,->] (3.5,2)--(1.5,3.8) node[midway,above,sloped] {$\textbf{b}$}; + \draw[black,thick,->] (0,0)--(1.5,3.8)node[midway,above,sloped] {$\textbf{a} +\textbf{b} = \textbf{c} $}; + \end{tikzpicture} + \caption{Addition von zwei Vektoren\label{figure:addition}} +\end{figure} Was soll es schon heissen zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren? -\newline Im Folgenden werden wir versuchen diese Operation ähnlich intuitiv darzustellen. -\newline -Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem Fall Vektoren, zu definieren, muss man überlegen, was das Ziel dieser Operation ist. -Als grundsätzliches Ziel wird definiert, dass das Quadrat eines Vektor dessen Länge im Quadrat ergibt, da dies auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik,zum Beispiel bei komplexen Zahlen, auch so definiert ist. -\newline -Zusätzlich wollen wir auch das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz für Skalare beibehalten. Wobei das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, in der geometrischen Algebra im generellen nicht mehr gilt. Das heisst wir dürfen ausklammern \ref{eq:assoziativ} und die Position von Skalaren im Produkt ändern \ref{eq:kommSkalar}, allerdings nicht die Position der Vektoren \ref{eq:kommVector}. + +Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem Fall sind diese Elemente Vektoren, zu definieren, muss man überlegen, was das Ziel dieser Operation sein soll. + +Als grundsätzliches Ziel wird definiert, dass das Quadrat eines Vektor dessen Länge im Quadrat ergibt, da dies auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik,zum Beispiel bei komplexen Zahlen,so definiert ist. + +Zusätzlich soll auch das Assoziativgesetz für die Multiplikation von Vektoren gelten, dass heisst wir dürfen ausklammern \begin{equation} \label{eq:assoziativ} \textbf{e}_i(\textbf{e}_j + \textbf{e}_k) = - \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k + \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k. \end{equation} +Allerdings gilt das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, nur für skalare Elemente \begin{equation} \label{eq:kommSkalar} a\textbf{e}_ib\textbf{e}_j = - ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j + ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j \qquad a,b \in \mathbb{R} \end{equation} +und nicht für Vektoren \begin{equation} \label{eq:kommVector} \textbf{e}_i\textbf{e}_j \neq - \textbf{e}_j\textbf{e}_i + \textbf{e}_j\textbf{e}_i. +\end{equation} +\subsubsection{Quadrieren eines Vektors} +Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors. Zuerst werden die Vektoren als Linearkombinationen geschrieben +\begin{equation} + \textbf{a}^2 = + \left ( + \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i + \right ) + \left ( + \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i + \right ) + \label{eq:quad_a_1}. +\end{equation} +Das Quadrat kann nun in zwei Summen aufgeteilt werden +\begin{equation} + \textbf{a}^2 = + \textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2\textbf{e}_i^2} + + + \textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j } + \label{eq:quad_a_2}, +\end{equation} +wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet. Da $\textbf{e}_i^2 = 1$ gilt, weil das zuvor definierte Ziel des Quadrates eines Vektors dessen Länge ergibt und die Basisvektoren Länge 1 haben, wird dies nun eingesetzt +\begin{equation} + \textbf{a}^2 = \textcolor{cyan}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{orange}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}. + \label{eq:quad_a_3} \end{equation} -Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors. -\begin{align} - \textbf{a}^2 &= - \left ( - \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i - \right ) - \left ( - \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i - \right ) - \label{eq:quad_a_1} - \\ - &= - \textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2\textbf{e}_i^2} - + - \textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j } - \label{eq:quad_a_2} - \\ - &= \textcolor{cyan}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{orange}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}. - \label{eq:quad_a_3} -\end{align} - \begin{beispiel} -Quadrat eines Vektors in $\mathbb{R}^2$ +Das Quadrat des Vektor $a$ in $\mathbb{R}^2$ ist \begin{equation} \begin{split} \textbf{a}^2 @@ -56,22 +73,17 @@ Quadrat eines Vektors in $\mathbb{R}^2$ &= \textcolor{red}{a_1^2\textbf{e}_1^2 + a_2^2\textbf{e}_2^2} + \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2} \\\ & = \textcolor{cyan}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{orange}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2} - \end{split} + \end{split}. \end{equation} - \end{beispiel} -Der Vektor wird in \ref{eq:quad_a_1} als Linearkombination geschrieben. -Das Quadrat kann, wie in \ref{eq:quad_a_2} gezeigt, in zwei Summen aufteilen werden , wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet. -\newline -Da $\textbf{e}_i^2 = 1$ gilt, da zuvor vorausgesetzt wurde, dass man mit orthonormalen Einheitsvektoren arbeitet, wird dies nun eingesetzt ergibt sich \ref{eq:quad_a_3} -\newline -Die hellblaue Teil ist nun bereits Länge im Quadrat eines Vektors, also das Ziel der Multiplikation. -Daher muss der restliche Teil dieser Gleichung null ergeben. -Aus dieser Erkenntnis leiten wir in \ref{eq:Mischterme_Null} weitere Eigenschaften für die Multiplikation her. + +Die hellblaue Teil ist nun bereits die Länge im Quadrat, also das zuvor definierte Ziel der Multiplikation. +Daraus lässt sich schliessen, dass der restliche Teil dieser Gleichung null ergeben muss \begin{equation} \label{eq:Mischterme_Null} - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots = 0 + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots = 0. \end{equation} +Aus dieser Erkenntnis können weitere Eigenschaften für die Multiplikation hergeleitet werden. Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. Somit fallen alle Terme bis auf den blauen weg. Wird dies weiter vereinfacht ergibt sich \begin{equation} \begin{split} @@ -81,15 +93,13 @@ Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_ \end{split} \end{equation} \begin{satz} - Die Multiplikation von Vektoren ist antikommutativ, wenn die multiplizierten Vektoren orthogonal sind. + Die Multiplikation von Vektoren ist antikommutativ, wenn die multiplizierten Vektoren orthogonal sind, es gilt also \begin{equation} - \textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \qquad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \quad \textrm{für} \quad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j. \end{equation} \end{satz} -Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde. +Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in Tabelle \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde. \begin{table} -\caption{Multiplikationstabelle für Vektoren} -\label{tab:multip_vec} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c| } \hline @@ -107,4 +117,6 @@ Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen \hline \end{tabular} \end{center} +\caption{Multiplikationstabelle für Vektoren} +\label{tab:multip_vec} \end{table}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex index 841dde4..0969b89 100644 --- a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex +++ b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex @@ -1,11 +1,14 @@ \subsection{Multiplikation von Vektoren} -Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren,$u$ und $v$, miteinander multipliziert werden? +Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren, $u$ und $v$ \begin{equation} \textbf{u} = \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i \qquad \textbf{v} = \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i \end{equation} + miteinander multipliziert werden? + + Wieder werden die Vektoren zuerst als Linearkombinationen darstellen und danach in zwei Summen aufgeteilt, eine Summe mit quadrierten Termen und eine Summe mit Mischtermen \begin{equation} \begin{split} \textbf{u}\textbf{v} @@ -18,12 +21,12 @@ Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren,$u$ und $v$, miteinander multipli \right) = \sum_{i=1}^n u_iv_i\underbrace{\textbf{e}_i^2}_{1} - + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j + + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j, \end{split} \end{equation} +wobei die Summe der quadrierten Termen bereits bekannt vorkommen könnte, es ist nämlich das Skalarprodukt von $u$ und $v$. Die Summe der Mischterme bilden etwas neues, dass wir das äussere Produkt von $u$ und $v$ nennen. \begin{beispiel} Multiplikation von Vektoren in $\mathbb{R}^2$ -\end{beispiel} \begin{equation} \begin{split} \textbf{u}\textbf{v} @@ -44,7 +47,7 @@ Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren,$u$ und $v$, miteinander multipli \underbrace{(u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2}_{\text{Äusseres Produkt}} \end{split} \end{equation} -Der linke Teil dieser Multiplikation ergibt das Skalarprodukt der zwei Vektoren, der rechte Term ergibt etwas neues das sich das äussere Produkt der zwei Vektoren nennt. +\end{beispiel} \subsubsection{Äusseres Produkt} Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt \begin{equation} @@ -53,123 +56,118 @@ Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j \end{equation} \begin{beispiel} -Äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$ -\end{beispiel} +Das äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$ ist \begin{equation} - \begin{split} - u \wedge v - &= - u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 - + - u_1v_3\textbf{e}_1\textbf{e}_3 - + - u_2v_2\textbf{e}_2\textbf{e}_3 - + - u_2v_1\textbf{e}_2\textbf{e}_1 - + - u_3v_1\textbf{e}_3\textbf{e}_1 - + - u_3v_2\textbf{e}_3\textbf{e}_2 \\\ - &= - (u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2 - + - (u_1v_3 - v_3u_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_3 - + - (u_2v_3 - u_3v_2)\textbf{e}_2\textbf{e}_3 - \end{split} + \begin{split} + u \wedge v + &= + u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + + + u_1v_3\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + + + u_2v_2\textbf{e}_2\textbf{e}_3 + + + u_2v_1\textbf{e}_2\textbf{e}_1 + + + u_3v_1\textbf{e}_3\textbf{e}_1 + + + u_3v_2\textbf{e}_3\textbf{e}_2 \\\ + &= + (u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + + + (u_1v_3 - v_3u_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + + + (u_2v_3 - u_3v_2)\textbf{e}_2\textbf{e}_3. + \end{split} \end{equation} -Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität des Produkts, die Vektorprodukte, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten, zusammengefasst. Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den Gleichungen \ref{eq:u_wedge_v}-\ref{eq:u_wedge_v_5} hergeleitet. +\end{beispiel} + +Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität des Produkts, die Vektorprodukte, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten, zusammengefasst. Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den Gleichungen \eqref{eq:u_wedge_v}-\eqref{eq:u_wedge_v_5} hergeleitet. Die Summe, \begin{align} \textbf{u}\wedge \textbf{v} &= \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n - u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j + u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j, \label{eq:u_wedge_v} - \\ + \intertext{wird in zwei verschiedene Summen aufgeteilt. + Wobei die linke Summe jeweils den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle hat} \label{eq:u_wedge_v_1} &= \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j + - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j - \\ + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j. + \intertext{Nun werden die Indexe der zweiten Summe vertauscht} \label{eq:u_wedge_v_2} &= \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j + - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i - \\ - \label{eq:u_wedge_v_3} + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i, + \intertext{und diese wird nun mit Hilfe der Antikommutativität umgeformt zu} &= \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j - - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_i\textbf{e}_j - \\ + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_i\textbf{e}_j. + \intertext{Nun können die zwei Summen wieder zusammengefasst werden} \label{eq:u_wedge_v_4} &= - \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j - \\ - \label{eq:u_wedge_v_5} + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j. + \intertext{Der Term in der Summe könnte einem bereits bekannt vorkommen, es ist nämlich die Determinante einer Matrix mit $u$ und $v$ als ihre Spalten} &= + \label{eq:u_wedge_v_5} \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n \begin{vmatrix} u_i & v_i \\ u_j & v_j - \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j + \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j. \end{align} -Die Summe aus \ref{eq:u_wedge_v_1} wird in \ref{eq:u_wedge_v} in zwei verschiedene Summen aufgeteilt. -Wobei die linke Summe jeweils den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle hat. -\newline -Bei \ref{eq:u_wedge_v_2} werden die Indexe der zweiten Summe vertauscht, damit man nun bei beiden Teilen die gleiche Summe hat. -Danach werden in \ref{eq:u_wedge_v_3}, mit Hilfe der Antikommutativität, die Einheitsvektoren der zweiten Summe vertauscht. -\newline -Nun können die Summen, wie in \ref{eq:u_wedge_v_4} wieder in eine Summe zusammengefasst werden. -\newline -Der Term in der Klammer in \ref{eq:u_wedge_v_4} kann auch als Determinante einer 2x2 Matrix dargestellt werden, was in \ref{eq:u_wedge_v_5} gemacht wird. -\newline -Die Determinante einer Matrix beschreibt welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt. -\begin{figure} -\centering -\begin{tikzpicture} - \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4); - \draw[<->] (0,0)--(4,0) ; - \draw[<->] (0,0)--(0,4) ; - \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2); - \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north - west]{$\boldsymbol{u}$}; - \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; - \draw[black] (2,1.5)--(-0.5,2.5) node[anchor = east]{$\begin{vmatrix} - u_i & v_i \\ - u_j & v_j - \end{vmatrix} = u_iv_j - v_iu_j$}; -\end{tikzpicture} -\caption{Geometrische Interpretation der Determinante einer 2x2 Matrix\label{figure:det}} +Die Determinante einer Matrix beschreibt die Fläche, welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt. +\begin{figure}[htb] + \centering + \begin{minipage}[t]{.45\linewidth} + \centering + \begin{tikzpicture} + \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4); + \draw[<->] (0,0)--(4,0) ; + \draw[<->] (0,0)--(0,4) ; + \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2); + \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north + west]{$\boldsymbol{u}$}; + \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; + \draw[black] (2,1.5)--(1.8,3.2) node[anchor = south]{$\begin{vmatrix} + u_i & v_i \\ + u_j & v_j + \end{vmatrix} = u_iv_j - v_iu_j$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Geometrische Interpretation der Determinante einer $2 \times 2$ Matrix\label{figure:det}} + \end{minipage}% + \hfill% + \begin{minipage}[t]{.45\linewidth} + \centering + \begin{tikzpicture} + \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4); + \draw[<->] (0,0)--(4,0) node[right]{$x$}; + \draw[<->] (0,0)--(0,4) node[above]{$y$}; + \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2); + \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north + west]{$\boldsymbol{u}$}; + \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; + \draw[->] (2.15,1.5) arc (0:310:0.3); + \draw[black] (2,1.5)--(2.5,3.2) node[anchor = south]{$u\wedge v = \begin{vmatrix} + u_i & v_i \\ + u_j & v_j + \end{vmatrix} e_1e_2 = (u_iv_j - v_iu_j)\textbf{e}_1\textbf{e}_2$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Geometrische Interpretation des äusseren Produktes \label{figure:wedge}} + \end{minipage} \end{figure} -\newline Das äussere Produkt besteht nun also aus der Summe - $\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n$ + \(\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n\) von Flächen - $\begin{vmatrix} - u_i & v_i \\ - u_j & v_j - \end{vmatrix}$, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \ref{eq:u_wedge_v_5} sieht. + \(\begin{vmatrix} + u_i & v_i \\ + u_j & v_j + \end{vmatrix}\) +, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \ref{eq:u_wedge_v_5} sieht. Dieses Produkt $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ der Basisvektoren interpretiert man als Umlaufrichtung. Wobei die gebildete Fläche in Richtung des ersten Vektors umschritten wird. -Dies ist in \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung u umschritten wird. +Dies ist in Abbildung \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung u umschritten wird. Diese Fläche mit einer Richtung nennt man in der geometrischen Algebra einen Bivektor, da er eine Art zwei dimensionaler Vektor ist. -\begin{figure} -\centering -\begin{tikzpicture} - \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4); - \draw[<->] (0,0)--(4,0) node[right]{$x$}; - \draw[<->] (0,0)--(0,4) node[above]{$y$}; - \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2); - \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north - west]{$\boldsymbol{u}$}; - \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; - \draw[->] (2.15,1.5) arc (0:310:0.3); - \draw[black] (2,1.5)--(-0.5,2.5) node[anchor = east]{$u\wedge v = \begin{vmatrix} - u_i & v_i \\ - u_j & v_j - \end{vmatrix} e_1e_2 = (u_iv_j - v_iu_j)\textbf{e}_1\textbf{e}_2$}; -\end{tikzpicture} -\caption{Geometrische Interpretation des äusseren Produkt in $\mathbb{R}^2$\label{figure:wedge}} -\end{figure}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex index a19e983..f18b90d 100644 --- a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex +++ b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex @@ -12,9 +12,9 @@ Ein Multivektor besteht aus den verschiedenen Bauteilen, wie zum Beispiel Vektor M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right) \end{equation} \end{definition} -Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $\mathbb{G}^n$ beschrieben. +Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $G_n(\mathbb{R})$ beschrieben. Dies wird so geschrieben da man eine neue Algebrastruktur um die Vektoren einführt. \begin{beispiel} -Allgemeiner Multivektor in $\mathbb{G}^3$ +Allgemeiner Multivektor in $G_3(\mathbb{R})$ \begin{equation} M = a + @@ -26,34 +26,30 @@ Allgemeiner Multivektor in $\mathbb{G}^3$ \end{equation} \end{beispiel} \begin{definition} -Um das Produkt von Basisvektoren in Zukunft darzustellen wird folgende Notation definiert +Für das Produkt von Basisvektoren wird folgende Notation definiert \begin{equation} - e_ie_j = e_{ij} + e_ie_j = e_{ij}. \end{equation} \end{definition} -Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $\mathbb{G}^n$ erstellt werden. In \ref{tab:multip} ist dies für $\mathbb{G}^3$ gemacht. +Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $G_n(\mathbb{R})$ erstellt werden. In Tabelle \ref{tab:multip} ist dies für $G_3(\mathbb{R})$ gemacht. \begin{table} - \caption{Multiplikationstabelle für $\mathbb{G^3}$} \label{tab:multip} \begin{center} - \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c|c|c| } + \begin{tabular}{ |c|ccc|ccc|c| } \hline 1 & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\ \hline $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$\\ - \hline $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & 1 & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\ - \hline $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & 1 & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\ \hline $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & -1 & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$\\ - \hline $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & -1 & $-\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{2}$\\ - \hline $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & -1 & $-\textbf{e}_{1}$ \\ \hline $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & -1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} + \caption{Multiplikationstabelle für $G_3(\mathbb{R})$} \end{table} diff --git a/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex deleted file mode 100644 index 6417bb3..0000000 --- a/buch/papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex +++ /dev/null @@ -1,7 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Dirac-Matrizen} -\rhead{Dirac-Matrizen} diff --git a/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex new file mode 100644 index 0000000..e41275a --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex @@ -0,0 +1,128 @@ +% +% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Pauli-Matrizen} +\rhead{Pauli-Matrizen} + +Was ist der beste Weg um einen Computeralgorithmus für die Rechenoperationen in der Clifford-Algebra zu erstellen? Man könnte versuchen einen textuellen Rechner zu implementieren der für die Elemente $\mathbf{e}_i$ hartkodierte Vereinfachungen ausführt. +\begin{beispiel} + Der Algorithmus weiss, dass er $a\mathbf{e}_1\cdot b\mathbf{e}_1$ zu $ab\cdot1$ vereinfachen kann. Dies ermöglicht zum Beispiel die Vereinfachung + \begin{align} + 3\mathbf{e}_1 \cdot 2\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 \Rightarrow 6 + 3\mathbf{e}_2 + \end{align} +\end{beispiel} +Ein textueller Algorithmus ist aber sehr ineffizient. Die Pauli-Matrizen bilden eine elegante und schnellere Alternative, welche für die dreidimensionale Clifford-Algebra verwendet werden können und alle Operationen aus der Clifford-Algebra gleich wie die Matrixoperationen ausführen lassen. +\begin{definition} \label{def:defPauli} + Die Matrizen + \begin{align} \label{Pauli} + \mathbf{e}_0 = E = + \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & 1 + \end{pmatrix},\quad + \mathbf{e}_1 = + \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + 1 & 0 + \end{pmatrix},\quad + \mathbf{e}_2 = + \begin{pmatrix} + 0 & -j \\ + j & 0 + \end{pmatrix},\quad + \mathbf{e}_3 = + \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & -1 + \end{pmatrix} + \end{align} + heissen Pauli-Matrizen ($\mathbf{e}_0$ = Skalare) +\end{definition} +Die Matrix-Multiplikationen der Pauli-Matrizen führt auf die gleichen algebraischen Relationen, wie die Multiplikation der Elemente $\mathbf{e}_0, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$. So lassen sich auch die restlichen Elemente der Clifford-Algebra erzeugen. +\begin{definition} \label{def:defPauli2} + Die Bivektoren und Trivektoren hergeleitet aus den Pauli-Matrizen sind + \begin{align} \label{Pauli2} + \mathbf{e}_{12} = + \begin{pmatrix} + j & 0 \\ + 0 & -j + \end{pmatrix}\quad + \mathbf{e}_{23} = + \begin{pmatrix} + 0 & j \\ + j & 0 + \end{pmatrix}\quad + \mathbf{e}_{31} = + \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + -1 & 0 + \end{pmatrix}\enspace\text{und}\enspace + \mathbf{e}_{123} = + \begin{pmatrix} + j & 0 \\ + 0 & j + \end{pmatrix}. + \end{align} +\end{definition} +Dabei ist wichtig, dass sich die Matrizen gleich verhalten, wie es die Clifford-Algebra für die Basiselemente definiert hat. Zum Beispiel gilt in der Clifford-Algebra $\mathbf{e}_1^2=\mathbf{e}_0$ und $\mathbf{e}_{12}^2=-\mathbf{e}_0$, genau die selbe Relation gilt auch für die zugehörigen Matrizen, wie man durch die Matrizenrechnungen +\begin{align} + \mathbf{e}_1^2 &= + \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + 1 & 0 + \end{pmatrix}^2 = + \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & 1 + \end{pmatrix}= \mathbf{e}_0 \quad\text{und}\\ + \mathbf{e}_{12}^2 &= + \begin{pmatrix} + j & 0 \\ + 0 & -j + \end{pmatrix}^2 = + \begin{pmatrix} + -1 & 0 \\ + 0 & -1 + \end{pmatrix} = -\mathbf{e}_0 +\end{align} +bestätigt. Man kann bei den Definitionen \ref{def:defPauli} und \ref{def:defPauli2} sehen, dass alle Matrizen linear unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass wenn man die Matrizen der Basiselemente normal addiert und zu einer Matrix zusammenfasst, kann man anschliessend die einzelnen Anteile der Basiselemente wieder herausgelesen. +\begin{hilfssatz} + Ein beliebiger Multivektor + \begin{align} \label{MultiVektorAllg} + M = a_0\mathbf{e}_0 + a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_3 + a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{31}\mathbf{e}_{31} + a_{123}\mathbf{e}_{123}\\ + \end{align} + erhält durch das einsetzten der Formel Matrizen \eqref{Pauli} und \eqref{Pauli2} die Form + \begin{align} + M = + \begin{pmatrix} + (a_0+a_3) + (a_{12}+a_{123})j & (a_1+a_{31})+(-a_2+a_{23})j \\ + (a_1-a_{31})+(a_2+a_{23})j & (a_0-a_3)+(-a_{12}+a_{123})j + \end{pmatrix}.\label{MultivektorMatirx} + \end{align} +\end{hilfssatz} +Die Anteile treten zudem immer paarweise auf und können somit immer je durch zwei Gleichungen bestimmt werden. +\begin{beispiel} + Die Matrix + \begin{align} + M &= + \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ + 0 & -1j + \end{pmatrix} + \end{align} + soll als Multivektor in der Form \eqref{MultiVektorAllg} geschrieben werden. Dafür entnehmen wir aus \eqref{MultivektorMatirx} die Gleichungen + \begin{align} + a_0 + a_3 = 1,\quad a_0 - a_3 = 0,\quad a_{12}+a_{123} = 0\enspace\text{und}\enspace -a_{12}+a_{123}=-1 + \end{align} + aus denen man auf + \begin{align} + a_0 = \dfrac{1}{2},\quad a_3 = \dfrac{1}{2},\quad a_{12}=\dfrac{1}{2}\enspace\text{und}\enspace a_{123}=-\dfrac{1}{2} + \end{align} + schliessen kann. Da die restlichen Realteile und Imaginärteile 0 sind, werden die anderen Anteile ebenfalls 0 sein. Daher ist + \begin{align} + M = \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_0+ \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_3 + \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_{12} - \dfrac{1}{2} \mathbf{e}_{123}. + \end{align} +\end{beispiel} +Die Clifford-Algebra ist bei der Darstellung durch Matrizen kein Ausnahmefall. Es lässt sich theoretisch jede algebraische Struktur durch Matrizen darstellen.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex index d4942e0..bdfb4e8 100644 --- a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex +++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex @@ -3,31 +3,81 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Reflektion/ Spiegelung} -\rhead{Reflektion/ Spiegelung} -Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die Geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Reflektion auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. \\HIER BILD -\subsection{linearen Algebra} -Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Reflektion wie folgt beschreiben kann. -\begin{align} \label{RefLinAlg} - \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}} -\end{align} -Dabei stellt $\mathbf{u}$ die Spiegelachse dar. -Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Reflektionen, mit weiteren Spiegelachsen, anzufügen. Man kann die Abbildung des Vektors auf den Reflektierten Vektor auch als Matrix schreiben, welche aus den Komponenten des zu der Spiegelachse orthonormalen Vektors $\mathbf{\hat{n}}$ besteht. -\\MATRIZEN O(2) und O(3) zeigen\\ -Diese Matrizen gehören der Matrizengruppe $O(n)$ an.... -\subsection{geometrischen Algebra} -Die Geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel (\ref{RefLinAlg}) eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen einfach erweitert werden kann. +\section{Spiegelung} +\rhead{Spiegelung} + +Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen. +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; + \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$}; + \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,2)--(2,2) node[xshift=-1cm, yshift= + 0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$}; + \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](-2,2)--(0,2) node[xshift=-1cm, yshift= + 0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$}; + \draw[line width=1.5pt,purple,-stealth](0,1.5)--(1,1.5) node[xshift=-0.5cm, yshift=-0.25cm]{$\boldsymbol{\hat{n}}$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Spiegelung des Vektors \textbf{v} an Spiegelachse bzw. Vektor \textbf{u}} + \label{BildSpiegelung} +\end{figure} + +\subsection{Linearen Algebra} +Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene wie folgt beschreiben kann. +\begin{definition} + Die Spiegelungsgleichung in der linearen Algebra mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{n}}$ zur Spiegelebene ist + \begin{equation} \label{RefLinAlg} + \mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}. + \end{equation} + Per Definition sind $\mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v_{\perp u}}$. In der geometrischen Algebra verwenden wir aber in den Formeln Vektoren, welche Spiegelachsen, nicht Spiegelebenen, repräsentieren. +\end{definition} +Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Man kann diese Abbildung aber auch als Matrix schreiben. Sei $\mathbf{\hat{n}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungs-Achse bzw. -Ebene, also $\mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{n}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix \begin{align} - \mathbf{v'} = \mathbf{uvu^{-1}} + S = E - 2\dfrac{1}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{nn}^t +\end{align} +beschrieben werden. In der zweiten und dritten Dimension ergibt die Berechnung +\begin{align} \label{Spiegelmatrizen} + S_2 = \begin{pmatrix} + 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 \\ + -2n_1n_2 & 1-2n_2^2 + \end{pmatrix} \quad + S_3 = \begin{pmatrix} + 1-2n_1^2 & -2n_1n_2 & -2n_1n_3\\ + -2n_1n_2 & 1-2n_2^2 & -2n_2n_3\\ + -2n_1n_3 & -2n_2n_3 & 1-2n_3^2\\ + \end{pmatrix}. \end{align} -wobei die Inverse eines Vektors so definiert ist, dass multipliziert mit sich selbst das neutrale Element 1 ergibt. +Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S^t S = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S^t = S$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus \begin{align} - u^{-1} = \dfrac{u}{|u|^2} \Rightarrow uu^{-1} = 1 + S^t S = S^2 = E \end{align} -verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird somit die Formel reduziert zu einer beidseitigen Multiplikation von $\mathbf{\hat{u}}$. +schliessen kann. + +\subsection{Geometrische Algebra} +Um die folgenden Formeln zu verstehen, definieren wir zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in der linearen Algebra nicht existiert. +\begin{definition} + Die Inverse eines Vektors wird definiert als + \begin{align} + \mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} \Rightarrow \mathbf{uu}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1. + \end{align} + Wie schon aus anderen algebraischen Strukturen bekannt, ergibt ein Element, hier $\mathbf{u}$, multipliziert mit dessen Inversen, hier $\mathbf{u}^{-1}$, das neutrale Element der Struktur, hier 1. +\end{definition} +Die geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für eine Spiegelung eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen erweitert werden kann. +\begin{definition} + Die Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra mit der Spiegelachse $\mathbf{u}$ ist definiert als + \begin{align}\label{RefGA} + \mathbf{v}' = \mathbf{uvu}^{-1} + \end{align} +\end{definition} + +verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung zu \begin{align} \mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}} \end{align} -Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension durch andere Matrizen beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. -Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. -\\BEISPIEL?
\ No newline at end of file +vereinfacht. Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, durch andere Matrizen \eqref{Spiegelmatrizen} beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex index c2928bf..6a3251a 100644 --- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex +++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex @@ -5,96 +5,166 @@ % \section{Rotation} \rhead{Rotation} -Eine Rotation kann man aus zwei, aufeinanderfolgende Reflektionen bilden. Das war für mich zuerst eine verwirrende Aussage, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Reflektion schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Reflektion, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Reflektion invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt in 3D vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zwei mal invertiert wurde. -\\BILD -\subsection{linearen Algebra} -In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $SO(n)$ beschrieben. Die SO(2) werden beispielsweise auf diese Weise gebildet. +Eine Rotation kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das wird für einige zuerst eine verwirrende Aussage sein, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt im Dreidimensionalen vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde. +\\(Hier wird noch ein Bild für das Verständnis eingefügt) + +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3); + \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; + \draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; + \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$}; + \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(-2.31, 0.957) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$}; + \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{e_2}$}; + + \coordinate (A) at (0,0); + \coordinate (B) at (0,2.5); + \coordinate (C) at (-2.31, 0.957); + \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, draw, thick, angle radius=1.25cm}} + \draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C}; + \end{tikzpicture} + \caption{Rotation des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$} + \label{BildRotation} +\end{figure} + +\subsection{Linearen Algebra} +In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. Beispielsweise besteht $\text{SO}(2)$ aus den Matrizen \begin{align} D = \begin{pmatrix} - cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ - -sin(\alpha) & cos(\alpha) - \end{pmatrix} + \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ + -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) + \end{pmatrix},\quad + \alpha \in [0, 2\pi). \end{align} +Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Diese Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace \det(D)=1$. Da $\det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge heraus. $\det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet. +\\(BILD Mengen Spezieller Matrizen von Herrn Müller Präsentation) -\subsection{geometrischen Algebra} -Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Reflektionen gebildet werden kann, können wir die Rotation einfach herleiten. -\begin{align} \label{rotGA} - v'' = wv'w^{-1} = w(uvu^{-1})w^{-1} -\end{align} -Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese versuchen wir jetzt noch zu verbessern. Dazu leiten wir zuerst die bekannte Polarform her. (Anmerkung: Hier wird eine Rotation auf der $\mathbf{e_{12}}$ Ebene hergeleitet. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e_{ij}}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden) -\begin{align} - \mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_2\right] -\end{align} -Dabei können wir ausnützen, dass $e_1^2 = 1$ ist. Was nichts ändert wenn wir es einfügen. Zudem klammern wir dann $e_1$ aus. +\subsection{Geometrische Algebra} +Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Rotation mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten. +\begin{satz} + Eine Rotation + \begin{align} \label{rotGA} + \mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) + \end{align} + lässt sich durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen beschreiben. +\end{satz} +Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese Formel versuchen wir jetzt noch durch Umstrukturierung zu verbessern. +\subsubsection{Exponentialform} +Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden. Für die Herleitung erweitern wir nun als erstes die Polarform \begin{align} - \mathbf{w} = |w| \left[\cos(\theta_w) e_1 + \sin(\theta_w) e_1e_1e_2\right] + \mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right) \end{align} -\begin{align} \label{e1ausklammern} - \mathbf{w} = |w|e_1\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) e_{12}\right] +eines Vektors mit $\mathbf{e}_1^2 = 1$ beim Sinus +\begin{align}\label{e1ausklammern} + \mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right), \end{align} -Durch die Reihenentwicklung ist es uns jetzt möglich den Term in eckigen Klammern mit der e-Funktion zu schreiben. +um dann $\mathbf{e}_1$ \begin{align} - \mathbf{w} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right) \label{ExponentialGA} \end{align} -Man kann es so interpretieren, dass der Einheitsvektor $e_1$ um die Länge w gestreckt und um $theta_w$ gedreht wird. -Nun werden wir den Effekt von zwei aneinandergereihten Vektoren $(wu)$ betrachten. +ausklammern zu können. Die Ähnlichkeit des Klammerausdrucks zu der Eulerschen Formel bei den Komplexen Zahlen ist nun schon gut erkennbar. Versuchen wir nun mithilfe der Reihenentwicklungen \begin{align} - \mathbf{wu} = |w|\mathbf{e_1} e^{\theta_w \mathbf{e_{12}}}||u||\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}} -\end{align} -Um die beiden $\mathbf{e_1}$ zu kürzen, können wir die Reihenfolge des exponential Terms mit $\mathbf{e_1}$ wechseln, indem man bei der Gleichung (\ref{e1ausklammern}), anstatt mit $\mathbf{e_1e_1e_2}$ mit $\mathbf{e_2e_1e_1}$ erweitert. -\begin{align} - \mathbf{w} = |w|\left[\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e_2e_1}\right]\mathbf{e_1} + \sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\ + \cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots \end{align} -Da $\mathbf{e_2e_1 = -e_{12}}$ können wir einfach den Winkel negieren. -Jetzt können wir wieder $e_1e_1 = 1$ kürzen. Die Längen können als Skalare beliebig verschoben werden und die exponential Terme zusammengefasst werden. +den Zusammenhang auch hier herzustellen. Verwenden wir jetzt noch die Eigenschaft, dass $\mathbf{e}_{12}^2=-1, \enspace\mathbf{e}_{12}^3=-\mathbf{e}_{12}, \dots$, bei dem Klammerausdruck in Formel \eqref{ExponentialGA} \begin{align} - \mathbf{wu} = |w||u|e^{-\theta_w \mathbf{e_{12}}}\mathbf{e_1}\mathbf{e_1} e^{\theta_u \mathbf{e_{12}}} + \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots\\ + &= 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots + \label{ExponentialGA2} \end{align} +dann sieht man die Übereinstimmung mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion \begin{align} - \mathbf{wu} = |w||u|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e_{12}}} + &e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{n}}{n!}}={\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{0}}{0!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{1}}{1!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{2}}{2!}}+{\frac {(\theta_w\mathbf{e}_{12})^{3}}{3!}}+\cdots\\ + &\Rightarrow \mathbf{w} = |w|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = |w|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right). \end{align} -der Term $\mathbf{u^{-1}w^{-1}}$ kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden. +Man kann die Exponentialform des Vektors ähnlich wie die der komplexen Zahlen interpretieren. Der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ wird um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht. +Bei den komplexen Zahlen würden man vom Punkt 1 anstatt $\mathbf{e}_1$ ausgehen. +\subsubsection{Vektormultiplikation} +Nun werden wir das Produkt von zwei Vektoren $\mathbf{wu}$ \begin{align} - \mathbf{u^{-1}w^{-1}} = \dfrac{1}{|w||u|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}} \end{align} -Dabei definieren wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$. Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung (\ref{rotGA}) ein. -\begin{align} - \mathbf{v''} = |w||u|e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v \dfrac{1}{|w||u|}e^{\theta \mathbf{e_{12}}} +so umformen, dass wir eine bessere Darstellung erhalten. Wir tauschen dafür zuerst beim Vektor $\mathbf{w}$ die Reihenfolge von +$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern}, anstatt mit $\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2$ mit $\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1$ erweitern +\begin{align} + \mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1\\ + &= |\mathbf{w}|e^{\theta_w \mathbf{e}_{21}}\mathbf{e}_1\\ + &= |\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1 \end{align} -HIER DEFINITION/IST WICHTIGE FORMEL +und umstrukturiert wieder in die Vektorproduktformel einsetzen \begin{align} - \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} v e^{\theta \mathbf{e_{12}}} -\end{align} -Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. -\begin{align} \label{RotAufPerpPar} - \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\ + \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}. \end{align} +Der Term $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$ \begin{align} - \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}} \end{align} -Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so vertauscht werden kann. Der Winkel wird dabei beim parallelen Term negiert. -\begin{align} - \mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e_{12}}} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e_{12}}} e^{\theta \mathbf{e_{12}}} +kann durch die selbe Methode zusammengefasst werden. +Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir +\begin{align}\label{wuExpo} + \mathbf{wu} = |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\\ + \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv} \end{align} +die finale Form der Vektorprodukte. +\subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung} +Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein \begin{align} - \mathbf{v''} = \mathbf{v_\perp} + \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e_{12}}} + \mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) \mathbf{v}( \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}), \end{align} -Man kann an dieser Gleichung sehen, dass nur der parallele Anteil des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e_{12}}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. -\\BEISPIEL +erhalten wir durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung \begin{align} - \begin{split} - &\mathbf{v} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2}; \quad \mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e_3}\\ &\mathbf{wu} = 1e^{(-\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = 1[\cos(-\pi/2)\mathbf{e_1}+\sin(-\pi/2)\mathbf{e_2}] = -\mathbf{e_2}; \\ &\mathbf{u^{-1}w^{-1}} = 1e^{(\pi/2) \mathbf{e_{12}}} = \mathbf{e_2} - \end{split} + \mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}}. +\end{align} + +Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. Wir bekommen durch Einsetzten nun diese Form +\begin{align} \label{RotAufPerpPar} + \mathbf{v}'' = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e}_{12}}. \end{align} +Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so umstrukturiert werden kann \begin{align} - \begin{split} - \mathbf{v''} = &\mathbf{(wu)v(u^{-1}w^{-1})} \\ - &-\mathbf{e_2} (1\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3}) \mathbf{e_2} \\ - & -1\mathbf{e_2e_1e_2} - 2\mathbf{e_2e_2e_2} - 3\mathbf{e_2e_3e_2} \\ - & 1\mathbf{e_2e_2e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_2e_2e_3} \\ - & 1\mathbf{e_1} - 2\mathbf{e_2} + 3\mathbf{e_3} - \end{split} -\end{align} -Man sieht, dass sich der Vektor $\mathbf{v_\parallel}$ sich um $2\cdot90^\circ$ gedreht hat und der Vektor $\mathbf{v_\perp}$ unverändert blieb.
\ No newline at end of file + \mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}}, +\end{align} +dass der Winkel beim parallelen Anteil negiert wird. An der Zusammengefassten Gleichung +\begin{align}\label{RotParPerp} + \mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} + \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e}_{12}} +\end{align} +kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}$ bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. Zeigen wir nun diese Eigenschaften an einem Beispiel +\begin{beispiel} + Gegeben sei ein Vektor $\mathbf{v} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$ mit zur $\mathbf{e}_{12}$-Ebene parallelen Anteil $\mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2$ und senkrechten Anteil $\mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3$. Zusätzlich sind die Spiegelachsen $\mathbf{u} = \mathbf{e}_1$ und $\mathbf{w} = 2\mathbf{e}_2$ gegeben. Gesucht ist der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$. Bestimmen wir als erstes das Vektorprodukt $\mathbf{wu}$ + \begin{align} + \mathbf{wu} = (2\mathbf{e}_2)(\mathbf{e}_1) = -2\mathbf{e}_{12} + \end{align} + und das Produkt der Inversen $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$ + \begin{align} + \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = (\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2})(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}. + \end{align} + Der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$ können wir nun durch das einsetzten und auflösen der Produkte in die Gleichung \eqref{rotGA} + \begin{align} + \mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12})\\ + &= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12})\\ + &= -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3 + \end{align} + finden. Aus dem Resultat $\mathbf{v}''= -1\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3$ können wir bestätigen, dass + \begin{itemize} + \item die Länge $|\mathbf{v}| = \sqrt{3}$ zur Länge $|\mathbf{v}''|=\sqrt{3}$ gleich blieb. + \item sich der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}'' = -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2$ gedreht hat und der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}'' = 1\mathbf{e}_3$ unverändert blieb. + \item der parallele Teil sich genau um $2\theta=180$° gedreht hat. $\theta$ kann übrigens durch die Umformung des Produkt $\mathbf{wu}$ in die Exponentialschreibweise + \begin{align} + &\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos(\dfrac{-\pi}{2} + \sin(\dfrac{-\pi}{2})\mathbf{e}_{12})) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}} + \end{align} + durch einen Vergleich mir der Formel \eqref{wuExpo} + \begin{align} + \theta = -(\dfrac{-\pi}{2}) = \dfrac{\pi}{2} + \end{align} + ausgelesen werden. + \end{itemize} +\end{beispiel}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex index 4dbab2c..70107da 100644 --- a/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex +++ b/buch/papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex @@ -3,26 +3,26 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{komplexe Zahlen} -\rhead{komplexe Zahlen} -Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nachdem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist Komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbb{G}_2^+ \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grade 0) und einem Bivektor (Grade 2) dargestellt werden. Als Abkürzung nehme ich die Bezeichnung $g_n \in \mathbb{G}_2^+$. +\section{Komplexe Zahlen} +\rhead{Komplexe Zahlen} + +Die komplexen Zahlen finden eine Vielzahl von Anwendungsgebiete in den Ingenieurwissenschaften. Das liegt daran, weil die komplexen Zahlen Rotationen und Schwingungen gut beschreiben können. Nach dem vorherigen Kapitel überrascht es wahrscheinlich nicht viele, dass es möglich ist komplexe Zahlen in der geometrischen Algebra darzustellen. Sie können durch die geraden Grade der 2 Dimensionalen geometrischen Algebra vollständig beschrieben werden: $\mathbf{g}_n \in G_2^+(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$. Das bedeutet eine komplexe Zahl kann durch ein Skalar (Grad 0) und einem Bivektor (Grad 2) dargestellt werden \begin{align} - a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 e_{12} = g_n;\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R} + a_0 + a_1 j \cong a_0 + a_1 \mathbf{e}_{12} = \mathbf{g}_n\quad a_0, a_1 \in \mathbb{R}\\ + |r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = \mathbf{g}_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R} \end{align} -oder in Polarform. +weil $j$ und $\mathbf{e}_{12}$ beide die Eigenschaft besitzen quadriert $-1$ zu ergeben \begin{align} - |r|e^{\theta j} \cong |r|e^{\theta e_{12}} = g_n; \quad r, \theta \in \mathbb{R} + j^2 = -1\quad \mathbf{e}_{12}^2 = -1 \end{align} -Man beachte, dass wenn wir, wie bei den komplexen Zahlen, Elemente von $\mathbb{G}_2^+$ miteinander Multiplizieren, ist es nicht, wie im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{rotGA})beschrieben, eine Multiplikation von zwei $g_n$ mit einem Vektor. Im 2 dimensionalen bewirken beide Multiplikationen grundsätzlich das Gleiche (eine Drehstreckung), aber die Multiplikation von mehreren $g_n$ ist kommutativ, wie wir es von den komplexen zahlen kennen. +Man beachte, dass wenn wir, wie bei den komplexen Zahlen, Elemente von $G_2^+(\mathbb{R})$ miteinander Multiplizieren, ist es nicht, wie im Kapitel Rotation bei der Formel (\ref{rotGA})beschrieben, eine Multiplikation von zwei $g_n$ mit einem Vektor. Im zweidimensionalen bewirken beide Multiplikationen grundsätzlich das Gleiche (eine Drehstreckung), aber die Multiplikation von mehreren $g_n$ ist kommutativ, wie wir es von den komplexen Zahlen kennen. \begin{align} - \begin{split} - &(a + b \mathbf{e_{12}})(c + d \mathbf{e_{12}}) = (c + d \mathbf{e_{12}})(a + b \mathbf{e_{12}})\\ - &(a + b \mathbf{e_{12}})(x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2})(c + d \mathbf{e_{12}}) \not= (a + b \mathbf{e_{12}})(c + d \mathbf{e_{12}})(x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2}) - \end{split} + \mathbf{g}_1\mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_2\mathbf{g}_1 \quad&\Leftrightarrow\quad (a + b \mathbf{e}_{12})(f + g \mathbf{e}_{12}) = (f + g \mathbf{e}_{12})(a + b \mathbf{e}_{12})\\ + \mathbf{g}_1\mathbf{v}\not= \mathbf{v}\mathbf{g}_1 \quad&\Leftrightarrow\quad(a + b \mathbf{e}_{12})(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)\not= (x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)(a + b \mathbf{e}_{12}) \end{align} Um später die Auswirkung der Quaternionen besser zu verstehen, möchte ich kurz darauf eingehen, was ein $g_n$ für eine Auswirkung auf einen Vektor hat. -Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=c+dj$ multipliziert wird, dann kann man diese so aufteilen. +Wir kennen diesen Effekt schon von den komplexen Zahlen. Wenn eine komplexe Zahl $c_1=a+bj$ mit einer zweiten $c_2=f+gj$ multipliziert wird, dann kann man diese so aufteilen. \begin{align} - c = (a + bj)(c + dj) = c\cdot(a+bj) + dj\cdot(a+bj) + c = c_1\cdot c_2 = (a + bj)(d + ej) = f\cdot(a+bj) + gj\cdot(a+bj) \end{align} -Wobei $c\cdot(a+bj)$ die jetzige komplexe Zahl $c_1$ um den Faktor $c$ steckt und $dj\cdot(a+bj)$ die um 90° im gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_1$ um den Faktor $d$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben, dann den um $c_2$ drehgestreckten Vektor $c_1$. Die wirklichen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen. +Dabei ist $f\cdot(a+bj)$ die jetzige komplexe Zahl $c_1$ um den Faktor $f$ steckt und $gj\cdot(a+bj)$ die um 90° im Gegenuhrzeigersinn gedrehte Zahl $c_2$ um den Faktor $g$ streckt. Diese Anteile addiert ergeben, dann den um $c_2$ dreh-gestreckten Vektor $c_1$. Die wirklichen Vorteile der geometrischen Algebra werden sich aber erst bei den Quaternionen zeigen.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png b/buch/papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..733c535 --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/GimbalLock.png diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/Links.txt b/buch/papers/clifford/Bilder/Links.txt new file mode 100644 index 0000000..8e8edfe --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/Links.txt @@ -0,0 +1,3 @@ +MatrizenGruppen: Vorlesung 10 Drehmatrizen Müller +GimbalLock: https://www.thetechgame.com/News/sid=2444/fifa-12-demo-glitches-causing-youtube-stir/start=10.html +RotSpieg: http://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/MaDenken1313/Material/Kap2KonAbb.pdf
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png b/buch/papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..398de5a --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.pdf b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c4c107d --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.pdf diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..27a5eb2 --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png diff --git a/buch/papers/clifford/Bilder/test.png b/buch/papers/clifford/Bilder/test.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1633a2e --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/Bilder/test.png diff --git a/buch/papers/clifford/Makefile.inc b/buch/papers/clifford/Makefile.inc index 8cdd02e..e168ae8 100644 --- a/buch/papers/clifford/Makefile.inc +++ b/buch/papers/clifford/Makefile.inc @@ -13,7 +13,7 @@ dependencies-clifford = \ papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex \ papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex \ papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex \ - papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex \ + papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex \ papers/clifford/7_Reflektion.tex \ papers/clifford/8_Rotation.tex \ papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex \ diff --git a/buch/papers/clifford/main.tex b/buch/papers/clifford/main.tex index 46d04bd..ec44963 100644 --- a/buch/papers/clifford/main.tex +++ b/buch/papers/clifford/main.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \input{papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex} \input{papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex} \input{papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex} -\input{papers/clifford/6_Dirac-Matrizen.tex} +\input{papers/clifford/6_PauliMatrizen.tex} \input{papers/clifford/7_Reflektion.tex} \input{papers/clifford/8_Rotation.tex} \input{papers/clifford/9_KomplexeZahlen.tex} diff --git a/buch/papers/clifford/packages.tex b/buch/papers/clifford/packages.tex index 8fb4bd9..0d354db 100644 --- a/buch/papers/clifford/packages.tex +++ b/buch/papers/clifford/packages.tex @@ -7,3 +7,5 @@ % if your paper needs special packages, add package commands as in the % following example %\usepackage{packagename} + +\usetikzlibrary{calc,angles,quotes,babel}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/clifford/references.bib b/buch/papers/clifford/references.bib index ff829d6..9090005 100644 --- a/buch/papers/clifford/references.bib +++ b/buch/papers/clifford/references.bib @@ -4,32 +4,13 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % -@online{clifford:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, - year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} -} - -@book{clifford:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} -} - -@article{clifford:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} +@article{clifford:hestenes_GA, + author = { David Hestenes, Garret Eugene Sobczyk and James S. Marsh }, + title = { Clifford Algebra to Geometric Calculus. A Unified Language for Mathematics and Physics }, + journal = { American Journal of Physics }, + year = 1985, + volume = 53, + pages = {24}, + url = {https://www.researchgate.net/publication/258944244_Clifford_Algebra_to_Geometric_Calculus_A_Unified_Language_for_Mathematics_and_Physics} } |
