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 % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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-\section{Teil 0\label{erdbeben:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
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+%%
+\section{Was ist ein Erdbeben? \label{erdbeben:section:teil0}}
+\rhead{Erdbeben}
+Für das Verständnis möchten wir zuerst erklären, was ein Erdbeben genau ist.
+Das soll uns helfen, eine Verknüpfung zwischen dem Naturphänomen und der mathematischen Problemstellung herzustellen.
+
+Unter einem Erdbeben verstehen wir eine Erschütterung des Erdkörpers.
+Dabei reiben zwei tektonische Platten aneinander, welche sich durch die Gesteinsverzahnung gegenseitig blockieren.
+Diese Haftreibung durch die Steine wird so lange aufgebaut, bis sie nicht mehr gehalten werden kann.
+Wenn dies passiert, entlädt sich die aufgebaute Spannung und setzt enorme Energien frei, die wir als Erdbeben wahrnehmen.
+Ein Erdbeben breitet sich vom Erdbebenherd in allen Richtungen gleich aus.
+Vergleichbar ist, wenn man einen Stein in einen Teich wirft und die Wellen beobachten kann, die sich ausbreiten.
+
+\subsection{Funktion eines Seismograph}
+Um ein Erdbeben kenntlich zu machen, werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. 
+Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, schwing das Gehäuse und dadurch auch die gekoppelte Masse. 
+Stoppt das Erdbeben, schwingt das Gehäuse nicht mehr. 
+Die Masse schwing jedoch in seiner Eigendynamik weiter. 
+Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden.
+In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. 
+Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt sind. 
+Der Seismograph ist in Abbildung ~\ref{erdbeben:Seismograph} ersichtlich.
+Ein Sensor unter der Masse misst die Position, bzw. die Auslenkung der Feder und der Masse.
+Dies bedeutet, unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. 
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur}
+ \caption{Aufbau des Seismographen mit Gehäuse, Masse, Federn und Sensor}
+ \label{erdbeben:Seismograph}
+ \end{center}
+\end{figure}
+
+\subsection{Ziel}
+Unser Seismograph misst nur die Position der Masse über die Zeit. 
+Wir wollen jedoch die Beschleunigung $a(t)$ des Boden, bzw. die Kraft $f(t)$, welche auf das Gehäuse wirkt, bestimmten.  
+Anhand dieser Beschleunigung, bzw. der Krafteinwirkung durch die Bodenbewegung, wird später das Bauwerk bemessen.
+Dies bedeutet, die für uns interessante Grösse $f(t)$ wird nicht durch einen Sensor erfasst. 
+Jedoch können wir durch zweifaches ableiten der Positionsmessung $s(t)$ die Beschleunigung der Masse berechnen. 
+Das heisst: Die Messung ist zweifach Integriert die Kraft $f(t)$ inklusive der Eigendynamik der Masse.
+Um die Krafteinwirkung der Masse zu berechnen, müssen wir Gleichungen für unser System finden.
+
+\subsection{Systemgleichung}
+Im Paper~\cite{erdbeben:mendezmueller} wurde das System gleich definiert und vorgegangen. 
+Im Fall unseres Seismographen, handelt es sich um ein Feder-Masse-Pendel.
+Dieser kann durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator beschrieben werden. 
+Die Gleichung lautet:
+\begin{equation}
+m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f.
+\end{equation}
+wobei $m$ die Masse, $k$ die Dämpfungskonstante und $D$ die Federkonstante bezeichnet.
+Da die Differentialgleichung linear ist, kann sie in die kompaktere und einfachere Matrix-Form umgewandelt werden.
+Dazu verwenden wir die Subsitution:
+\[ 
+s_1 = s 
+\qquad \text{und} \qquad
+s_2 = \dot s
+.
+\]
+Somit entstehen die Gleichungen für die Position $ \dot s_1(t)$ der Masse :
+\[ \dot {s_1} = {s_2}\] 
+und
+\[ \dot s_2 = -\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] 
+für die Beschleunigung $\dot s_2(t)$ der Masse.
+Diese können wir nun in der Form
+\[ f =-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \]
+auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen.
+Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. 
+Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen Systems. 
+
+Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt.
+Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse (innere Beschleunigung) als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). 
+In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt.
+Dazu wird ein Zustandsvektor definiert:
+\[ 
+ \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {f} \end{array}\right).
+ \] 
+Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schreibweise, , wobei $\dot {s_1}= v$ ist:
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \\ f(t) \end{array}\right) = \left(
+ \begin{array}{ccc} 	
+0 & 1& 0 \\ 
+- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+0 & 0 & 0\\
+\end{array}\right)  \left(\begin{array}{c} s(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right).
+\end{equation}
+Wir wissen nicht wie sich die Kraft verhält. 
+Deshalb treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert.
+Diese Annahme ist nicht zulässig, jedoch ist dies das beste, was wir Annehmen können. 
+Diese unzutreffende Annahme wird späteren Berechnungen berücksichtigen werden
+Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile mit Nullen gefüllt, denn genau diese Werte wollen wir. 
+
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+
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+