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@@ -3,53 +3,92 @@
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Teil 1
+\section{Fraktale
\label{ifs:section:teil1}}
\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{ifs:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
+Bevor wir die IFS genauer ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an.
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{ifs:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
+Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker nicht einig.
+In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry \cite{ifs:fractal-geometry} beschreibt.
+Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten:
+\begin{enumerate}
+ \item $F$ hat eine unendlich feine Struktur
+ \item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden.
+ \item Oftmals haf $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit.
+ \item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die Topologische Dimension
+ \item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben
+\end{enumerate}
+\subsection{Koch Kurve
+ \label{ifs:subsection:lilkoch}}
+Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen.
+In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht sie aus lauter kleineren Kopien von sich selber.
+Den Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt.
+Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$.
+Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt.
+In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich.
+Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt.
+Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{ifs:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{ifs:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics{papers/ifs/images/koch8}
+ \caption{Koch Kurve}
+ \label{ifs:kochkurve8}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[]{
+ \label{ifs:kochconsta}
+ \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch0}}
+ \subfigure[]{
+ \label{ifs:kochconstb}
+ \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch1}}
+ \subfigure[]{
+ \label{kochconstc}
+ \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch2}}
+ \caption{(a) Start (b) 1. Iteration (c) 2. Iteration}
+ \label{ifs:kochconst}
+\end{figure}
+
+Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften.
+Die Länge der Kurve lasst sich einfach berechnen.
+\begin{align*}
+ l_0 = a ,\quad l_1 = a \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad ... , \quad
+ l_n = a * \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad
+ \Rightarrow \quad
+ \lim_{n\to\infty} a \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty
+\end{align*}
+In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich.
+Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
+\begin{align*}
+ A_0 = 0 , \quad A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
+ A_2 = A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\
+ A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1
+\end{align*}
+Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist.
+Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Reihe.
+\begin{align*}
+ A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\
+ \lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2
+\end{align*}
+Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang.
+Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve.
+Es gibt viele verschiedene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
+Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten.
+In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry}.
+\begin{align*}
+ D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)}
+\end{align*}
+Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen.
+Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge.
+Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$.
+Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon = 1/3$.
+\begin{align*}
+ D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} = - \frac{log(4)}{log(1/3)} \approx 1.2619
+\end{align*}
+Wie wir nun sehen besitzt die Kochkurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen.
+Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten.