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diff --git a/buch/papers/ifs/main.tex b/buch/papers/ifs/main.tex index 8ae0fad..cceaf87 100644 --- a/buch/papers/ifs/main.tex +++ b/buch/papers/ifs/main.tex @@ -13,5 +13,6 @@ \input{papers/ifs/teil2.tex} \input{papers/ifs/teil3.tex} + \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/ifs/references.bib b/buch/papers/ifs/references.bib index 716857f..790c15c 100644 --- a/buch/papers/ifs/references.bib +++ b/buch/papers/ifs/references.bib @@ -13,14 +13,29 @@ day = {6} } -@book{ifs:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} +@online{ifs:chaos, + title = {Chaosspiel}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Iteriertes_Funktionensystem#Chaosspiel}, + date = {20201-06-13}, + year = {2021}, + month = {6}, + day = {13} +} + +@online{ifs:barnsleyfern, + title = {Barnsley fern}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern}, + date = {20201-06-13}, + year = {2021}, + month = {6}, + day = {13} +} +@book{ifs:fractal-geometry, + title = {Fractal Geometry}, + author = {Kenneth Falconer}, + publisher = {John Wiley & Sons}, + year = {1900}, + isbn = {0-471-92287-0}, } @article{ifs:mendezmueller, @@ -33,3 +48,20 @@ url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@Inbook{ifs:Rousseau2012, + author= {Rousseau, Christiane + and Saint-Aubin, Yvan + and Stern, Manfred}, + title={Bildkompression: Iterierte Funktionensysteme}, + bookTitle={Mathematik und Technologie}, + year={2012}, + publisher={Springer Berlin Heidelberg}, + address={Berlin, Heidelberg}, + pages={341--386}, + abstract={Dieses Kapitel kann in ein bis zwei Wochen Vorlesungen behandelt werden. Steht nur eine Woche zur Verfugung, dann konnen Sie kurz die Einfuhrung behandeln (Abschnitt 11.1) und anschlie{\ss}end ausf{\"u}hrlich den Begriff des Attraktors eines iterierten Funktionensystems betrachten (Abschnitt 11.3), wobei Sie sich auf das Sierpi{\'{n}}ski- Dreieck (Beispiel 11.5) konzentrieren. Beweisen Sie den Satz {\"u}ber die Konstruktion von affinen Transformationen, die drei Punkte der Ebene auf drei Punkte der Ebene abbilden und diskutieren Sie die speziellen affinen Transformationen, die h{\"a}ufig bei iterierten Funktionensystemen verwendet werden (Abschnitt 11.2).}, + isbn={978-3-642-30092-9}, + doi={10.1007/978-3-642-30092-9_11}, + url={https://doi.org/10.1007/978-3-642-30092-9_11} +} + + diff --git a/buch/papers/ifs/teil0.tex b/buch/papers/ifs/teil0.tex index d61c013..7cb218f 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil0.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil0.tex @@ -7,6 +7,6 @@ \rhead{Was ist ein Iteriertes Funktionsschema} Mit der Hilfe von Iterierten Funktionsschemata mit nur wenigen Funktionen, komplexe Bilder beschreiben. In der Regel sind diese Bilder Fraktale. -Wie es dazu kommt, und wie man mit IFS auch Bilder komprimieren kann, wollen wir im folgenden Kapitel untersuchen. +Wie es dazu kommt, und wie man mit IFS auch Bilder komprimieren kann, wollen wir in diesem Kapitel untersuchen. diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex index f02aff6..54089ec 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil1.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex @@ -8,10 +8,9 @@ \rhead{Problemstellung} Bevor wir die IFS genauer ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an. -\subsection{Was sind Fraktale? -\label{ifs:subsection:finibus}} -Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker noch nicht einig. -In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry beschreibt. + +Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker nicht einig. +In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry \cite{ifs:fractal-geometry} beschreibt. Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten: \begin{enumerate} \item $F$ hat eine unendlich feine Struktur @@ -23,8 +22,8 @@ Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten: \subsection{Koch Kurve \label{ifs:subsection:lilkoch}} Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen. -In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht die aus lauter kleineren Kopien von sich selber. -Den Konstruktionsvorgang sehen wir in \ref{ifs:kochconst}. +In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht sie aus lauter kleineren Kopien von sich selber. +Den Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt. Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$. Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. @@ -33,14 +32,13 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch \begin{figure} - \label{ifs:kochkurve8} \centering \includegraphics{papers/ifs/images/koch8} \caption{Koch Kurve} + \label{ifs:kochkurve8} \end{figure} \begin{figure} - \label{ifs:kochconst} \centering \subfigure[]{ \label{ifs:kochconsta} @@ -52,7 +50,7 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch \label{kochconstc} \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch2}} \caption{(a) Start (b) 1. Iteration (c) 2. Iteration} - \label{fig:foobar} + \label{ifs:kochconst} \end{figure} Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften. @@ -80,7 +78,7 @@ Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendl Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. Es gibt viele verschiedene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern. Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten. -In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension. +In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry}. \begin{align*} D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} \end{align*} diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex index d25004f..143317a 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil2.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex @@ -9,10 +9,10 @@ Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann. Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck. \begin{figure} - \label{ifs:sierpinski10} \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski} \caption{Sierpinski-Dreieck} + \label{ifs:sierpinski10} \end{figure} Wenn man das Dreieck genau anschaut, erkennt man schnell, dass es aus drei kleineren Kopien seiner selbst besteht. Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt. @@ -71,8 +71,7 @@ Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wie X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X) \end{align*} Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck. -\begin{figure} - \label{ifs:sierpconst} +\begin{figure} \centering \subfigure[]{ \label{ifs:sierpconsta} @@ -88,6 +87,7 @@ Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktion \includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski6}} \caption{Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks mit einem Schwarzen Quadrat als Start\\ (a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 3. Iteration (d) 5. Iteration} + \label{ifs:sierpconst} \end{figure} Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird. Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Iterationen gegen null. @@ -95,7 +95,7 @@ Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Itera \subsection{Iterierte Funktionensysteme \label{ifs:subsection:bonorum}} In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern. -TODO TEXT + $S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt \begin{align} @@ -185,26 +185,26 @@ Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels $S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab. $S_4$ Spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab. -Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen. +Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn \cite{ifs:barnsleyfern} noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen. Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden. Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist diese Methode ziemlich rechenintensiv. -Eine Alternative ist das Chaos-Game. +Eine Alternative ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. Bei dieser Methode werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt. Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein. Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet. -Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaos-Game gewichtet. +Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet. Die Gewichtung erfolgt über den Anteil der Gesamtmasse. Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. -\begin{figure} - \label{ifs:farn} +\begin{figure} \centering \makebox[\textwidth][c]{ \includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}} \caption{Barnsley-Farn} + \label{ifs:farn} \end{figure} \begin{figure} - \label{ifs:farncolor} \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor} \caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn} + \label{ifs:farncolor} \end{figure} diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex index 515fd81..24f0751 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil3.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex @@ -9,7 +9,7 @@ Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich Bilder zu Komprimieren. Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat. Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat. -In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen. +In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.\cite{ifs:Rousseau2012} Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden. @@ -17,10 +17,10 @@ Dies muss jedoch nicht so sein. Es gibt auch einen Attraktor, wenn die Transformationen nur Teile der Menge auf die ganze Menge abbilden. Diese Eigenschaft wollen wir uns in der Fraktalen Bildkompression zunutze machen. Sie ermöglicht uns Ähnlichkeiten zwischen kleineren Teilen des Bildes zunutze machen. -Es ist wohl nicht Falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Fern gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind. +Es ist wohl nicht falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Farn gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind. Doch wie Finden wir die richtigen Affinen Transformationen, welche als IFS das Bild als Attraktor haben? -\subsection{Titel +\subsection{das Kompressionsverfahren \label{ifs:subsection:malorum}} In der Beschreibung des Verfahrens wird sich auf Graustufenbilder bezogen. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert. @@ -114,21 +114,20 @@ Als Startbild wird ein mittelgraues 360x360px Bild gewählt, Abbildung \ref{ifs: Nun lassen wir das IFS laufen. Wie wir in Abbildung \ref{ifs:rappirecoa} sehen, ist schon nach der ersten Iteration das Bild schon erkennbar. Nach der fünften Iteration , Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen Unterschied mehr zur letzten Iteration, wir können die Rekonstruktion beenden. -\begin{figure} - \label{ifs:original} +\begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/ifs/images/original} \caption{Original Bild von Rapperswil} + \label{ifs:original} \end{figure} \begin{figure} - \label{ifs:bild0} \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil} \caption{Startbild} + \label{ifs:bild0} \end{figure} \begin{figure} - \label{ifs:rappireco} \centering \subfigure[]{ \label{ifs:rappirecoa} @@ -140,4 +139,5 @@ Nach der fünften Iteration , Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen \label{ifs:rappirecoc} \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil04}} \caption{(a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 5. Iteration} + \label{ifs:rappireco} \end{figure} |