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In der Regel sind diese Bilder Fraktale. Wie es dazu kommt, und wie man mit IFS auch Bilder komprimieren kann, wollen wir in diesem Kapitel untersuchen. diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex index a75b529..caba120 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil1.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex @@ -7,29 +7,27 @@ \label{ifs:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} Bevor wir die IFS ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an. - - Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker nicht einig. -In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry \cite{ifs:fractal-geometry} beschreibt. +In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften, welche Kenneth Falconer in seinem Buch {\em Fractal Geometry} \cite{ifs:fractal-geometry} beschreibt. Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten: \begin{enumerate} \item $F$ hat eine unendlich feine Struktur \item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden. \item Oftmals hat $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit. - \item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension + Man spricht von einer selbstähnlichen Menge, wenn sich diese Menge überdecken lässt mit echten Teilmengen, die zur ganzen Menge ähnlich sind. + \item Die `fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension. \item Viele Fraktale lassen sich auf eine simple Art definieren. Es genügen zum Beispiel nur wenige Funktionen, welche rekursiv ausgeführt werden, um ein Fraktal zu definieren. \end{enumerate} \subsection{Koch Kurve \label{ifs:subsection:lilkoch}} Diese Eigenschaften möchten wir nun am Beispiel der Koch Kurve näher anschauen. -In Abbildung \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Sie besteht aus lauter kleineren Kopien von sich selber. -Den Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt. +In Abbildung \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Sie besteht aus lauter kleineren Kopien von sich selbst. +Der Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt. Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$. Diese wird in ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt. Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist. -Man spricht von einer selbstähnlichen Menge, wenn sich diese Menge überdecken lässt mit echten Teilmengen, die zur ganzen Menge ähnlich sind. \begin{figure} @@ -66,7 +64,7 @@ berechnen. In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Daraus resultiert, dass die Länge gegen $\infty$ divergiert. -Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen +Die Fläche zwischen der Strecke von $O$ nach $(1,0)$ und der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen \begin{align*} A_0 &= 0 \\ A_1 &= \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\ @@ -88,22 +86,22 @@ Wie wir sehen ist die Koch-Kurve ein Objekt mit endlicher Fläche, aber unendlic Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. Es gibt viele verschiedene Methoden die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern. Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur unterschiedliche Arten. -In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry}. +Da die Kochsche Kurve selbstähnlich ist, ist die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry} die angemessene Messzahl für die Dimension. Die Ähnlichkeits-Dimension $D$ ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\epsilon$ \begin{align*} D = - \frac{\log N}{\log \epsilon }. \end{align*} -Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen. -Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$, Abbildung \ref{ifs:trinagle}. +Die Ähnlichkeits-Dimension stimmt für viele gewöhnliche Geometrische Objekte mit der intuitiven Vorstellung von Dimension überein. +Zum Beispiel besteht ein Dreieck aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$, Abbildung \ref{ifs:trinagle}. Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$. Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon =l \cdot 1/3$. Ihre Ähnlichkeits-Dimension ist somit \begin{align*} D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619. \end{align*} -Wie wir nun sehen besitzt die Koch-Kurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. -Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten. +Wie wir nun sehen, besitzt die Koch-Kurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. +Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall sein. Sonst wäre die Frage nach einer `richtigen' Definition einfach zu beantworten. \begin{figure} \centering \begin{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex index fd10634..d0110ed 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil2.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex @@ -6,8 +6,9 @@ \section{Fraktale mit IFS \label{ifs:section:teil2}} \rhead{Teil 2} -Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann. -Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck. +Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale erzeugen kann. +Im Beispiel auf Seite \pageref{ifs:trinagle} haben wir ein Dreieck aus 4 skalierten Kopien zusammengefügt. +Lässt man die Kopie im Zentrum des Dreiecks weg, entsteht die Grundlage des sogenannten Sierpinski-Dreieck in Abbildung \ref{ifs:sierpinski10}. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski} @@ -92,21 +93,22 @@ Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktion \label{ifs:sierpconst} \end{figure} Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird. -Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null. +Der `Abstand' zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null. \subsection{Iterierte Funktionensysteme \label{ifs:subsection:IteratedFunktionensysteme}} In diesem Abschnitt wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern. -$S_1,\dots,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt +$S_1,\dots,S_n$ sind Kontraktionen auf einer Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt \begin{align} |S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y| \end{align} für jedes i mit einem $c_i < 1$. -Der Banachsche Fixpunktsatz besagt, dass für solche Kontraktionen ein Eindeutiges $A$ existiert, für das $S(A) = A$ gilt. +Man kann zeigen, dass für solche Kontraktionen ein eindeutiges $A$ existiert, für das $S_i(A) = A$ gilt. Den Beweis kann man in \cite{ifs:Rousseau2012} nachlesen. -Hat man nicht nur eine sondern mehrere Kontraktionen, dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$ für die gilt + +Hat man nicht nur eine sondern mehrere Kontraktionen, dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$, für die gilt \begin{equation} F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F). \end{equation} @@ -115,17 +117,17 @@ Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen $E$ ohne die leer S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E). \label{ifs:transformation} \end{equation} -Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, gilt +Wird diese Transformation iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, gilt \begin{equation} F = \bigcap\limits_{k = 1}^{\infty} S^k(E). \label{ifs:ifsForm} \end{equation} -In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert. +In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt gegen eine eindeutige Menge konvergiert. Diese Menge ist auch als Attraktor eines IFS bekannt. Der Beweis für die Existenz eines eindeutigen Attraktors ist in \cite{ifs:fractal-geometry} beschrieben. \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn} -Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann. +Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktals, welches mit einem IFS generiert werden kann. Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben. Die vier affinen Transformationen \begin{align} @@ -153,7 +155,7 @@ Die vier affinen Transformationen \begin{pmatrix} 0 \\ 1.6 - \end{pmatrix}\\ + \end{pmatrix},\\ & {S_3(x,y)} = \begin{pmatrix} @@ -183,25 +185,25 @@ Die vier affinen Transformationen \begin{pmatrix} 0 \\ 0.44 - \end{pmatrix}\\ + \end{pmatrix},\\ \label{ifs:farnFormel} \end{align} -, welche für die konstruktion des Farns benötigt werden sind in der Abbildung \ref{ifs:farncolor} farblich dargestellt. +welche für die Konstruktion des Farns benötigt werden, sind in der Abbildung \ref{ifs:farncolor} farblich dargestellt. Das gesamte Farnblatt ist in der schwarzen Box. -Auf diese werden die Transformationen angewendet +Auf diese werden die Transformationen angewendet. $S_1$ erstellt den Stiel des Farnblattes (rot). -Die Transformation bildet das Gesamte Blatt auf die Y-Achse ab. +Die Transformation bildet das gesamte Blatt auf die $y$-Achse ab. $S_2$ (grün) erstellt den Hauptteil des Farnes. Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels aus $S_1$. -$S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab. +$S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten links ab. $S_4$ spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab. \subsection{Erzeugung eines Bildes zu einem IFS} -Es gibt zwei verschiedene Methoden um das Bild zu einem IFS zu erzeugen. +Es gibt zwei verschiedene Methoden, um das Bild zu einem IFS zu erzeugen. Die erste Methode ist wahrscheinlich die intuitivste. -Wir beginnen mit einm Startbild, zum Beispiel ein Schwarzes Quadrat, und bilden dieses mit den affinen Transformationen des IFS ab. -Das neue Bild, dass entsteht, ist die nächste Iterierte. +Wir beginnen mit einem Startbild, zum Beispiel ein schwarzes Quadrat, und bilden dieses mit den affinen Transformationen des IFS ab. +Das neue Bild, das entsteht, ist die nächste Iterierte. Dieses wird wieder mit den Transformationen abgebildet. -Wir wiederholen den letzten schritt, bis wir zufrieden mit der neusten Iterierten sind. +Wir wiederholen den letzten Schritt, bis wir zufrieden mit der neusten Iterierten sind. Diesen Vorgang haben wir beim Sierpinski-Dreieck in Abbildung \ref{ifs:sierpconst} gebraucht. In Abbildung \ref{ifs:sierpinski10} ist die zehnte Iterierte zu sehen. @@ -213,11 +215,12 @@ Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Men Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist die erste Methode ziemlich rechenintensiv. Beim Chaosspiel werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt. Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein. -Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet. +Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation $S_i$, welche zufällig gewählt wurde, angewendet. + Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet. -Je mehr eine Transformation kontrahiert, desto weniger Punkte braucht es um die resultierende Teilabbildung darzustellen. -Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. -Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, $S_1$, einiges weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, $S_2$. +Je mehr eine Transformation kontrahiert, desto weniger Punkte braucht es, um die resultierende Teilabbildung darzustellen. +Im Fall des Barnsley-Farns wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3$ und $S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. +Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, $S_1$, viel weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, $S_2$. In Abbildung \ref{ifs:farnNoWeight} wurden die vier gleich stark gewichtet. Man sieht, dass trotzt gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}, der Farn nicht so gut abgebildet wird. @@ -245,12 +248,13 @@ In jeder Kopie des ganzen Farns fehlen die Punkte für dieses rechte untere Teil \begin{figure} \centering - \subfigure[]{ - \label{ifs:farnNoWeight} - \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnnotweight}} - \subfigure[]{ - \label{ifs:farnrightWeight} - \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnrightwight}} + \includegraphics{papers/ifs/images/chaosspiel.pdf} + %\subfigure[]{ + % \label{ifs:farnNoWeight} + % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnnotweight}} + %\subfigure[]{ + % \label{ifs:farnrightWeight} + % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnrightwight}} \caption{(a) Chaosspiel ohne Gewichtung (b) $S_4$ zu wenig gewichtet} \label{ifs:farnweight} \end{figure} diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex index 78fb935..cebb664 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil3.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex @@ -6,32 +6,31 @@ \section{Fraktale Bildkomprimierung \label{ifs:section:teil3}} \rhead{Fraktale Bildkomprimierung} -Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich Bilder zu Komprimieren. -Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat. -Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat. +Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich, Bilder zu komprimieren. +Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch {\em Fractals Everywhere} einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat. +Das Ziel ist, ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat. In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen, wie sie in \cite{ifs:Rousseau2012} beschrieben ist. Es ist wohl nicht falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Farn gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind. Ein IFS, wie wir es in \ref{ifs:subsection:IteratedFunktionensysteme} definiert haben, wird uns also nicht weiter helfen. -Die Lösung dazu sind Partitionierte IFS (PIFS) \cite{ifs:pifs}. +Anders sieht es mit partitionierten IFS (PIFS) \cite{ifs:pifs} aus. + In \ref{ifs:transformation} wurde definiert, dass die Kontraktionen $S_i$ bei IFS auf die gesamte Menge $E$ angewendet werden. Bei einem PIFS wird der Attraktor in disjunkte Teilmengen aufgeteilt. Für jede dieser Teilmengen $R_i$ braucht es dann eine grössere Teilmenge, welche mit einer affinen Transformation eine zu $R_i$ ähnliche Menge bildet. -Wir müssen nicht mehr Ähnlichkeiten zum ganzen Bild finden, sondern zwischen Teilen des Bildes. +Wir müssen nicht mehr Ähnlichkeiten zum ganzen Bild finden, sondern nur zwischen Teilen des Bildes. Doch wie finden wir das PIFS, welches das Bild als Attraktor hat? -\subsection{das Kompressionsverfahren +\subsection{Das Kompressionsverfahren \label{ifs:subsection:malorum}} Wir beschränken das Verfahren für Graustufenbilder. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert. -Ein Graustufenbild kann man als Pixelraster mit einer x und y Achse verstehen. +Ein Graustufenbild kann man als Pixelraster mit einer $x$ und $y$ Achse verstehen. Jedem dieser Pixel wird ein Grauwert zugeordnet. -Ein Bild ist also eine Funktion, die jedem Pixel einen Grauwert $z$ zuweist -\begin{align*} - z = f(x,y). -\end{align*} +Ein Bild ist also eine Funktion, die jedem Pixel einen Grauwert \(z = f(x,y)\) zuweist. + +Wir suchen ein PIFS, welches das zu komprimierende Bild als Attraktor hat. +In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$. Diese sind als Raster im rechten Bild der Abbildung \ref{ifs:FIC} dargestellt. -Wir suchen ein PIFS welches das zu komprimierende Bild als Attraktor hat. -In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$ Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. Im dritten und letzten Schritt wird für jeden Range-Block $R_i$ ein Domain-Block $D_j$ gesucht, welcher ihm am ähnlichsten ist. Zwei Beispiele wie solche Domain-, und Range-Block Paare aussehen können, sehen wir in Abbildung \ref{ifs:FIC} @@ -57,8 +56,10 @@ Zuerst brauchen wir die Transformation g_i \end{pmatrix} \end{align*} -um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden. -Wenn wir die Grauwerte ausser acht lassen, haben wir die affine Abbildung +um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ abzubilden. +Das bestimmen der besten Transformation kann man in drei Schritte aufteilen. + +\textbf{Schritt 1: }Wenn wir die Grauwerte ausser acht lassen, haben wir die affine Abbildung \begin{align} t_i(x,y) = \begin{pmatrix} @@ -83,39 +84,47 @@ Wir sind auf folgende acht Abbildungen beschränkt: \item Drehung um 90, 180 oder 270 Grad. \item Spiegelung an der vertikalen, horizontalen und den Diagonalachsen. \end{itemize} -Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müssen wir zuerst $G_j$ um $1/2$ skalieren. -Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ px Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen. +Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müssen wir zuerst $D_j$ um $1/2$ skalieren. +Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ Pixel Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen. - -Die Parameter $s_i$ und $g_i$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Grautöne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion +\textbf{Schritt 2: }Es muss nicht nur eine geometrische Abbildung, sondern auch eine Abbildung für die Grautöne gewählt werden. Letztere lässt sich mit den Parametern $s_i$ und $g_i$ beschrieben. +Wir suchen einen linearen Zusammenhang zwischen den Grautönen des Domain-, und Range-Block. $s_i$ verändert den Kontrast und $g_i$ verschiebt die Grautöne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion \begin{align*} z' = s_i z + g_i. \end{align*} Für die Bestimmung dieser Parameter führen wir zuerst die Bildfunktionen $f_{R_i}$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ein. -$f_{R_i}$ ist die Bildfunktion des Range-Blockes $R_i$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ist die Bildfunktion des zuerst Skalierten und dann mit \ref{ifs:affTrans} transformierten Domain-Blocks $D_j$. +$f_{R_i}$ ist die Bildfunktion des Range-Blockes $R_i$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ist die Bildfunktion des zuerst skalierten und dann mit \eqref{ifs:affTrans} transformierten Domain-Blocks $D_j$. -Wir suchen $s_i$ und $g_i$ so das +Wir suchen $s_i$ und $g_i$ so das der quadratische Abstand zwischen \begin{align*} - f_{R_i} = s_i \tilde{f_{R_i}} + g_i = \bar{f_{R_i}}. + \bar{f_{R_i}} = s_i \tilde{f_{R_i}} + g_i \end{align*} -Die Parameter lassen sich mit +und $f_{R_i}$ am kleinsten ist. +Dies ist ein klassisches Problem der linearen Regression. Die Parameter lassen sich mit \begin{align*} - s = \frac{\operatorname{cov}(f_{R_i}), f(\tilde{f_{R_i}}))}{\operatorname{var}(\tilde{f_{R_i}})} \\ - g = E(f_{R_i}) - s E(f(\tilde{f_{R_i}})) + s_i = \frac{\operatorname{cov}(f_{R_i}, \tilde{f_{R_i}})}{\operatorname{var}(\tilde{f_{R_i}})} \\ + g_i = E(f_{R_i}) - s E(\tilde{f_{R_i}}) \end{align*} berechnen. +Die Varianz und Kovarianz erstrecken sich über die Grauwerte der Pixel der Blöcke. Mit diesen Parametern haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt. -Um zu beurteilen wie ähnlich der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block ist, berechnet man den quadratischen Abstand + +Um zu beurteilen wie ähnlich der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block ist, berechnet man den quadratischen Fehler \begin{align*} e = d(f_{R_i}, \bar{f_{R_i}}). \end{align*} -Dieser Abstand sollte so klein wie möglich sein. +$e$ sollte so klein wie möglich sein. + +\textbf{Schritt 3: } +Somit haben wir die zwei Schritte um eine Transformation $T_i$ zu finden. +Wir führen den zweiten Schritt für jede der acht möglichen affinen Abbildungen vom ersten Schritt aus, und bestimmen den jeweilig resultierenden Fehler $e$. +Es resultieren acht $T_j$ mit ihren jeweiligen Fehlern. -Wir bestimmen die Parameter $s$ und $g$ für jede der acht möglichen affinen Abbildungen und das mit jedem Domain-Block. -Die Kombination von $D_j$ und $T_i$, welche den kleinsten Abstand $e$ hat, ist die beste. +Um den besten Domain-Block zu finden, führen wir die drei Schritte für jeden Domain-Block aus. +Der Domain-Block $D_j$, welcher die Transformation $T_j$ mit dem kleinsten Fehler $e$ hat, ist der ähnlichste. -Diese Schritte führen wir für jeden Range-Block $R_i$ aus. -Am Ende des Algorithmus haben wir für jeden Range-Block den zugehörigen Domain-Block und Transformation gefunden. +Wir suchen nun für jeden Range-Block $R_i$ den ähnlichsten Domain-Block. +Am Ende des Algorithmus haben wir für jeden Range-Block den zugehörigen Domain-Block und die dazugehörige Transformation gefunden. \begin{figure} \centering @@ -128,7 +137,7 @@ Am Ende des Algorithmus haben wir für jeden Range-Block den zugehörigen Domain Mit den gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren. Wir beginnen wie schon im letzten Kapitel mit einer beliebigen Startmenge. In unserem Fall ist dieses ein Bild $f_0$ derselben Grösse. -Nun ersetzen wir jedes $R_i$ mit der Transformierten des zugehörigen Domain-Blocks $T(G_j)$. +Nun ersetzen wir jedes $R_i$ mit der Transformierten des zugehörigen Domain-Blocks $T(D_j)$. Dies wird verkürzt als Operator $W$ geschrieben. So erhalten wir ein neues Bild $f_1 = W(f_0)$. Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen Unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Attraktor, das Bild, erreicht. @@ -140,22 +149,21 @@ Teilt man ein Bild in die drei Farbkanäle auf, das heisst, es wird nur noch ein Nun wendet man auf jeden dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an, und fügt nach der Rekonstruktion die Kanäle wieder zusammen. \subsubsection{Performance des Verfahren} -Dieser Grundalgorithmus der fraktalen Bildkompression ist recht langsam und skaliert auch schlecht für grössere Bilder. -Dies resultiert aus eigenen Experimenten. +Experimentelle Beobachtungen haben gezeigt, dass dieser Grundalgorithmus der fraktalen Bildkompression recht langsam ist und auch schlecht für grössere Bilder skaliert. Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nicht so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren. Es wurden bessere Algorithmen der fraktalen Bildkompression entwickelt, doch auch diese können, vor allem in der Laufzeit, noch nicht mit herkömmlichen Komprimierungsverfahren mithalten. \subsection{Beispiel} -Wir Verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus, welcher uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter liefert. +Wir verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus, welcher uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter liefert. Mit diesen lässt sich das Bild im Anschluss wieder Rekonstruieren. -Die Range-Blöcke wurden $4\times4$ gewählt und die Dommain dementsprechend $8\times8$. +Die Range-Blöcke wurden $4\times4$ gewählt und die Domain dementsprechend $8\times8$. Um etwas Zeit bei der Komprimierung zu ersparen, wurden nur disjunkte Domain-Blöcke gebraucht. -Als erstes Beispiel wählen wir das 360x360px Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}. -Das Startbild ist ein mittelgraues 360x360px Bild, Abbildung \ref{ifs:bild0}. -Es kann jedoch ein beliebiges Startbild +Als erstes Beispiel wählen wir das 360$\times$360 Pixel Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}. +Das Startbild ist ein mittelgraues 360$\times$360 Pixel Bild, Abbildung \ref{ifs:bild0}. +Es kann jedoch ein beliebiges Startbild sein. Nun lassen wir das PIFS laufen. Wie wir in Abbildung \ref{ifs:rappirecoa} sehen, ist schon nach der ersten Iteration das Bild schon erkennbar. -Nach der fünften Iteration , Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen Unterschied mehr zur letzten Iteration, wir können die Rekonstruktion beenden. +Nach der fünften Iteration, Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen Unterschied mehr zur letzten Iteration, wir können die Rekonstruktion beenden. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/ifs/images/original} |