diff options
Diffstat (limited to '')
| -rwxr-xr-x | buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 309 |
1 files changed, 309 insertions, 0 deletions
diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex new file mode 100755 index 0000000..83be814 --- /dev/null +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -0,0 +1,309 @@ +% +% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% + +\section{L\"osungsmethoden} +\rhead{L\"osungsmethoden} + +In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. + +\subsection{Standard Algorithmus} + +Der Standard Methode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden. +Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert. +Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{For j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{For k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. + +\begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication} + \label{multiplikation:alg:smm} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic}[1] + \Function{MM}{$\textbf{A}, \textbf{B}$} + \State $sum \gets 0$ + \State $n \gets columns(\textbf{A}) == rows(\textbf{B})$ + \State $m \gets rows(\textbf{A})$ + \State $p \gets columns(\textbf{B})$ + \State $\textbf{C} \gets zeros(m,p)$ + \For{$i = 0,1,2 \dots,m-1$} + \For{$j = 0,1,2 \dots,p-1$} + \State $sum \gets 0$ + \For{$k = 0,1,2 \dots,n-1$} + \State $sum \gets sum + \textbf{A}[i][k] \cdot \textbf{B}[k][j]$ + \EndFor + \State $\textbf{C}[i][j] \gets sum $ + \EndFor + \EndFor + \State \textbf{return} $\textbf{C}$ + \EndFunction + \end{algorithmic} +\end{algorithm} + +Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}(n^3)$ + +\subsubsection{Divide and Conquer Methode} + +F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze zu markant besseren Laufzeiten. +Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}(n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann. + +Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden. +Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation, mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden. +Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ +\begin{equation} +\mathbf{A}\mathbf{B}= +\begin{bmatrix} +\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12}\\ +\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} +\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} +\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12}\\ +\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} +\end{bmatrix} += +\begin{bmatrix} +\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\ +\mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} +\end{bmatrix} +\end{equation} +aufgeteilt. +Die Berechnung +\begin{equation} +\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj} +\label{multiplikation:eq:MM_block} +\end{equation} +ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird. + +Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz, +Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen. +Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt. +\begin{algorithm}\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \label{multiplikation:alg:devide_mm} + \begin{algorithmic} + \Function{MM}{$\textbf{A}, \textbf{B}, n$} + \If{$n = 2$} + \State $ \mathbf{C} \gets zeros(n, n)$ + \State $C[0, 0] \gets A[0][0]\cdot B[0][0]+A[0][1]\cdot B[1][0]$ + \State $C[0, 1] \gets A[0][0]\cdot B[0][1]+A[0][1]\cdot B[1][1]$ + \State $C[1, 0] \gets A[1][0]\cdot B[0][0]+A[1][1]\cdot B[1][0]$ + \State $C[1, 1] \gets A[1][0]\cdot B[0][1]+A[1][1]\cdot B[1][1]$ + \Else + \State $ m \gets n/2$ + \State $\mathbf{A11}, \mathbf{A12}, \mathbf{A21}, \mathbf{A22} \gets \mathbf{A}[:m][:m], \mathbf{A}[:m][m:], \mathbf{A}[m:][:m], \mathbf{A}[m:][m:]$ + \State $\mathbf{B11}, \mathbf{B12}, \mathbf{B21}, \mathbf{B22} \gets \mathbf{B}[:m][:m], \mathbf{B}[:m][m:], \mathbf{B}[m:][:m], \mathbf{B}[m:][m:]$ + + \State $\mathbf{C11} \gets \text{MM}(\mathbf{A11}, \mathbf{B11},n) + \text{MM}(\mathbf{A12}, \mathbf{B21},n)$ + \State $\mathbf{C12} \gets \text{MM}(\mathbf{A11},\mathbf{B12},n) + \text{MM}(\mathbf{A12}, \mathbf{B22},n)$ + \State $\mathbf{C21} \gets \text{MM}(\mathbf{A21}, \mathbf{B11},n) + \text{MM}(\mathbf{A22}, \mathbf{B21},n)$ + \State $\mathbf{C22} \gets \text{MM}(\mathbf{A21}, \mathbf{B12},n) + \text{MM}(\mathbf{A22}, \mathbf{B22},n)$ + \State $ C \gets vstack(hstack(C11, C12), hstack(C21, C22))$ + + \EndIf + \State \textbf{return} $\textbf{C}$ + + \EndFunction + \end{algorithmic} +\end{algorithm} + +Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} berechnet werden. +Ohne auf diesen vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit. +In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt +\begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac} + \mathcal{T}(n) = + \begin{cases} + 1 & \text{if } n \leq 2\\ + 8 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 & \text{if } n > 2 + \end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}(n^{3}) +\end{equation} +zu einer kubischen Laufzeit. +Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden. +In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt. + + +\subsection{Strassen's Algorithmus} + +Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen. +Die Grundlegenden Terme +\begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen} +\begin{split} +\text{\textbf{P}} &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}) \\ +\text{\textbf{Q}} &= (\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}) \cdot \mathbf{B}_{11} \\ +\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot (\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}) \\ +\text{\textbf{S}} &= \mathbf{A}_{22} \cdot (-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}) \\ +\text{\textbf{T}} &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}) \cdot \mathbf{B}_{22} \\ +\text{\textbf{U}} &= (-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}) \\ +\text{\textbf{V}} &= (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}) +\end{split} +\end{equation} +aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\mathbf{C}$ +\begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2} +\begin{split} +\mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\ +\mathbf{C}_{21} &= \text{\textbf{R}} + \text{\textbf{T}} \\ +\mathbf{C}_{12} &= \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{S}}\\ +\mathbf{C}_{22} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{R}} - \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{U}} +\end{split} +\end{equation} +gebraucht. +\begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication} + \label{multiplikation:alg:strassen} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \begin{algorithmic} + \Function{strassen}{$\textbf{A}, \textbf{B}, n$} + \If{$n = 2$} + \State $ \mathbf{C} \gets zeros((n, n))$ + \State $P \gets (A[0][0]+A[1][1])\cdot( B[0][0]+B[1][1])$ + \State $Q \gets (A[1][0]+A[1][1])\cdot B[0][0]$ + \State $R \gets A[0][0]\cdot (B[0][1]-B[1][1])$ + \State $S \gets A[1][1]\cdot (B[1][0]-B[0][0])$ + \State $T \gets (A[0][0]+A[0][1])\cdot B[1][1]$ + \State $U \gets (A[1][0]-A[0][0])\cdot (B[0][0]+B[0][1])$ + \State $V \gets (A[0][1]-A[1][1])\cdot (B[1][0]+B[1][1])$ + \State $C[0][0] \gets P+S-T+V$ + \State $C[0][1] \gets R+T$ + \State $C[1][0] \gets Q+S$ + \State $C[1][1] \gets P+R-Q+U$ + \Else + \State $ m \gets n/2$ + \State $\mathbf{A11}, \mathbf{A12}, \mathbf{A21}, \mathbf{A22} \gets \mathbf{A}[:m][:m], \mathbf{A}[:m][m:], \mathbf{A}[m:][:m], \mathbf{A}[m:][m:]$ + \State $\mathbf{B11}, \mathbf{B12}, \mathbf{B21}, \mathbf{B22} \gets \mathbf{B}[:m][:m], \mathbf{B}[:m][m:], \mathbf{B}[m:][:m], \mathbf{B}[m:][m:]$ + + \State $ \mathbf{P} \gets \text{strassen}((\mathbf{A11}+ \mathbf{A22}),(\mathbf{B11}+\mathbf{B22}), m)$ + \State $ \mathbf{Q} \gets \text{strassen}((\mathbf{A21}+ \mathbf{A22}), \mathbf{B11},m)$ + \State $ \mathbf{R} \gets \text{strassen}( \mathbf{A11},(\mathbf{B12}- \mathbf{B22}),m)$ + \State $ \mathbf{S} \gets \text{strassen}( \mathbf{A22},(\mathbf{B21}- \mathbf{B11}),m)$ + \State $ \mathbf{T} \gets \text{strassen}((\mathbf{A11}+ \mathbf{A12}), \mathbf{B22},m)$ + \State $ \mathbf{U} \gets \text{strassen}((\mathbf{A21}- \mathbf{A11}),(\mathbf{B11}+\mathbf{B12}),m)$ + \State $ \mathbf{V} \gets \text{strassen}((\mathbf{A12}- \mathbf{A22}),(\mathbf{B21}+\mathbf{B22}),m)$ + + + + \State $\mathbf{C11} \gets \mathbf{P+S-T+V}$ + \State $\mathbf{C12} \gets \mathbf{R+T}$ + \State $\mathbf{C21} \gets \mathbf{Q+S}$ + \State $\mathbf{C22} \gets \mathbf{P+R-Q+U}$ + \State $ C \gets vstack(hstack(C11, C12), hstack(C21, C22))$ + + \EndIf + \State \textbf{return} $\textbf{C}$ + + \EndFunction + \end{algorithmic} +\end{algorithm} +Strassens's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. +\begin{figure} + \center + \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf} + \caption{Strassen's Algorithmus} + \label{multiplikation:fig:strassen} +\end{figure} + +Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen. +Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von +\begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen} +\mathcal{T}(n) = +\begin{cases} +1 & \text{if } n \leq 2\\ +7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 & \text{if } n > 2 +\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 7}) = \mathcal{O}(n^{2.8074}) +\end{equation} +und ist somit schneller als die Standard Methode. + +\subsection{Winograd's Algorithmus} + +Ein weiterer Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}. +Er zeigte einen neuen Algorithmus f\"ur das +\begin{equation} + \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i +\end{equation} +Skalarprodukt. +F\"ur jeden Vektor berechne +\begin{equation} + \xi = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} x_{2j-1} \cdot x_{2j} +\end{equation} +und +\begin{equation} + \eta = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} y_{2j-1} \cdot y_{2j}. +\end{equation} +Das Skalarprodukt ist nun geben mit +\begin{equation} + \langle x,y \rangle = + \begin{cases} + \displaystyle \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta & \text{if $n$ is even}\\ + \displaystyle \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta + x_n y_n & \text{if $n$ is odd}. + \end{cases} +\end{equation} + +Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte. +Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt. +Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet. +Dies f\"uhrt zu +\begin{equation} + (m+p) \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + mp \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor = \frac{mn}{2} + \frac{pn}{2} + \frac{mpn}{2} + \frac{mp}{2} +\end{equation} +Multiplikationen. +Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt. +Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standard Methode nur die H\"alfte ist. +Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. + +\begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication} + \setlength{\lineskip}{7pt} + \label{multiplikation:alg:winograd} + \begin{algorithmic} + \Function{Winograd}{$\textbf{A}, \textbf{B}, n$} + \State $ m \gets rows(\mathbf{A})$ + \State $ n \gets columns(\mathbf{A}) == rows(\mathbf{B})$ + \State $ p \gets columns(\mathbf{B})$ + \State $ \mathbf{\xi} \gets zeros(m)$ + \State $ \mathbf{\eta} \gets zeros(p)$ + + + \For{$i = 0,1,2 \dots,m-1$} + \For{$j = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$} + \State $\xi[i] \gets \xi[i]+A[i,2 j]A[i,2 j+1]$ + \EndFor + \EndFor + + \For{$i = 0,1,2 \dots,p-1$} + \For{$j = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$} + \State $\eta[i] \gets \eta[i]+B[2 j,i]B[2 j+1,i]$ + \EndFor + \EndFor + + \If{$n \% 2 == 0$} + \For{$i = 0,1,2 \dots,m-1$} + \For{$j = 0,1,2 \dots,p-1$} + \State $ab \gets 0$ + \For{$k = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$} + \State $ab \gets ab + (A[i,2k]+B[2k+1,j])(A[i,2k+1]+B[2k,j])$ + \EndFor + \State $C[i,j] \gets ab-\eta[j]-\xi[i]$ + \EndFor + \EndFor + \Else + \For{$i = 0,1,2 \dots,n-1$} + \For{$j = 0,1,2 \dots,n-1$} + \State $ab \gets 0$ + \For{$k = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$} + \State $ab \gets ab + (A[i,2k]+B[2k+1,j])(A[i,2k+1]+B[2k,j])$ + \EndFor + \State $C[i,j] \gets ab-\eta[j]-\xi[i]+A[i,-1]B[-1,j]$ + \EndFor + \EndFor + \EndIf + \State \textbf{return} $\textbf{C}$ + + \EndFunction + \end{algorithmic} +\end{algorithm} + +\subsection{Weitere Algorithmen} + +\textcolor{red}{TODO: BLAS} + +\section{Implementation} +\rhead{Implementation} +\textcolor{red}{TODO: messresultate} + +\section{Fazit} +\rhead{Fazit} |