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diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py index 626b82d..352771f 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py @@ -174,10 +174,11 @@ def test_perfomance(n): plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5) + plt.xscale('log', base=2) plt.legend() plt.xlabel("n") plt.ylabel("time (s)") - plt.grid(True) + plt.grid(True, which="both", ls="-") plt.tight_layout() # plt.yscale('log') plt.legend(fontsize=19) @@ -198,7 +199,7 @@ def plot(num): plt.plot(n, t_mm, label='3 For Loops', lw=5) plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and Conquer', lw=5) plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) - # plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) + plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5) plt.legend() plt.xlabel("n") @@ -275,22 +276,22 @@ def plot_c_res(ave, num): # test%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if __name__ == '__main__': - plot_c_res(1, 4096) + # plot_c_res(1, 4096) # plot(8) - # n = np.logspace(1,10,10,base=2,dtype=(np.int)) + n = np.logspace(1,8,8,base=2,dtype=(np.int)) # n = np.arange(1,50,2) - A = np.random.randint(-10, 10, (5,3)) - B = np.random.randint(-10, 10, (3,5)) + # A = np.random.randint(-10, 6, (5,3)) + # B = np.random.randint(-10, 6, (3,5)) - C = winograd2(A, B) - C_test = A@B - print(C) - print(C_test) + # C = winograd2(A, B) + # C_test = A@B + # print(C) + # print(C_test) # print(np.equal(C, C_test)) - # t_np = test_perfomance(n) + t_np = test_perfomance(n) # C = strassen(A, B) # C_test = A@B diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf Binary files differindex fd0a108..7b7a133 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt index c5ce619..ab507a2 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt @@ -1,6 +1,6 @@ 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01 6.400000000000000000e+01 1.280000000000000000e+02 2.560000000000000000e+02 5.120000000000000000e+02 1.024000000000000000e+03 -1.502037048339843750e-05 6.628036499023437500e-05 4.780292510986328125e-04 2.713203430175781250e-03 2.115225791931152344e-02 1.758832931518554688e-01 1.338865518569946289e+00 1.009106445312500000e+01 8.192077994346618652e+01 7.835870332717895508e+02 -6.675720214843750000e-06 7.200241088867187500e-05 5.540847778320312500e-04 3.144979476928710938e-03 2.545046806335449219e-02 2.083067893981933594e-01 1.659256219863891602e+00 1.319160294532775879e+01 1.046767003536224365e+02 9.679818902015686035e+02 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b/buch/papers/multiplikation/code/meas_256.txt @@ -1,6 +1,6 @@ 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01 6.400000000000000000e+01 1.280000000000000000e+02 2.560000000000000000e+02 -1.049041748046875000e-05 5.340576171875000000e-05 5.936622619628906250e-04 2.707719802856445312e-03 2.246093750000000000e-02 1.631326675415039062e-01 1.335460901260375977e+00 1.052024245262145996e+01 -4.768371582031250000e-06 5.531311035156250000e-05 8.208751678466796875e-04 3.099203109741210938e-03 2.490711212158203125e-02 2.070860862731933594e-01 1.739669799804687500e+00 1.384817218780517578e+01 -1.478195190429687500e-05 1.132488250732421875e-04 5.970001220703125000e-04 3.906726837158203125e-03 3.041696548461914062e-02 2.000186443328857422e-01 1.392681598663330078e+00 9.388872385025024414e+00 -1.716613769531250000e-05 6.866455078125000000e-05 5.314350128173828125e-04 2.688407897949218750e-03 1.695108413696289062e-02 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3.700256347656250000e-04 3.249406814575195312e-03 1.996850967407226562e-02 -4.529953002929687500e-06 5.650520324707031250e-05 4.577636718750000000e-04 4.029273986816406250e-03 2.444481849670410156e-02 -1.311302185058593750e-05 1.165866851806640625e-04 6.275177001953125000e-04 4.323244094848632812e-03 2.624726295471191406e-02 -1.835823059082031250e-05 6.890296936035156250e-05 3.914833068847656250e-04 2.423048019409179688e-03 1.761770248413085938e-02 -1.263618469238281250e-05 5.006790161132812500e-06 5.960464477539062500e-06 1.144409179687500000e-05 3.600120544433593750e-05 +1.239776611328125000e-05 5.507469177246093750e-05 3.802776336669921875e-04 2.795457839965820312e-03 2.073740959167480469e-02 +5.006790161132812500e-06 5.841255187988281250e-05 3.988742828369140625e-04 3.505229949951171875e-03 2.511668205261230469e-02 +1.335144042968750000e-05 1.149177551269531250e-04 6.387233734130859375e-04 4.088878631591796875e-03 2.969408035278320312e-02 +1.955032348632812500e-05 8.058547973632812500e-05 3.998279571533203125e-04 2.514839172363281250e-03 1.842117309570312500e-02 +1.215934753417968750e-05 8.583068847656250000e-06 6.675720214843750000e-06 2.694129943847656250e-05 2.789497375488281250e-05 diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf Binary files differindex 3a90949..92af29b 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt index ae6ff9b..b4fc7a1 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt @@ -1,6 +1,6 @@ 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01 6.400000000000000000e+01 -1.645088195800781250e-05 7.295608520507812500e-05 3.807544708251953125e-04 2.672195434570312500e-03 2.010774612426757812e-02 1.662156581878662109e-01 -7.390975952148437500e-06 7.843971252441406250e-05 4.265308380126953125e-04 3.107070922851562500e-03 2.457642555236816406e-02 2.122807502746582031e-01 -1.931190490722656250e-05 1.568794250488281250e-04 7.593631744384765625e-04 3.937005996704101562e-03 3.596329689025878906e-02 2.131938934326171875e-01 -2.622604370117187500e-05 9.226799011230468750e-05 3.504753112792968750e-04 2.469539642333984375e-03 1.652932167053222656e-02 1.281068325042724609e-01 -1.788139343261718750e-05 7.152557373046875000e-06 6.914138793945312500e-06 1.120567321777343750e-05 2.884864807128906250e-05 6.914138793945312500e-05 +2.145767211914062500e-05 6.175041198730468750e-05 4.422664642333984375e-04 3.235816955566406250e-03 2.289748191833496094e-02 1.855163574218750000e-01 +1.025199890136718750e-05 6.341934204101562500e-05 5.202293395996093750e-04 3.566026687622070312e-03 3.026723861694335938e-02 2.312932014465332031e-01 +2.384185791015625000e-05 1.807212829589843750e-04 6.821155548095703125e-04 4.796504974365234375e-03 2.968001365661621094e-02 2.291278839111328125e-01 +3.504753112792968750e-05 1.106262207031250000e-04 4.322528839111328125e-04 2.696514129638671875e-03 2.188420295715332031e-02 1.477701663970947266e-01 +3.218650817871093750e-05 1.144409179687500000e-05 7.390975952148437500e-06 4.625320434570312500e-05 3.814697265625000000e-05 5.435943603515625000e-05 diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex index bc4bfcf..ea71d91 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex @@ -17,14 +17,8 @@ Koeffizienten c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. \label{multiplikation:eq:MM} \end{equation} -Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $AB=C$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. -\begin{figure} - \center - \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation} - \caption{Matrizen Multiplikation} - \label{multiplikation:fig:mm_viz} -\end{figure} -Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ +Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. +Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ kann die Matrixgleichung \begin{equation} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\ @@ -40,7 +34,7 @@ C_{11} & C_{12}\\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} \end{equation} -kann die Gleichung der einzelnen Terme +explizt als Gleichung \begin{equation} \label{multiplikation:eq:MM_exp} \begin{split} C_{11} &= A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21}\\ @@ -49,4 +43,10 @@ C_{21} &= A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21}\\ C_{22} &= A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22} \end{split} \end{equation} -explizit geschrieben werden. +der einzelnen Terme geschrieben werden. +\begin{figure} + \center + \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation} + \caption{Matrizen Multiplikation} + \label{multiplikation:fig:mm_viz} +\end{figure}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf Binary files differindex dfa2ba4..c29a891 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex index e3293e4..a415ccb 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex @@ -39,67 +39,71 @@ \begin{document} \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ - axis lines = left, + xmode=log, ymode=log, + xmin=1e-0, xmax=5e1, + ymin=10e-1, ymax=1e7, + grid=both, + major grid style={black!50}, xlabel = $n$ (Data Input), ylabel = {$t$ (time)}, legend pos=north east, very thick, - ymax = 500, yticklabels=\empty, xticklabels=\empty, scale only axis=true, width=12cm, height=6cm, ] \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=red, ] {1}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(1)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=green, ] {x}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(n)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=blue, ] {x^2}; -\addlegendentry{$\mathcal{O}(n^2)$} +\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^2\right)$} \addplot [ - domain= 1:10, + domain= 1:50, samples=100, color=purple, ] {x^3}; -\addlegendentry{$\mathcal{O}(n^3)$} +\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^3\right)$} \addplot [ - domain= 1:10, + domain= 1:50, samples=100, color=black, ] -{exp(x)}; -\addlegendentry{$\mathcal{O}(e^n)$} +{exp(x) - 1.7}; +\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(e^n\right)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=orange, ] -{log2(x)}; +{log2(x)+1}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(\log n)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=gray, ] -{x*log2(x)}; +{x*log2(x)+1}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(n \log n)$} \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf Binary files differindex 9899dcb..a30fdaa 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf +++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex index 797772b..5cf39b4 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex @@ -81,13 +81,13 @@ \node at (-3,-10) {$C_{12}=$} ; \node at (-3,-5) {$C_{11}=$} ; - \node at (5,-2) {I}; - \node at (10,-2) {II}; - \node at (15,-2) {III}; - \node at (20,-2) {IV}; - \node at (25,-2) {V}; - \node at (30,-2) {VI}; - \node at (35,-2) {VII}; + \node at (5,-2) {P}; + \node at (10,-2) {Q}; + \node at (15,-2) {R}; + \node at (20,-2) {S}; + \node at (25,-2) {T}; + \node at (30,-2) {U}; + \node at (35,-2) {V}; } diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 83be814..b25462a 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -4,16 +4,16 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{L\"osungsmethoden} -\rhead{L\"osungsmethoden} +\section{Algorithmen} +\rhead{Algorithmen} In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. \subsection{Standard Algorithmus} -Der Standard Methode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden. +Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden. Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert. -Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{For j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{For k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. +Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. \begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication} \label{multiplikation:alg:smm} @@ -39,16 +39,18 @@ Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, \end{algorithmic} \end{algorithm} -Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}(n^3)$ +Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ \subsubsection{Divide and Conquer Methode} -F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze zu markant besseren Laufzeiten. -Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}(n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann. +F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten. +Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird. +Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann. Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden. -Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation, mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden. -Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ +Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden. +Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt. +Das Matrizen produklt \begin{equation} \mathbf{A}\mathbf{B}= \begin{bmatrix} @@ -63,15 +65,13 @@ Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\ \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} -\end{bmatrix} +\end{bmatrix}, \end{equation} -aufgeteilt. -Die Berechnung \begin{equation} \mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj} \label{multiplikation:eq:MM_block} \end{equation} -ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird. +ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation wird die Matrizenmultiplikation verwendet. Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz, Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen. @@ -105,15 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ \end{algorithmic} \end{algorithm} -Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} berechnet werden. -Ohne auf diesen vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit. +Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen. +Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit. In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac} - \mathcal{T}(n) = - \begin{cases} - 1 & \text{if } n \leq 2\\ - 8 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 & \text{if } n > 2 - \end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}(n^{3}) + \mathcal{T}(n) = 8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right ) \end{equation} zu einer kubischen Laufzeit. Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden. @@ -122,20 +118,20 @@ In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung \subsection{Strassen's Algorithmus} -Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen. -Die Grundlegenden Terme +Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen. +Die grundlegenden Terme \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen} \begin{split} -\text{\textbf{P}} &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}) \\ -\text{\textbf{Q}} &= (\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}) \cdot \mathbf{B}_{11} \\ -\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot (\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}) \\ -\text{\textbf{S}} &= \mathbf{A}_{22} \cdot (-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}) \\ -\text{\textbf{T}} &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}) \cdot \mathbf{B}_{22} \\ -\text{\textbf{U}} &= (-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}) \\ -\text{\textbf{V}} &= (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}) +\text{\textbf{P}} &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}\right ) \\ +\text{\textbf{Q}} &= \left(\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \mathbf{B}_{11} \\ +\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot \left(\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}\right ) \\ +\text{\textbf{S}} &= \mathbf{A}_{22} \cdot \left(-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}\right ) \\ +\text{\textbf{T}} &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}\right ) \cdot \mathbf{B}_{22} \\ +\text{\textbf{U}} &= \left(-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}\right ) \\ +\text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right ) \end{split} \end{equation} -aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\mathbf{C}$ +aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2} \begin{split} \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\ @@ -144,7 +140,7 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\math \mathbf{C}_{22} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{R}} - \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{U}} \end{split} \end{equation} -gebraucht. +der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. \begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication} \label{multiplikation:alg:strassen} \setlength{\lineskip}{7pt} @@ -190,7 +186,11 @@ gebraucht. \EndFunction \end{algorithmic} \end{algorithm} -Strassens's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. +Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. +Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . +Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. +Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$. +Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf} @@ -202,17 +202,14 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen. Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen} \mathcal{T}(n) = -\begin{cases} -1 & \text{if } n \leq 2\\ -7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 & \text{if } n > 2 -\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 7}) = \mathcal{O}(n^{2.8074}) +7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right ) \end{equation} -und ist somit schneller als die Standard Methode. +und ist somit schneller als die Standardmethode. \subsection{Winograd's Algorithmus} -Ein weiterer Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}. -Er zeigte einen neuen Algorithmus f\"ur das +Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}. +Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das \begin{equation} \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i \end{equation} @@ -236,6 +233,7 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte. Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt. + Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet. Dies f\"uhrt zu \begin{equation} @@ -243,8 +241,8 @@ Dies f\"uhrt zu \end{equation} Multiplikationen. Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt. -Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standard Methode nur die H\"alfte ist. -Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. +Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist. +Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. \begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication} \setlength{\lineskip}{7pt} @@ -297,13 +295,80 @@ Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnomm \end{algorithmic} \end{algorithm} -\subsection{Weitere Algorithmen} +\subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} + +die gebr\"uchlichen Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subrutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} \cite{multiplikation:BLAS}. +Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. + +\textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt. + +\begin{itemize} + \item Level 1 + \begin{itemize} + \item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{x}+\mathbf{y}$ + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ karakteristik + \end{itemize} + \item Level 2 + \begin{itemize} + \item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta \mathbf{y}$ + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ karakteristik + \end{itemize} + \item Level 3 + \begin{itemize} + \item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$ + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ karakteristik + \end{itemize} +\end{itemize} + +Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgek\"ugelter Verwedung der Speicher Architektur zur erheblichen Leistungoprimierung f\"uhren. + + +\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)} + +Die \textit{Double-GEMM} ist in \cite{multiplikation:DGEMM} definiert als: + +\textit{DGEMM performs one of the matrix-matrix operations} +$$ + C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C, + $$ + \textit{where op( X ) is one of} +$$ +op( X ) = X \quad \text{ or } \quad op( X ) = X^T, +$$ + \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A ) + an m by k matrix, op( B ) a k by n matrix and C an m by n matrix. + } + +Die Implementaion von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als +\begin{lstlisting}[style=multiplikationC] +cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans, + m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m); +\end{lstlisting} +definiert. + -\textcolor{red}{TODO: BLAS} \section{Implementation} \rhead{Implementation} \textcolor{red}{TODO: messresultate} +Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert. +\begin{itemize} + \item Standard Matrizenmultiplikation + \item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation + \item Strassen's Matrizenmultiplikation + \item Winograd's Matrizenmultiplikation + \item \texttt{CBLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C} + \item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python} +\end{itemize} + \section{Fazit} \rhead{Fazit} + +Wie man in \textcolor{red}{hyperlink Messresultate} gesehen haben, sind die geziegten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen. +Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus. + +Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung. +Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden. +Denke man an sehr keleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinhieten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}. +Sobland sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durcheführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein. diff --git a/buch/papers/multiplikation/main.tex b/buch/papers/multiplikation/main.tex index 8d0a8df..fb1908e 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/main.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/main.tex @@ -4,6 +4,28 @@ % % (c) 2021 Hochschule Rapperswil % +\definecolor{mygreen}{RGB}{28,172,0} % color values Red, Green, Blue +\definecolor{mylilas}{RGB}{170,55,241} +\definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92} +\lstdefinestyle{multiplikationC}{ + numbers=left, + belowcaptionskip=1\baselineskip, + breaklines=true, + frame=l, + framerule=0pt, + framesep=-1pt, + xleftmargin=1em, + language=C, + showstringspaces=false, + basicstyle=\ttfamily, + keywordstyle=\bfseries\color{green!40!black}, + commentstyle=\itshape\color{purple!40!black}, + identifierstyle=\color{blue}, + stringstyle=\color{red}, + numberstyle=\ttfamily\tiny, + backgroundcolor=\color{backcolour} +} + \chapter{Schnelle Matrizen Multiplikation\label{chapter:multiplikation}} \lhead{FMM} \begin{refsection} diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex index b20a791..2688f27 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex @@ -6,24 +6,24 @@ \section{Problemstellung} \rhead{Problemstellung} Dank der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung. -Das Ziel dieses Papers ist verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen. -Wobei gezielt auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen wird. +Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen. +Gezielt werden auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen. \subsection{Big $\mathcal{O}$ Notation} Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus \cite{multiplikation:bigo}. -$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt das die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$. +$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$. Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet: \begin{itemize} \item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt \item $f \in \mathcal{O}(n) \rightarrow f$ w\"achst linear - \item $f \in \mathcal{O}(n^2) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch + \item $f \in \mathcal{O}\left (n^2 \right ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch \item $f \in \mathcal{O}(\log n) \rightarrow f$ w\"achst logarithmisch \item $f \in \mathcal{O}(n \log n) \rightarrow f$ hat super-lineares Wachstum - \item $f \in \mathcal{O}(e^n) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell + \item $f \in \mathcal{O}\left (e^n \right ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell \item usw. \end{itemize} -In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. +In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. \begin{figure} \center @@ -33,9 +33,11 @@ In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufze \end{figure} \subsubsection{Beispiel Algorithmen} + +Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden kann. \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus} -Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. +Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen einfluss auf die Laufzeit. \begin{algorithm}\caption{} \label{multiplikation:alg:b1} @@ -47,7 +49,7 @@ Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmu \end{algorithmic} \end{algorithm} -Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. +Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. \begin{algorithm}\caption{} \label{multiplikation:alg:b2} @@ -63,13 +65,14 @@ Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg: \paragraph{Linearer Algorithmus} -Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}(n)$ Verhalten. +Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares Verhalten. +Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$. \begin{algorithm}\caption{} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} \label{multiplikation:alg:l1} - \Function{L}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n} + \Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n} \State $ sum \gets 0$ \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $ @@ -83,7 +86,9 @@ Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}( \paragraph{Quadratischer Algorithmus} -Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches $\mathcal{O}(n^2)$ Verhalten. +Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten. +Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchglaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$. + \begin{algorithm}[H]\caption{} \label{multiplikation:alg:q1} diff --git a/buch/papers/multiplikation/references.bib b/buch/papers/multiplikation/references.bib index 9d76e8e..8815386 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/references.bib +++ b/buch/papers/multiplikation/references.bib @@ -63,3 +63,40 @@ month = {7}, day = {27} } + +@online{multiplikation:master_theorem, + title = {Master theorem (analysis of algorithms)}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem_(analysis_of_algorithms)}, + date = {2021-07-28}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {28} +} + + +@online{multiplikation:DAC, + title = {Divide-and-conquer algorithm}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Divide-and-conquer_algorithm}, + date = {2021-07-28}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {28} +} + +@online{multiplikation:BLAS, + title = {BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms)}, + url = {http://www.netlib.org/blas/}, + date = {2021-08-01}, + year = {2021}, + month = {8}, + day = {01} +} + +@online{multiplikation:DGEMM, + title = {DGEMM}, + url = {http://www.netlib.org/lapack/explore-html/d1/d54/group__double__blas__level3_gaeda3cbd99c8fb834a60a6412878226e1.html#gaeda3cbd99c8fb834a60a6412878226e1}, + date = {2021-08-01}, + year = {2021}, + month = {8}, + day = {01} +} |