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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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-\section{Teil 3
+\section{Der Munkres-Algorithmus (Ungarische Methode)
 \label{munkres:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
+\rhead{Der Munkres-Algorithmus (Ungarische Methode)}
+
+Mit der ungarischen Methode können also Optimierungsprobleme gelöst
+werden, die bei gewichteten Zuordnungen in bipartiten Graphen entstehen.
+Mit ihr kann die eindeutige Zuordnung von Objekten aus zwei Gruppen so
+optimiert werden, dass die Gesamtkosten minimiert werden bzw.~der
+Gesamtgewinn maximiert werden kann. 
+
+\subsection{Geschichte
+\label{munkres:subsection:malorum}}
+Die Ungarische Methode wurde 1955 von Harold Kuhn entwickelt und veröffentlicht.
+Der Name ``Ungarische Methode'' ergab sich, weil der Algorithmus
+weitestgehend auf den früheren Arbeiten zweier ungarischer Mathematiker
+basierte: Dénes Kőnig und Jenő Egerváry.
+James Munkres überprüfte den Algorithmus im Jahr 1957 und stellte fest,
+dass der Algorithmus (stark) polynomiell ist.
+Seitdem ist der Algorithmus auch als Kuhn-Munkres oder
+Munkres-Zuordnungsalgorithmus bekannt.
+Die Zeitkomplexität des ursprünglichen Algorithmus war $O(n^4)$,
+später wurde zudem festgestellt, dass er modifiziert werden kann,
+um eine  $O(n^3)$-Laufzeit zu erreichen.
+
+\subsection{Besondere Leistung der Ungarischen Methode
+\label{munkres:subsection:malorum}}
+Die Ungarische Methode ist ein kombinatorischer Optimierungsalgorithmus, der das Zuordnungsproblem
+in polynomieller Zeit löst.
+Der Begriff polynomielle Laufzeit bedeutet, dass die Laufzeit des Programms
+wie $n^2$, $n^3$, $n^4$, etc.~wächst und vernünftig skaliert. $n$ ist hierbei die "Grösse" des Problems.
+
+\subsection{Unterschiedliche Anzahl von Quellen und Zielen
+\label{munkres:subsection:malorum}}
+Es gibt Fälle, in welchen das Ausgangsproblem keine quadratische Form besitzt. Das ist z.B dann der Fall, wenn eine 3 Mitarbeiter 4 Eignungstests abdsolvieren müssen. In diesem Fall wird in der Ungarischen Methode die Matrix künstlich mittels einer Dummy Position quadratisch ergänzt. Dummy-Positionen werden dann mit der größten vorhandenen Zahl aus der Matrix besetzt. Beispielsweise eine $4\times 3$ wird zu einer $4\times 4$ Matrix.
+
+\subsection{Beispiel eines händischen Verfahrens
 \label{munkres:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
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-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
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-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
 
+Die ungarische Methode kann in einem einfachen händischen Beispiel
+erläutert werden. Es gibt eine Ausgangsmatrix. Diese Matrix wird in mehreren Schritten immer
+weiter reduziert. Anschließend erfolgen mehrere Zuordnungen. Hierbei ist zu beachten, dass
+jede Zeile und jede Spalte immer genau eine eindeutige Zuordnung ergibt.
+Die optimale Lösung ist erreicht, wenn genau $n$ Zuordnungen gefunden
+sind.
+
+\begin{enumerate}
+\item Pro Zeile eruiert man die kleinste Zahl. Diese kleinste Zahl wird bei
+allen anderen Ziffern in der jeweiligen Zeile subtrahiert.
+
+\item Danach zieht man wiederum die kleinste Zahl in jeder Spalte von allen
+Zahlen in der Spalte ab.
+
+\item Es sollen möglichst viele Nullen markiert werden, welche freistehend sind.
+(Freistehend bedeutet, sowohl in der jeweiligen Zeile und Spalte nur
+eine markierte Null zu haben)
+
+\item Jeweilige Zeilen eruieren, bei welchen keine markierte Null vorhanden sind und kennzeichnen.
+
+\item In der vorherigen Zeile die 0 eruieren und die Spalte ebenfalls
+kennzeichnen (*2)
+
+\item Im der selben Spalte die Markierte Null eruieren und die dazugehörige
+Zeile kennzeichnen (*3)
+
+\item Alle Zeilen durchstreichen, welche KEINE Kennzeichnungen (*) haben
+
+\item Alle Spalten durchstreichen, welche EINE Kennzeichnung besitzt! (hier, *2)
+
+\item Kleinste Ziffer auswählen, welche nicht schon durchgestrichen sind.
+(Im Beispiel ist es die Zahl 1. (Egal welche 1)
+
+\item Die eruierte kleinste Ziffer, wird von den nicht durchgestrichenen Ziffern
+subtrahiert. Danach muss die Matrix wieder komplettiert werden. (inkl. Unterstreichen)
+
+\item Jeweilige Zahlen eruieren, welche vorgängig doppelt durchgestrichen wurden.
+
+\item Kleinste eruierte Ziffer von vorhin auf die zwei markierten Ziffern addieren.
+
+\item Es sollen wiederum von neuem möglichst viele Nullen markiert werden,
+welche freistehend sind. In diesem Schritt werden nur die markierten Nullen betrachtet.
+
+\item Aus allen markierten Nullen in eine eins umwandeln.
+
+\item Die restlichen Ziffern, durch eine Null ersetzen.
+
+\item Zu guter letzt soll überall wo eine 1 steht, in der Ausgangsmatrix die
+dazugehörige Ziffer ausgewählt werden. Nach Einsetzen und Eruieren der Zahlen ergeben sich nach Summieren der Zahlen der minimalste Transportweg.
+\end{enumerate}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=14cm]{papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel.png}
+\caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus, minimalster Transportweg.}
+\label{munkres:Vr2}
+\end{figure}
+
+\subsection{Zuordnung der Kräne
+\label{munkres:subsection:malorum}}
+
+\begin{itemize}
+\item Der Kran von Baustelle A1 soll zur Baustelle B2.
+\item Der Kran von Baustelle A2 soll zur Baustelle B3.
+\item Der Kran von Baustelle A3 soll zur Baustelle B4.
+\item Der Kran von Baustelle A4 soll zur Baustelle B1.
+\end{itemize}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=3cm]{papers/munkres/figures/Ungarische_Methode_Beispiel_Zuw.png}
+\caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus, Zuweisung der Kräne }
+\label{munkres:Vr2}
+\end{figure}