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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex index 1aec16f..0a9d3b6 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex @@ -1,8 +1,7 @@ \section{Kristalle} -%einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden -Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können. -Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht. -Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert. +Eine nicht allzu häufig gestellte Frage ist, wie ein Kristall definiert ist. +Um zu klären, was ein Kristall mit Symmetrien zu tun hat, ist jedoch genau diese Frage äusserst relevant. +Glücklicherweise ist das Innere eines Kristalles relativ einfach definiert. \begin{definition}[Kristall] Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt. \end{definition} @@ -12,117 +11,160 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert. \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/lattice} \caption{ Zweidimensionales Kristallgitter. - \texttt{TODO: make wider and shorter} \label{fig:punktgruppen:lattice} } \end{figure} \subsection{Kristallgitter} Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}. -Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen. -Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt. -Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt -und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, -endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort. -Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also +Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen. +Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt. +Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort. +Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{a}_3\) also \[ - \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c} + \vec{r} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 = \sum_i n_i \vec{a}_i \] -erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind. -Sind die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben , -ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. +erreicht werden sofern \(n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{Z}\) sind. +Sind die Vektoren \(\vec{a}_1\), \(\vec{a}_2\), \(\vec{a}_3\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. -\subsection{Translationssymmetrie} +\subsection{Translationssymmetrie} Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren. -Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, -da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. -Mit anderen worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation +Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. +Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{translationssymmetrisch} in der Translation \[ - Q_i(G) = G + \vec{a_i} -\] wobei der Vektor $a_i$ ein Grundvektor sein muss. + \vec{Q}_i(G) = G + \vec{a}_i, +\] +wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss. Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination -der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. -Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, -solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. +der Vektoren $\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ und $\vec{a}_3$ erlaubt sind. +Dabei sollte erwähnt werden, dass eine Translationssymmetrie nur in unendlich grossen Kristallgittern besteht. -\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien} +\subsection{Einschränkungen durch Kristallsymmetrien} \label{sec:punktgruppen:Translationssymmetrie} Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet. - Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, - können nur Rotationssymmetrische Kristalle bestimmter Rotationswinkel erzeugt werden. - + Was nicht direkt ersichtlich ist, ist dass bei beliebigen Grundvektoren nicht beliebige Symmetrien erstellt werden können. + Dies weil die Translationssymmetrie eines Kristalles weitere Symmetrien deutlich einschränkt. + \begin{figure} \centering \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries} \caption{ Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter - \texttt{TODO: make wider and change color (yellow)} } \label{fig:punktgruppen:rot-geometry} \end{figure} - \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$} % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen - In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge. +\begin{satz} \label{thm:punktgruppen:crystal-restriction} + Die Rotationssymmetrien eines Kristalls sind auf 2-fach, 3-fach, 4-fach und 6-fach beschränkt. + Mit anderen Worten: Es sind nur Drehwinkel von + 0\(^{\circ}\), + 60\(^{\circ}\), + 90\(^{\circ}\), + 120\(^{\circ}\) und + 180\(^{\circ}\) + m\"oglich. +\end{satz} + +\begin{proof} + In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge. \begin{itemize} - \item $A$ ist unser erster Gitterpunkt. - - \item $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, - dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss. - \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden. - Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. - Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird. - An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen. - \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. - Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden. - Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert - \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. - Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} - auch auf $A'$ an. - Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt. - \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss. - Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet. + \item \(A\) ist unser erster Gitterpunkt. + + \item \(A'\) ist gegeben, weil wir \(A\) mit der Translation \(\vec{Q}\) um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, + dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss. + \item \(B\) entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie \(C_n\) auf den Punkt \(A\) anwenden. + Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel \(360^\circ/n\). + Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt \(A'\) abgedreht wird. + An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen. + \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt. + Da auch die Eigenschaften des Kristallgitters periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_n\) auch auf \(A'\) anwenden. + Also wenden wir \(C_n^{-1}\) auch auf \(A'\) an. + Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt. + \item \(B'\) ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss. + Die Translationssymmetrie zwischen \(B\) und \(B'\) ist hier als \(\vec{Q}'\) bezeichnet. \end{itemize} Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen. - Wir beginnen, indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen. - Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$. - Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also + Wir beginnen, indem wir die Länge der Verschiebung \(|\vec{Q}| = Q\) setzen und \(|\vec{Q}'| = Q'\). + Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\). + Da \(\vec{Q}\) eine Translation um ein Grundvektor ist , muss \(\vec{Q}'\) ein ganzes Vielfaches von \(\vec{Q}\) sein. + Demnach ist auch die Länge \[ - |Q'| = n|Q| = |Q| + 2x + Q' = nQ = Q + 2x . \] - Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken: + Die Strecke \(x\) lässt sich auch mit Hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel \(\alpha\) ausdrücken: \[ - n|Q| = |Q| + 2|Q|\sin(\alpha - \pi/2) + nQ = Q + 2Q\sin(\alpha - \pi/2) . \] - Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, - was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. - Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen. + Wir können durch \(Q\), dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, was auch Sinn macht, + da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert. + Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen. Somit wird \[ - n = 1 - 2\cos\alpha - \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right) + n = 1 - 2\cos\alpha \quad\text{oder}\quad + \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right). \] Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf - \[ + \( \alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\} - \] + \) ein. +\end{proof} \begin{figure} \centering - \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections} - \caption{Kristallklassen mit zugehöriger Schönfliesnotation} - \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen} + \includegraphics[height=6cm]{papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections} + \caption{ + Stereografische Projektion einer \(C_{i}\) Symmetrie. Es wird eine Linie vom magentafarbenen Punkt auf der oberen Hälfte der Kugel zum Südpol gezogen. + Wo die Linie die Ebene schneidet (\(z = 0\)), ist die Projektion des Punktes. + Die Koordinaten der Projektionen sind einfach zu berechnen: ein Punkt auf eine Kugel mit Radius \(r\) mit den Koordinaten \(x, y, z,\) wird auf \(xr/(r + z), yr/(r + z)\) projiziert. + Für den orangefarbenen Punkt unterhalb des Äquators wird die Linie zum Nordpol gezogen und die Projektionsformel hat stattdessen einen Nenner von \(r - z\). + } + \label{fig:punktgruppen:stereographic-projections} \end{figure} \subsection{Kristallklassen} -Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind. -Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum -\footnote{Alle $17$ möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} -nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können. -Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet. -Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, -welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat. -Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet. -Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden. + +Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind. + Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische Symmetriegruppen bilden können. + Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet. + Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} zu sehen. + Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion ermöglicht (siehe Abbildung \ref{fig:punktgruppen:stereographic-projections}), wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. + + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections} + \caption{Kristallklassen mit zugehörigem Schönflies-Symbol} + \label{fig:punktgruppen:kristallklassen} +\end{figure} + +\subsubsection{Schönflies-Symbolik} + +Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} ist mit ihrem zugehörigen Schönflies-Symbol bezeichnet. + Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat. + Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} zu sehen sind. + \begin{itemize} + \item In Kristallen ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\) zu finden. + Es gäbe auch die Ikosaedergruppe \(I\) und die Kugelgruppe \(K\), diese sind aber nach Satz \ref{thm:punktgruppen:crystal-restriction} nicht kompatibel mit der Translationssymmetrie eines Kristalles und daher in der Kristallographie nicht relevant. + \item Dank Abschnitt \ref{sec:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen. + Ist im Subskript eine Zahl \(n\) zu finden, steht dies für eine \(n\)-fache Symmetrie. + Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} nicht vorkommen, da \(360^\circ/5 = 72^\circ\) was nach Satz \ref{thm:punktgruppen:crystal-restriction} keine mögliche Rotationssymmetrie eines Kristalles ist. + \item Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse. + Für die folgenden Betrachtungen müssen wir uns Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} genauer ansehen. + Dabei ist mit horizontal flach auf dem Papier gemeint. + \begin{itemize} + \item[\(h\)] bezeichnet eine horizontale Spiegelebene und + \item[\(v\)] eine Symmetrieebene, was eine Spiegelebene ist, die sich mit der Symmetrie mitdreht. + Zum Beispiel hat \(C_{3v}\) eine vertikale Spiegelebene, die durch die 3-fache Drehsymmetrie als 3 Spiegelebenen erscheinen. + \item[\(s\)] ist ein spezielles Subskript um die beiden Symmetriegruppen \(C_{1v}\) und \(C_{1h}\) zu beschreiben, weil \(C_{1v} = C_{1h}\). + \item[\(d\)] symbolisiert eine diagonale Symmetrieebene. + Es wird ersichtlich wie diagonal gemeint ist, wenn man \(D_2\) zu \(D_{2d}\) vergleicht. + \item[\(i\)] steht für ein Inversionszentrum. Hat eine Symmetriegruppe ein Inversionszentrum, bedeutet dies dass sie im Ursprung punktsymmetrisch ist. + \end{itemize} + \end{itemize} +Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können. + \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht. + +%% vim:spell spelllang=de showbreak=.. breakindent linebreak: |