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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index db05ff5..1dc6f98 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -1,8 +1,8 @@ \section{Symmetrie} Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem ursprünglichen griechischen Wort -\(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\) -\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig, +\(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\) +\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig, verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr präzise Bedeutung. @@ -10,99 +10,85 @@ präzise Bedeutung. Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer bestimmten Operation invariant ist. \end{definition} +Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit +einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden, +ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner. -Wenn der Leser noch nicht mit der Gruppentheorie in Berührung gekommen ist, ist -vielleicht nicht ganz klar, was eine Operation ist, aber die Definition sollte -trotzdem Sinn machen. Die Formalisierung dieser Idee wird bald kommen, aber -zunächst wollen wir eine Intuition aufbauen. - -\begin{figure}[h] +\begin{figure} \centering - \begin{tikzpicture}[ - node distance = 2cm, - shapetheme/.style = { - very thick, draw = black, fill = magenta!20!white, - minimum size = 2cm, - }, - line/.style = {thick, draw = darkgray}, - axis/.style = {line, dashed}, - dot/.style = { - circle, draw = darkgray, fill = darkgray, - minimum size = 1mm, inner sep = 0, outer sep = 0, - }, - ] - - \node[ - shapetheme, - rectangle - ] (R) {}; - \node[dot] at (R) {}; - \draw[axis] (R) ++(-1.5, 0) to ++(3, 0) node[right] {\(\sigma\)}; - - \node[ - shapetheme, - regular polygon, - regular polygon sides = 5, - right = of R, - ] (Ps) {}; - \node[dot] (P) at (Ps) {}; - \draw[line, dotted] (P) to ++(18:1.5); - \draw[line, dotted] (P) to ++(90:1.5); - \draw[line, ->] (P) ++(18:1.2) - arc (18:90:1.2) node[midway, above right] {\(r, 72^\circ\)}; - - \node[ - shapetheme, - circle, right = of P - ] (Cs) {}; - \node[dot] (C) at (Cs) {}; - \draw[line, dotted] (C) to ++(1.5,0); - \draw[line, dotted] (C) to ++(60:1.5); - \draw[line, ->] (C) ++(1.2,0) - arc (0:60:1.2) node[midway, above right] {\(r, \alpha\)}; - - \end{tikzpicture} + \includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes} \caption{ Beispiele für geometrisch symmetrische Formen. \label{fig:punktgruppen:geometry-example} } \end{figure} -Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit -einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden, -ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner. In Abbildung -\ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die -offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat ein Quadrat viele Achsen, um -die es gedreht werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. Regelmässige -Polygone mit \(n\) Seiten sind gute Beispiele, um eine diskrete +\subsection{Geometrische Symmetrien} + +In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, +die offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an +deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. Regelmässige +Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um -einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) sie unverändert lässt. -Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche +einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert +lässt. Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. Dies ist hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die nun eingeführt wird. +% Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird +\subsubsection{Symetriegruppe} +\texttt{TODO: review this paragraph, explain what is \(\mathds{1}\).} +Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen. +Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} +nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden. +Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe. + \begin{definition}[Symmetriegruppe] Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt. Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\) als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird. +\end{definition} % ich lese diese Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen + +% Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann +\begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger] + Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen + Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische + Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die erzeugte + Untergruppe \(\langle g \rangle\) wird mit spitzen Klammern um den Erzeuger + bezeichnet. \end{definition} -Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir -\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe +Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. +Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) +um einen Punkt. Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe \[ C_n = \langle r \rangle = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\} - = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \] -die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte -Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\). Die -Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet. -Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer -Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden. Die -Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur +der Drehungen eines \(n\)-Gons zu definieren. Das liegt daran, +dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen, der +die Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als +wiederholte Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots +r\circ r\). Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem +Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen. + +\begin{definition}[Erzeugendensysteme] + % please fix this unreadable mess + Jede Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden. + Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer + Symmetriegruppe sein. Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die + sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die + Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls + in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der + Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme. +\end{definition} + +\texttt{TODO: should put examples for generators?} \\ + +Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe \[ @@ -111,22 +97,48 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1} \right\}. \] -Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden -Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die -letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren. +Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer +mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im +Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der +Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es +Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können. +Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man +Punktsymmetrie. +\begin{definition}[Punktgruppe] + Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens + einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine + Punktgruppe ist. +\end{definition} + +\subsection{Algebraische Symmetrien} Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich -möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende -Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut? -Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein. -\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus] +möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte +es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut? Natürlich, ja. +Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. +\begin{definition}[Gruppenhomomorphismus] Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\) bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man sagt, dass der Homomorphismus - \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von - \(G\) ist. + \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert. +\end{definition} +\begin{beispiel} + Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen + Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem + komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) + ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben. +\end{beispiel} + +\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe] + Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe + auf eine Menge von Matrizen abbildet. + \[ + \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}). + \] + Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen + Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\). \end{definition} \begin{beispiel} Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine @@ -142,40 +154,21 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein. die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\). \end{beispiel} -\begin{beispiel} - Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen - Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem - komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) - ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben. -\end{beispiel} -Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens -einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei -der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine -Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt -verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die -unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda = -\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v} -= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören. -Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man -Punktsymmetrie. -\begin{definition}[Punktgruppe] - Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens - einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine - Punktgruppe ist. -\end{definition} -Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren: -eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr -nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie. Von einem mathematischen -Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\) -hat, wenn es die Gleichung -\[ - U(x) = U(Q(x)) = U(x + a), -\] -für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche -Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine -zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\) -dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\). +\texttt{TODO: rewrite section on translational symmetry.} +%% TODO: title / fix continuity +% Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren: +% eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr +% nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie. Von einem mathematischen +% Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\) +% hat, wenn es die Gleichung +% \[ +% U(x) = U(Q(x)) = U(x + a), +% \] +% für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche +% Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine +% zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\) +% dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\). % \subsection{Sch\"onflies notation} |